Основные теоремы о непрерывных функциях конспект

Обновлено: 30.06.2024

Понятие непрерывности функции является одним из основополагающих понятий в математическом анализе.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Функция называется Непрерывной в точке , если предел этой функции и ее значение в этой точке равны, т. е.

Так как , то это равенство можно переписать в следующей форме: .

Функция называется Непрерывной в точке , Если для любого существует такое , что при всех , Удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Функция называется Непрерывной справа (Слева) в точке , если правый (левый) предел этой функции в точке равен значению функции в этой точке.

Символическая запись непрерывности функции справа и Соответственно слева:

Если функция Непрерывна в точке Слева и справа, то она непрерывна в этой точке. В самом деле, функция имеет предел в точке , который равен ее значению в этой точке, что и означает непрерывность функции при .

Для практического использования полезно сформулировать еще одно определение непрерывности функции.

Назовем разность приращением аргумента в точке , а разность – приращением функции в точке , обусловленным приращением аргумента . Таким образом, , . Так как , то равенство (4.7.1) можно переписать в другой форме:

Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , и также непрерывны в точке (частное при условии, что ).

Если функция F(X) Непрерывна в точке X0 и F(X0)>0, то существует такая окрестность точки X0, в которой F(X)>0.

Если функция y=f(u) непрерывна в точке u0, а функция u=j(x) непрерывна в точке u0=j(x0), то сложная функция y=f[j(x)] непрерывна в точке x0, или

Теорема 1: Если f(x) и g(x) непрерывны в точке , то - непрерывны в этой точке.

Теорема 2 ( о сохранение знака): Если f(x) непрерывна в точке , то существует некоторая окрестность точки , в которой функция имеет тот же знак, что и в точке

Теорема 3 (первая теорема Больцано-Коши): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах значения разных знаков, то существует точка такая, что

Теорема 4 (вторая теорема Больано-Коши): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и f(a)=A, f(b)=B и A ≤ C ≤B, то существует такая точка , что f(c)=C.

Теорема 5 (первая теорема Вейерштрассе): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом орезке.

f(a)=inf f(x); f(b)=sup f(x)

Теормема 6 (вторая теорема Вейерштрассе): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на это отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения М.

1 Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, принадлежащей области определения функции, если для любого положительного числа ε существует такое положительное δ, что для всех х, удовлетворяющих условию , будет выполнено неравенство

2 Определение: Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке х_о и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е. . Равенство означает выполнение трех условий:

1) функция ƒ (х) определена в точке x₀ и в ее окрестности;

2) функция ƒ(х) имеет предел при х→х_о;

3) предел функции в точке х_о равен значению функции в этой точке.

Условие непрерывности функции в точке: если односторонние пределы функции в точке х₀ существуют и равны между собой, то существует предел функции в точке х₀, следовательно, функция в точке х₀ будет непрерывна.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х=х₀ — точка разрыва функции у=ƒ(х), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

Случаи появления разрывов

1. Функция определена в окрестности точки х₀, но не определена в самой точке х₀.

2. Функция определена в точке х₀ и ее окрестности, но не существует предела ƒ(х) при х→х₀.

3. Функция определена в точке х₀ и ее окрестности, предел функции в точке х₀ существует, но этот предел не равен значению функции в точке x₀.

2. Точки разрыва. Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

- Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции у=ƒ(х), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности. График функции в этой точке устремляется в бесконечность.

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 19.1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

Пусть функция и непрерывны на некотором множестве; и — любое значение из этого множества. Докажем, например, непрерывность произведения . Применяя теорему о пределе произведения, получим:

Итак, , что и доказывает непрерывность функции в точке .

Теорема 19.2. Пусть функции непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .

В силу непрерывности функции , , т. е. при имеем . Поэтому вследствие непрерывности функции имеем:

Это и доказывает, что сложная функция непрерывна в точке .

Теорема 19.3. Если функция непрерывна и строго монотонна на оси , то обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке оси (без доказательства).

Так, например, функция , в силу теоремы 19.1, есть функция непрерывная для всех значений , кроме тех, для которых , т. е. кроме значений .

Функции в силу теоремы 19.3, непрерывны при всех значениях , при которых эти функции определены.

Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях , для которых они определены.

Как известно, элементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.

Пример №19-4.

Найти .

Решение:

Функция непрерывна в точке , поэтому

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: