Сумма арифметической прогрессии конспект урока 9 класс

Обновлено: 04.07.2024

2.(развивающая) развивать познавательный интерес учащихся, учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью; развивать грамотную математическую речь;

3.(воспитательная)воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов; воспитание уважительного отношения к одноклассникам.

Задачи урока:

Закрепить навыки решения задач по данной теме с использованием формул.

Установить, действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни.

Сформировать навыки применения знаний к решению прикладных задач.

Воспитывать умение делать самооценку своих знаний, умение работать в парах.

Содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться.

Развивающие:

Развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать; чётко и сжато выражать мысли.

На конкретных примерах применения прогрессий убедиться в том, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Продолжить развитие логического мышления и вычислительной культуры учащихся.

Регулятивные: прилагать волевые усилия и преодолевать трудности и препятствия на пути достижения целей.

Личностные: оценивать усваиваемое содержание (исходя из социальных и личностных ценностей).

Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, вступать в диалог, участвовать в дискуссии и аргументировать свою позицию.

Познавательные: анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты, преобразовывать информацию.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и умений.

Формы организации деятельности на уроке:

1. Организационный этап (подготовительный)

Какая тема объединяет понятия?

Сумма n первых членов

Первый член

Среднее арифметическое

Притча о целеустремленной лягушке

Собрались несколько лягушек и разговорились.

- Как жаль, что мы живём в таком маленьком болоте. Вот бы добраться до соседнего болота, там значительно лучше! – проквакала одна лягушка.

- А я слышала, что в горах есть отличное место! Там чистый большой пруд, свежий воздух, и нет этих хулиганов-мальчишек, – мечтательно проквакала вторая лягушка.

- А вам-то что с этого? – огрызнулась большая жаба. – Всё равно вам туда никогда не добраться!

- Почему не добраться? Мы лягушки можем всё! Правда, друзья? – сказала лягушка-мечтатель и добавила, - давайте докажем этой вредной жабе, что мы сможем переехать в горы!

- Давайте! Давайте! Переедем в большой чистый пруд! – заквакали все лягушки на разные голоса.

И вот когда лягушки двинулись в путь, все, кто остался в болоте, в один голос закричали:

- Куда вы, лягушки, это же НЕВОЗМОЖНО! Вы не дойдёте до пруда. Уж лучше сидеть в своём болоте!

Но лягушки не послушали, и двинулись в путь. Несколько дней они шли, многие выбивались из последних сил и отказывались от своей цели. Они поворачивали обратно в родное болото.

Все, кого встречали лягушки на своём нелёгком пути, отговаривали их от этой безумной затеи. И так их компания становилась всё меньше. И только одна лягушка не свернула с пути. Она не вернулась обратно в болото, а дошла до чистого красивого пруда и поселилась в нём.

Почему именно она сумела достичь цели? Может, она была сильнее других?

Оказалось, что эта лягушка просто была ГЛУХАЯ! Она не слышала, что это НЕВОЗМОЖНО! Не слышала, как её отговаривали, именно поэтому именно она легко добралась до своей цели!

"Чтобы дойти до цели, надо, прежде всего, идти"Оноре́ де Бальза́к (французский писатель). И мы с вами не будем стоять на месте, а будем идти только вперед.

Закончился двадцатый век.

Куда стремится человек?

Изучен космос и моря,

Строенье звезд и вся земля.

Но математиков зовет

Давайте совместно определим цели нашей работы на уроке. Для этого я вам предлагаю прочитать некоторые мысли, выбрать наиболее подходящие для нашей работы и дополнить их: Умение применять формулы. Умение грамотно … Умение обобщать, систематизировать… Умение логически … Умение применять … Умение работать…

А что значит: покорить гору? Как вы думаете? (Предлагают варианты. Значит дойти до ее вершины.) А что такое горы?

Давайте проверим, насколько вы готовы начать восхождение.

2. Проверка домашнего задания

Мы сейчас находимся у подножия горы. Вам на дом были даны пять заданий, которые встречаются в ОГЭ по математике. Откройте домашние работы и проверьте их с эталоном решения. В конце урока вы мне сдадите тетради с вашими работами.

1) Дана арифметическая прогрессия (а _n ), разность которой равна -1,7; a ₁ = 2,7. Найдите а₁₆.

2) Дана арифметическая прогрессия (а _n ), для которой а₄ = -5, а₈ = 4. Найдите разность прогрессии.

3) Арифметическая прогрессия (а _n ) задана условиями: а₁ = -23, а _n ₊₁ = a _n + 13. Найдите а₁₄.

4) В зрительном зале кинотеатра в каждом из первых пяти рядов по 16 мест, а в каждом следующем ряду, начиная с шестого, на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в зрительном зале, если всего в нем 12 рядов?

5) Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 250, которые при делении на 4 дают в остатке 3.

1) Дано: а₁ = 2,7; d = -1,7.

Найти: а₁₆

а₁₆ = 2,7 + 15 · (-1,7) = 2,7 – 25,5 = - 22,8

2) Дано: а₄ = -5, а₈ = 4

Найти: d

3) Дано: а₁ = -23, а _n₊₁ = a _n + 13

Найти: а₁₄

d = -10 – (-23) = -10 + 23 = 13

a ₁₄ = -23 + 13 · 13 = -23 + 169 = 146

4) Дано: первые пять рядов – по 16 мест в каждом; 6 ряд – 18 мест, 7 ряд – 20 мест и т. д. Всего 12 рядов.

Найти: количество мест в зале

1. 5 · 16 = 80 мест в первых пяти рядах.

2. 18; 20; … - это арифметическая прогрессия, в которой а₁ = 18, d = 2, n = 7.

S _{7 =} 24 · 7 = 168

3. 80 + 168 = 248 мест в зрительном зале

5) Дано: натуральные числа ≤ 250, при делении на 4 дают в остатке 3

Найти: сумму этих натуральных чисел

3; 7; 11; …; 247. Это арифметическая прогрессия, в которой а₁ = 3, d = 4, а _n = 247. Найдем количество членов этой прогрессии.

247 = 3 + ( n – 1) · 4

S _{62 =} 250· 31 = 7750

3. Актуализация знаний учащихся (поднятие на склон)

а) Найди соответствие между формулой и ее названием

Определение арифметической прогрессии

Формула разности арифметической прогрессии

Формула n -го члена арифметической прогрессии

_n = ₁ + (n – 1)d

Характеристическое свойство арифметической

прогрессии

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

S _n =

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

S _n =

б) Найди последовательности, которые являются арифметической прогрессией

1. -3; 0; 4; 7; 11; 14; …

2. 0; 4; 8; 12; 16; …

3. 1; 2; 4; 8; 16; …

4. -2; 4; 10; 16; 22; …

5. 32; 22; 12; 2; -8; …

6. 7; -7; 7; -7; 7 …

7. 8; 8; 8; 8; 8 …

в) Найдите первые четыре члена арифметической прогрессии, заданной формулой:

2) _n =2+4 n 6; 10; 14; 18;…

4. Прогрессии в жизни и быту (решение задач)

Продолжаем подниматься на следующий склон

1) Родители ко Дню рождения своего сына решили купить ему мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 600 рублей, а в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Какая сумма будет у родителей через 10 месяцев? Хватит ли им денег на покупку телефона, который стоит 8200 рублей?

Дано:₁ = 600, d = 50, n = 10

S ₁₀ = (1200 + 450) · 5

S ₁₀ = 1650 · 5 = 8250 руб.

Ответ: 8250 рублей, денег хватит на покупку телефона

2)В спорте: Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходили на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

Дано:₁ = 1400, d = -100, Sn = 5000

10000 = (2800 – 100(n – 1)) · n

10000 = (2800 – 100n + 100) · n

10000 = (2900 – 100n) · n

2900n – 100n 2 – 10000 = 0

n 2 – 29 n + 100 = 0

D = (-29) 2 – 4 · 1 · 100 = 841 – 400 = 441

если n = 25, то a ₂₅ = 1400 + 24 · (-100) = 1400 – 2400 = -1000 a _n > 0

Джентльмен получил наследство. Первый месяц он истратил 1000$, а каждый следующий месяц он тратил на 500$ больше, чем в предыдущий. Сколько $ он истратил за второй месяц? За третий? Каков размер наследства, если денег хватило на год такой безбедной жизни?

Дано:₁ = 1000, d = 500, n = 12

S ₁₂= (2000 + 5500) · 6

Физ . минутка (привал)

Хлопните в ладоши те, кто устал.

Встаньте те, кому интересна математика и тема нашего урока.

Поверните голову вправо те, кому понятна тема сегодняшнего урока, остальные – голову вперед наклоняют.

Поверните голову влево те, у кого сейчас хорошее настроение.

Поднимите руки вверх те, кто старается и делает все, чтобы учиться как можно лучше.

Зажмурьте глаза, кто любит мечтать.

4) За 16 дней Карл украл у Клары 472 коралла. Каждый день он крал на 3 коралла больше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов украл Карл в последний день?

Дано: S ₁₆ = 472, d = 3

Ответ: Карл украл 52 коралла в последний день

5) Строя пирамиды для фараонов египтяне в каждом следующем ряду плит устанавливали на одну плиту меньше, чем в предыдущем. На самом верху стены возвышается одна плита. Сколько всего плит понадобится только для одной стены пирамиды, если плиты стоят в 60 рядов?

Ряды считаем сверху

S ₆₀= 61 · 30 = 1830

Ответ: в одной стене пирамиды 1830 плит.

6) Отдыхающий, следуя совету врача, загорал первый день 5 мин., а в каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 мин. В какой день недели время его пребывания на солнце будет равно 50 мин., если он начал загорать во вторник.

Дано: = 5; d = 5; = 50

50 = 5 + ( n – 1) · 5

Ответ: на десятый день, то есть в четверг

5. Тестирование

1. У арифметической прогрессии первый член равен 7, второй равен 5. Найти разность d .

А) 2 Б) -2 В) 12 Г) -12

2. У арифметической прогрессии первый член 5, второй 2. Найти третий член.

А) 3 Б) -3 В) 1 Г) -1

3. Найти седьмой член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 2, а разность равна 5.

А) 30 Б) -28 В) 32 Г) 37

А) 4 Б) -4 В) 10 Г) -10

5. Между числами 8 и 14 вставьте такое число, чтобы полученная последовательность чисел образовала арифметическую прогрессию.

А) 13 Б) 10 В) 12 Г) 11

1. У арифметической прогрессии первый член равен 9, второй равен 6. Найти разность d .

А) 15 Б) -15 В) 3 Г) -3

2. У арифметической прогрессии первый член 7, второй 2. Найти третий член.

А) 3 Б) -3 В) 5 Г) -5

3. Найти шестой член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 3, а разность равна 4.

А) 23 Б) 20 В) 17 Г) -17

А) 4 Б) -4 В) 36 Г) -36

5. Между числами 7 и 13 вставьте такое число, чтобы полученная последовательность чисел образовала арифметическую прогрессию.

Образовательные:
– систематизировать и контролировать уровень усвоения знаний, умений и навыков по нахождению суммы n-первых членов арифметической прогрессии;
– формировать умения и навыки по нахождению суммы n-первых членов арифметической прогрессии в решении упражнений.

Воспитательные:
– содействование формированию мировоззренческих понятий;
– развитие познавательного интереса учащихся к предмету;
– развитие памяти и внимания.

Развивающие:
– развитие учащихся самостоятельности в учебной деятельности;
– формирование учащихся геометрической интерпретации изученной формулы;
– развитие логического мышления.

Оборудование к уроку: презентация к уроку, интерактивная доска.

№	Этапы урока.	Время.
1	Организационный момент.	3 минуты.
2	Опрос учащихся: а) Устные упражнения; б) У доски по карточкам.	7 минут.
3	Изучение нового материала.	10 минут.
4	Закрепление изученного материала.	10 минут.
5	Самостоятельная работа.	10 минут.
6	Подведение итогов урока. Оценки на уроке. Домашнее задание.	5 минут.

Является ли последовательность четных чисел арифметической прогрессией?
Найдите 10 член арифметической прогрессии, если а₁ = 1, а разность равна 4.
Дана конечная ариф. прогрессия а₁; а₂; а₃; а₄; а₅; а₆, разность = d.
Является ли арифметической прогрессией последовательность
а) а₂; а₄; а₆б) а₁ – 2; а₂ – 2; а₃ – 2; а₄ – 2; а₅ – 2; а₆ – 2?
В записи арифметической прогрессии (В_n) в₁; -4; в₃; 2; в₅ неизвестны в₁, в₃ и в₅. Найдите их.

Найдите а₁ арифметической прогрессии, если а₃₆=90, а разность d=2.
В уловом секторе стадиона в 1 ряду 7 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в 26 ряду? (из ЕГЭ)

Какое число не является членом арифметической прогрессии: 4; 7; 10; 13; …?
Ответ:
1)31; 2)32; 3)34; 4)37.
Содержит ли арифметическая прогрессия 2; 9; … число 295?

Существует предание о маленьком Карле Гауссе – немецком короле математики. Когда маленькому Карлу было 10 лет, учитель дал ему задачу:

Найди сумму первых ста натуральных чисел.

Карл быстро назвал ответ. Это число 5050.

– А сможете вы, ребята, найти сумму первых ста натуральных чисел?

S = 1+2+3+4+…+98+99+100
S = 100+99+98+…+3+2+1
2S = 101∙100
S = 101∙100/2=5050

С помощью аналогичных рассуждений можно получить сумму п-первых членов конечной арифметической прогрессии

Заменив а_n на а₁ + (n-1)∙d, получим формулу (2)

А теперь объединимся в группы и выучим эти 2 формулы.

1 группа: подготовит доказательство формулы 1.
2 группа: подготовит доказательство формулы 2.
3 группа: подготовит геометрическую интерпретацию формулы 1.
4 группа: работает по образцу.

Задания по образцу:

Задана арифметическая прогрессия (а_n), где а₁ =7; d=2; n=20. Найти S_n.
Задана арифметическая прогрессия (а_n), где а₁ =7; d=2; n=10. Найти S_n.
Задана арифметическая прогрессия (а_n), где а₁ =5; d=2; n=12. Найти S_n.
Задана арифметическая прогрессия (а_n), где а₁ =6; а₂₀=52. Найти S_n.

Учитель: математику учить надо за то, что она ум в порядок приводит. Математика миру подарила формулы, которые позволяют делать различные расчеты. Перед нами стоит задача научиться применять формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

В угловом секторе стадиона в 1 ряду 7 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем секторе. Сколько мест на стадионе, если рядов в нем 34?

Задачи из учебника:

1 группа:
Найдите сумму первых сорока членов последовательности (а_n), заданной формулой а_n = 5n – 4.

2 группа:
Найдите сумму n – первых членов последовательности (х_n), если х_n = 3n + 4.

3 группа:
№ 372(б) Найдите сумму 80 – первых членов последовательности (х_n), если х_n = 4n + 2.

4 группа:
Задачи:
1. Какое число не является членом арифметической прогрессии 4; 8; 12; 16; …
1)76 2)72 3)74 4)68

2. На 1 странице 1000 букв, а на каждой следующей на 10 меньше, чем на предыдущей. Сколько букв на странице с номером n?

Обобщающий урок по математике по теме " Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии". В занимательной форме проводится закрепление данной темы. В конце урока проводится проверочная работа в форме теста.

Содержимое разработки

Формула суммы n первых членов

(дидактическая) обобщить и систематизировать теоретические знания по арифметической прогрессии; нахождение п члена с помощью формул; вывести формулы для суммы п первых членов арифметической прогрессии;

(развивающая) развивать познавательный интерес учащихся, учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью; развивать грамотную математическую речь;

(воспитательная) воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов; воспитание уважительного отношения к одноклассникам.

Оборудование: наглядные таблицы, плакаты; раздаточный дидактический материал; справочный материал.

Структура урока:

Орг. момент, приветствие, пожелания.

Актуализация опорных знаний и умений: фронтальная работа // индивидуальная.

Историческая справка. Объяснение нового материала.

Выставление оценок, домашнее задание.

1. Орг. момент, приветствие, пожелания.

Здравствуйте, ребята! Садитесь, пожалуйста.

Эмоциональный настрой нашей совместной работы.

(На доске в столбик записаны слова: хочу, могу, умею, делаю) учитель, показывая на каждое из этих слов, даёт расшифровку.

МОГУ: сообщаю, что на уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться.

УМЕЮ: мы умеем применять с вами рациональные способы для решения задач.

2. Индивидуальная работа.

К доске я приглашаю 3 ребят, которые желают поработать индивидуально. Посмотрите внимательно, вам предложены задания.

(ап)- арифметическая прогрессия.

Дано: а₁₀=126, d=4.
Найти: а₁.

Дано: а₂₅=84, а₁=12.
Найти: d.

Является ли число 156 членом арифметической прогрессии (а_п), в которой а₁=24, а₂₂=60.

Ответы: 1) а₁ =90; 2) d = 3;

Фронтальная работа. Ну, а нам с вами ребята, необходимо вспомнить теоретический материал по изученной теме:

Дайте определение арифметической прогрессии.

Как найти разность арифметической прогрессии + формула?

Запишите формулу п-го члена арифметической прогрессии.

Является ли заданная последовательность арифметической прогрессией, почему?

Выразите через а₁ и d: а₈, а₃₃, а₁₀₀.

Найдите а₅, если а₁=4 и d=7. (32)

Найдите а₁₂, если а₁₁=20 и а₁₃=30. (25)

Самопроверка знаний

Математический диктант (с самопроверкой) на карточках проводится в виде теста, как подготовка к итоговой аттестации в новой форме.

1 вариант

1. Первый член арифметической прогрессии 2, разность 4. Укажите ее третий член.

А. 12 Б. 10 В. 8 Г. 14

2. Первый член арифметической прогрессии 5, второй 8. Укажите четвертый член.

А. 13 Б. 16 В. 14 Г. 11

3. Какое из чисел является членом арифметической прогрессии 2; 7; 12; .

А. 21 Б. 22 В. 26 Г. 25

4. (: - 4; -1: - арифметическая прогрессия. Число 5 является членом данной арифметической прогрессии. Определите его номер.

А. 4 Б. 5 В. 3 Г. 6

А. 13 Б. 10 В. 12 Г. 11

6. Какая из следующих последовательностей может являться арифметической прогрессией?

А. 2; 4; 8; 16; Б. -5; 5; -5; 5; В. 1; 3; 5; 7; Г. 1; 4; 9; 16;

2 вариант

1. Первый член арифметической прогрессии 1, разность 3. Укажите ее третий член.

А. 9 Б. 6 В. 8 Г. 7

2. Первый член арифметической прогрессии 3, второй 7. Укажите четвертый член.

А. 15 Б. 16 В. 14 Г. 13

3. Какое из чисел является членом арифметической прогрессии 4; 10; 16; ?

А. 27 Б. 28 В. 29 Г. 30

4.: - 6; -2: - арифметическая прогрессия. Число 6 является членом данной арифметической прогрессии. Определите его номер.

А. 5 Б. 6 В. 3 Г. 4

А. 9 Б. 10 В. 11 Г. 12

6. Какая из следующих последовательностей может являться арифметической прогрессией?

А. 1; 4; 9; 16; Б. 3; -3; 3; -3; В. 5; 3; 1; -1; -3; Г. 1; 8; 27; 64;

3 вариант

1. Первый член арифметической прогрессии 5, разность 4. Укажите ее третий член.

А. 12 Б. 11 В. 13 Г. 14

2. Первый член арифметической прогрессии 6, второй 3. Укажите четвертый член.

А. -3 Б. -2 В. -1 Г. 1

3. Какое из чисел является членом арифметической прогрессии 7; 11; 15; ?

А. 37 Б. 34 В. 36 Г. 35

4.: - 8; -5; - арифметическая прогрессия. Число 4 является членом данной арифметической прогрессии. Определите его номер.

А. 4 Б. 5 В. 3 Г. 6

5. Между числами 9 и 17 вставьте такое число, чтобы полученная последовательность чисел образовала арифметическую прогрессию.

А. 11 Б. 12 В. 13 Г. 14

6. Какая из следующих последовательностей может являться арифметической прогрессией?

А. 2; 4; 8; 16; Б. -6; 6; -6; 6; В. 1; 2; 4; 7; Г. 4; 1; -2; -5;

4 вариант

1. Первый член арифметической прогрессии 3, разность 5. Укажите ее третий член.

А. 13 Б. 12 В. 11 Г. 10

2. Первый член арифметической прогрессии 4, второй 1. Укажите четвертый член.

А. -3 Б. -4 В. -5 Г. -6

3. Какое из чисел является членом арифметической прогрессии 3; 8; 13; ?

А. 38 Б. 37 В. 36 Г. 35

4. : - 7; -3: - арифметическая прогрессия. Число 9 является членом данной арифметической прогрессии. Определите его номер.

А. 4 Б. 6 В. 3 Г. 5

5. Между числами 7 и 15 вставьте такое число, чтобы полученная последовательность чисел образовала арифметическую прогрессию.

А. 10 Б. 11 В. 12 Г. 13

6. Какая из следующих последовательностей может являться арифметической прогрессией?

А. -2; 2; -2; 2; Б. 5; 2; -1; -4; В. 5; 3; 0; -4; Г. 1; 8; 14; 19;

Фамилия ______________ Вариант ___

Самопроверка осуществляется с помощью мультимедийного проектора.

Ответы к математическому диктанту:

Итак, ребята, мы повторили необходимый материал и переходим к изучению новой темы.

Открыли тетради и записали сегодняшнее число и тему урока.

4. Исторический момент. Объяснение нового материала.

На проекторе высвечивается фотография, где дети считают сумму ….

Историческая справка о К.Гауссе (индивидуальное домашнее задание ученика).
Гаусс Карл Фридрих (30.04.1777 - 23.02.1855)

Гаусс Карл Фридрих - знаменитый немецкий математик родился 30 апреля 1777 г. Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг.

Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. Около трех лет от роду он уже умел считать и выполнять элементарные вычисления. Однажды, при расчетах своего отца, который был водопроводным мастером, его трехлетний сын заметил ошибку в вычислениях. Расчет был проверен, и число, указанное мальчиком было верно.

Известна ещё одна интересная история о Карле Гауссе. В 7 лет, как и еще сотня таки же мальчиков, он поступил в школу. Поскольку в ней обучались начинающие, никто из мальчиков не слышал об арифметической прогрессии. Учитель дал детям длинную задачу на сложение первых ста натуральных чисел, ответ которой он сам мог найти по формуле за несколько секунд. Через минуту Карл уже решил задачу. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат 50×101=5050. Остальные дети пыхтели над задачей целый час. Ему никто не показывал способ решения данного задания и для ребенка найти этот способ мгновенно не так уж и просто. Это открыло Гауссу дверь в науку, через которую он пошел к бессмертию.

До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме. Свободно владея множеством языков, Гаусс некоторое время колебался в выборе между филологией и математикой, но предпочёл последнюю. Ему принадлежат формулировка и доказательства множества свойств и теорем математики. Он очень любил латинский язык и значительную часть своих трудов написал на латыни; любил английскую, французскую и русскую литературу. В возрасте 62 года Гаусс начал изучать русский язык, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского, и вполне преуспел в этом деле. Современники вспоминают Гаусса как жизнерадостного, дружелюбного человека, с отличным чувством юмора…

Среди ученых Карл Гаусс носит имя "Король математики".

Итак, ребята сейчас мы с вами запишем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Подставим вместо его формулу и получим: S _n = • n

5. Тренировочные упражнения-закрепления.

1) S₂₄ = • 24= 71 •12 =852.

a ₁ = 3; d = a ₂ – a ₁ = 3; S _n = •n

S ₁₈ = •18 S ₁₈ = (6 + 51) • 9 S ₁₈ =513.

а) -23; -20;… Ответ: (-100) б) 14,2; 9,6;… Ответ: (-15,2)

Показать практическую направленность изучения темы, связанной с различными сферами деятельности человека.

- Могут ли полученные знания, изученные формулы по данной теме пригодится ещё в каких-то других областях, кроме математики?

- Да, могут, например, в физике, медицине, быту и т.д.

- И сегодня на уроке мы с вами продолжаем решать задачи по теме "Арифметическая прогрессия", но с учетом практического их применения в различных областях жизни.

Задача №1. Два практиканта должны выложить плиткой 204 м 2 . Приобретая опыт, практиканты каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м 2 больше, чем в предыдущий. И запасов плитки им хватит ровно на 7 дней. Планируя, что производительность труда будет увеличиваться таким же образом, мастер определил, что для завершения работы им понадобиться еще 5 дней. Сколько м 2 плитки они уложили в первый день?

Дано: арифметическая прогрессия: d = 2 м 2 , п=7дн + 5дн, S_п = 204 м 2 .

Пусть а₁(м 2 ) - выложили в первый день, a₂= a₁ + d - выложили во второй день.

Всего дней п=7дн + 5дн = 12 дней, S₁₂ -?

204 = (2 а₁ + 22)6 2 а₁ = 12 а₁ = 6

Дано: арифметическая прогрессия: а₁ = 650 руб, d = 50 руб, n = 10 месяцев,

Решение:

Дано: арифметическая прогрессия: а₁ = 5, а₂ = 7; а₃ = 9;.. S _n = 60,

Решение: d = a ₂ – a ₁ = 2 ,

= 5 + 2(6-1) = 15

С такими задачами, ребята, вам придется сталкиваться не только в жизни, но и на экзамене и в 9 классе, и в 11 классе на ЕГЭ (часть В). Чтобы набрать большее количество баллов нужно уметь их решать.

6. Выставление оценок. Домашнее задание:

П. 17, № 371; № 373; № 383

7. Рефлексия. Тест.

8. Итог урока: Закончить наш урок я хочу словами великого учёного Фалеса:

предметные - познакомить обучающихся с формулами нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии; информировать обучающихся об истории возникновения и бывшего названия суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

личностные - развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся на уроке посредством анализа арифметической прогрессии, вывода формул; с помощью решения задач исследовательского характера и самостоятельного вывода учащимися формул, развивать интеллектуальные качества личности школьников такие, как самостоятельность, гибкость, способность к оценочным действиям, обобщению.

метапредметные - прививать учащимся интерес к предмету посредствам применения информационных технологий (с использованием компьютера), решения исторических задач; формировать умения аккуратно и грамотно выполнять математические записи.

Содержимое разработки

Разработка урока алгебры в 9 классе по теме:

учителя математики Сысоева А.Н.

Тип урока: ОНЗ.

Цели урока:

предметные - познакомить обучающихся с формулами нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии; информировать обучающихся об истории возникновения и бывшего названия суммы
n-первых членов арифметической прогрессии.

Оборудование: компьютер, проектор, экран.

Раздаточный материал: чистые листы, таблицы, листочки для рефлексии.

Ход урока:

1. Мотивация к учебной деятельности

1) включение учащихся в учебную деятельность;

2) организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок: арифметическая прогрессия;

3) создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность.

Считать несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового, ничего не прибавил к своему образованию. Ян Амос Коменский

(чешский педагог, живший в 17 веке)

Я хочу, чтобы этот час, который длится урок, стал для вас счастливым, принес много открытий, опыта и хорошего настроения.

С каким особым видом числовой последовательности познакомились? (С арифметической прогрессией).

Что мы научились находить в арифметической прогрессии?(n-ый член арифметической прогрессии по формуле).

А вы можете сказать, что знаете всё об арифметической прогрессии? (Нет)

Тогда вас ждут новые открытия в мире последовательностей.

Как вы выясняете, что не знаете? (Повторяем необходимое, подводим итог повторения, работаем с пробным заданием, если оно не получается, фиксируем своё затруднение, находим место и причину затруднения.)

Что вы сейчас повторили? (Шаги учебной деятельности.)

А если у вас пробное задание получилось, можно сказать, что находитесь в учебной деятельности? (Нет, так как в учебной деятельности мы должны выяснить, что не знаем, и найти способ, чтобы это узнать.)

А если вы сами определяете, что вы не знаете, находите способ, чтобы снять затруднение, какая же функция будет у меня? (Организовывать нашу работу и помогать.)

Чему вы ещё учитесь на уроках? (Учимся учиться.)

- Молодцы! В добрый путь!

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном учебном действии.

1) организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания: нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии ;

2) зафиксировать актуализированные способы действий в речи;

4) организовать обобщение актуализированных способов действий;

5) организовать актуализацию мыслительных операций, достаточных для построения нового знания: анализ, сравнение, обобщение;

6) мотивировать к выполнению пробного действия;

7) организовать самостоятельное выполнение пробного учебного действия;

8) организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении учащимися пробного учебного действия или в его обосновании.

7) зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний.

А теперь давайте проверим, насколько вы готовы двигаться дальше. Учащимся предлагается выполнить следующие задания с последующей самооценкой:

Являются ли арифметическими прогрессиями следующие последовательности чисел:

г) 1; 2; 22; 23; 43; 44; …

Выписать первые пять членов последовательности (с_n), если с₁ = 3, с_n₊₁ = с_n + 4.

Дана последовательность чисел (х_п): 1,4, 7, 10, 13, 16, …. Назовите третий, пятый, первый, восьмой, шестой члены последовательности.

Последовательность задана первыми членами: 1,5,9… Задайте формулу общего вида.

Последовательность (а_n), задана формулой а_n = 2n + 3. Является ли членом последовательности число 9?

Сверьте свои решения с эталоном.

Что вы сейчас повторили и узнали? (Мы повторили понятие арифметической прогрессии, рекуррентную формулу, формулу n-го члена)

Какое следующее задание я вам предложу? (Задание для пробного действия.)

С какой целью вам предлагается пробное задание? (Чтобы понять, что нового сегодня будет на уроке.)

Перенесемся в мир Древнего Египта, страны великих достижений человеческой мысли, великих астрономов и математиков. На этом слайде мы видим, как создавалась пирамида. Египетские пирамиды были построены благодаря не только упорному труду, но и математической мысли. Достижения Египетских математиков непостижимы не только по своему совершенству, но и по точности математических расчетов.

Математические правила, нужные для земледелия, астрономии и строительных работ, древние египтяне записывали их на стенах храмов или на папирусах. Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст – это папирус писца 18–17 веков до нашей эры Ахмеса. Он имеет размер 5,25 м на 33 см, содержит 84 задачи. Когда его расшифровали, то узнали такую вещь.

a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 3, …, а сумма этих камушков образует треугольное число

Обозначим его S_n = 1+2+3+4+…+ n. Где n – это n-й член этой последовательности. И в зависимости от количества членов можно находить любое треугольное число. А какая у нас получилась последовательность? (Арифметическая прогрессия)

Что же такое треугольное число? Это и есть сумма n-первых членов арифметической прогрессии. В современной математике нет такого понятия, как треугольное число, в современной науке его называют сумма n-первых членов арифметической прогрессии.

Сформулируйте тему урока. (Сумма n-первых членов арифметической прогрессии).

Так мы и назовем тему нашего урока. Запишите ее в тетради.

Учитель объявляет цель урока. На этом уроке мы с вами будем выводить формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии и рассмотрим некоторое их применение к практическим задачам.

Пробное задание

Обучающиеся записывают условие задачи в тетрадь.

Давайте определимся. Пусть членов этой последовательности будет 100.

Нужно найти сотое треугольное число или, другими словами, сумму n-первых членов арифметической прогрессии: S ₁₀₀= 1+2+3+4+…+100.

Что вы теперь будете делать с этим заданием? (Мы попробуем выполнить его.)

С какой целью вы будете пробовать? (С целью понять, где у нас затруднение, а может быть найти способ для выполнения задания.)

На работу отводится 1 минута.

После истечения времени.

Удалось вам выполнить задание?

Могут быть разные ответы.

У кого нет ответа?

Сформулируйте своё затруднение.

Могут быть ответы, что не успели найти значение выражения.

У кого есть результат, покажите.

Некоторые ответы фиксируются на доске.

Сформулируйте затруднение. (Мы не смогли найти значения выражения.)

Вариант второй: учитель фиксирует, что есть правильные ответы.

Вы можете доказать, что вы правильно выполнили задание, т.е. вы можете предъявить правило нахождения сумму n-первых членов арифметической прогрессии? (Нет.)

- Вы хотите разобраться, почему так произошло? (Да.)

3. Выявление места и причины затруднения

1) организовать восстановление выполненных операций;

2) организовать фиксацию места (шага, операции), где возникло затруднение;

3) организовать соотнесение своих действий с используемыми эталонами (алгоритмом, понятием и т.д.);

4) на этой основе организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний, умений или способностей, которых недостает для решения исходной задачи и задач такого класса или типа вообще.

– Что вы должны были сделать? (Найти значение выражения.)

- Как вы действовали? (…)

– Почему не всем удалось выполнить задание? (У нас нет быстрого, простого способа нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии )

Могут быть ответы: мало времени было отведено на выполнения этого задания; не знают, как доказать правильность своего решения.

4. Построение проекта выхода из затруднения

организовать построение проекта выхода из затруднения:

- учащиеся ставят цель проекта (целью всегда является устранение причины возникшего затруднения);

- учащиеся уточняют и согласовывают тему урока;

- учащиеся определяют средства (алгоритмы, модели, справочники и т.д.);

-учащиеся формулируют шаги, которые необходимо сделать для реализации поставленной цели.

- Уточните цель своей деятельности. (Надо составить алгоритм, вывести формулу, с помощью которой, быстрее можно выполнить задание.)

- Чем же можно воспользоваться, чтобы упростить вычисления? (Переместительным, сочетательным, распределительным законами сложения чисел)

1) организовать реализацию построенного проекта в соответствии с планом;

2) организовать фиксацию нового способа действия в речи;

3) организовать фиксацию нового способа действия в знаках (с помощью эталона);

4) организовать фиксацию преодоления затруднения;

5) организовать уточнение общего характера нового знания (возможность применения нового способа действий для решения всех заданий данного типа).

Организация учебного процесса на этапе 5:

- Сегодня вы будете работать в группах. На выполнение 3 минуты. После выполнения, группы представляют результат работы.

Одна из групп по желанию выставляет свою версию на доске с помощью магнитов или скотча, и обосновывает её. Остальные группы работают на дополнение и уточнение.

Задача учителя на данном этапе – организовать согласование всех полученных версий. После этого он выставляет собственный вариант и учащиеся сравнивают его со своими версиями.

Результатом работы групп, должен быть получен алгоритм и значение выражения, найденных с помощью нового способа действий.

Можно также провести фронтальную беседу.

Может быть, вам эта задача кажется не такой уж и легкой, но эта задача уже однажды была решена, причем 9-ти летним мальчиком.

организовать усвоение детьми нового способа действий при решении данного класса задач с их проговариванием во внешней речи: фронтально.

Найдите сумму десяти первых четных чисел натурального ряда.

Является ли данная последовательность арифметической прогрессией? (Да)

Назовите первый член и разность этой арифметической прогрессии. (2; 2)

Известен ли последний член этой арифметической прогрессии? (Нет)

Какой формулой удобнее воспользоваться? (Второй формулой)

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

1) организовать самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действия;

2) организовать соотнесение работы с эталоном для самопроверки (в случае, когда учащиеся начинают осваивать процедуру грамотного самоконтроля возможно соотнесение работы с подробным образцом);

3) организовать вербальное сопоставление работы с эталоном для самопроверки*

(в случае, когда способ действия состоит из нескольких шагов – организация пошаговой проверки);

4) по результатам выполнения самостоятельной работы организовать рефлексию деятельности по применению нового способа действия.

* В случае, когда учащиеся начинают осваивать процедуру грамотного самоконтроля возможно вербальное сопоставление работы с подробным образцом.

Выполните самостоятельно: Найдите сумму пятидесяти первых нечетных чисел натурального ряда.

Учащиеся сверяют работу по эталону для самопроверки.

Проводится анализ и коррекция ошибок. Желательно, что бы дети, допустившие ошибки объяснили причину, по которой они не правильно выполнили задание.

В каком месте была допущена ошибка?

Почему у вас возникли затруднения?

8. Включение в систему знаний и повторение

Задача 1. Рабочий выложил плитку следующим образом: в первом ряду - 3 плитки, во втором - 5 плиток и т.д., увеличивая каждый ряд на 2 плитки. Сколько плиток понадобиться для 7 рядов?

a₁=3, d=2,

Ответ: 63 плитки.

Задача 2. За 16 дней Карл украл у Клары 472 коралла. Каждый день он крал на три коралла больше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов Карл украл в последний день?

a₁=7, a₁₆=7+15*3=52

Ответ: 52 коралла.

Задача 3. Том Сойер красил забор длиной 105 м, причем день за днем количество выкрашенного за день уменьшалось на одну и ту же величину. За сколько дней был выкрашен забор, если за первые три дня Том выкрасил 36 м забора, а за последние три дня – 27 м?

Обозначим через n искомое количество дней, а через количество (в метрах) выкрашенного в k-ый день. Тогда – арифметическая прогрессия, в которой

, ,

Ответ: 10 дней.

Задача 4. За изготовление и установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 26 у.е., а за каждое следующее кольцо платили на 2 у.е. меньше, чем за предыдущее. Кроме того в конце работы заплатили еще 40 у.е.. Сколько колец в колодце, если потом выяснили, что средняя стоимость одного кольца оказалась у.е?

Какое новое число вы открыли сегодня? (Треугольное число или сумму n-первых членов арифметической прогрессии)

Какие формулы вывели?

Эти формулы подходят для любой числовой последовательности?

Какой формулой, когда пользоваться удобнее?

Домашнее задание:

Выучить формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии. Придумать задачи на применение каждой формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии

-75%

Читайте также: