Синус и косинус конспект урока 10 класс

Обновлено: 02.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Конспект урока по алгебре и начала математического анализа для учащихся 10 класса

-Ввести для учащихся понятия синуса и косинуса угла ;

-Научить решать простейшие тригонометрические уравнения с использованием данных понятий.

показать важность и необходимость изучения данной темы для учащихся;

дать учащимся определение понятий косинус угла и синуса угла ;

познакомить учащихся с таблицей знаков sin t и cos t по четвертям числовой окружности;

ввести для учащихся основное тригонометрическое тождество;

разобрать с учащимися простейшие примеры решения тригонометрических уравнений;

1. Организационный момент (2 минута)
2. Актуализация знаний (3 минут)
3. Изучение нового материала (12 минут)
4. Закрепление изученного материала (25 минут)
5. Подведение итогов (2 минуты)
6. Домашнее задание (1 минута)

1. Организационный момент :

-Проверка готовности учащихся к уроку;

-Добиться организованного начала урока.

2. Актуализация знаний.
Учитель: Повторение изученного материала.

- Чему равны координаты числа π/2?

- Чему равны координаты точки π?

- Чему равны координаты числа 7π/6?

= Чему равны координаты числа 5π/4?

3. Изучение нового материала.

В курсе геометрии были введены понятия синуса и косинуса угла, выраженного в градусах. Этот угол рассматривался в промежутке от 0° до 180°.

Рассмотрим единичную окружность на координатной плоскости. Выберем на ней произвольный угол t , которому будет соответствовать единственная точка на числовой окружности М с координатами (х; у). Координату х назовем косинусом угла t , а координату y назовем синусом угла t .

Учитель: Тогда синус и косинус произвольного угла определяется следующим образом:

Если точка М числовой окружности соответствует углу t , то абсциссу точки М называют косинусом угла t и обозначают cos t , а ординату точки М называют синусом угла t и обозначают sin t .

Рассмотрим конкретный пример. Давайте найдем координаты точки М если она будет равна . По только что данному определению мы теперь знаем, что косинус угла это абсцисса этой точки, а синус угла это ордината точки.

На предыдущем уроке мы так же отметили что для любой точки M ( x ; y ) числовой окружности выполняются неравенства ; . Отсюда мы получаем, что

Что бы знать знаки синуса угла t и косинуса угла t , которые нам понадобятся в дальнейшем при решении задач, давайте составим следующую таблицу.

Если точка лежит в первой четверти, то по рисунку мы видим что координаты , а мы теперь знаем, что x это COS t ,а y это SIN t , тогда значит, что .

Если точка лежит во второй четверти, то по рисунку видим что , тогда

Если точка лежит в третьей четверти, то по рисунку видно, что , значит

И в четвертой четверти мы получаем, что .

Учитель : Мы знаем, что x = cos t ; y = sin t значит это основное тригонометрическое тождество.

На предыдущем уроке мы заостряли внимание на том, как важно научиться отыскивать координаты некоторых точек числовой окружности. А так как мы теперь знаем что x это cos t , а y это sin t , то мы можем составить таблицу часто встречаемых значений sin t и cos t .

(На слайде выводится таблица, которую предстоит заполнить)

Запись в тетрадях:

Учитель: Мы теперь с вами знаем, что косинус угла это абсцисса, а синус угла это ордината, тогда чему будут равны синус 0° и косинус 0°?

Ученик: Синус 0° будет равен 0, а косинус 0° будет равен 1.

( Далее таблица заполняется аналогично)

Запись в тетради:

4. Закрепление первичного материала
Учитель: А теперь давайте вычислим cos t ; sin t если: ( №13.3 а,б)

Аналогично с синусом угла, мы можем отбросить 2π и получаем, что , а это табличное значение которое равно ½

Запись на доске и в тетради :
=

=
(Следующий пример решается аналогично.)

Запись на доске и в тетради:

=
Учитель: решить уравнение =

Ученик: Для первого угла формула будет выглядеть следующим образом t ₁ =0 + 2π k и для второго угла такая t ₂ =π+2π k .

Объединить эти решения и получим:

Учитель: решить уравнения =

Запись на доске в тетради:

, k Z
Учитель: Следующий номер 13.4.(а,б). Для решения этого номера нам понадобятся свойства синуса и косинуса, которые мы с вами изучили.

Ученик: Так как мы теперь знаем свойство, что знак у аргумента синуса выносится вперед, то мы можем записать, что . так и остается. А у косинуса только что по изученному свойству минус можно убрать, тогда . Тогда мы получаем следующее выражение +, а мы знаем что , , а , таким образом мы получаем

5.Домашнее задание
П. 13 – выучить знаки и значения синуса и косинуса угла, и номера 13.1.,13.4.(в, г),13.5.(а) Спасибо за урок.

Синус угла– ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол .

Обозначается

Косинус угла – абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол .

Обозначается

Тангенс угла – отношение синуса угла к его косинусу.

Обозначается tg

Котангенс угла отношение косинуса угла к его синусу.

Обозначается сtg

На единичной окружности касательная, проведенная к точке (1; 0) называется линией тангенсов.

Касательная, проведенная к точке (0; 1) - линия котангенсов.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Историческая справка

Несмотря на то, что тригонометрия зародилась в древние времена, сегодня она охватывает практически все естественные науки и технику.

Актуализация знаний

1.Найдите координаты точек А, В, С и D, лежащих на единичной окружности (рис. 1)

Рисунок 1 – единичная окружность

Поставьте в соответствие точке её координаты

Ответ: А(1; 0); В(0; 1); С(-1; 0); D(0; -1)

Сегодня на уроке мы узнаем, как по-другому называются абсцисса и ордината точки, лежащей на единичной окружности.

1.Рассмотрим окружность радиуса, равного 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют

единичной или тригонометрической.

Рисунок 2 – точка Р на единичной окружности

Точка Р (1; 0) при повороте вокруг начала координат на угол переместилась в точку Рₐ. Определим её координаты. (рис. 2).

Определения.

Синусом угла называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол.

Обозначается

Косинусом угланазывается абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол .

Обозначается

Угол может выражаться и в градусах и в радианах.

Точка А(1; 0) при повороте на угол 90 (рис. 1)

Ордината точки В равна 1, значит или

Абсцисса точки В равна 0, значит

Точка А(1; 0) при повороте на угол переместилась в точку ( рис. 1)

Найдите и

Ответ: = 0;

Точка А(1; 0) при повороте на угол переместилась в точку (рис. 1)

Найдите и

Ответ: =1= 0.

Рассмотрим ещё два понятия.

Определение. Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу.

Обозначается tg

tg,

Найти tg 0. Вычислим по формуле tg = = 0.

Определение. Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу.

Обозначается сtg

сtg

Найти сtg .

Вычислим по формуле сtg =

2. Меру угла(в радианах) можно рассматривать как действительное число, поэтому и – это числовые выражения. А так как каждая точка единичной окружности имеет координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1 ≤ х ≤ 1; -1 ≤ у ≤ 1,то синус и косинус не могут превышать значения, больше .

Чтобы решить уравнения = а, нужно считать х неизвестным, число а – заданным.

Найдем точку с ординатой 1 и запишем, каким числам х она соответствует. На окружности мы видим эту точку: В (0; 1). Она соответствуют числу и всем числам вида

Решением уравнения = 1 являются х =.

3. Полезно знать синусы, косинусы, тангенсы некоторых углов. Для этого рассмотрим дугу единичной окружности в I четверти координатной плоскости (рис. 3).

Рисунок 3 – 1 четверть единичной окружности

Точки А (1; 0) и В (0; 1) нам знакомы. Рассмотрим ещё несколько точек на окружности и найдем их координаты. Точка С является серединой дуги АВ, значит угол АОС равен половине прямого угла, 45 или . Ордината точки С равна её абсциссе. Их значения нетрудно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ОСF, оно равно А значит,

tg 45

Дуга АМ составляет третью часть прямого угла, . Ордината точки М равна , значит

, tg30.

Дуга АNсоставляет прямого угла, . Абсцисса точки N равна , поэтому

, tg 60.

Чтобы легче запомнить эти значения, придумали мнемоническое правило- правило на ладони (рис. 4).

Рисунок 4 - мнемоническое правило- правило на ладони

Расположим ладонь так, как на рисунке, пусть мизинцу соответствует угол 0, следующим пальцам– 30, 45, 60 и 90. Так же присвоим им номера: мизинец №0, следующие №1, №2, №3, №4. Чтобы найти синус, используем формулу: =. А для косинуса нумерацию будем вести от большого пальца, выполняя вычисления по той же формуле. =.

Например, =, = = .

А тангенс можно вычислить по формуле: tg = .

Тангенсы и котангенсы, также как и синусы, косинусы, можно определить по единичной окружности. Для этого познакомимся с ещё одним понятием.

На единичной окружности касательная, проведенная к точке (1; 0) называется линией тангенсов. Касательная, проведенная к точке (0; 1) - линия котангенсов (рис. 5).

Рисунок 5 – линия тангенсов и линия котангенсов

Например, чтобы найти tg, находим пересечение радиус-вектора под углом с линией тангеса. Это число , или .

Чтобы найти ctg , радиус-вектор под углом должен пересечь линию котангенсов.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Синусом угла является ордината точки, поэтому значения синусов находим по оси Оу.

Найдем точки А (1; 0) и С (-1; 0) с ординатой 0 и запишем, каким числам х они соответствуют. Они соответствуют числам 0 (точка А), (точка С), 2

Решением уравнения = 0 являются х =.

Z- множество целых чисел.

Решить уравнение=1.

Найдем точки с абсциссой 1 и запишем, каким числам х они соответствуют. На рис.3 мы видим эту точку: А (1; 0) Она соответствуют числу и всем числам вида

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, ноутбук, самокопирующиеся листы для проведения математического диктант, карточки с домашними заданиями.

I. Организационный момент

1. Математический диктант.
2. Просмотр презентации.
3. Объяснение нового материала.
4. Решение заданий из учебника.
5. Самостоятельная работа с последующей проверкой.
6. Итоги урока.

II. Математический диктант

В каких единицах измеряется угол поворота единичного радиуса?

Сколько градусов в одном радиане?

– угол второй четверти. Определите знак sin.

Определите знак числа .

Выразите в градусах .

Что больше sin30 о или sin60 о ?

Определите знак произведения: .

III. История тригонометрии

– На прошлом уроке мы с вами узнали историю тригонометрических терминов. Сегодня на уроке мы проследим историю развития тригонометрии.

Учащиеся заранее готовят показ презентации на экране с комментариями. (Приложение 2 и Приложение 3)Во время презентации ученики внимательно слушают выступление своего одноклассника и делаете краткие записи по ходу выступления.

IV. Объяснение нового материала

Урок позволит обучить учащихся вычислению значений синуса, косинуса, тангенса отрицательных углов и вычислению их значений для положительных углов.

Описание разработки

Цель:

обучение сведению вычислений значений синуса, косинуса, тангенса отрицательных углов к вычислению их значений для положительных углов.

Ход урока.

На обратной стороне доски 2 человека выполняют задания. Учащиеся на рабочую тетрадь накладывают копировальную бумагу, сверху кладут контрольный лист.

I. Математический диктант (читать дважды).

1. Найдите координаты точки, полученной поворотом точки Р(1;0) на угол π/3 π/4

2. Найдите координаты точки, полученной поворотом точки Р(1;0) на угол π/2 π

sin (π/3), cos (π/3) cos (π/4), sin (π/4)

4. Укажите координаты точки М₁, симметричной точке М относительно оси ОХ, если М(1;2) М (2;1)

Сдайте контрольные листы.

Кто согласен с ответом, поднимите левую руку, кто не согласен – правую.

Поднимите руку у кого 5, у кого 4 (оценки выставляются в журнал).

II. Изучение нового материала.

Рассмотрим точки М₁ и М₂ единичной окружности, которые получены поворотом Р(1;0) на α и –α радиан. Ось ОХ делит угол М₁ОМ₂ пополам.

Вопрос: Что можно сказать об отрезке М₁М₂ и прямой ОР?

Ответ: М₁М₂ перпендикулярно ОР. Т. к. ОА – биссектриса равнобедренного треугольника М₁ОМ₂, отсюда ОА – высота треугольника М₁ОМ₂, ОА перпендикулярно М₁М_2.

Вопрос: Каково взаимное расположение точек М₁ и М₂?

Читайте также: