Конспект урока признак перпендикулярности прямой и плоскости 10 класс атанасян

Обновлено: 28.06.2024

Лемма о перпендикулярности двух прямых к третьей прямой: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярная к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Теорема о параллельных прямых, перпендикулярных плоскости: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярная к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Обязательная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.

Дополнительная литература:

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Для того чтобы проверить перпендикулярность прямой к плоскости достаточно проверить перпендикулярность лишь к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Для доказательства рассмотрим прямую a, перпендикулярная к прямым p и q, лежащим в плоскости α и пересекающимся в точке О (рис. 1).

Сначала рассмотрим случай, когда прямая a проходит через точку О (рис. 2). Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой m. Если m проходит через точку О, то в качестве l возьмем саму m.

Отметим на прямой a точки A и B так, чтобы точка O была серединой отрезка AB. Затем проведем в плоскости α прямую, пересекающую прямые p, q и l соответственно в точках P, Q и L.

Так как отрезок AO равен OB и прямая a перпендикулярна к прямым p и q, то p и q являются серединными перпендикулярами к отрезку AB. Поэтому отрезок AP равен BP и AQ равен BQ. Следовательно, треугольник APQ равен треугольнику BPQ по трем сторонам. Отсюда получаем, что угол APQ равен углу BPQ.

Треугольники APL и BPL равны по двум сторонам и углу между ними, так как отрезок AP равен BP, PL – общая сторона и угол APL равен углу BPL. Значит, отрезок AL равен BL. Значит, треугольник ABL – равнобедренный, а его медиана LO является и высотой, т.е. l перпендикулярна прямой a.

По лемме о перпендикулярности двух прямых к третьей прямой m будет перпендикулярна прямой a. Поэтому a перпендикулярна к любой прямой m плоскости α.

Теперь рассмотрим случай, когда прямая а не проходит через точку O (рис. 3). Проведем через точку O прямую a₁, параллельную a. По лемме о перпендикулярности двух прямых к третьей, получим, что прямая a₁ перпендикулярна прямым p и q. Поэтому по доказанному в первом случае a₁ перпендикулярна плоскости α.

По теореме о параллельных прямых, перпендикулярных плоскости a перпендикулярна к плоскости α.

Теорема доказана.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Докажем, что прямые CA₁ и BD, проходящие через вершины куба ABCDA₁B₁C₁D₁, перпендикулярны (рис. 4).

Рассмотрим плоскость ACC₁ и прямую BD. Так как прямая BD перпендикулярна прямым AA₁ и AC, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая BD перпендикулярна ACC₁.

Следовательно, прямая BD перпендикулярна любой прямой в ACC₁. В частности, прямая BD перпендикулярна прямой CA₁. Что и требовалось доказать.

Тестовый вопрос №5. Верно ли, что если прямая перпендикулярна каким-нибудь двум прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости?

Решение. Воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярная к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. В нем сказано, что прямые в плоскости должны пересекаться. В условии подобного не сказано, поэтому утверждение неверно.

Тестовый вопрос №7. Треугольник АВС – равносторонний, CD – медиана, MD перпендикулярно плоскости ABC. AB = 2√3, MD = 4. Найти MC.

Решение. Рассмотрим треугольник ABC. Он равносторонний. Это означает, что его медиана так же является высотой и биссектрисой. Рассмотрим треугольник ADC. Он прямоугольный, т.к. DC медиана и высота. Сторона AD равна √3. По теореме Пифагора вычислим длину стороны DC: .

Рабинович Е. М.Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 классы. Геометрия.- М.: Илекса, 2003.

Смирнова И.М. Сборник устных задач и упражнений по геометрии для 10-11 классов средней школы. – М.: Аквариум, 1998.

Оборудование: мультимедийный комплекс (компьютер, проектор).

Ход урока

1. Решить устно задачу №119(а) по готовому чертежу приложение 1.

2. Верно ли утверждение: прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости? (вопрос высвечивается на экране, приложение 1)

[Привести контрпример, используя ручки в качестве прямых и тетради в качестве плоскостей]

Как проверить при решении задачи перпендикулярность данной прямой а, к данной плоскости ?
Если следовать определению, то необходимо проверить перпендикулярность данной прямой а, по отношению к любой прямой, лежащей в плоскости , но таких прямых бесконечно много.
Возникает вопрос: сколько нужно взять прямых в плоскости , чтобы можно было доказать перпендикулярность данной прямой а к данной плоскости?

Одна прямая в плоскости .
Две прямые (параллельные и пересекающиеся)

Учащиеся выдвигают предположение: если в плоскости указать две пересекающиеся прямые, перпендикулярные данной прямой а, то видимо прямая а будет перпендикулярна плоскости

Доказательство теоремы приложение 2.

Примерная запись доказательства теоремы

1.Определение, любая прямая m.

2.Допущения: пусть а проходит через точку О.

3.Дополн. постр.: АО = ОВ; P,Q,L.

1. Устное решение задач по готовым чертежам [Рабинович Е. М.Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 классы. Геометрия, стр. 17, №1, 5], параллельно рисунки воспроизведены на экране, приложение 3.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Урок геометрии в 10 классе

Тема: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Познакомиться с признаком перпендикулярности прямой и плоскости и научиться применять его при решении задач стереометрии
Развитие пространственного воображения и логического мышления обучающихся
Воспитание уважительного отношения к мнению окружающих

Форма урока: комбинированный

Оборудование:

персональный компьютер;
мультимедийный проектор;
экран;
документ-камера;
авторская презентация, подготовленная с помощью Microsoft Power Point

Структура урока

1. Организационный момент

3. Изучение нового материала как усвоение нового знания (формулировка, доказательство).

4. Первичное закрепление (фронтальная работа, самоконтроль).

5. Рефлексия. Подведение итогов.

6. Домашнее задание.

1. Организационный момент

Актуализация знаний , полученных учащимися на предыдущем уроке:
- понятие перпендикулярности прямых в пространстве;
- перпендикулярность прямой и плоскости;
- свойств параллельных прямых, перпендикулярных плоскости.

2.1. С целью актуализации знаний, с помощью документ-камеры проверка домашней работы, решение задачи, вызвавшей наибольшие трудности.

2.2. Фронтальный опрос класса:

. Сформулируйте определение перпендикулярных прямых.

- Каково взаимное расположение перпендикулярных прямых в пространстве?

- Сформулируйте лемму о параллельных прямых, перпендикулярных третьей прямой.

- Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.

- Сформулируйте теоремы, устанавливающие связь между параллельностью прямых и их перпендикулярности к плоскости

2.3 Математический диктант с пошаговой самопроверкой.

1. Если прямая а перпендикулярна плоскости β, то она перпендикулярна прямой АВ, лежащей в плоскости β. да

2. Прямая не перпендикулярная к плоскости не перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. нет

3. Прямая в лежит в плоскости β и не перпендикулярна к прямой а. Перпендикулярны ли прямая а и плоскость β ? нет

4. Прямая а перпендикулярна плоскости β, прямая в не пересекает плоскость β. Верно ли, что а || в? нет

5. Прямые а и m взаимно перпендикулярны, в || а.

Чему равен угол между в и m?

2.4 Рассмотрение домашней задачи №119 (устно)

№119(а)

Дано: ОА ^a , ОА = ОД

Доказать: АВ =ДВ

Доказательство

Д ВО – медиана и высота в D АВД Þ D АВД - равнобедренный Þ АВ = ДВ

Рассмотреть разные варианты решения: через доказательство равенства прямоугольных треугольников и свойство равнобедренного треугольника.

3. Изучение признака перпендикулярности прямой и плоскости

3.1 Постановка проблемы

Рассмотреть истинность утверждения:

• Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

• Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каким-нибудь параллельным прямым, лежащим в этой плоскости.

Обратить внимание обучающихся на то, что на практике невозможно пользоваться определением перпендикулярности прямой и плоскости, т. к. нельзя проверить перпендикулярность прямой к любой прямой данной плоскости. Облегчить задачу помогает признак перпендикулярности.

3.2. Объявляется тема урока и основная цель

· Формулирование цели: знать, понимать и уметь применять признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Формулируется признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

3.3. Доказательство теоремы (и чертеж) производится поэтапно , записи ученики выполняют в тетради. Дается весь план доказательства, каждый пункт доказательства обсуждается и после этого ученики делают соответствующие записи.

Закрепление примером из жизни

Физкультминутка

4. Первичное закрепление .

4.1. Первичное закрепление признака перпендикулярности прямой и плоскости. Устное решение задачи по готовым чертежам 1, 2 и 3

Дано : ∆ ABC - прямоугольный; AM ⊥ AC; M ∉ (ABC)
Доказать: AC ⊥ (AMB)
Доказательство: Т.к. AC ⊥ AB и AC ⊥ AM, а AM ⋂ AB, т.е. АМ и АВ лежат в плоскости (АМВ), то AC ⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Ч.т.д.

Дано : ВМDC - прямоугольник, M ∉ (ABC), MB ⊥ AB
Доказать: CD ⊥ (ABC)
Доказательство: MB ⊥ BC, т.к. ВМDC – прямоугольник, MB ⊥ AB по условию, BC ⋂ AB, т.е. ВС и АВ лежат в плоскости (АВС) ⇒ MB ⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. СD ∥ МВ по свойству сторон прямоугольника ⇒ CD ⊥ (ABC) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
Ч.т.д.

Дано : АВСD – прямоугольник, M ∉ (ABC), MB ⊥ BC
Доказать: AD ⊥ AM
Доказательство:
1) ∠ ABC = 90°, т.к. АВСD – прямоугольник ⇒ BC ⊥ AB, BS ⊥ MB по условию, MB ⋂ AB = B, т.е. МВ и АВ лежат в плоскости (АМВ) ⇒ BC ⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
2) BC ∥ AD (по свойству сторон прямоугольника) ⇒ AD ⊥ (AMB) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
3) Т.к. AD ⊥ (AMB) ⇒ AD ⊥ AM по определению прямой, перпендикулярной плоскости.
Ч.т.д.

Урок изучения нового материала. На уроке реализуются цели развития познавательного интереса к предмету, умения видеть практическое применение полученных знаний. К конспекту прилагается презентация-сопровождение.

Урок геометрии в 10 классе.

Автор учебника: Л.С. Атанасян.

Тип урока: Урок изучения нового материала

Предметные: ввести понятие угла между плоскостями, познакомить учащихся с определением перпендикулярных плоскостей, признаком перпендикулярности двух плоскостей, формировать умение применять его при решении задач.

Личностные: развивать познавательный интерес к предмету, формировать умение представлять результат своей деятельности.

Метапредметные: формировать умение ставить и формулировать для себя новые задачи в учебе и познавательной деятельности.

Планируемые результаты: учащийся научится применять новую теорему при решении несложных задач.

Оборудование: доска, проектор.

2. Актуализация знаний.

Задача: Отрезок АО перпендикулярен Плоскости равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС. Найти расстояние от точки О до стороны ВС треугольника АВС, если АО=8, АВ=17, ВС=16.

Решение: Рассмотрим треугольник АВК – прямоугольный. АК – катет. ВК=16:2=8

ВК=

Рассмотрим треугольник ОАК прямоугольный.

ОК – гипотенуза. ОК=

3. Изучение нового материала.

2) Целеполагание – слайды №12 - 15

3) Определение - слайд №16

4) Примеры соблюдения перпендикулярности плоскостей в практической деятельности – слайды №17 – 21

Доказательство проводится по заранее заготовленному чертежу.

α, β, AM ⊂ α, AM⏊ β, AM ∩ β = A

1) α ∩ β = АР, при этом АМ ⏊ АР, т. к. АМ ⏊ β

по условию, то есть АМ перпендикулярна к

любой прямой, лежащей в плоскости β

∠ТАМ — линейный угол двугранного угла ⇒

∠ТАМ = 90°, т.к. МА ⏊ β ⇒ α ⏊ β

Что и требовалось доказать - слайд №22

6) Следствие: Плоскость, перпендикулярная к прямой,
по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей - слайд №23

4. Первичное закрепление (Устные задачи) - слайд №24

1. Верно ли, что две плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны?

2. Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через данную прямую?

3. Плоскость α перпендикулярна плоскости β. Будет ли всякая прямая плоскости α перпендикулярна плоскости β?

4. Плоскость и прямая параллельны. Верно ли утверждение о том, что плоскость, перпендикулярная данной плоскости, перпендикулярна и данной прямой?

5. Плоскость и прямая параллельны. Будет ли верно утверждение о том, что плоскость, перпендикулярная прямой, перпендикулярна и данной плоскости?

Читайте также: