Конспект вычисление определенных интегралов

Обновлено: 03.07.2024

• Для учеников 1-11 классов и дошкольников
• Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Автор : Скаленко Светлана Владимировна, преподаватель

Тип занятия: формирование и совершенствование знаний, умений и навыков

Вид занятия: решение практических задач

Цель: закрепление умения использования таблицы интегралов, правила интегрирования, отработка навыков вычисления определенных интегралов.

воспитание навыков самостоятельного мышления, формирование коммуникативных качеств

развитие вычислительных навыков, умение наблюдать, сравнивать, делать выводы и обобщения.

Знания : знать определения производной функции, первообразной функции, неопределенного и определенного интегралов, формулу Ньютона-Лейбница

Умения: уметь находить производную функции, первообразную функции, неопределенный интеграл, вычислять определенные интегралы

Формируемые компетенции: ОК 2, ОК 4, ОК 6, ОК 7

Форма организации работы на занятии: наглядность, доступность, систематичность, сознательность, активность

УМК: Алгебра и начала математического анализа Алимов Ш.А. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень ); Просвещение, 2012 год.

Форма работы: фронтальная, работа в парах, индивидуальная

Форма организации работы на занятии: наглядность, доступность, сознательность, активность, систематичность

Методическое обеспечение: раздаточный материал

Продолжительность занятия: 90 минут

Повторение формул: производной функции, первообразной функции, формулы Ньютона-Лейбница

Беседа, фронтальный опрос, с/р с проверкой в классе

Осознание цели занятия, осмысление учащимися достаточности и последовательности знаний по теме. Активность познавательной деятельности учащихся

Постановка задач занятия

Решение (вычисление) интегралов. Закрепление знаний

Вычисление определенных интегралов, закрепление ранее изученного материала

Работа в парах, у доски. Фронтальная работа

Правильно решение, обсуждение решений, ответы на поставленные вопросы

Совершенствование знаний, умений и навыков

Работа в парах, у доски. Фронтальная работа

Добиться глубины понимания изученного материала

Определить степень понимания и усвоения материала

Карточки с разноуровневыми заданиями

Умение применять полученные знания при выполнении заданий

Постановка д/з. Мотивация учащихся на его выполнение. Подведение итогов занятия

Ответы на вопросы учащихся. Оценивание знаний

Правильно выполнение д/з семи учащимися (выясняется на следующем занятии)

Организационный момент.

Проверка домашнего задания, разбор вопросов по домашнему заданию.

Устный счет.

Найти первообразную функции:

а) у=10х; б) у=х 2 ; в) у= sinx ; г)у= cosx ; д) у=х 4 ; е) у=3е х

Верны ли равенства?

Найти производные и первообразные функций

а) y = ; б) y = ; в) y = ;

Проверка усвоения учащимися изученного материала, актуализация знаний формулы Ньютона-Лейбница, правил нахождения первообразных.

Совершенствование знаний, умений и навыков. Работа в парах и у доски.

Разработка предназначена для формирования и совершенствования знаний, умений и навыков по теме "Вычисление определенных интегралов". На занятии отрабатываются навыки решения практических задач.

Вложение	Размер
konspekt_zanyatiya_po_teme_vychislenie_opredelennyh_integralov.docx	22.27 КБ

Предварительный просмотр:

Автор : Скаленко Светлана Владимировна, преподаватель

Тип занятия: формирование и совершенствование знаний, умений и навыков

Вид занятия: решение практических задач

Цель: закрепление умения использования таблицы интегралов, правила интегрирования, отработка навыков вычисления определенных интегралов.

воспитание навыков самостоятельного мышления, формирование коммуникативных качеств

развитие вычислительных навыков, умение наблюдать, сравнивать, делать выводы и обобщения.

Знания : знать определения производной функции, первообразной функции, неопределенного и определенного интегралов, формулу Ньютона-Лейбница

Умения: уметь находить производную функции, первообразную функции, неопределенный интеграл, вычислять определенные интегралы

Формируемые компетенции: ОК 2, ОК 4, ОК 6, ОК 7

Форма организации работы на занятии: наглядность, доступность, систематичность, сознательность, активность

УМК: Алгебра и начала математического анализа Алимов Ш.А. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень ); Просвещение, 2012 год.

Цель урока: научить учащихся находить площади плоских фигур с помощью определённого интеграла.

Задачи:

Образовательные:

- выявить незаменимую роль первообразной и интеграла в решении многих задач науки и практики;

- формировать знания и умения учащихся в области применения первообразной и интеграла;

- способствовать формированию умения составлять математические модели реальных ситуаций.

Воспитательные:

- способствовать воспитанию творческой активности учащихся;

- формировать ответственное и добросовестное отношение к порученным обязанностям;

- формировать умения работать в коллективе, принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях;

- воспитать культуру делового общения.

Развивающие:

- способствовать развитию познавательных интересов учащихся;

- развивать навыки коллективной и самостоятельной работы;

- содействовать развитию мышления, самостоятельности, наблюдательности, творческих способностей.

Технологии: технология проблемного обучения, технология обучения в сотрудничестве.

Методы обучения: проблемный, частично-поисковый.

Тема урока: «Определенный интеграл. Вычисление площадей плоских фигур

Цель урока: научить учащихся находить площади плоских фигур с помощью определённого интеграла.

Образовательные:

- выявить незаменимую роль первообразной и интеграла в решении многих задач науки и практики;

- формировать знания и умения учащихся в области применения первообразной и интеграла;

- способствовать формированию умения составлять математические модели реальных ситуаций.

Воспитательные:

- способствовать воспитанию творческой активности учащихся;

- формировать ответственное и добросовестное отношение к порученным обязанностям;

- формировать умения работать в коллективе, принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях;

- воспитать культуру делового общения.

Развивающие:

- способствовать развитию познавательных интересов учащихся;

- развивать навыки коллективной и самостоятельной работы;

- содействовать развитию мышления, самостоятельности, наблюдательности, творческих способностей.

Технологии: технология проблемного обучения, технология обучения в сотрудничестве.

Методы обучения: проблемный, частично-поисковый.

Вам самим предстоит выбрать свой путь, а моя задача помочь продвигаться вам по этому пути.

Повторение изученного материала:

Работа с учебником: № 49. 3 (г), 49.5 (г)

Одной из задач, которую мы ставим с вами на каждом уроке, успешное прохождение итоговой аттестации в форме ЕГЭ.

Подготовка к ЕГЭ

B 8.

На рисунке изображён график функции .

Функция — одна из первообразных функции .

Найдите площадь закрашенной фигуры.

B 8.

На рисунке изображён график некоторой функции . Функ­ция — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Най­дем фор­му­лу, за­да­ю­щую функ­цию гра­фик ко­то­рой изоб­ражён на ри­сун­ке.

Сле­до­ва­тель­но, гра­фик функ­ции по­лу­чен сдви­гом гра­фи­ка функ­ции на еди­ниц влево вдоль оси абс­цисс. По­это­му ис­ко­мая пло­щадь фи­гу­ры равна пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции и от­рез­ком оси абс­цисс. Имеем:

Еще не­сколь­ко спо­со­бов рас­суж­де­ний по­ка­жем на при­ме­ре сле­ду­ю­щей за­да­чи.

B 8.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик не­ко­то­рой функ­ции Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те опре­де­лен­ный ин­те­грал

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции — одной из пер­во­об­раз­ных не­ко­то­рой функ­ции , опре­делённой на ин­тер­ва­ле . Поль­зу­ясь ри­сун­ком, опре­де­ли­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния на от­рез­ке .

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те , где — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции .

Изучение нового материала:Ре­ше­ние.

Изучая геометрию Евклида, мы научились вычислять площади многих фигур (прямоугольник, квадрат, трапеция, ромб, …, находить площади сложных фигур как сумму или разность их частей), но не любой.

Нам необходим новый метод вычисления площадей плоских фигур. Это вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

Основные случаи расположения плоской фигуры и соответствующие формулы площадей (презентация)

Фигура ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной функции , осью абсцисс и прямыми .

Фигура ограниченная графиком непрерывной и неположительной функции , осью абсцисс и прямыми .

Фигура ограниченная графиками двух непрерывных функций и на и прямыми , где .

4. Фигура ограниченная графиками двух и более непрерывных функций на .

С учетом проделанной работы, сформулируем и запишем алгоритм решения задач по теме урока.

Определяем границы плоской фигуры.

Если границы не указаны, то находим их, решая уравнение f(x) =0 или f(x)=g(х).

Строим график функции (функций).

Записываем формулу Ньютона-Лейбница.

Находим первообразную функции.

Вычисляем значение по формуле.

Закрепление изученного материала:

Отработка алгоритма:

Дано: , х=-1, х=2, у=0.

Решение: Построим график и выделим площадь, которую необходимо найти.

S =

Ответ: S = 6 кв.ед.

Дано: y = x 2 , y = x + 2.

Задание: вычислите площадь заштрихованной фигуры.

Карточка для пары №1

Карточка для пары №2

Карточка для пары №3

Карточка для пары №4

Подведение итогов урока:

Отметить положительные моменты урока, отметить недостатки. Прокомментировать оценки.

Мне сегодня на уроке понравилось….

Я сегодня испытывал затруднение в ……

Мне сегодня было интересно узнать о….

Мне сегодня было легко…..

Мне сегодня было трудно….Опре­де­лен­ный ин­те­грал от функ­ции по от­рез­ку дает зна­че­ние пло­ща­ди под­гра­фи­ка функ­ции на от­рез­ке. Об­ласть под гра­фи­ком раз­би­ва­ет­ся на пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, пло­щадь ко­то­ро­го и пря­мо­уголь­ник, пло­щадь ко­то­ро­го Сумма этих пло­ща­дей дает ис­ко­мый ин­те­грал

Ответ:12.

Домашнее задание:

Найти в сети Интернет, в каких дисциплинах и какие величины можно вычислить с помощью определенного интеграла.

Тема: Определённый интеграл. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.

Тип урока: изучение нового материала.

Образовательные: формирование понятия интеграла; формирование навыков вычисления определенного интеграла; формирование умений практического применения интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции.

Развивающие: способствовать развитию познавательных интересов учащихся; содействовать развитию мышления, самостоятельности, наблюдательности;

Воспитательные: прививание интереса к получению знаний; способствовать воспитанию творческой активности учащихся; формирование аккуратности при вычислении интегралов и построения чертежей.

Ученик должен знать: понятие первообразной, таблицу первообразных функций, формулу Ньютона –Лейбница, геометрический смысл определенного интеграла

Ученик должен уметь: вычислять определенный интеграл

Оборудование: Карточки (ДО и после), интерактивная доска

Актуализация знаний 5мин

Неопределенный интеграл, запись

Чему равна первообразная функции у=f(kx+m)?

Что является первообразной для скорости движения тела?

Что такое определенный интеграл для данной функции?

Свяжите все эти понятия и определите тему урока, сформулируйте цели и задачи 3мин

Найдите первообразную функции: y=5; y=2x; y=3x 2 ; y=cosx; y=1/x.

Ответы на обороте доски: 5x; x 2 ; x 3 ; sinx; ln│x│.

Оцените себя на листе опроса.

Можно ли считать только данные ответы верными? Почему?

Как называется это множество всех первообразных?

Ответы пишите во второй столбец.

_а); _б); _в); _г); _д).

Ответы на обороте доски: _1 +c; _1+c; _1+c; _+c; _1+c.

ВЫВОД: неопределенный интеграл- это множество первообразных, отличающихся только числом.

Формирование новых знаний

Выявите связь между понятиями, которые я назову, и продолжите этот ряд: 5 и 1/5, умножение и деление, возведение в квадрат и извлечение из-под корня, дифференцирование и… Какой термин будет в паре? Почему? Какие это действия?

Интеграл, интегрирование, интеграция… Однокоренные слова, к тому же вышедшие за пределы математики и ставшие обиходными. В газетах читаем об интеграции наук, культур, в политике и экономике ведут речь об интегральных процессах.

Любопытно, что идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей дифференциального исчисления. Греческие математики Эвдокс и Архимед (4; 3 века до н.э.) для решения задач вычисления площадей и объемов придумали разбивать фигуру на бесконечно большое число бесконечно малых частей и искомую площадь (объем) вычисляли как сумму площадей (объемов) полученных элементарных кусочков

Во второй половине 17 века идеи, подготовленные всем предшествующим развитием математики, были гениально осознаны, обобщены и приведены в систему английским физиком и математиком И. Ньютоном и немецким математиком В.Г. Лейбницем. Они создали стройную систему понятий и выработали правила, по которым можно вычислять интегралы.

Сегодня мы будем следовать естественноисторическому развитию математики и искать тот самый скрытый порядок в хаосе…

Геометрический смысл задачи интегрирования.

Какая связь между величинами пути s(t) и v(t) - скорости? -физика

Т.е, s’(t)=v(t) и обратное действие интегрирования дает _=s(t).

Таким образом, интеграл скорости равен пути.

_{, где S-перемещение,V-скорость, t –время}

_{, где m-масса тонкого стержня, ρ- линейная плотность}

_{, где A-работа, F-сила, N–мощность}

_{, гдеq-заряд, I-сила тока.}

Рассмотрим, в чем заключается геометрический смысл этого интеграла.

Причем, чем больше будет n, тем точнее будет площадь трапеции. Сумму площадей прямоугольников принято искать в виде предела последовательности (Sn): S=limSn. Итак, мы проделали два шага: разбили отрезок [a,b] на n равных частей и составили сумму Sn прямоугольников. Далее мы можем его вычислить. В курсе мат. анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной функции существует. Его называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a,b] и обозначают так _. Числа a и b называют пределами интегрирования.

Тогда, определение площади из задачи теперь можно записать следующим образом: _. S –площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то справедлива формула _, где F(x) – первообразная для f(x). Приведенную формулу называют формулой Ньютона-Лейбница_.

Это приращение первообразных в концах интервала

Площадь криволинейной трапеции под графиком функции

Первичная отработка навыков применения новых знаний - взаимопроверка

через понижение степени

Переходим к карточке и заполняем 2 часть (после)

Самостоятельная работа

Самостоятельная работа Самостоятельная работа

3. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те F(8) − F(2), где F(x) — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x).

3. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те , где — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции .

Итог урока. Что трудного для вас оказалась? Что было понятным, что не понятным 49.7-49.9(в) формулу знать и знать геометрический смысл

разработка "Вычисление интеграла" представляет собой план-конспект урока закрепления ЗУН с подробным решением нахождения неопределенного интеграла и вычислением определенного интеграла.

Содержимое разработки

Урок № 15-16. Вычисление интеграла.

Цель урока: закрепление умений вычислять неопределенные и определенные интегралы.

Закрепить умения и навыки вычислять неопределенные и определенные интегралы.

Развивать умения и навыки применять формулы и правила интегрирования при вычислении определенных и неопределенных интегралов; развивать логическое мышление.

Воспитывать трудолюбие и упорство.

Тип урока: урок закрепления ЗУН.

Приветствие. Постановка цели урока.

Проверка домашнего задания.

Работа в парах, в мини - группах.

Проверка домашнего задания: а) проверить наличие домашнего задания в тетрадях; б) разобрать у доски нерешенные задания; в) устный опрос.

Работа в парах, в мини – группах: учащиеся в парах и мини – группах решают задания.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл .

Применяем, где .

Получаем:

Пример 2. Найти интеграл .

Подынтегральная функция - это дробь . Запишем ее в виде степенной функции, а именно, . Затем используем, при . Получаем:

Пример 3. Найти интеграл .

В подынтегральной функции разделим почленно числитель на знаменатель. Затем воспользуемся неопределенного интеграла, а также, преобразовав предварительно , если нужно подынтегральную функцию к виду . Получаем:

=

Пример 4. Найти интеграл .

Решение.

Этот интеграл не является табличным. Преобразуем числитель следующим образом: , затем разделим числитель на знаменатель почленно. Получим:

Пример 5: Решение:

Пример 6: Решение:

Пример 7: Решение:

Пример 8: Решение:

Пример 9. Вычислить определенный интеграл
Решение:

Читайте также:

  
• Фольклорные начала в песне про купца калашникова образ гусляров и автора конспект урока 7 класс
  
• Конспект нестандартного урока по окружающему миру 2 класс
  
• Конспект по русскому языку 3 класс контрольный диктант по русскому языку
  
• У войны недетское лицо конспект
  
• Конспект занятия дружат дети всей земли в средней группе