Понятие вектора 10 класс конспект урока
Обновлено: 04.07.2024
Тип урока: урок получения новых знаний.
1) ввести определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия;
2) дать определение равенства векторов;
3) научить решать задачи по данной теме.
Развивающая:
развитие пространственного воображения и логического мышления.
воспитание интереса к предмету и потребности в приобретении знаний.
Методы обучения: объяснительно – наглядный (репродуктивный).
Форма организации учебной деятельности: фронтальная, парная, индивидуальная.
Оборудование урока: интерактивная доска, презентация к уроку, карточки.
Ход урока
1. Организационный момент
Геометрия - одна из увлекательных наук, где есть важные и интересные темы, например, тема “Векторы в пространстве”.
Формулируется цель урока. (Слайд № 1, № 2)
2. Актуализация знаний
Вступительное слово учителя.
Открытия, обогащающие математику новыми понятиями, часто приходят из различных областей естествознания. Таким примером является понятие вектора, пришедшее из физики. Например, скорость, ускорение, перемещение, сила являются физическими величинами, которые имеют векторный характер. (Слайд № 3)
При изучении электрических и магнитных полей в пространстве появляются новые физические величины векторного характера: вектор напряженности электрического поля и вектор магнитной индукции. (Слайд № 4, № 5)
Впервые понятие вектора появилось в работах немецкого математика 19 века Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем его использовали в своих открытиях многие ученые. (Слайд №6) Современная символика для обозначения вектора была введена в 1853 году французским математиком О. Коши. (Слайд №7) Применение векторов играет важнейшую роль в современной математике, химии, биологии, экономике и в других науках.
Векторы на плоскости были изучены в 9 классе в разделе “Планиметрия”. Сегодня на уроке рассмотрим векторы в пространстве. Определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия сходны с определением вектора на плоскости и связанными с ним понятиями.
3. Изучение нового материала
1) На каждую парту раздаются чистые листы. На задание отводится три минуты. Учащиеся работают в парах.
Задание. Записать на листе бумаги все термины по теме “Векторы на плоскости”.
По истечении времени учащиеся отвечают на поставленный вопрос, дополняя друг друга. (Слайд № 8)
2) Объяснение нового материала ведется в виде диалога. Учитель задает вопросы по теме, а ученики отвечают. Диалог сопровождается презентацией, каждый слайд которой содержит иллюстрации и определения по данной теме.
Слайд № 9. Понятие вектор.
Слайд № 10. Нулевой вектор.
Слайд № 11. Длина ненулевого вектора.
Слайд № 12. Определение коллинеарности векторов.
Слайд № 13.Сонаправленные и противоположно направленные векторы. Слайд № 14. Задание. На рисунке найти сонаправленные и противоположно направленные векторы. Найти длины векторов.
Слайд № 15. Равенство векторов.
Слайд № 16. Задача. Могут ли быть равными векторы на рисунке? Ответ обоснуйте.
Слайд № 17. Доказательство теоремы.
4. Закрепление изученного материала
1) Решение задач по готовым чертежам
Учебник Л.С. Атанасян и др. “Геометрия 10-11 класс” № 322 (Слайд №18), № 321 (б) (Слайд №19). Учащиеся решают самостоятельно, с последующей проверкой с помощью слайдов.
№ 323 (Слайд №20-21); № 326 (Слайд № 22).
Ответ к задачам дается после обсуждения с классом или верного ответа кого-то из учащихся. Решения записываются в тетрадь.
2) Самостоятельная работа обучающего характера
Дан тетраэдр МАВС, угол АСВ прямой. Точки К и Р - середины сторон МВ и МС, АС = 9 см и ВА = 15 см. Найти длину вектора КМ .
Учащиеся, выполнившие работу первыми, получают оценку. Работа проверяется с помощью слайда № 23.
5. Итог урок
Учащимся дается пять минут для разгадывания кроссворда по изученному материалу. Карточки с кроссвордами раздаются каждому ученику. Проверка с помощью слайда № 24.
1) Фамилия математика, в работе которого впервые появилось понятие вектора.
2) Как называется отрезок, для которого указано начало и конец?
3) Название двух ненулевых векторов, лежащих на одной прямой или на двух параллельных прямых.
4) Математик, который ввел современное обозначение вектора.
5) Чему равна длина вектора АВ?
6) Чем характеризуется в каждой точке пространства магнитное поле?
7) Как называются два вектора, если они сонаправлены и их длины равны?
6. Домашнее задание
Стр.84-85, № 320; 321 (а), 325. (Слайд № 25)
“Геометрия 10-11” Учебник для общеобразовательных учреждений. Л. С. Атанасян, И. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2010.
Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Э 68 А.. П. Савин.- М. Педагогика, 1985.
Поурочные разработки по геометрии: 10 класс (сост. В. А. Яровенко) в помощь школьному учителю- М.: ВАКО, 2007.
2) рассмотреть связанные с этими понятиями обозначения.
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока
II. Актуализация знаний учащихся
1. Анализ контрольной работы. Подвести итоги контрольной работы. Анализ наиболее часто встречающихся ошибок.
2. Подготовка к восприятию нового материала.
Понятие вектора является одним из наиболее основных в математике, объединяющим такие ее разделы, как геометрия, алгебра, математический анализ. Оно имеет большое прикладное значение, так как многие физические величины (сила, скорость и другие) характеризуются не только величиной, но и направлением, то есть являются векторными величинами. При изучении электрических и магнитных явлений появляются новые примеры векторных величин (векторы напряженности электрического поля, вектор магнитной индукции).
В планиметрии мы изучали векторы на плоскости. Здесь мы рассмотрим векторы в пространстве. Их определение и свойства аналогичны определению и свойствам векторов на плоскости.
III. Изучение нового материала
1. Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется вектором.
Ввести обозначение вектора, его длины, понятие нулевого вектора.
2. Ввести определения коллинеарных векторов, сонаправленных и противоположно направленных векторов. Ввести обозначения
Обратить внимание, что нулевой вектор сонаправлен любому вектору. На доске рисунок. Найти сонаправленные векторы.
Сонаправленные:
Противоположно направленные:
3. Ввести определение равных векторов: если
4. Отметить, что от любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
Дано: , М.
Доказать: существование - единственный вектор.
Доказательство: Проведем через начало и конец вектора и точку М плоскость и в этой плоскости построим Из теоремы о параллельности прямых следует существование и единственность вектора где
IV. Закрепление изученного материала
№ 320 а. Дано: ABCD - тетраэдр. Точки М, N, К - середины АС, ВС, CD; соответственно, АВ = 3 см; ВС = 4 см; BD = 5 см.
Найти:
Решение: По условию задачи известно, что М, N, К - середины сторон АС, ВС, CD соответственно, поэтому МК - средняя линия ΔACD, NK - средняя линия ΔBCD. (Ответ: 3 см, 4 см, 5 см, 1,5 см, 2 см, 2,5 см.)
Вспомните свойства граней и диагоналей параллелепипеда.
По рисунку учебника учащиеся называют все пары:
а) сонаправленных векторов
б) противоположно направленных векторов
в) равных векторов
(Ответы: )
V. Самостоятельная работа (обучающая)
Работы учащихся, справившихся раньше других, можно оценить.
Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AD = 8 см, АВ = 9 см, АА1 = 12 см.
Найти:
Решение: По свойству параллелепипеда По теореме Пифагора (Ответ: а) 12 см, 8 см, 9 см; б) 15 см, √145 см, 17 см.)
№ 323. Дано: DABC — тетраэдр, ребра которого равны. М, N, Р, Q - середины сторон АВ, AD, DC, ВС.
а) выписать пары равных векторов;
б) определить вид четырехугольника MNPQ.
а)
б) Так как N, Р, М, Q - середины сторон соответственно АВ, AD, DC, ВС, то NP – средняя линия ΔADC, a MQ - ΔАВС; значит, NP = MQ; MN - средняя линия ΔADB, a PQ – средняя линия ΔDBC. значит, MN = PQ. Так как все ребра тетраэдра равны, то он правильный. Скрещивающиеся ребра в нем перпендикулярны. Тогда BD ⊥ AC. Имеем:
MNPQ – квадрат (Ответ: a) б) квадрат.)
VI. Подведение итогов
П. 34-35, № 320 (б) - I уровень; № 234 - II уровень.
Дан правильный тетраэдр DABC. Точки М, N, К - середины ребер АВ, ВС и CD соответственно. Найдите: если
Решение домашнего задани.
№ 320. Дано: ABCD - тетраэдр, М ∈ АС, АМ = МС; N ∈ ВС, BN = NC; К ∈ CD, СК = KD. АВ = 3 см, ВС = 4 см, BD = 5 см.
Найти:
Решение: Так как N - середина ВС, то KN - средняя линия ΔBCD. (Ответ: 4 см, 3 см, 5 см, 2 см, 2,5 см..
(Ответ: а) да; б) да; в) нет.)
Дано: DABC - правильный тетраэдр. М, N, К - середины ребер АВ, ВС, CD соответственно.
Найти:
Решение: Так как тетраэдр правильный, то ΔADB - равносторонний. DM - высота, медиана и биссектриса. По теореме Пифагора, где По условию,
2) MN - средняя линия ΔАВС: (Ответ: 1.)
Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.
Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.
Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.
Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.
знакомство с правилами действий с векторами в пространстве.
- познакомиться с основными понятиями, используемыми в данной теме;
- сформировать представление о векторных и скалярных величинах;
- научиться выполнять действия с векторами, преобразовывать векторные выражения.
учащиеся научатся различать векторные и скалярные величины, выполнять действия с векторами в пространстве и применять законы действий с векторами для преобразования и упрощения векторных выражений.
Сортировка по категориям скалярных и векторных величин. Отличительные особенности векторных величин. Повторяется определение вектора из курса планиметрии.
Основная литература:
Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11классов - М.: Просвещение, 2017. C. 77-85.
Теоретический материал для самостоятельного изучения:
1)Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом.
КК - нулевой вектор, обозначается . Длина вектора обозначается ||.
2)Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Пусть два ненулевых вектора и коллинеарные. Если при этом лучи АВ и СD сонаправлены, то и называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленными, то векторы и называются противоположно направленными.
Нулевой вектор условимся считать сонаправленным с любым вектором. Запись означает, что векторы и сонаправлены, а запись - что векторы с и d противоположно направлены.
3)Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
Интерактивная модель "Равные, противоположные, нулевые, сонаправленные, противоположно направленные векторы ".
4)Действия над векторами. Сложение векторов по правилу треугольника.
Для этого нужно от произвольной точки пространства отложить вектор , равный , затем от точки В отложить вектор , равный . Вектор называется суммой и . Для любых трех точек А, В и С имеет место равенство +=
5)Сложение векторов по правилу параллелограмма:
Для этого векторы откладывают от одной точки. Это правило пояснено на рисунке.
Интерактивная модель "Законы действия с векторами".
Сумма нескольких векторов в пространстве находится так же, как и на плоскости и не зависит от порядка слагаемых.
Интерактивная модель "Правило многоугольника".
6)Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены.
7)Вычитание векторов: Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .
Разность - можно найти по формуле - = + (-), где (-) - вектор, противоположный вектору .
-=.
развитие пространственного воображения и логического мышления.
Воспитательная:
воспитание интереса к предмету и потребности в приобретении знаний.
Методы обучения: объяснительно – наглядный (репродуктивный).
Форма организации учебной деятельности: фронтальная, парная, индивидуальная.
Оборудование урока: интерактивная доска, презентация к уроку, карточки.
Ход урока
1. Организационный момент
Геометрия - одна из увлекательных наук, где есть важные и интересные темы, например, тема “Векторы в пространстве”.
Формулируется цель урока. (Слайд № 1, № 2)
2. Актуализация знаний
Вступительное слово учителя.
Открытия, обогащающие математику новыми понятиями, часто приходят из различных областей естествознания. Таким примером является понятие вектора, пришедшее из физики. Например, скорость, ускорение, перемещение, сила являются физическими величинами, которые имеют векторный характер. (Слайд № 3)
При изучении электрических и магнитных полей в пространстве появляются новые физические величины векторного характера: вектор напряженности электрического поля и вектор магнитной индукции. (Слайд № 4, № 5)
Впервые понятие вектора появилось в работах немецкого математика 19 века Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем его использовали в своих открытиях многие ученые. (Слайд №6) Современная символика для обозначения вектора была введена в 1853 году французским математиком О. Коши. (Слайд №7) Применение векторов играет важнейшую роль в современной математике, химии, биологии, экономике и в других науках.
Векторы на плоскости были изучены в 9 классе в разделе “Планиметрия”. Сегодня на уроке рассмотрим векторы в пространстве. Определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия сходны с определением вектора на плоскости и связанными с ним понятиями.
3. Изучение нового материала
1) На каждую парту раздаются чистые листы. На задание отводится три минуты. Учащиеся работают в парах.
Задание. Записать на листе бумаги все термины по теме “Векторы на плоскости”.
По истечении времени учащиеся отвечают на поставленный вопрос, дополняя друг друга. (Слайд № 8)
2) Объяснение нового материала ведется в виде диалога. Учитель задает вопросы по теме, а ученики отвечают. Диалог сопровождается презентацией, каждый слайд которой содержит иллюстрации и определения по данной теме.
Слайд № 9. Понятие вектор.
Слайд № 10. Нулевой вектор.
Слайд № 11. Длина ненулевого вектора.
Слайд № 12. Определение коллинеарности векторов.
Слайд № 13.Сонаправленные и противоположно направленные векторы. Слайд № 14. Задание. На рисунке найти сонаправленные и противоположно направленные векторы. Найти длины векторов.
Слайд № 15. Равенство векторов.
Слайд № 16. Задача. Могут ли быть равными векторы на рисунке? Ответ обоснуйте.
Слайд № 17. Доказательство теоремы.
4. Закрепление изученного материала
1) Решение задач по готовым чертежам
Учебник Л.С. Атанасян и др. “Геометрия 10-11 класс” № 322 (Слайд №18), № 321 (б) (Слайд №19). Учащиеся решают самостоятельно, с последующей проверкой с помощью слайдов.
№ 323 (Слайд №20-21); № 326 (Слайд № 22).
Ответ к задачам дается после обсуждения с классом или верного ответа кого-то из учащихся. Решения записываются в тетрадь.
2) Самостоятельная работа обучающего характера
Дан тетраэдр МАВС, угол АСВ прямой. Точки К и Р - середины сторон МВ и МС, АС = 9 см и ВА = 15 см. Найти длину вектора КМ.
Учащиеся, выполнившие работу первыми, получают оценку. Работа проверяется с помощью слайда № 23.
Учащимся дается пять минут для разгадывания кроссворда по изученному материалу. Карточки с кроссвордами раздаются каждому ученику. Проверка с помощью слайда № 24.
1) Фамилия математика, в работе которого впервые появилось понятие вектора.
2) Как называется отрезок, для которого указано начало и конец?
3) Название двух ненулевых векторов, лежащих на одной прямой или на двух параллельных прямых.
4) Математик, который ввел современное обозначение вектора.
5) Чему равна длина вектора АВ?
6) Чем характеризуется в каждой точке пространства магнитное поле?
7) Как называются два вектора, если они сонаправлены и их длины равны?
6. Домашнее задание
Стр.84-85, № 320; 321 (а), 325. (Слайд № 25)
“Геометрия 10-11” Учебник для общеобразовательных учреждений. Л. С. Атанасян, И. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2010.
Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Э 68 А. П. Савин.- М. Педагогика, 1985.
Поурочные разработки по геометрии: 10 класс (сост. В. А. Яровенко) в помощь школьному учителю- М.: ВАКО, 2007.
Читайте также: