Метод интервалов решения неравенств 10 класс никольский конспект урока

Обновлено: 02.07.2024

- Выработать умение решать неравенства с одной переменной методом интервалов.

Развивающие

- Развивать и совершенствовать умение применять имеющиеся у учащихся знания в изменённой ситуации.

- Развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения.

Воспитательные

- Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Оборудование урока: компьютер; проектор; экран; тетради, ручки, линейки.

Прогнозируемые результаты:

Личностные:

- Осознание учащимися ценности полученных знаний.

- Умение провести самооценку и взаимооценку.

- Формирование этических норм поведения, уважения к труду.

Межпредметные:

- Умение применять и сохранять цель урока.

- Умение находить способы решения поставленной цели.

- Умение слушать собеседника и вести диалог, высказывать свою точку зрения, правильно говорить.

Предметные:

- Формирование навыка решения неравенств с одной переменной методом интервалов.

- Умение применять полученные знания при решении задач.

Вложение	Размер
10_k.d_neravenstva_metod_intervalov.doc	926.5 КБ

Предварительный просмотр:

Тип урока: Формирование умений и навыков.

- Выработать умение решать неравенства с одной переменной методом интервалов.

- Развивать и совершенствовать умение применять имеющиеся у учащихся знания в изменённой ситуации.

- Развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения.

- Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Оборудование урока: к омпьютер; проектор; экран; тетради, ручки, линейки.

- Осознание учащимися ценности полученных знаний.

- Умение провести самооценку и взаимооценку.

- Формирование этических норм поведения, уважения к труду.

- Умение применять и сохранять цель урока.

- Умение находить способы решения поставленной цели.

- Умение слушать собеседника и вести диалог, высказывать свою точку зрения, правильно говорить.

- Формирование навыка решения неравенств с одной переменной методом интервалов.

- Умение применять полученные знания при решении задач.

I Организационный момент. 1 мин

II Актуализация знаний. 7 мин

III. Изучение нового материала. 6 мин

IV Решение задач у доски. 9 мин

V Самостоятельная работа. 15 мин

VI Рефлексия. 1мин

VII. Домашнее задание. 1 мин

I Организационный момент .

– Здравствуйте, ребята! Сегодня вы сделаете очередной шаг навстречу большой цели – итоговая аттестация. Я с радостью помогу вам сделать этот шаг. Однажды я прочла высказывание

- У себя на столах вы можете найти вспомогательные материалы для работы, а также ваши права и обязанности, которыми мы будем пользоваться и исполнять в ходе нашего урока.

Права и обязанности:

- можно высказывать свою мысль по желанию, а потом по порядку;

- когда кто-то говорит, все слушают и не перебивают;

- сдерживаться от оценивания и резких высказываний в адрес одноклассников;

- стараться прийти к общему мнению, если у вас имеется особое мнение, то и оно имеет право на существование;

Итак, начнем наш урок. Вам необходимо опрасить друг друга по базовым листам.

II Актуализация знаний.

Ученики опрашивают друг друга по базовым листам.

- Какая функция непрерывна в данной точке х о ?

- Какая функция называется непрерывной на интервале?

- Каким свойством обладает функция непрерывная на каком-то интервале?

- Что представляет собой график непрерывной функции на каком-то интервале?

- Какие из изучаемых вами функций непрерывны во всей своей области определения?

По завершении работы в парах учитель взывает нескольких ребят, которые произносят фразу типа: "У меня вызвали затруднение такие-то вопросы: . "

3. Найди область определения функции:

а) у= , б) у= х 2 +6х , в) у= , г) .

III. Изучение нового материала.

- Давайте запишем вопросы к нашей теме урока с помощью вопросительных слов на доске:

Что? ( такое метод интервалов)
Как? (решают рациональные неравенства методом интервалов)
Для чего? (необходим данный метод)

- Попробуйте сформулировать цели нашего урока.

( Научиться решать рациональные неравенства методом интервалов)

А теперь давайте познакомимся со способом решения рациональных

Рассмотрим пример и запишем алгоритм решения в тетрадь.

Рассмотрим функцию F(x) =

1. Найдем область определения функции:

Вся числовая прямая, кроме нулей знаменателя:

2. Найдём нули функции:

3. Отметим на числовой прямой найденные точки:

4. Определим знаки функции в каждом интервале:

Неравенство нестрогое, поэтому числа -1 и 1 (нули функции f) являются решениями неравенства.

5. Запишем ответ в виде объединения промежутков:

Алгоритм решения неравенств с одной переменной с помощью интервалов:

Выделить функцию f(x).
Найти область определения функции f(x).
Найти нули функции f(x), решив уравнение f(x)=0.
Отметить на оси х интервалы, на которые область определения разбивается нулями функции, в каждом из которых функция непрерывна и не равна нулю, а значит, сохраняет знак.
Определить знак функции f(x) на каждом интервале,

если неравенство нестрогое, то нули функции являются его решением.

Записать ответ. ЕСЛИ НЕРАВЕНСТВО НЕСТРОГОЕ, ТО ПРОВЕРИТЬ,ЧТОБЫ ВСЕ НУЛИ ВЫШЛИ В ОТВЕТ!

IV Первичное закрепление

Свойством непрерывности пользуются при решении неравенств с одной переменной методом интервалов.

Пользуясь этим алгоритмом решим неравенства у доски.

I Решить неравенство: (х+1)(х-2)(х+4)

Обозначим: f(x)= (х+1)(х-2)(х+4),
D(f)=R,
Нули функции: (х+1)(х-2)(х+4)=0 х 1 = - 1, х 2 = 2, х 3 = - 4.
Нули функции разобьют всю область определения на 4 интервала в каждом из которых функция f(x) непрерывна и не равна нулю, а значит, сохраняет знак.

Определим знак функции f(x) в каждом из получившихся интервалов.

в) (-1; 2), f(0) = (1) (-2) (4) 0,

Из рисунка видно, что f(x) (-∞; -4) (-1; 2) .

II Решить неравенство: >0

точка х=1,5 разбивает всю область определения функции f(x) на интервалы в которых функция непрерывна, а значит, свойства непрерывности сохраняются.

Нули функции разобьют всю область определения на 4 интервала в каждом из которых функция f(x) непрерывна и не равна нулю, а значит, сохраняет знак.

Определим знак функции f(x) в каждом из получившихся интервалов.

Из рисунка видно, что f(x) > 0, если х (-2; 1,5) (3; +∞) .

III Найти область определения функции:

х-х 3 ≥ 0, х 3 -х ≤ 0,

Обозначим f(x)= х (х-1)(х+1),
D(f)=R,
Нули функции f(x). х (х-1)(х+1) =0 х 1 = -1; х 2 = 0, х 3 = 1.
Нули функции разобьют всю область определения на 4 интервала в каждом из которых функция f(x) непрерывна и не равна нулю, а значит, сохраняет знак.

Определим знак функции f(x) в каждом из получившихся интервалов.

а) (-∞; -1), f(-2) = (-2) (-3) (-1) ) = (- ) (- 1 ) ( ) > 0,

в) (0; 1), f( ) = ( ) (- ) ( ) 0,

неравенство нестрогое, поэтому х= -1, х= 0, х= 1 входят в решение этого неравенства

Из рисунка видно, что f(x) ≤ 0, если х (-∞;- 1] [0;1].

IV Решить неравенство.

Найти его наименьшее целое решение . >2

– 2 > 0 > 0 > 0

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Урок по алгебре и началам математического анализа

для 10 класса базовый уровень по теме

Разработка Коваленко Светланы Геннадьевны

Метод интервалов (2 урок по теме).

Урок решения ключевых задач.

Формируемые результаты

Предметные: формировать умение решать неравенства методом интервалов.

Личностные: р азвивать навыки самостоятельной работы, анализа своей работы.

Метапредметные: формировать умение развивать понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Планируемые результаты

Учащийся научится решать неравенства методом интервалов.

Основные понятия

Непрерывная кривая, непрерывная в каждой точке области определения функция, разрыв функции в точке, теорема о непрерывной функции на промежутке, метод интервалов, теорема о непрерывности функции .

Цель: закрепить полученные знания и умения формировать умение решать неравенства методом интервалов , применяя изученное на более сложных ключевых задачах.

Актуализация знаний.
- какие функции называют непрерывными;

- дать определение области определения функции.

- устно найти промежутки знакопостоянства следующих функций (слайд 2):

-устно решить неравенства и пояснить свои ответы(слайд 3):

А) (3-х) 2 , б) х 2 +4≤0

2. Объяснение нового материала.

- Разбор примеров 2 и 3 со стр. 39 учебника.

Пример 2. Решите неравенство (х + 1)(3 – х)(х - 2) 2 > 0. (Слайд 4)

Решение. Функция f (х) = ( x + 1)(3 - х)(х - 2) 2 непрерывна на R. Отметим нули функции f на координатной прямой (рис 5.7 ). Они разбивают множество D ( f ) = R на промежутки знакопостоянства функции f .

Пример 3. Решите неравенство (слайд 5)

Решение подробно разобрано в учебнике с иллюстрацией исследования знака функции на каждом промежутке.

Пример 5 . со стр.40 было предложено учащимся решить по алгоритму.

(слайд 6)

Исследуем знак функции f на каждом из этих промежутков. Результат исследования показан на рисунке 5.8.

Ответ: (-1; 2) U (2; 3).

Разложите и числитель и знаменатель на множители

Решить полученное неравенство методом интервалов .

Особое внимание уделить ответу неравенства (- , точке . Функция в ней существует и равна 0.( слайд 7)

Закрепление.
Работа с учебником.

1) 5.9(1 столбик), разбор заданий совместно с учителем.

Учащимся дается следующее задание : оформить решение первого неравенства из номера и записать ответы к остальным. Каждый шаг решения первого неравенства комментируются учащимися по очереди

2) 5.10(1,3) работа в парах.

Решение этого номера предлагается выполнить в парах, чтобы еще рез закрепить алгоритм решения неравенств методом интервалов. Объясняя друг другу решение, учащиеся еще раз проговорят его. Для проверки 2 учащихся решают у доски.

3) 5.17( вариант 1 (2,3), вариант 2 (1,5) самостоятельная работа с последующей проверкой.

При выполнении самостоятельной работы учащиеся отрабатывают умение решать неравенства методом интервалов, учитывая область определения функции. Это умение пригодиться также для исследования функций и построения графиков функций при изучении других тем.

Итог урока : результаты самостоятельной работы.

Результаты самостоятельной работы подвести после взаимопроверки со слайда 10.

Цели: совершенствовать навыки применения метода интервалов при решении неравенств различной сложности; учить работать самостоятельно, находить и исправлять ошибки; готовиться к ЕГЭ.

I. Орг. момент.

II. Проверка домашнего задания.

1) Три человека оформляют решение на доске.

2) Остальные работают с учителем.

1. Представьте в виде многочлена квадрат разности 2а и 8.

3. Разложите на множители 4а*а-16х*х.

4. Решите неравенство: (х-5)(1-х)0

5. Решите неравенство: (х+4)(х+4)(х-3)

Выполняется самопроверка мат. диктанта, взаимопроверка домашнего задания.

III. Решение упражнений.

№ 2.72 (д, ж) Один человек у доски с полным комментарием, остальные в тетрадях.

№ 2.72 (е, з) Два человека на доске, остальные в тетрадях. Взаимопроверка.

Метод интервалов особенно эффетивен при решении неравенств, содержащих тригонометрические функции. На данном уроке дается алгоритм решения тригонометрических неравенств методом интервалов.

Вложение	Размер
algebra_10_klass.docx	215.62 КБ

Предварительный просмотр:

Повторить ранее изученный теоретический материал, обобщить метод интервалов на решение тригонометрических неравенств.
Сформировать навыки решения тригонометрических неравенств.
Учить детей обобщать, анализировать, делать выводы.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом

Оборудование урока: ноутбук , мультимедийный проектор, интерактивная доска.

Подготовка к изучению нового материала че рез повторение и актуализацию опорных знаний.

(Учащиеся решают устно задания, предложенные в виде слайдовой презентации)

1) sin x = ; 4) cos x = 1; 7) sin x = 3 ; 10) tg x = -1;

2) cos x = - 0,3; 5) sin x = -1; 8) cos x = -1; 11) sin x = 0;

3) tg x = 3 ; 6) cos x = 0; 9) sin x = 1; 12) ctg x = - 0,5.

Найти наименьший положительный период функции: (слайд №2)

f(x) = cos 3x; ( T 1 =)
f(x) = 3 sin; (T 1 = 5)
f(x) = sincos 2x; (T 1 = 4)
f(x) = sin 3x + 4cos 4x; (T 1 = 2)
f(x) = . (T 1 = 6)

Одним из основных методов решения более сложных тригонометрических неравенств является метод интервалов. Метод интервалов при решении тригонометрических неравенств применяется на промежутке 0; T ), где T – общий период всех тригонометрических функций, входящих в неравенство. Решение неравенства, полученное на промежутке 0; T ), периодически продолжают на всю числовую ось. (Слайд № 5)

Для того чтобы решить неравенство методом интервалов необходимо:

Рассмотрим пример. Решите неравенство sin 4x cos 2x. Запишем неравенство в виде sin 4x - cos 2x 0. Рассмотрим функцию f(x) = sin 4x - cos 2x. Найдите область определения данной функции. (Функция определена на R). Является ли она непрерывной на области определения? (Да, функция непрерывна на всей числовой прямой). Найдите основной (наименьший положительный) период функции. (Т=). Следовательно, неравенство можно решить на промежутке [0; ) и найденное решение периодически продолжить на всей числовой оси. Для этого найдём корни уравнения f(х) = 0.

sin 4x - cos 2x = 0; cos 2x (2 sin2х - 1) = 0;

cos 2x = 0 или 2 sin2х – 1 = 0;

2х = sin2x = ; 2x = (- 1) m

х 1 = x = (- 1) m m = 2k, х 2 =

Найденные корни отметим на окружности единичного радиуса с учетом основного периода.

Определим знаки левой части неравенства на полученных интервалах. Так как при x = значение функции

f> 0, то на интервалелевая часть неравенства положительна,а на остальных интервалах её знаки чередуются. Приведенный пример имеет одну особенность. Серии х 1 , х 2 и х 3 дают на единичной окружности несовпадающие точки. Если же некоторые точки разных серий совпадают, то их называют кратными. Точки, которые повторяются в

четном числе серий, называют точками четной кратности, а те, что повторяются в нечетном числе серий,— точками нечетной кратности.

Запишем решения неравенства на промежутке [0). Поскольку нас интересуют промежутки, в которых f(x) 0, получим

и . С учётом периодичности f(х), продолжим найденные решения на всю числовую прямую. Для этого прибавим к левой и правой частям неравенств целое число периодов Окончательно получаем

Рассмотрим ещё один пример. Решим неравенство .

Рассмотрим функцию f(x) = . Её основной период равен 4π. Найдём область определения функции в промежутке [0; 4). Получим, что 1 + 2 cosx 0; cosx ; x ; x ; тогда

х , х -. В промежуток [0; 4) не входят точки: ; ; ; .

Найдем корни уравнения sin = 0 лежащие в промежутке [0; 4).

sin = 0 при = n, ; x = 2n, . Промежутку [0; 4) принадлежат точки: 0; 2 Поскольку основной период функции равен 4π ( T>2π) для изображения интервалов будем использовать не тригонометрическую окружность, а числовую прямую. Отметим полученные точки на числовой прямой и определим знаки функции в каждом из этих интервалов.

При x =значение функции f() = > 0. , то на интервале, левая часть неравенства положительна,а на остальных интервалах её знаки чередуются.

Нас интересуют те значения х, для которых f(x) 0. Данное неравенство выполняется в точке x = 0 и трех промежутках

Поскольку основной период функции равен 4, прибавим к левой и правой частям каждого неравенства .. Причем число 0 заменим на 4π и включим в третий промежуток. Запишем ответ:

Итак, мы решили тригонометрические неравенства методом интервалов, который ещё называют обобщённым методом интервалов.

Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения

Решение: Рассмотрим функцию f(x) =

Основной период функции равен 2π. Область определения находим из условия sin3x ≠ 0, В промежуток [0; 2) не входят точки: 0;; ; ; ; . Найдем корни уравнения , лежащие в промежутке [0; 2).

Промежутку [0; 2) принадлежат точки: 0; ; ; ;;. Отметим найденные точки на тригонометрической окружности.

Определим знаки левой части неравенства на полученных интервалах. Так как при x = значение функцииf > 0, то на интервалелевая часть неравенства положительна. Поскольку точки x=0 и x= являются точками четной кратности, поэтому знак левой части неравенства при переходе через эти точки не меняется,а на остальных интервалах её знаки чередуются.

Читайте также: