Конспект урока построение графиков функций с помощью производной

Обновлено: 02.07.2024

Асимптота графика функции y = f(x) – прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х₁и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Выпуклость вверх. Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Выпуклость вниз. Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции.

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции.

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Производная второго порядка (вторая производная). Производная второго порядка есть первая производная от производной первого порядка.

Производную определяют, как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел существует.

Точка минимума функции. Точку х₀ называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .

Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых х₁ и х₂ , из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит вышепроведенного отрезка.

Полная схема построения графика функции:

Найти область определения функции D(f).
Исследовать функцию на четность (найти f(-x)).
Найти асимптоты.
Найти стационарные и критические точки.
Найти промежутки монотонности.
Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз.
Найти точки перегиба
Составить таблицу значений функции для некоторых точек.
По полученным данным построить график функции.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Постройте график функции у = х 3 – 3х + 3, используя краткую схему построения. схему построения.

2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к.

4) f’(x) = 3x 2 – 3, f’(x) = 0 при х = 1, х = -1.

х = 1, х = -1 – стационарные точки.

5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 1, х = -1 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.

2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к.

3) х = 1 – вертикальная асимптота

х = 2, х = 0 – стационарные точки.

5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 0, х = 2 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у студентов интерес к изучаемой дисциплине. Ведь не секрет, что многие обучающиеся пасуют перед трудностями, а иногда и не хотят приложить определённых усилий для приобретения знаний. Студенты, поступающие в техникум, как правило, имеют слабую подготовку и полное отсутствие интереса к предмету. Поэтому добиться прочных знаний по математике крайне проблематично.

Тема урока: Применение производной к построению графиков функций

1) образовательная : знакомство студентов с общей схемой исследования функции методом построения графика четной и нечетной функции, обучение проведению исследования и построению графика;

2) воспитательная : воспитание требовательного отношения к себе при самостоятельном изучении нового материала;

3) развивающая : развитие наблюдательности, умения рассуждать и аргументировать свои действия.

Оборудование: записи на доске, карточки, сигнальные карточки (зеленая-красная), компьютер, мультимедиапроектор.

Тип урока: урок - теоретическое и практическое исследование.

П. Проверка домашнего задания

- Назовите промежутки убывания, возрастания, экстремумы функции.

III. Актуализация опорных знаний

На начальном этапе создаются условия для дальнейшей эффективной работы на уроке: организация рабочего пространства, привлечение внимания обучающихся к предстоящей учебной деятельности, учебному предмету.

Цели и задачи опроса носят обучающий характер, они соответствуют предметному материалу, излагаемому преподавателем.

(Задания выполняются по вариантам с последующей взаимопроверкой на компьютере.)

- По изображенному графику установите соответствие между каждым интервалом (А-Е) и характером поведения функции на этом интервале.

Интервалы: А = (-3;0); В = (-2;0); С = (-2;2); D = (0;3); Е = (1;3).

Поведение: 1) убывает; 2)возрастает 3) имеет минимум; 4) имеет максимум.

Ответы : А2, В2, С4, D1, Е1.

Интервалы: А = (-3;-1); B=(l; 3); C=(-l; l); Д=(0;2); Е = (-2;0).

Поведение: 1) убывает; 2) возрастает; 3) имеет минимум; 4) имеет максимум.

Ответы: А2, В3, С4, D1, Е2.

- Обменяйтесь тетрадями, проверьте работу соседа по компьютеру. Поднимите зеленую карточку, у кого нет ошибок. Поднимите красную карточку, у кого ошибка.

IV. Работа с учебником

Самостоятельное изучение нового материала по плану, записанному на доске.

Задание 2. Постройте график функции у= (х) = х 3 - 2х 2 + х.

1. Область определения D(f) = R.

Найдем производную f'(x) = (х 3 - 2х 2 + х )' = Зх 2 - 4х +1.
Найдем критические точки, решив уравнение f'(x) = 0. Зх 2 - 4х + 1 = 0,

4. Найдем промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков.

Функция возрастает на промежутках: (-∞, 1/3) и (1,+ ∞), так как f'(x )

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

1. Число :

2. Тема урока : Применение производной к построению графиков функций

3. Тип урока : комбинированный урок

4. Цель урока : научиться учащихся пользоваться алгоритмом исследования функции.

5. Учебно-воспитательные задачи урока :

Образовательная:

1) создать условие для закрепления учащимися умения аналитически и графически определять наличие у функции критических, стационарных точек и точек экстремума и использовать эти данные для построения графиков функций;

2) закрепить умение использовать знания при решении задач.

Развивающая: способствовать развитию мышления учащихся путем решения задач, развивать интеллектуальные способности, умение анализировать и обобщать материал

Воспитательная: воспитывать внимательность, аккуратность при работе с текстами и записями примеров

6. Средства обучения : Алимов Ш А, Колягин Ю М и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/ М.: Просвещение, 2017.

7. План урока

Этапы урока

Методы и методические приемы

Повторение изученного материала

Изучение нового материала

Подведение итогов. Домашнее задание

Словесный (запись на доске), оценивание

8. Ход урока:

1. Организационный момент .

2. Актуализация опорных знаний учащихся.

(Фронтальный опрос учащихся).

Что называется функцией?

Если каждому значению переменной Х из некоторого множества D соответствует единственное значение переменной У, то такое соответствие называется функцией. При этом Х называют независимой переменной, или аргументом, а У -зависимой переменой, или функцией.

Что называется областью определения и областью значения функции?

Множество всех значений, которые может принимать аргумент, называют областью определения данной функции и обозначают D. Множество значений, которые может принимать функция, называют областью значений и обозначают буквой Е.

Какая функция называется чётной (нечётной)?

Функция называется чётной (нечётной), если область её определения симметрична относительно числа 0 и для каждого значения Х из области определения f(-x)=f(x), (f(-x)=-f(x) ).

Какие точки называются критическими?

Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует, называют – критическими точками функции.

Дать определение, на каком промежутке функция возрастает, убывает, постоянная .

Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает. Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает. Если производная функции в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

Как можно определить промежутки возрастания и убывания функции f(x)?

найти все критические точки функции, разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает.

Как, одним словом назвать точки максимума и минимума функции?

Как определить точки экстремума?

3. Изучение нового материала.

Итак, теперь переходим к изучению новой темы. Сегодня на уроке мы приведём общую схему исследования свойств функции с помощью её производной. Будем строить график функции, используя результаты исследования. Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что на предыдущих занятиях мы рассмотрели применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функций. Выяснили, какие точки называют точками максимума функции и точками минимума функции. Научились находить эти точки и значения функции в них. Сегодня на уроке мы применим эти знания к построению графиков функций.

Давайте начнём с примера. Итак, постройте график функции .

Полученные результаты исследования функции удобно записать в виде следующей таблице.

В первой строке этой таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. Во второй строке отмечены знаки производной на этих промежутках. В третьей строке записаны выводы о ходе изменения данной функции, в четвёртой строке – о виде критических точек.

При построении графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат.

Построим график функции.

Получается, что для построения графика функции сначала исследуют свойства этой функции с помощью её производной.

схему исследования свойств функции с помощью её производной .

Итак, при исследовании свойств функции надо найти:

1) область определения; производную; стационарные точки;

2) промежутки возрастания и убывания;

3) точки экстремума и значения функции в этих точках.

Результаты исследования удобно записать в виде таблицы, используя которую, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки пересечения с осями координат. Также можно найти координаты ещё нескольких точек графика.

Отметим, что для построения графика чётной (нечётной) функции достаточно исследовать свойства и построить её график при , а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат).

4. Закрепление

Давайте построим график функции .

Полученные результаты исследования запишем в виде таблицы.

Найдём значение функции в точке – крайней точке рассматриваемого интервала. .

Построим график функции.

Так как рассматриваемая функция является нечётной, то её график при строим с помощью симметрии относительно начала координат.

Часто встречаются задачи, в которых требуется исследовать функцию не на всей области определения, а на некотором промежутке.

Данный видеоурок будет посвящён применению производной к построению графиков функций. Мы приведём общую схему исследования свойств функции с помощью её производной. Будем строить график функции, используя результаты исследования.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Применение производной к построению графиков функций"

Сегодня на уроке мы приведём общую схему исследования свойств функции с помощью её производной. Будем строить график функции, используя результаты исследования.

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что на предыдущих занятиях мы рассмотрели применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функций. Выяснили, какие точки называют точками максимума функции и точками минимума функции. Научились находить эти точки и значения функции в них. Сегодня на уроке мы применим эти знания к построению графиков функций.

Давайте начнём с примера. Итак, постройте график функции .

Полученные результаты исследования функции удобно записать в виде следующей таблице.

При построении графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат.

Построим график функции.

Давайте приведём схему исследования свойств функции с помощью её производной.

Итак, при исследовании свойств функции надо найти:

1) область определения; производную; стационарные точки;

2) промежутки возрастания и убывания;

3) точки экстремума и значения функции в этих точках.

Давайте построим график функции .

Полученные результаты исследования запишем в виде таблицы.

Найдём значение функции в точке – крайней точке рассматриваемого интервала. .

Построим график функции.

Зам. директора по УПР

Открытый урок на тему:

Природа - это математика.

Ее спиральные туманности вдали

Рисуют траекторий графики,

А мы читаем их с Земли.

Мир математики - точный и строгий,

Романтикой функций наполнен.

В нём простые процессы природы

Оживают в симфонии формул.

с. Починки, 2020 г.

Цель – создать условия для формирования у студентов умения с помощью производной исследовать функцию на монотонность и экстремумы и научиться строить графики в программе GeoGebra .

Учиться решать задачи на применение производной к исследованию функций и построения графиков.

Развивать умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, формулировать выводы по результатам собственной деятельности; развивать такие качества личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность.

Воспитывать средствами математики культуру личности: умения выслушать и принимать во внимание взгляды других людей, умение справляться с неопределённостью и сложностью, создать условия для творческого потенциала каждого учащегося в соответствии с его интересами и способностями.

Тип урока: урок закрепления изученного материала.

Оборудование и материалы: компьютеры, оценочные листы, мультимедийный проектор, презентация.

Основные этапы урока:

Приветствие. (Создание положительного эмоционального настроя на урок)

Организационный момент. (создание мотивационной базы урока)

Фронтальный опрос обучающихся.

Закрепление полученных знаний на практике.

Подведение итогов урока.

Приветствие

Здравствуйте ребята! Садитесь!

Организационный момент

Одна из основных задач исследования функции – это нахождение промежутков возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной.

Поэтому давайте вспомним:

Признаки возрастания и убывания функции.

Какие точки называются стационарными точками?

Необходимое условие экстремума (или теорема французского математика – теорема Ферма).

Какая точка называется точкой максимума? (упрощенная формулировка этого признака).

Какая точка называется точкой минимума? (упрощенная формулировка этого признака).

Схема исследования графика функции.

Какие точки области определения функции являются критическими точками.

Например, найти производные данных функций, промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума (практическая работа).

Актуализация знаний и умений.

Построение графиков функций с помощью производной точнее и быстрее, нежели по точкам. Такие графики функций используются в разных сферах нашей жизни. (Показать примеры на слайдах).

Сравнение графика функции и графика производной функции.

Творческое задание:

Помните рассказ о бароне Мюнхгаузене? Пушка стреляет под углом к горизонту. На ядре сидит барон Мюнхгаузен. Определите характер движения ядра, если V _o _у = 15 м/с, g =10м/с 2 , у₀=0.

Решение. Имеет место равноускоренное движение по закону

у( t ) =у₀+ v ₀- , у( t ) = 15 t -5 t 2

Найдем скорость v _t .

Движение совершается по параболе.

В наивысшей точке подъема V у =0, у’ ( t )=0, 15- 10 t =0, t = 1,5.

Для параболы в её вершине функция у( t ) достигает своего максимального значения.

Вопрос. Какая связь между производной и функцией?

Ответ. Когда у ‘( t ) = 0, функция принимает максимальное значение.

Закрепление полученных знаний на практике.

Исследовать функцию и построить график: .

D ( f ): х R , т.к. f -многочлен.

E ( f ): у R .

Найдем производную функции:

Найдем стационарные точки: , т.е. 6х-3х 2 =0, х=0 или х=2.

О тмечаем эти точки 0 и 2 на числовой прямой, и определяем знак производной в каждом промежутке.

- + -

0 2

II . (1) 6*1-3*1 2 =30

III . (3) 6*3-3*3 2 =-9

Значит, в промежутках и функция убывает и (0;2) – функция возрастает.

х=0 - точка минимума, т.к. производная меняет знак с минуса на плюс.

х=2 – точка максимума, т.к. производная меняет знак с плюса на минус.

Выясняем, является ли функция f четной или нечетной. - функция ни четная, ни нечетная.

Находим точки пересечения графика с осями координат:

а) с осью ОХ: у=0 получаем точки (0;0), (3;0)

б) с осью ОУ: х=0 получаем точки (0;0)

Составляем таблицу для внесения всех данных:

10. Строим график функции с помощью программы GeoGebra .

Перечерчиваем график в тетрадь.

Самостоятельная работа:

Построить графики функций, перечертить их на листочки и описать свойства:

у = х² + 2х - 3

Р исунок:

при х ________________ функция возрастает и

при х ________________ функция убывает;

Чётность и нечётность функции.

С троим график:

Р исунок:

при х ________________ функция возрастает и

при х ________________ функция убывает;

Чётность и нечётность функции.

С троим график:

3) у= 2+5х³-3

Р исунок:

при х ________________ функция возрастает и

при х ________________ функция убывает;

Чётность и нечётность функции.

С троим график:

В программе GeoGebra построить графики функций, описать их свойства и перечертить на листочки.

у = х² - 4х + 3

Р исунок:

при х ________________ функция возрастает и

при х ________________ функция убывает;

Чётность и нечётность функции.

С троим график:

Р исунок:

при х ________________ функция возрастает и

при х ________________ функция убывает;

Чётность и нечётность функции.

С троим график:

3) у= 3 -5х³

Р исунок:

при х ________________ функция возрастает и

при х ________________ функция убывает;

Чётность и нечётность функции.

С троим график:

Домашнее задание.

повторить правила дифференцирования;

выполнить № 928; № 929 (2);

разгадать кроссворд. (см. приложение)

ИТОГИ УРОКА:

Мы постарались привести в порядок все знания о производной функции…

Мы оценили свои умения, выработанные при её изучении,

Мы ещё раз убедились в важности изученной темы…

И доказали, что терпенье и труд….

Сегодня на уроке я повторил…

Сегодня на уроке я закрепил …

Мне предстоит повторить …

Исследование функции с помощью производной и построение графиков функций.

Преподаватель математики

Абросимова Е.А.

Цель – с оздать условия для формирования у студентов умения с помощью производной исследовать функцию на монотонность и экстремумы и научиться строить графики в программе GeoGebra .

Учиться решать задачи на применение производной к исследованию функций и построения графиков. Развивать умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, формулировать выводы по результатам собственной деятельности; развивать такие качества личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность. Воспитывать средствами математики культуру личности: умения выслушать и принимать во внимание взгляды других людей, умение справляться с неопределённостью и сложностью, создать условия для творческого потенциала каждого учащегося в соответствии с его интересами и способностями.

Знания имей отличные ,

Устный опрос

Признак возрастания функции.
Признак убывания функции.
Какие точки называются стационарными точками?
Необходимое условие экстремума (или теорема французского математика – теорема Ферма).
Какая точка называется точкой максимума? (упрощенная формулировка этого признака).
Какая точка называется точкой минимума? (упрощенная формулировка этого признака)
Какие точки области определения функции являются критическими точками?

Построение графиков функций с помощью производной точнее и быстрее, нежели по точкам. Такие графики функций используются в разных сферах нашей жизни.

Графики роста детей

Графики на бирже

Прогноз погоды и графики

Графики функций в банках

Графики и медицина

“ Он очень мало знает, но у него положительная производная”.

Кривые роста знаний.

Сравним график функции и график её производной

Творческое задание

Помните рассказ о бароне Мюнхгаузене? Пушка стреляет под углом к горизонту. На ядре сидит барон Мюнхгаузен, решивший на ядре пролететь через стены крепости. Определите характер движения ядра, если V = 15 м/с, g = 10 м/с², у=0.

Постройте графики движения и скорости.

Имеет место равноускоренное движение по закону

у( t ) = 15 t -5 t 2

Найдем скорость v t .

Движение совершается по параболе.

В наивысшей точке подъема V у =0, у ’ ( t )=0, 15- 10 t =0, t = 1,5.

Для параболы в её вершине функция у( t ) достигает своего максимального значения.

Вопрос . Какая связь между производной и функцией?

0 , то функция возрастает, если f ’(x) , то функция убывает). Записать точки экстремума и экстремумы функции. (Найти значение функции в точках экстремума). Исследовать функцию на четность. (Если f(-x) = f(x) , то функция четная, если y f(-x) = -f(x) , то функция нечетная). Найти нули функции. (Точки пересечения с осями координат). Дополнительные точки. (Таблица) Построение графика. Сальтяшева А.И., ГБОУ НПО ПУ № 19, г.Салават. www.uchportal.ru" width="640"

Читайте также: