Конспект урока по алгебре 11 класс никольский элементарные функции

Обновлено: 03.07.2024

Уроки по алгебре 11 класс и другие полезные материалы для учителя алгебры, которые вы можете выбрать и скачать бесплатно в этом разделе.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Учебник. Никольский С.М. и др. (2009, 464с.)

Все темы
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА I. ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНЫЕ. ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Функции и их графики 3
1.1. Элементарные функции 3
1.2. Область определения и область изменения функции. Ограниченность функции 5
1.3. Четность, нечетность, периодичность функций 8
1.4. Промежутки возрастания, убывания, знакопостоянства и нули функции 14
1.5. Исследование функций и построение их графиков элементарными методами 18
1.6. Основные способы преобразования графиков 21
1.7*. Графики функций, содержащих модули 34
1.8*. Графики сложных функций 39
§ 2. Предел функции и непрерывность 45
2.1. Понятие предела функции 45
2.2. Односторонние пределы 49
2.3. Свойства пределов функций 56
2.4. Понятие непрерывности функции 60
2.5. Непрерывность элементарных функций 65
2.6. Разрывные функции 67
§ 3. Обратные функции 72
3.1. Понятие обратной функции 72
3.2*. Взаимно обратные функции 75
3.3*. Обратные тригонометрические функции 80
3.4*. Примеры использования обратных тригонометрических функций 85
§ 4. Производная 89
4.1. Понятие производной 89
4.2. Производная суммы. Производная разности 96
4.3*. Непрерывность функции, имеющей производную. Дифференциал 99
4.4. Производная произведения. Производная частного . 101
4.5. Производные элементарных функций 103
4.6. Производная сложной функции 108
4.7*. Производная обратной функции 111
§ 5. Применение производной 114
5.1. Максимум и минимум функции 114
5.2. Уравнение касательной 121
5.3. Приближенные вычисления 125
5.4*. Теоремы о среднем 127
5.5. Возрастание и убывание функции 129
5.6. Производные высших порядков 134
5.7*. Выпуклость графика функции 137
5.8*. Экстремум функции с единственной критической точкой . 141
5.9. Задачи на максимум и минимум 145
5.10*. Асимптоты. Дробно-линейная функция 149
5.11. Построение графиков функций с применением производных 156
5.12*. Формула и ряд Тейлора 162
§ 6. Первообразная и интеграл 167
6.1. Понятие первообразной 167
6.2*. Замена переменной. Интегрирование по частям 173
6.3. Площадь криволинейной трапеции 175
6.4. Определенный интеграл 178
6.5*. Приближенное вычисление определенного интеграла . . . 181
6.6. Формула Ньютона — Лейбница 185
6.7. Свойства определенного интеграла 191
6.8*. Применение определенных интегралов в геометрических и физических задачах 196
6.9*. Понятие дифференциального уравнения 202
6.10*. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям . . 206
Исторические сведения 212
ГЛАВА II. УРАВНЕНИЯ. НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ
§ 7. Равносильность уравнений и неравенств 214
7.1. Равносильные преобразования уравнений 214
7.2. Равносильные преобразования неравенств 219
§ 8. Уравнения-следствия 225
8.1. Понятие уравнения-следствия 225
8.2. Возведение уравнения в четную степень 229
8.3. Потенцирование логарифмических уравнений 231
8.4. Другие преобразования, приводящие к уравнению-следствию 233
8.5. Применение нескольких преобразований, приводящих к уравнению-следствию 237
§ 9. Равносильность уравнений и неравенств системам 240
9.1. Основные понятия 240
9.2. Решение уравнений с помощью систем 243
9.3. Решение уравнений с помощью систем (продолжение) . . 247
9.4*. Уравнения вида f(a (х)) = /"(Р (х)) 253
9.5. Решение неравенств с помощью систем 256
9.6. Решение неравенств с помощью систем (продолжение) . . 260
9.7*. Неравенства вида /(а (х)) > f($ (x)) 263
§ 10. Равносильность уравнений на множествах 266
10.1. Основные понятия 266
10.2. Возведение уравнения в четную степень 268
10.3*. Умножение уравнения на функцию 270
10.4*. Другие преобразования уравнений 273
10.5*. Применение нескольких преобразований 277
10.6*. Уравнения с дополнительными условиями 281
§ 11. Равносильность неравенств на множествах 283
11.1. Основные понятия 283
11.2. Возведение неравенства в четную степень 285
11.3*. Умножение неравенства на функцию 288
11.4*. Другие преобразования неравенств 290
11.5*. Применение нескольких преобразований 294
11.6*. Неравенства с дополнительными условиями 298
11.7*. Нестрогие неравенства 301
§ 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств 303
12.1. Уравнения с модулями 303
12.2. Неравенства с модулями 307
12.3. Метод интервалов для непрерывных функций 311
§ 13*. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств 314
13.1*. Использование областей существования функций . 314
13.2*. Использование неотрицательности функций 317
13.3*. Использование ограниченности функций 319
13.4*. Использование монотонности и экстремумов функций . . 325
13.5*. Использование свойств синуса и косинуса 328
§ 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными 331
14.1. Равносильность систем 331
14.2. Система-следствие 337
14.3. Метод замены неизвестных 344
14.4*. Рассуждения с числовыми значениями при решении систем уравнений 348
§ 15*. Уравнения, неравенства и системы с параметрами 355
15.1*. Уравнения с параметром 355
15.2*. Неравенства с параметром 360
15.3*. Системы уравнений с параметром 363
15.4*. Задачи с условиями 367
Исторические сведения 374
ГЛАВА III. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 16*. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел 379
16.1*. Алгебраическая форма комплексного числа 379
16.2*. Сопряженные комплексные числа 384
16.3*. Геометрическая интерпретация комплексного числа . . . 386
§ 17*. Тригонометрическая форма комплексных чисел 390
17.1*. Тригонометрическая форма комплексного числа . 390
17.2*. Корни из комплексных чисел и их свойства 396
§ 18*. Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел 401
18.1*. Корни многочленов 401
18.2*. Показательная форма комплексного числа 405
Исторические сведения 408
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 410
Приложения 437
1. Таблица производных 437
2. Таблица интегралов 438
3. Свойства логарифмов 438
4. Основные формулы тригонометрии 439
5. Простейшие тригонометрические уравнения 439
Предметный указатель 440
Ответы 443

Технологическая карта урока. Алгебра 11 класс. Неравенства с модулями.

Уроки

Технологическая карта урока алгебры в 11 классе с использованием приемов смыслового чтения.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

02.09.2020 Классная работа Элементарные функции

Изучаем новый материал

Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий , выражающее зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т.д. – имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.

В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями.

Определение: Пусть даны два множества Х и Y. Определение 1. Если каждому элементу х из множества Х по определённому правилу или закону f ставится в соответствие один элемент у из множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функция f и пишут , или у = f(x). X Y

Определение: , или у = f(x). При этом величина х называется аргументом функции f, а множество Х – областью определения функции f. Величина х называется также независимой переменной, а величина у – зависимой переменной. Множество Y называется областью значений функции f. Область определения функции f обозначается через D(f), а область значений – через E(f).

Определение: у = f(x) (1) Число, соответствующее для данной функции у(х), называют значением функции в точке х0 и обозначают у(х0) Если функция записана в виде (1), то число обозначают f(х0).

Определение функции: Какие из графиков являются графиками функций? Является функцией у х х2 х1 у2 у1 О Не является функцией у х хо у1 у2 О Не является функцией у х хо у1 у2 О

Способы задания функции: Задать функцию – значит указать область её определения и правило, по которому по данному значению независимой переменной можно найти соответствующее ему значение функции. Существует три основных способа задания функции:  аналитический,  табличный,  графический.

Способы задания функции: аналитический табличный графический зависимость между переменными величинами задаётся с помощью формулы, указывающей, какие действия надо выполнить над аргументом, чтобы получить соответствующее ему значение функции. При этом функция может быть задана как одной формулой, например, так и несколькими формулами, например заключается в том, что зависимость между переменными задают с помощью таблицы. Хорошо известны, например, таблицы логарифмов, тригонометрических функций и др. состоит в том, что соответствие между переменными х и у задаётся с помощью графика функции. Графиком функцииy=f(x) называется множество всех точек (х, у) плоскостиXOY, координаты которых связаны соотношениемy = f(x). Так, графики вышеназванных функций:f(x) иg(x) х 0 1 2 3 4 у 0 1 4 9 16

Сложная функция Пусть функция z = g(x) определена на множестве Х, а функция y = f(z) определена на множестве Z, причём область значений функции g содержится в области определения функции f. Функция y = f(g(x)) называется сложной функцией, или функцией от функции, или суперпозицией функций z = g(x) и y = f(z). y=f(g(x)) Y X y Z z y=f(z) z=g(x)

Сложная функция Переменная х называется независимой переменной функции у, а функция z = g(x) – зависимой переменной, или промежуточным аргументом функции y = f(x). y=f(g(x)) Y X y Z z y=f(z) z=g(x)

Примеры: z=g(x) y=f(z) y=f(g(x))

Примеры сложных функций Можно указать сложную функцию, в образовании которой участвует более двух функций. Например:

Элементарные функции Основными элементарными функциями называются следующие функции: степенная функция показательная функция логарифмическая функция , тригонометрические функции

Элементарные функции ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой у = f(x) , где f(x) – выражение, составленное из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

- воспитательные: воспитывать познавательную активность, коммуникативные навыки, мобильность, общей культуры.

Тип. Урок применения знаний, умений и навыков

Методы. Работа в парах

Оборудование. Учебник, карточки с самостоятельной работой.

1. Актуализация опорных знаний и практического опыта учащихся.

Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний и опыта учащихся (подготовительные задачи).

Найти ошибку и доказать:

1) y=5x 5 +5е х +3lnх у / =25х 6 +5е х-1 +

2) y=8cos(7-x)+17 sin x-2 у / = -8 sin(7-x)-17cos-2

В любом из вариантов ЕГЭ присутствуют задания на вычисление производных. И именно по этому цель нашего урока…

3. Первичное применение приобретенных знаний (пробные упражнения).

Работа в парах с проверкой по эталону

y=x 3 -2x 2 +е х +3

4. Применение учащимися знаний в стандартных условиях с целью усвоения навыков (тренировочные упражнения).

Выполняют по очереди номера у доски:

Самостоятельная работа с проверкой по эталону

Производная произведения, частного равна ….

Найти производную функции f(x) = 3х 2 - 5х + 6.

Найти производную функции f(x) = е 2х + 3lnх + 1.

Найти производную функции f(x) = (х - 2) 2 cosx .

Найти производную функции у = (х 2 + 2х)( sin(7-x))

5. Творческий перенос знаний и навыков в новые условия с целью формирования умений (творческие упражнения).

Решение заданий банка ЕГЭ:

1.Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t)=−t^3−8t^2+6t+2, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=3c.

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t)=−1/4t^4+2t^3+2t^2−2t+8, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=1c.

Внимание Скидка 50% на курсы! Спешите подать
заявку

Профессиональной переподготовки 30 курсов от 6900 руб.

Курсы для всех от 3000 руб. от 1500 руб.

Повышение квалификации 36 курсов от 1500 руб.

Лицензия №037267 от 17.03.2016 г.
выдана департаментом образования г. Москвы

Конспект урока по алгебре "Свойства функций" 11 класс

Конспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе .

Учитель математики высшей категории

Юдинцева Валентина Николаевна

ШМОКУ СОШ с углублённым изучением

отдельных предметов пгт Ленинское

Шабалинского района Кировской области.

Развивающая: развивать аналитические способности и логическое мышление, учить адаптироваться в новой ситуации при решении нестандартных заданий.

Воспитательная: формировать активность личности школьника, взаимопомощь, коллективизм.

Алгоритм исследования функций.

задания для устной работы.

Памятка для командира.

Карточки с заданиями для группы.

Номер и название группы (для индукции).

Карточки для самостоятельной работы.

Карточки для индивидуального домашнего задания.

На отдельном столе:

Карточки с формулами различных функций для определения места ученика.

Дети заходят в класс, каждый берёт карточку с формулой функции, определяет её вид и садится за тот стол, где стоит соответствующее название функции:

Дробная рациональная ( например: )

Дать определение логарифма и логарифмической функции.

Перечислить свойства функции .

Перечислить свойства функции

Перечислить и записать на доске свойства логарифмов.

Вычислить : log 2 16 ; log 16 2 ; log 3 81 ; log ⅛ 2 ; ; ;

Log 3 21 – log 3 7 ; lg25 + lg4 ; log 9 5 ∙ log 5 3 ; lg2 + 2lg.

Найти х : log 9 x = log 9 4 ; log 4 3x = log 4 5 ; 5 x = 2 ; log 2 (-x) = 0.

Задание общее для всех: вычислить log a b , где а = р m , b = p n , используя

формулу перехода к новому основанию.

(Вывод нового свойства ). А потом вычислить по одному выражению: 1 – 3 группы, используя определение логарифма,

4 – 6 группы, используя новое свойство.

Задание для 1 и 4 групп:

Задание для 2 и 5 групп: =

Задание для 3 и 6 групп:

Два представителя выходят к доске, показывая своё решение. Остальные ребята записывают в тетрадь оба способа и делают вывод, что с помощью свойства вычисление идёт быстрее.

Рассказать схему исследования функций ( перечислить свойства, а потом открыть написанную на доске).

Дать определения области определения и области значений функции.

Сформулировать определения чётной и нечётной функций.

Сформулировать определения возрастающей и убывающей функций.

Сформулировать определение нуля функции.

Ребята берут карточку с заданием (для каждой группы разное). Они должны решить в группе и представить решение на доске.

При каких х не определена функция ? Найдите наибольшее целое число, не входящее в область определения функции.

На каком множестве совпадают функции и ?

На каком множестве не существует ни одна из функций

Найти число нулей функции .

Найти число нулей функции: .

Найдите количество целых чисел, принадлежащих области определения функции .

Каждая группа представляет своё решение с полным объяснением. Среди них обязательно найдётся такая группа (например 6), которой потребуется помощь других групп. Если появляются вопросы и сомнения в решении, то ребятам из других групп предлагается предложить решение или высказать гипотезы.

Всем группам предлагается одно задание: исследовать на чётность функцию

Детям даётся новое задание, идёт аналогичная работа.

Функция f ( x ) периодична с периодом Т = 11. Решите неравенство f ( x ) ≥ 0, если f ( x ) = 11 x – x 2 для всех х [ 0;11].

Подводятся итоги работы на уроке, объясняется индивидуальное домашнее задание, которое будет дано каждому ученику с учётом запросов, знаний и способностей (карточки приготовлены заранее и раздаются детям во время самостоятельной работы). Дети оценивают свою работу и работу других групп. Пример одной карточки для домашней работы:

1. Повторить монотонность функции, знакопостоянство, нахождение нулей функции и точек пересечения графика функции с осями координат.

2. Найдите количество целых чисел, принадлежащих множеству значений функции .

3. Найдите наименьшее значение функции .

4. Найдите наибольшее целое число, не входящее в область определения функции .

1. Дан график функции. Укажите промежуток, которому принадлежит наименьшее значение функции а) [-3;0]; b ) [-2;8] ; c ) [5;10]; d ) [1;3].

Найдите нули функции .

Найдите количество целых чисел, принадлежащих области определения функции .

Исследовать функцию на чётность .

Со звонком ребята сдают листочки с самостоятельной работой на отдельный стол, вкладывая в конверт с соответствующей надписью.

Читайте также: