Перпендикулярність прямих у просторі конспект

Обновлено: 04.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

образовательная: формировать понятие перпендикулярных прямых в пространстве, доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой, дать определение перпендикулярности прямой и плоскости, доказать теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости;

развивающая: развивать вычислительные навыки, логическое и пространственное мышление, речь учащихся;

воспитательная: воспитывать интерес к предмету, аккуратность при выполнении чертежей.

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Методы обучения: индуктивно-эвристический, дедуктивно-репродуктивный.

Требования к ЗУН: учащиеся должны знать понятие перпендикулярных прямых в пространстве, доказательство леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой, определение перпендикулярности прямой и плоскости, формулировки теорем, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости; уметь применять изученные понятия и утверждения при решении задач по данной теме.

Оборудование: ПК, экран, проектор, мультимедиа презентация.

Литература :

Геометрия, 10–11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 11-е изд. – М.: Просвещение, 2002 г.

Изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к учеб.: Кн. для учителя /С. М. Саакян, В.Ф. Бутузов. – 2-е изд. – М. Просвещение, 2003. – 222 с.: ил. – ISBN 5-09-011836-1.

Методика и технология обучения математике. М.: Дрофа, 2005. – 416 с.

I . Орг. момент (2 мин)

II . Изучение нового материала (20 мин)

Актуализация знаний.

Формирование понятия перпендикулярности двух прямых в пространстве.

Доказательство леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Формирование понятия перпендикулярности прямой и плоскости.

Доказательство теорем, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

III . Первичное закрепление материала. №№ 117, 120 (17 мин)

IV . Подведение итогов (5 мин)

V . Домашнее задание. п.15 – 16, вопросы 1, 2 стр.54, №№ 116, 118 (1 мин)

Приветствие учеников, проверка готовности учащихся к уроку, проверка отсутствующих.

Запись на доске и в тетрадях:

Классная работа.

II . Изучение нового материала

1. Актуализация знаний.

Учитель: Какое взаимное расположение прямых на плоскости?

Ученик: Прямые могут не иметь общих точек – быть параллельными, иметь одну общую точку – пересекаться, либо быть перпендикулярными, иметь множество общих точек – совпадать.

Учитель: Какие прямые называются перпендикулярными на плоскости?

Ученик: Две прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют четыре прямых угла.

Учитель: Какое взаимное расположение прямых в пространстве?

Ученик: Две прямые могут пересекаться, быть параллельными, либо скрещивающимися.

2. Формирование понятия перпендикулярности двух прямых в пространстве.

Учитель: (слайд 2) Перед вами куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

Учитель: Какое взаимное расположение прямых АВ и ВС?

Ученик: Прямые перпендикулярны.

Учитель: (слайд 2) Найдите угол между прямыми АА₁ и DC .

Ученик: Прямые АА₁ и DC тоже перпендикулярны, угол между ними равен 90 градусов.

Учитель: (слайд 2) Запишем определение перпендикулярности двух прямых в пространстве

Запись в тетрадях:

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.

Учитель: (слайд 3) В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Обратите также внимание на рисунок 43 на стр.34 ваших учебников. Перпендикулярные a и b пересекаются, а прямые a и c скрещиваются.

3. Доказательство леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Учитель: (слайд 4) Рассмотрим прямые АА₁ , СС₁ и DC .

Учитель: Прямая АА₁ параллельна прямой СС₁, а прямая СС₁ перпендикулярна прямой CD . Нами установлено, что АА₁ перпендикулярна CD . Какой мы можем сделать из этого вывод? Сформулируйте это утверждение.

Ученик: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель: (слайд 5) Это утверждение носит название Леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Запись в тетрадях:

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель: (слайд 6) Докажем лемму.

Запись на доске и в тетрадях:

Дано: а || b , a ^ . с

Доказать: b ^ с.

Учитель: Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как прямая a перпендикулярна c , то угол AMC равен 90 градусов.

Запись на доске и в тетрадях:

МА||а и МС||с. Т.к. a ^ c , то угол AMC = 90°

Учитель: По условию b ||а, а по построению а || МА, поэтому b ||МА. Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, т. е. b ^ c .

Запись на доске и в тетрадях:

b ||а (по условию), а || МА (по построению), => b ||МА.

b || МА и с|| МС, угол AMC = 90° => ( b ,^ c ) = 90°, т. е. b ^ c

4. Формирование понятия перпендикулярности прямой и плоскости.

Учитель: (слайд 7) Рассмотрим куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдем углы между прямой АА₁ и прямыми плоскости АBCD.

Ученик: Между прямой АА₁ и прямыми плоскости АBCD углы равны 90°, т.е прямая АА₁ перпендикулярна прямым плоскости АBCD.

Учитель: Отсюда мы можем сделать вывод: прямая АА₁ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости АBCD. Такие прямые называются перпендикулярными. Перпендикулярность прямой α и плоскости α обозначается так: α ^ α,

Учитель: (слайд 7) Запишем определение прямой, перпендикулярной к плоскости:

Запись в тетрадях:

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Обозначение: α ^ α

Учитель : Говорят также, что плоскость α перпендикулярна к прямой α.

Учитель : (слайд 8) Если прямая α перпендикулярна к плоскости α, то она пересекает эту плоскость . Действительно, если бы прямая α не пересекала плоскость α, то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей, а это противоречит определению перпендикулярности прямой и плоскости, значит прямая α пересекает плоскость α.

Учитель : (слайд 9) На рисунке 45 стр.35 ваших учебников изображена прямая α перпендикулярная к плоскости α. Скажите, прямая будет перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α ?

Ученик: Да, будет. Это следует из определения прямой, перпендикулярной к плоскости.

Учитель: (слайд 10) Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Прокомментируйте их.

Ученик: Телеграфный столб перпендикулярен к плоскости земли.. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола.

Учитель: А чему будет перпендикулярна открытая половинка окна?

Ученик: Плоскости подоконника, плоскости пола, плоскости потолка.

Учитель: Какие ещё примеры вы можете привезти из жизни?

Ученик: Люстра висит перпендикулярно к плоскости пола и плоскости потолка, горизонтальная линия доски перпендикулярна плоскости стены и т.д.

5. Доказательство теорем, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

Учитель: (слайд 11) Рассмотрим ещё две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

Запись в тетрадях:

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Учитель: (слайд 12) Докажем её.

Запись на доске и в тетрадях:

Дано: а || b , a ^ α

Доказать: b ^ α .

Учитель: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α . Так как а ^ α , то а ^ х . По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей b ^ х .

Таким образом, прямая b перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α , т.е. b ^ α .

Запись на доске и в тетрадях:

Т.к а ^ α , то а ^ х => b ^ х (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей), а значит b ^ α (по определению).

Учитель: (слайд 13) Докажем обратную теорему.

Запись в тетрадях:

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Учитель: (слайд 14) Доказательство:

Учащиеся самостоятельно записывают доказательство в тетрадь.

III . Закрепление изученного материала

Учитель: Переходим к решению задач. №№ 117, 120

Один ученик работает у доски, остальные на местах в тетрадях.

Учитель: Что дано в задаче?

Учитель: Что нужно доказать?

Учитель: Как мы это докажем?

Учитель: Какие теоремы можно применить?

Подведение итогов

Обобщение материала, изученного на уроке, повторение основных понятий и формулировок (фронтальный опрос). Выделение положительных и отрицательных моментов урока, оценка работы ребят, выставление отметок.

Конспект урока по геометрии для учащихся 10 класса средней общеобразовательной школы.

Образовательная: ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве; доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой; дать определение перпендикулярности прямой и плоскости; доказать теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости; научить применять изученные понятия и теоремы при решении задач.

Развивающая : развивать память, внимание, логическое мышление.

Воспитательная: воспитывать аккуратность, умение работать в коллективе.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Требования к ЗУН:

Учащиеся должны знать:

определение понятия перпендикулярных прямых в пространстве;
лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой;
определение перпендикулярности прямой и плоскости;
теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости;

Учащиеся должны уметь:

применять определение понятия перпендикулярных прямых в пространстве при решении задач;
доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой;
применять лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой при решении задач.
доказать теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости;
применять теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости при решении задач.

Методы: репродуктивный, индуктивно-репродуктивный,

Оборудование: учебные плакаты, модели геометрических фигур.

Атанасян, Л.С. Геометрия, 10 – 11:Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2006. - 256 с.
Гаврилова , Н. Ф. Поурочные разработки по геометрии, 10 класс: пособие для для общеобразоват. учреждений / Н. Ф. Гаврилова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ВАКО, 2010. – 304 с.
Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г. И. Саранцев. - М.: Просвещение, 2002. – 224 с.

I. Организационный момент (1 мин).

II. Актуализация знаний (7 мин).

III. Изучение нового материала (15 мин).

IV. Первичное закрепление материала (17 мин).

V. Подведение итогов урока (4 мин).

VI. Домашнее задание (1 мин).

I. Организационный момент.

Запись на доске и в тетрадях:

Перпендикулярные прямые в пространстве.

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости.

II. Актуализация знаний.

Учитель. Вспомним, какие прямые на плоскости называются перпендикулярными?

Ученик. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

Учитель. Обратите внимание на доску. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 , ∠ BAD=30 0 . Найдите углы между прямыми АВ и A1D1 ; A1B1 и AD ; AB и B1C1 .

Запись на доске и в тетрадях:

Ученик. Углы между прямыми АВ и A1D1 ; A1B1 и AD ; AB и B1C1 равны соответственно 30 о , 30 о , 150 о .

III. Изучение нового материала.

Учитель. Рассмотрим модель куба.

Запись на доске и в тетрадях:

Учитель. Как называются прямые АВ и ВС ?

Ученик. Прямые АВ и ВС перпендикулярные.

Учитель. Найдите угол между прямыми АА1 и DC ; ВВ1 и AD .

Ученик. Углы между прямыми АА1 и DC; ВВ1 и AD равны 90 о .

Учитель. Значит эти прямые тоже перпендикулярные.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 о . Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а b .

Запись на доске и в тетрадях:

Учитель. В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Рассмотрим прямые АА1 , СС1 и DC .

Прямая АА1 параллельна прямой СС1 , а прямая СС1 перпендикулярна прямой СD . Нами установлено, что АА1 перпендикулярна СD .

Запись на доске и в тетрадях:

АА1 ‖ СС1, СС1 ⊥ СD, АА1 ⊥ СD

Учитель. Попробуйте сформулировать это утверждение.

Ученик . Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель . Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Запись на доске и в тетрадях:

Учитель. Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС , параллельные соответственно прямым а и с . Так как а ⊥ с , то ∠ АМС=90 о .

Запись на доске и в тетрадях:

а ⊥ с , то ∠ АМС=90 о

Учитель. По условию, b ‖ a , а по построению а ‖ МА , поэтому b ‖ МА .

Запись на доске и в тетрадях:

b ‖ a (по условию), а ‖ МА(по построению)→ b ‖ МА

Учитель. Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС , угол между ними равен 90 о .

Запись на доске и в тетрадях:

b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90 о

Учитель. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90 о , то есть b ⊥ с. Лемма доказана .

Запись на доске и в тетрадях:

b ⊥ с. Лемма доказана.

Учитель. Рассмотрим модель куба.

Запись на доске и в тетрадях:

Учитель. Найдите угол между прямой АА1 и прямыми плоскости (АВС): АВ, AD, AC, BD, MN .

Ученик. Все углы равны 90 о .

Учитель. Итак, прямая АА1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (АВС). Такие прямые называются перпендикулярными.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Запись на доске и в тетрадях:

Учитель. Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Непокосившийся телеграфный столб стоит прямо, то есть перпендикулярно к плоскости земли. Также расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т.д.

Докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью и перпендикулярностью к плоскости.

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Запись на доске и в тетрадях:

Дано: а ‖ а1, а ⊥ α

Доказать, что а1 ⊥ α

Учитель. Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α.

Запись на доске и в тетрадях:

Учитель. Так как а ⊥ α , то а ⊥ x.

Запись на доске и в тетрадях:

Так как а ⊥ α, то а ⊥ x.

Учитель. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 ⊥ x.

Запись на доске и в тетрадях:

а1 ⊥ x (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей)

Учитель. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а1 ⊥ α. Теорема доказана.

Запись на доске и в тетрадях:

а1 ⊥ α. Теорема доказана.

Учитель. Докажем обратную теорему.

Теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Запись на доске и в тетрадях:

Доказать, что а ‖ b

Учитель. Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1 , параллельную прямой а .

Запись на доске и в тетрадях:

М ∊ b, M ∊ b1, b1 ‖ a

Учитель. По предыдущей теореме b1 ⊥ α.

Запись на доске и в тетрадях:

Учитель. Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b . Тем самым будем доказано, что а ‖ b. Допустим, что прямые b1 и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b1 , через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с , по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, а ‖ b.

Запись на доске и в тетрадях:

b ∊ β, b1 ∊β, α β=c (невозможно)→ а ‖ b.

IV. Первичное закрепление материала.

Задача №117. В тетраэдре АВСD ВС ⊥ AD . Докажите, что AD ⊥ MN , где М и N – середины ребер АВ и ВС .

Запись на доске и в тетрадях:

Дано: ABCD – тетраэдр; М ∊ АВ: АМ=ВМ, N ∊ АС: АN=NC; ВС ⊥ АD

Доказать: AD ⊥ MN

Учитель. Что можем сказать о параллельности прямых MN и ВС ?

Ученик. MN – средняя линия треугольника АВС , следовательно прямые MN и ВС параллельны.

Запись на доске и в тетрадях:

MN – средняя линия АВС MN ‖ BC.

Ученик. По лемме, так как ВС ⊥ AD , то MN ⊥ AD .

Запись на доске и в тетрадях:

Т. к. ВС ⊥ AD(по лемме) ⇒ MN ⊥ AD.

Задача №120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна а , проведена прямая ОК , перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК=b .

Запись на доске и в тетрадях:

Дано: АВСD – квадрат, АВ = а, АС∩BD = О, ОК ⊥ (АВС), ОК=b.

Найти: АК, ВК, СК, DK

Учитель. Что можно сказать о равенстве треугольников АОК, ВОК, СОК, DОК ?

Ученик. Треугольники АОК, ВОК, СОК, DОК равны по двум катетам, так как прямая ОК – перпендикуляр к плоскости квадрата А ВСD, ОК ⊥ АС, ОК ⊥ BD .

Запись на доске и в тетрадях:

ОК ⊥ (АВС) → ОК ⊥ АС, ОК ⊥ BD.

∆ АОК, ∆ ВОК, ∆ СОК, ∆ DОК равны по двум катетам.

Учитель. Тогда что можно сказать о равенстве отрезков АК, ВК, СК, DK?

Ученик. Отрезки АК, ВК, СК, DK равны.

Запись на доске и в тетрадях:

Учитель. Применяя какую теорему, можно найти стороны в прямоугольном треугольнике?

Ученик. Применяя теорему Пифагора.

Запись на доске и в тетрадях:

Ответ: АК=ВК= СК= DK= .

V. Подведение итогов урока.

Учитель. Какие две прямые в пространстве называются перпендикулярными?

Ученик. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 о .

Учитель. Какую лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой мы изучили?

Ученик. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель. Какие две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости, мы изучили?

Ученик. Т1.Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Т2. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

VI. Домашнее задание.

П.15 – 16, вопросы 1, 2 (стр. 57), №116, 118.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ К ПЛОСКОСТИ

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕК ПЛОСКОСТИ. Презентация к уроку геометрии в 10 классе.

Презентация к уроку по теме "Взаимное расположение прямых в пространстве. Параллельные прямые"

Презентация к уроку по обобщению и систематизации знаний и умений по теме "Взаимное расположение прямых в пространстве. Параллельные прямые" с использованием ЭОР.Удобно в использовании при дистанционн.

Тесты по теме "Прямые в пространстве. Параллельность прямых, прямой и плоскости", "Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости"

Тесты предназначены для проверки усвоенияследующих понятий и определений: взаимное расположение прямых в пространстве, определение скрещивающихся прямых, определение параллельных прямых, признак парал.

параллельные прямые, перпендикулярные плоскости 10 кл геометрия, автор Мяленко Т.П.

презентация по теме параллельные прямые, перпендикулярные плоскости 10 кл геометрия, автор Мяленко Т.П.

21. Интерактивный тест по теме:" Взаимное расположение прямых в пространстве. Параллельность прямых, прямой и плоскости".

Данный тест может быть использован на занятиях промежуточного, обобщающего или итогового контроля знаний учащихся. Для корректной работы теста, необходимо установить низкий уровень безопасности (серви.

23. Интерактивный тест по теме: "Перпендикулярные прямые в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости".

Данный тест с автоматизированной проверкой ответа, может быть использован на занятиях промежуточного, обобщающего или итогового контроля знаний учащихся. Для корректной работы теста, необходимо устано.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости

Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл. Базовый и профильный уровень. М.: Просвещение, 2015. С.1-10.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 9 класса. Базовый и профильный уровень

Дополнительная литература:

Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10-11 класс М.: Просвещение, 2015.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠АМС=90 о .

Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90 о , т.е. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90 о

Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90 о , то есть b ⊥ с.

Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то а ⊥ x.

По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а₁ ⊥ x.

Таким образом, прямая а₁ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а₁ ⊥ α

Теорема. Ели две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b₁, параллельную прямой а.

Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α.

Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b – линия пересечения плоскостей α и γ.

В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.

Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.

Предположим, что существует прямая с₁, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с₁ перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с₁ параллельны. Но по построению прямые с и с₁пересекаются в точке М. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.

Теоретический материал для углубленного изучения

Доказательство (см. рис. 1)

Пусть нам дана прямая а и точка М. Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а.

Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р) к прямой а, . В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а. Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Выбор элемента из выпадающего списка

Выпишите ребра, перпендикулярные плоскости (DC).

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

Подсказка: в кубе все углы по . Плоскость (DC), проходит через грань куба DC.

Ребус – соответствия.

Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение.

Утверждение:

Две прямые называются перпендикулярными, если …..
Если плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она ……

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Две прямые называются перпендикулярными, если …

угол между ними равен 90

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она …

перпендикулярна и другой

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к третьей прямой.

Теорема: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

На этом уроке вводится определение перпендикулярных прямых в пространстве. А также доказывается лемма о двух параллельных прямых, перпендикулярных к третьей прямой. Рассматриваются случаи перпендикулярных прямых, которые пересекаются и скрещиваются.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Перпендикулярные прямые в пространстве"

Вы уже знакомы с перпендикулярными прямыми на плоскости. Две пересекающиеся прямые называют перпендикулярными, если они образуют 4 прямых угла.

Перпендикулярность прямых обозначают так

На этом уроке будем говорить о перпендикулярных прямых в пространстве.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Но так как в 10 классе мы приступили к изучению стереометрии и теперь изучаем свойства фигур в пространстве, то, говоря о перпендикулярных прямых, будем иметь два случая.

Перпендикулярные прямые в пространстве могут быть не только пересекающимися, а ещё и скрещивающимися.

При этом, угол между скрещивающимися прямыми a и b будем изображать так . В некоторой плоскости выбрав удобную нам точку, проведём через неё прямые a’ и b’ параллельные прямым a и b соответственно.

Если угол между прямыми a’ и b’ равен 90°, то угол между прямыми a и b так же прямой. А значит, данные прямые перпендикулярны.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей,

то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Дано: , .

Доказать: .

Доказательство.

1. ,

3. ,

4. ,

Что и требовалось доказать.

Повторим ещё раз. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Задача. Назвать все рёбра прямоугольного параллелепипеда ,

которые перпендикулярны к ребру .

Стоит вспомнить, что все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

1. , так как прямоугольник

2. ,

3. ,

4. , так как прямоугольник

5. , так как прямоугольник

6. ,

7. ,

8. , так как прямоугольник

Ответ: , , , , , , , .

К точке А на прямой АА₁ проведены 2 перпендикуляра, так же как и к точке А₁.

В этом и есть главное отличие перпендикуляра к некоторой точке прямой на плоскости от перпендикуляра к точке прямой в пространстве.

Через некоторую точку прямой на плоскости, как вам известно, можно провести только одну перпендикулярную прямую.

А вот в пространстве таких прямых можно провести бесконечное множество. Так как бесконечно много плоскостей проходят через данную прямую и каждая из них содержит ровно один перпендикуляр к данной точке на данной прямой.

Задача. В тетраэдре Доказать, что , если точки и — середины рёбер и соответственно.

Доказательство.

Рассмотрим .

средняя линия

Что и требовалось доказать.

Подведём итоги нашего урока. Сегодня вы познакомились с определением перпендикулярных прямых в пространстве.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

При этом возможны два случая расположения прямых относительно друг друга: они могут пересекаться и скрещиваться.

Так же мы записали лемму о том, что, если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Розробка виконана для 10 класу математичного профілю за темою перпендикулярність прямих у просторі. Дану розробку можна використовувати і для класу академічного рівня.

Урок № 57-58 10-а (19.12.2017)

Тема: Перпендикулярність прямих у просторі.

Мета: сформувати в учнів поняття про перпендикулярні прямі у просторі; взаємозв’язок між перпендикулярністю та паралельністю прямих у просторі; сформувати вміння застосовувати теоретичні знання при розв’язуванні задач.

Тип: засвоєння нових знань та вмінь.

Хід уроку І. Організаційний етап. ІІ.Аналіз контрольної роботи. IIІ. Перевірка домашнього завдання.

В кінці уроку збираються учнівські зошити для перевірки їх ведення та виконання домашнього завдання.

4.Актуалізація.

Запитання до класу.

1.Які прямі називаються перпендикулярними на площині?

2.скільки існує в площині прямих, перпендикулярних до даної, таких, що проходять через дану точку.

3.Сформулюйте ознаку паралельності прямих.

4.Що називають паралелограмом?

5.Сформулюйте властивість сторін паралелограма?

6.Сфолрмулюйте ознаки рівності трикутників.

5.Формулювання мети та завдань уроку.

6.Формування знань.

1.Означення перпендикулярних прямих.

2.Теорема про властивості прямих, відповідно паралельних перпендикулярним прямим.

3.Розвязування задач.

Означення перпендикулярних прямих у просторі

Поряд із відношенням паралельності в геометрії важливе значення має відношення перпендикулярності. У планіметрії ми говорили про перпендикулярність прямих. Перпендикулярними прямими на площині називаються прямі, які перетинаються під прямим кутом.

У стереометрії розглядають три випадки перпендикулярності: перпендикулярність прямих, перпендикулярність прямої і площини, перпендикулярність площин. На наступних уроках ми займемося послідовним вивченням цих трьох відношень. Почнемо з випадку перпендикулярності прямих у просторі.

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

Розв'язування задач

1. Назвіть в оточенні моделі прямих, які перпендикулярні між собою.

2. Дано зображення куба АBСDA₁B₁C₁D₁. Укажіть ребра куба, які перпендикулярні до прямої АА₁.

Теорема про прямі, що перетинаються і паралельні двом перпендикулярним прямим

Питання до класу: що можна стверджувати про взаємне розташування прямих а₁ і b₁, які перетинаються і а₁ || а, b₁ || b, а b? Учні висувають гіпотезу, що a₁ b₁. Для ілюстрації цього твердження використовується каркасна модель куба або прямокутного паралелепіпеда.

Далі формулюємо теорему:

Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні.

Доведення цієї теореми проводить учитель. Подаємо запис доведення теореми, який рекомендується зробити на дошці і в зошитах учнів.

Дано: ab, аα, bα; а₁||а, b₁||b, а₁α₁, b₁α₁, а₁ і b, перетинаються (рис. 131).

Довести: а₁ b₁

а і b лежать в α , а₁ і b₁ лежать в α₁

Нехай точка С — точка перетину а і b, точка С₁ — точка перетину а₁ і b₁

ΔАВС =ΔА₁В₁С₁, отже, A₁C₁B₁= ACB = 90°, тоді а₁ b₁

Третя ознака рівності трикутників

Розв'язування задач

1. SABC — тетраедр; ABC = 90°; точки К, L, М — середини ребер SB, SA, SC відповідно (рис. 132). Знайти MKL.

2. Дано зображення куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 133). Точки М, N, Р, К — точки перетину діагоналей граней АВВ₁А₁, CDD₁C₁, А₁B₁С₁D₁ і ABCD відповідно. Довести, що MN РК .

3. Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Через точку М, що належить ребру АА₁ в грані AA₁DD₁, проведіть пряму MN так, щоб MOD₁ = 90° , де точка О — точка перетину прямих MN і AD₁.

Проведемо в квадраті A₁ADD₁ діагоналі AD₁ і A₁D (AD₁A₁D) (рис. 134). Через точку М ребра АА₁ в грані АDD₁А₁ проведемо пряму MN || А₁D . За теоремою 3.1 MN AD₁, оскільки A₁OD₁ = 90° .

4. Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Через точку О грані А₁АDD₁ проведіть прямі ОМ і ON так, щоб ОМ || ВС , ON || СС₁. Доведіть, що MON = 90° .

5. Через точку О перетину діагоналей куба ABCDA₁B₁C₁D₁ проведіть площину α, паралельну основі А₁B₁С₁D₁ куба. Доведіть, що ₁ і BВ₁ з площиною α.

6.Промені ОА, 0В, ОС попарно перпендикулярні. Знайдіть периметр і площу трикутника АВС, якщо ОА = 0В = ОС = а .

(Відповідь. 3, .)

7. А, В, С — точки на попарно перпендикулярних променях ОА, ОВ, ОС. Знайдіть кути трикутника АВС, якщо ОА = 0В = ОС .

(Відповідь. = = = 60° .)

У прямокутному паралелепіпеді:

варіант 1 — АВ = 1 см, AD = 2 см, ВС = 3 см;

варіант 2 — АВ = 1 см, AD = 3 см, ВС = 2 см (рис. 136).

а) діагональ BD грані прямокутного паралелепіпеда; (2 бали)

б) довжину ребра АС; (2 бали)

в) діагональ DC грані куба; (2 бали)

г) прямі, які перпендикулярні до прямої АС; (2 бали)

д) величину кута BDA; (2 бали)

е) величину кута СВА. (2 бали)

Відповідь. Варіант 1. а) см; б) 2см; в) 2 см; г) AD, AB, CF, CM; д) arctg ; e) arccos .

Варіант 2.а)см; б)см; в) 2см; г) AD, AB, CF, CM; д) arctg; е) arccos.

9.Дано пряму а і точку А, яка не належить прямій а. Провести пряму, яка проходить через точку А і перпендикулярна до прямої а. Скільки прямих, перпендикулярних до прямої а, можна провести через точку А, яка не лежить на прямій?

10. Дано зображення куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажіть пряму, яка перпендикулярна до прямої АА₁ і проходить через точку С. (Відповідь. АС.)

11. Дано пряму а і точку А, яка лежить на прямій а. Провести пряму, яка проходить через точку А і перпендикулярна до прямої а. Скільки прямих, перпендикулярних до прямої а, можна провести через точку А, яка лежить на прямій а?

12. Дано зображення куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажіть прямі, які перпендикулярні до прямої АА₁ і проходять через точку А. (Відповідь. AB, AC, AD.)

Читайте также:


Зависимость растений от природных условий 1 класс занков презентация и конспект

Конспект по боевой готовности взвода

Конспект урока деление многозначного числа на двузначное 4 класс моро

Электромагнитная природа света 11 класс конспект урока

Рукотворная красота культуры опк 1 класс презентация и конспект урока