Решение неравенств методом интервалов план конспект
Обновлено: 03.07.2024
Загрузить презентацию (303 кБ)
Цели урока:
- Образовательная: учить решать неравенств вида , , , методом интервалов.
- Развивающая: развивать критичность мышления, умение оценивать результат своей деятельности с поставленными задачами, развивать внимательность.
- Воспитательная: прививать учащимся навыки самостоятельности в работе, самоконтроля своей деятельности, воспитывать дисциплинированность, собранность, высокую работоспособность.
Тип урока: комбинированный урок.
Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, практический, частично-поисковый.
Формы обучения: коллективная, самостоятельная.
Технология: личностно-ориентированная.
Оборудование: компьютер, проектор.
Ход урока
(Слайд 1, 2)
«Ребята, вы уже умеете решать неравенства методом интервалов. Сегодня вы научитесь решать методом интервалов неравенства вида , , , .
Один ученик выходит к доске и готовится.
II. Актуализация опорных знаний.
(Слайд 3, 4)
Разложить на множители.
а) x 2 − 16, б) x 2 − 121, в) 3x − 48, г) 6x + 8x 2 , д) x 2 − 5x + 6, е) x 2 + 7x + 10.
III. Ознакомление с новым материалом.
Отвечает ученик, готовившийся у доски:
,
(x − 7)(x + 2)>0. Нули функции y = (x − 7)(x + 2): x = 7, x = −2.
Учащиеся отвечают, что нет, так как число –2 является решением второго неравенства, но не является решением первого неравенства.
(x − 7)(x + 2)≥0. Нули функции y = (x − 7)(x + 2): x = 7, x = − 2
Таким образом, строгие рациональные неравенства решаются переходом к равносильному неравенству, а не строгие ― переходом к системе, в которой нужно исключить значения переменной, при которой знаменатель обращается в нуль. (Слайд 7)
IV. Закрепление полученных знаний.
1. Решить неравенство .
Один ученик решает у доски, остальные учащиеся записывают решение в тетрадь.
(x − 2)(x + 6)≤0. Нули функции y = (x − 2)(x + 6): x = 2, x = −6.
2. Решить неравенство.
Нули функции y = (x + 4)(x + 5)(x − 3): x = −5, x = −4, x = 3.
V. Первичная проверка понимания знаний.
Тест по вариантам (см. Приложение 1). Учащиеся записывают ответы теста на двух листах, один лист сдают учителю, другой лист оставляют у себя для проверки. По истечении времени, отведенного на тест, учащимся предлагаются ответы для самоконтроля.
VI. Самостоятельная работа или коррекция знаний. (Слайд 10)
Учащиеся, справившиеся с тестом, получают задание для самостоятельной работы (см. Приложение 1). Не справившиеся с тестом учащиеся, работают вместе с учителем ― у доски решаются неравенства.
Ответы самостоятельной работы учащиеся также выписывают на отдельном листе, который оставляют у себя, а работы сдают учителю для проверки. После сдачи работ учителю, учащиеся получают ответы для самоконтроля.
VIII. Итог урока.
- Итак, какие неравенства вы научились сегодня решать?
- Как решаются такие неравенства?
Домашнее задание: П9, №202, №2. .
Если осталось время урока, то учащимся можно предложить слайд с шутками на тему математики. (Слайд 12)
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Деятельностная цель: формирование умений применением метода интервалов при решении простейших неравенств с кратными корнями.
Содержательная цель: расширение знаний учащихся и рассмотреть применение метода интервалов для решения неравенств различных типов.
Задачи урока:
1. Сформировать у школьников мотивацию к изучению данной темы.
2. Формировать умения применять полученные знания на практике, в новых условиях;
3.Содействовать развитию познавательного интереса к предмету, внимания, памяти;
Оборудование и материалы : компьютер, проектор, экран, презентация
для сопровождения занятия, раздаточный материал для учащихся.
I.Организационный момент
- У себя на столах вы можете найти вспомогательные материалы для работы.
- Итак, начнем наше путешествие: вам необходимо пройти регистрацию и ознакомиться с проблемными вопросами, решением которых мы будем заниматься в ходе нашего путешествия
- Приготовьте свои посадочные карточки. Листы оценивания .
2. Устная работа
1) Разложение на множители квадратного трехчлена х 2 + 6х + 9 имеет вид:
2) Корнями уравнения (х – 2)(х + 10) = 0, являются:
3) Изображение на координатной прямой корней уравнения (х + 2)(х – 7) = 0
1) Разложение на множители квадратного трехчлена х 2 – 8х + 16 имеет вид:
2) Конями уравнения (х + 2)(х – 5) = 0, являются:
3) Изображение на координатной прямой корней уравнения (х – 4)(х – 11) = 0:
Ответы: І вариант все б); ІІ вариант все в).
Ребята обмениваются регистрационными карточками, проверяют их, производят оценивание: за каждый правильный ответ на вопросы теста по 1 баллу (всего 3 балла).
2 этап: Изучение нового материала.
Фронтальная работа с классом.
Учитель: Перед нами стоит задача. Надо р ешить неравенство (х – 4) (х + 1)>0.
Учитель: Когда произведение двух выражений положительно?
Уч-ся: Если оба сомножителя одновременно положительны или одновременно отрицательны. Значит, нужно решить две системы неравенств:
Два ученика у доски, остальные самостоятельно.
- Решением первой системы будет промежуток (4; +∞), а решением второй – промежуток (-∞; -1). Таким образом, получаем, что решением исходного неравенства будет объединение этих промежутков, то есть x ∈ (-∞; -1) ∪ (4; +∞).
Учитель: Приемлем ли такой способ решения неравенств подобного вида?
Учитель: А если нам потребуется решить неравенство (x + 5)(x + 4)(x – 5)
А для этого неравенства такой способ решения удобен?
Учитель: Итак, для решения второго неравенства необходимо искать другой способ.
Учитель: Назовите нули функции
Уч-ся: Нули функции: х 1 = -5, х 2 = -4, х 3 = 5.
Учитель: Отметим их на координатном луче. - + - +
Что они сделали с областью определения
Уч-ся: Они разбили область определения на промежутки (-∞; -5); (-5;-4); (-4;5); (5; +∞).
Учитель: Выясним, каковы знаки функции в каждом из указанных промежутков. Для этого возьмем число из промежутка и подставим в неравенство.
Мы видим, что в каждом из промежутков (-∞; -5); (-5;-4); (-4;5); (5; +∞) функция сохраняет знак, а при переходе через точки -5, -4, 5 её знак изменяется.
Учитель: Итак, мы рассмотрели два метода решения неравенств. Какой метод более рациональный?
Уч-ся: Метод интервалов .
Сформулируйте тему нашего урока:
Метод интервалов при решении неравенств с кратными корнями
- Как вы думаете какие цели мы будем ставить в ходе нашего путешествия.
- Научиться решать неравенства новым методом; расширить математический кругозор; учиться работать самостоятельно и в группе; проконтролировать уровень усвоения темы.
Учитель: Давайте попытаемся обобщить последний метод решения неравенств с одной переменной.
Алгоритм решения неравенств
методом интервалов
Пусть требуется решить неравенство
а(х - х 1 ) (х - х 2 )(х – х 3 )…( x - x n ) , где х 1 2 3 x n
1. Найти корни уравнения
а(х - х 1 ) (х - х 2 )(х – х 3 )…( x - x n ) = 0
2. Отметить на числовой прямой корни х 1 , х 2 , х 3 ,… , x n
3. Определить знак выражения
а (х - х 1 ) (х - х 2 )(х – х 3 )…( x - x n )
на каждом из получившихся промежутков.
4. Записать ответ, выбрав промежутки с соответствующим знаку неравенства знаком.
3 этап: Актуализация знаний
Повторяем алгоритм решения неравенств методом интервалов.
Решить неравенство (с проведением сравнительного анализа решения):
(x – 5)(x + 4)(x + 5) 2 ≤ 0.
Вопросы: Как вы думаете будут сложности в решении данного неравенства? В чём они будут заключатся?
- Что вы заметили при решении данных неравенств? (не чередуются знаки на интервалах в неравенстве )
Эта ситуация осложняет решение неравенств? (да, теперь знаки функции необходимо проверять на каждом интервале!)
А может, есть способ, все- таки не менять привычный алгоритм решения? (возможно есть)
(x – 5)(x + 4)(x + 5) 2 ≤ 0 (x - 5)(x+4) ≤ 0, x = - 5;
Ответ. х € < - 5>U [- 4; 5]
Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель , то говорят, что - корень многочлена кратности .
Значит, корень х = -5 кратности 2.
4 этап: Проблемное объяснение нового знания
Итак, причина затруднения применения метода интервалов: не чередуются знаки на интервалах, что приводит к необходимости проверки знаков функции на каждом интервале.
Решим неравенство: (x – 5)(x + 4)(x + 5) 2 ≤ 0 другим способом:
(x – 5)(x + 4)(x + 5)(x + 5) ≤ 0
Введем функцию f(x) = (x – 5)(x + 4)(x + 5) 2 ; Д(f)=R.
1. Найдем нули функции f(x) = (x – 5)(x + 4)(x + 5) 2 , решив уравнение (х-5)(х+4)(х+5) 2 = 0. x = 5; x = - 4; x = - 5 и x = - 5.
- 5 – корень кратности 2 (две слившиеся точки), между ними интервал с началом и концом в точке -5. Давайте введем интервал с началом и концом в точке -5. (его длина равна 0) и на графике его изображают в виде лепестка. Количество лепестков равно k – 1 ( где к – это кратность корня) .
Нули функции разбивают область определения на интервалы, в каждом из которых функция непрерывна и сохраняет свой знак.
Надо менять алгоритм решения неравенств методом интервалов? Определять знаки функции на каждом интервале? Как поступать с кратными корнями?
5 этап: Первичное закрепление
№ 1. Решить неравенство: (x – 1)(3 – x) 4 (x – 2) ＜ 0.
Введем функцию f(x) = (x - 1)(3 –x) 4 (x – 2), Д (f) = R.
Нули функции: x =1; x =2; x =3 – корень кратности 4.
Определим знак функции f(x) на любом промежутке, например (-∞; 1)
f(0) = (0 -1)(3 – 0) (0 -2) > 0,
и, чередуя, проставим знаки.
№ 2. Решить неравенство № 134 (а,б) с.44
На доске два ученика решают неравенства. Остальные работают в тетрадях.
б) Работа в парах. Заполнить пропуски в карточке
При решении неравенств с кратными корнями необходимо:
1. Найти ______________ функции f (х) = (х – х 1 )(х – х 2 ) … (х – х п )
2. Изобразить на ____________________________________ функции.
3. В точках, которые являются кратными корнями, дорисовать нулевые интервалы в виде ______________________.
4. Количество лепестков равно _____________.
5. Определить ____________ функции на одном из интервалов и _________________ знаки на остальных интервалах, включая ________________.
6. При этом знаки____________________ на всех интервалах.
7. Записать _________________, в соответствии с условием.
Каждый получает карточку с алгоритмом. Ее вклеить в тетрадь.
6 этап: Физкультминутка
7 этап: Самостоятельна работа в группах.
Каждая пара получает закрытый конверт с заданием, аналогичным одному из рассмотренных примеров и решает поставленную задачу, затем в виде отчета эксперт записывает ответ на доске и объясняет его.
1) (х + 7)(х + 2)(4 – х)(2х – 10) ≥ 0. ( x Є [-7; -2] v [4; 5] )
3) (х + 4)(х + 1)(х – 1)(х – 8) ≥ 0 (х Є (- ∞; - 4] v [-1;1] )
Б) Самостоятельная работа (с взаимопроверкой в парах).
Запишите три любых числа a, b, с, причем a
(x – a)(x – b) 2 (x – c) ≥ 0.
7)Итоги самостоятельной работы
Алгоритм решения неравенств с кратными корнями
1. Найти нули функции f (х) = (х – х 1 )(х – х 2 ) к … (х – х п )
2. Изобразить на координатной прямой нули функции.
3. В точках, которые являются кратными корнями, дорисовать нулевые интервалы в виде лепестков.
4. Количество лепестков равно k – 1 ( где к – это кратность корня) .
6. Записать ответ, в соответствии с условием.
8. Домашнее задание.
Ваше домашнее задание нескольких уровне. Каждый выбирает уровень себе по силам.
Начальный уровень
Решить неравенство методом интервалов
2) х 2 – 3х + 2 ≤ 0
Начальный уровень
Решить неравенство методом интервалов
2) х 2 – 3х – 4 ≤ 0
Средний уровень
Решить неравенство методом интервалов
1) х 2 – 7х + 12 ≤ 0
3) 2х (8 + х)(х – 12) > 0
4) (х + 2)(7 – х)(х – 13)
Средний уровень
Решить неравенство методом интервалов
3) 4х (5 + х)(х – 8) > 0
4) (х + 9)(6 – х)(х – 10) ≤ 0
Достаточный уровень
Решить неравенство методом интервалов
1) (х – 2)(х +5)/(х + 2) ≥ 0
2) (х + 3) 2 (х + 1)(х – 2) ≤ 0
3) (16 – х 2 )(3х2 + 1) > 0
Достаточный уровень
Решить неравенство методом интервалов
1) (х + 1)(х – 9)/(х - 1) ≤ 0
2) (х + 2)(х – 1)(х – 3)2 ≤ 0
3) (25 – х 2 )(5х 2 + 2) ≤ 0
4) (х + 4)/(10 - 2х) ≤ 0
Высокий уровень
Решить неравенство методом интервалов
1) (х 4 – 16х 2 )( - х 2 – 5) ≤ 0
2) (– х 2 + 8х – 7)/(х 2 + х – 2) > 0
3) х 3 – 5х 2 + 6х ≥ 0
4) (х – 2)(х + 2) 2 (х + 3)/(х - 1) ≤ 0
Высокий уровень
Решить неравенство методом интервалов
1) (х 4 – 25х 2 )( - х 2 – 7) ≥ 0
2) (– х 2 + 4х + 3)/( х 2 – х – 2)
3) х 3 – 6х 2 + 5х ≤ 0
4) (х – 3)(х + 3) 2 (х + 4)/(х - 2) ≥ 0
9.Итог урока.
Учитель: И вспомним начало нашего урока, ребята. Удалось ли за сегодняшний урок сделать чудные открытия?
А какие открытия Вы для себя сделали?
А какие цели урока мы ставили перед собой?
Как Вы считаете, нам удалось достигнуть поставленных целей?
Учитель: У каждого из вас на столе листочки. Уходя из класса, прикрепите на доску один из них.
Листок зелёного цвета обозначает: “Я удовлетворён уроком, урок был полезен для меня, я много, с пользой и хорошо работал на уроке”.
Листок жёлтого цвета обозначает: “Урок был интересен, я принимал в нём активное участие, я сумел выполнить ряд заданий, мне было на уроке достаточно комфортно”.
Листок синего цвета обозначает: “ Я получил пользу от урока, но мне не все удалось выполнить правильно”.
- образовательная: познакомить учащихся со способом решения неравенств методом интервалов с использованием свойств функции
![]()
числа, являющиеся нулями функции;
воспитательная: воспитание познавательной активности, формирование творческого подхода к решению поставленной задачи, интереса к познавательному поиску; развивающая: развитие логического мышления, внимания, познавательного интереса к предмету.
Содержимое разработки
Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
Зам.директора по УВР
Конспект открытого урока по алгебре
Тема урока: РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ
образовательная: познакомить учащихся со способом решения неравенств методом интервалов с использованием свойств функции числа, являющиеся нулями функции;
воспитательная: воспитание познавательной активности, формирование творческого подхода к решению поставленной задачи, интереса к познавательному поиску;
развивающая: развитие логического мышления, внимания, познавательного интереса к предмету.
Оборудование: учебник, тетрадь, мультимедиа.
Тип урока: комбинированный.
1. Организационный момент
2. Проверка домашнего задания (коррекция ошибок)
3.Актуализация опорных знаний
Сегодня мы начнем урок с повторения пройденного материала. Ребята вытягивают карточки
Решить квадратное неравенство на доске
0
Решить квадратное неравенство на доске
3) 1. Неравенство вида или
2. В каких скобках записывается ответ при решении строгого неравенства?
3. Какие значения может принимать подкоренное выражение?
1. Функция вида называется…
2. В каких скобках записывается ответ при решении не строгого неравенства?
3. Какие значения не должен принимать знаменатель дроби?
4.Изучение нового материала
Перед учащимися ставится задача: решить неравенство:
Учащиеся понимают, для того чтобы решить методом схематической параболы нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, а это длительный процесс, потому необходим другой метод решения.
Вы уже знаете два вида неравенства: линейное и квадратное. Для каждого из них существует свой способ решения. В старших классах вы познакомитесь ещё с несколькими видами неравенств, такими как тригонометрические неравенства, показательные, логарифмические, рациональные, иррациональные. Каждое из этих неравенств тоже будет иметь свой способ решения. Но сегодня на уроке я познакомлю вас с универсальным способом решения неравенств, который называется метод интервалов. С его помощью вы сможете решить любое неравенство. Даже если вы забудете способ, которым решается то или иное неравенство, то всегда сможете воспользоваться методом интервалов.
Если левая часть неравенства является произведением, а правая часть - о, то есть , () и , где х -переменная, а , …, - не равные друг другу числа, то такие неравенства решаются методом интервалов.
Числа , …, - нули функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль её знак меняется, то есть если мы видим, что в каждой скобке неравенства х стоит на первом месте, то знаки чередуем справа налево.
Для решения неравенства (x-2)(x-5)(x-12)0 воспользуемся следующим алгоритмом.
- воспитывать ответственное отношение к изучению математики, трудолюбие, взаимопомощь, волю и настойчивость в достижении поставленной цели.
- способствовать воспитанию патриотизма, любви к родному краю.
Тип урока: интегрированный урок математики и краеведения.
Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, практический, частично-поисковый.
Формы обучения: коллективная, самостоятельная.
Технология: личностно-ориентированная.
Оборудование урока: компьютер, проектор, презентация, интерактивная доска, карточки с тестовыми заданиями, диагностические карты, памятки.
I. Оргмомент: (Учащимся сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность повторения данной темы для подготовки к ОГЭ).
Вступительное слово учителя: Здравствуйте, ребята! Перед нами сегодня стоит задача: повторить метод интервалов для решения неравенств.
Как сказал американский писатель-сатирик Кристиан Боуви "Немногие умы гибнут от износа, по большей части они ржавеют от неупотребления”.
Права и обязанности:
- можно высказывать свою мысль по желанию, а потом по порядку;
- когда кто-то говорит, все слушают и не перебивают;
- сдерживаться от оценивания и резких высказываний в адрес участников группы;
- стараться прийти к общему мнению, если у вас имеется особое мнение, то и оно имеет право на существование.
Ответы учащихся фиксируются в лист учёта знаний учащихся:
Проверка домашнего задания
Теоретическая разминка (математический диктант)
Гимнастика для ума (вычисли устно)
Работа у доски
Самостоятельная работа
Запишите формулу для вычисления дискриминанта квадратного уравнения.
Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
Записать формулы корней квадратного уравнения при условии, что дискриминант больше 0.
Когда ветви параболы направлены вниз, а когда – вверх?
Что называется нулями функции?
Запишите промежутки: а) от 0 до 5, включая 0 и не включая 5;
б) промежуток от 3 до 9, не включая 3 и включая 9.
Задания для устного счёта:
Разложите на множители квадратный трехчлен: х² + 6х + 9
Назовите нули функции: f(x)=x(x-7)(x+9)
Решите неравенство: (х + 1)(х – 1) ≥ 0
Класс делится на 2 варианта. По 1 человеку из каждого варианта работают у доски. Остальные решают задания на месте.
Проводятся упражнения для коррекции зрения по слайдам презентации.
Задания для самостоятельной работы:
Решите методом интервалов неравенства:
Решите методом интервалов неравенства:
Учащиеся выполняют самостоятельную работу и сверяют свои ответы с ответами на слайде презентации.
2 вариант: а) [-6;3,5]
4) (х + 4)(6 – х)(х – 12) ≥0
Достаточный уровень
Решить неравенство методом интервалов
1) (х – 3)(х +6)/(х + 4) ≥ 0
2) (х + 4)²(х + 2)(х – 3) ≤ 0
5) (16 – х²)(3х² + 2) ≤ 0
Учащиеся по диагностическим картам подсчитывают баллы, заработанные на уроке. Выставляются оценки за урок.
Рефлексия:Ребята по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на доске:
Читайте также: