Конспект урока линейные уравнения с параметром 7 класс

Обновлено: 04.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тема: Линейное уравнение с параметром и его решение в общем виде.

Образовательные: дать определение линейного уравнения с параметром, рассмотреть способы его решения, схему исследования линейных уравнений с параметрами. Формировать навыки решения линейных уравнений с параметрами.

Развивающие: развивать уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.

Воспитательные: формирование волевые качества, формирование коммуникабельность, выработка объективной оценки своих достижений, формирование ответственности.

Организационный момент

Поприветствовать учащихся, проверить их готовность к уроку, объявить тему урока и цель урока.

II . Проверка домашнего задания.

ученики записывают на доске решения уравнений;

обсуждение, замечания, уточнения к решениям на доске.

III . Актуализация опорных знаний учащихся.
№1. Решить уравнение: m х – 7 = - 1.

Решение: m х = 6;

Если m = 0, то уравнение примет вид 0 • m = 6 и не имеет решений;

Если m ≠ 0, то уравнение примет вид х = и имеет единственное решение.

Ответ: при m = 0 нет решений; при m ≠ 0 х = .

№ 2. При каком значении b уравнение |х| + b = 0 не будет иметь корней?

Решение: = - b ;

Если b = 0, то уравнение примет вид |х| = 0, т.е. х = 0 и имеет ед. решение;

Если b > 0, то уравнение не имеет решений;

Если b b , т.е. х = ± b и имеет два корня.

Ответ: при b > 0.

IV . Объяснение нового материала.

1. Определение линейного уравнения с параметром.

Уравнение вида Ах = В, (1)

где А, В - выражения, зависящие от параметров, ах- неизвестное,

называется линейным уравнением с параметрами.

2. что значит решить уравнение с параметрами?

Решить уравнение с параметрами - значит указать, при каких допустимых значениях параметров существуют решения, выяснить их число, каковы они; кроме того, обычно при решении уравнений с параметрами необходимо выяснить, при каких допустимых значениях параметров решений нет.

в) способы решения линейного уравнения.

Линейные уравнения с параметром решаются двумя способами: аналитическим и графическим.

Графический способ решения линейного уравнений с параметром удобен тогда, когда нужно определить количество корней уравнения.

Аналитический способ решения линейного уравнения с параметром удобен тогда, когда требуется найти решение уравнения при каждом значении параметра.

г) схема исследования линейного уравнения (1).

1. Если А = 0, В ≠ 0 , то уравнение (1) примет вид 0 • х = В и не имеет решений;

2. Если А = 0, В = 0, то уравнение (1) примет вид 0 • х = 0 и имеет бесконечное
множество решений (х - любое число);

3. Если А ≠ 0 , В - любое, то уравнение (1) имеет единственное решение х = .

Замечание. Если линейное уравнение не представлено в виде (1), то сначала нужно привести его к виду (1) и только после этого проводить исследование.

V . Формирование умений и навыков учащихся.

№ 1. Решить уравнение: а) (а + 3)х =5.

Если а + 3 = 0, т.е. а = -3, то уравнение примет вид 0 • х = 5 и не имеет решений;

Если а + 3 ≠ 0 , т.е. а ≠ -3, то уравнение примет вид х = и имеет ед. решение.

Ответ: при а = -3 нет решений; при а ≠ -3 х =.

Решение:

Если а – 6 = 0, т.е. а = 6, то уравнение примет вид 0 • х = -2 и не имеет решений;

Если а – 6 ≠ 0 , т.е. а ≠ 6, то уравнение примет вид х = и имеет ед. решение.

Ответ: при а = 6 нет решений; при а ≠ 6 х = .

№ 2. Решить уравнение: а) (а + 4)х = 2а +1.

Если а + 4 = 0, т.е. а = -4, то уравнение примет вид 0 • х = -7 и не имеет решений;

Если а + 4 ≠ 0, т.е. а ≠ -4, то уравнение примет вид х = и имеет ед. решение.

Ответ: при а = -4 нет решений; при а ≠ -4 х = .

Если а - 1 = 0, т.е. а = 1, то уравнение примет вид 0• х = -1 и не имеет решений;

Если а - 1 ≠ 0, т.е. а ≠ 1, то уравнение примет вид х = и имеет ед. решение. Ответ: при a = 1 нет решений; при а ≠ 1 х =.

№ 3. Решить уравнение: а) (а + 1)х = а + 1.

Если а + 1 = 0, т.е. а = -1, то уравнение примет вид 0 • х = 0 и имеет бесконечное множество решений (х - любое число);

Если а + 1 ≠ 0 , т.е. а ≠ -1, то уравнение примет вид х =, х = 1 и имеет ед. решение.

Ответ: при а = -1 х - любое число; при а ≠ -1 х = 1.

Если а – 4 = 0, т.е. а = 4, то уравнение примет вид 0 • х = 0 и имеет бесконечное

множество решений (х - любое число);

Если а – 4 ≠ 0 , т.е. а ≠ 4, то уравнение примет вид х =, х = -1 и имеет ед. решение.

Ответ: при а = 4 х - любое число; при а ≠ 4 х = -1.

№ 4. Решить уравнение: а) (а – 7)х = а(а – 7).

Если а – 7 = 0, т.е. а = 7, то уравнение примет вид 0 • х = 0 и имеет бесконечное

множество решений (х - любое число);

Если а – 7 ≠ 0 , т.е. а ≠ 7, то уравнение примет вид х =, х = а и имеет ед. решение.

Ответ: при a = 7 х - любое число; при а ≠ 7 х = а.

б) (а+5)х = (а + 5)(а – 2).

Если а + 5 = 0, т.е. а = -5, то уравнение примет вид 0 • х = 0 и имеет бесконечное

множество решений (х - любое число);

Если а + 5 ≠ 0 , т.е. а ≠ -5, то уравнение примет вид х = , х = а – 2 и

имеет ед. решение.

Ответ: при a = -5 х - любое число; при a ≠ -5 x = a – 2.

№ 5. Решить уравнение (а – 7)х = а 2 – 14а + 49.

Решение: (а – 7)х = (а – 7) 2 .

Если а – 7 = 0, т.е. а = 7, то уравнение примет вид 0 • х = 0 и имеет бесконечное

множество решений (х - любое число);

Если а – 7 ≠ 0 , т.е. а ≠ 7, то уравнение примет вид х =, х = а – 7 и имеет единственное решение.

Ответ: при а = 7 х - любое число; при а ≠ 7 х = а – 7.

VI . Подведение итогов урока.

Что нового сегодня Вы узнали на уроке? Дайте определение линейного уравнения с параметрами. Что значит решить уравнение с параметром? Назовите способы решения и схему исследования линейного уравнения с параметром.

VII . Домашнее задание.

Решить уравнения: а) (а – 9)х = 4; б) (а – 6)х = а + 8; в) (а + 3)х = а + 3;

Представлен конспект урока алгебры в 7 классе по теме "Решение линейных уравнений с параметрами". Это урок обобщения и систематизации знаний и умений. В конце приводится самоанализ проведенного урока.

Вложение	Размер
plan-konspekt_uroka_7_klass_parametry.doc	110 КБ

Предварительный просмотр:

Образовательная – показать алгоритм решения уравнений, формировать осознанный подход к решению уравнений с параметром;
Развивающая – способствовать развитию логического мышления, навыков исследовательской деятельности, творческих способностей, интуиции.
Воспитательная – воспитать самостоятельность, ответственность, способствовать формированию алгоритмической культуры, рациональному использованию времени.

Тип урока : урок повторения, обобщения и систематизации знаний.

Оборудование : компьютер, проектор

Форма организации учебной деятельности:

1) усовершенствованная математическая речь учеников;

2) ученики приобретают знания о методе решения линейных уравнений с параметром и совершенствуют его применение.

I. Организационный момент

Сформулировать тему урока и его цели

II. Актуализация знаний учащихся

Вспомним решение простейшего линейного уравнения ax = b.

Показать на экране:

а) 3 + х = 4 – х, (0,5)

б) 9х - 4 = 9х + 5, ( ø )

в) 3х + 1 = 3х + 1. (х принадлежит R)

При каких значениях b число 3 является корнем уравнения?

4. Решить уравнение:

Данное уравнение содержит параметр.

На экране показать:

Параметр – неизвестная величина, которая считается постоянной при решении конкретной задачи.

Решить уравнение с параметром – значит найти все решения этого уравнения для каждого допустимого значения параметра.

В правой части уравнения конкретное число, не равное нулю, следовательно, решение данного уравнения будет зависеть от значения параметра а :

Если а = 0, то уравнение имеет вид 0 • х = 8, такое уравнение решений не имеет.

Если а ≠ 0, то х = а / 8.

Если а = 0, то уравнение примет вид 0х = 0, а решением данного уравнения является х – любое число; если а ≠ 0, то х = 1

а) , (если m = 0 то x принадлежит R; если m ≠ 0, то решений нет)

в) (если а = 0, то решений нет; если а не равен 0, то х = а /4).

III. Решение уравнений:

а) (а - 2)х = 10 – 5х (решает учитель)

Приведем данное уравнение к виду ах = в:

Выясним при каком значении параметра а коэффициент перед х обратится в ноль:

3 + а = 0 а = -3 (назовем его контрольным значением параметра)

1) если а = -3, то 0 • х = 10, а значит корней нет;

2) если а ≠ -3, то х = 10/ (3 + а)

Ответ: при а = -3 корней нет, при а ≠ -3 х = 10/(3 +а)

б) (n 2 – 9)x + 4 = 2(x + 6) – 7x (решают учащиеся)

n 2 x – 9x + 4 = 2x + 12 -7x

n 2 x – 9x -2x + 7x = 12 – 4

Найдем контрольные значения параметра

n 2 – 4 = 0; n 2 = 4; n = 2 или n = -2

n = ± 2, то уравнение примет вид 0 • х = 8, значит корней нет;
n ≠ ± 2, то х = 8/( n 2 – 4)

Ответ: при n = ± 2 корней нет, при n ≠ ± 2 х = 8/( n 2 – 4)

в) а 3 х + 6 = а 2 + 4ах – а

а(а 2 – 4)х = а 2 – а – 6

Контрольные значения параметра:

а = 0 или (а 2 – 4) = 0

1) при а = 0 уравнение примет вид 0 • х = -6, значит корней нет;

2) при а = 2 получим 0 • х = -4 , значит корней нет;

3) при а = -2 получим 0 • х = 0 , то х – любое число;

4) если а ≠ ±2 и а ≠ 0, то х = ( а 2 – а – 6)/(а(а 2 – 4)).

Ответ: при а = 0 или а = 2 решений нет;

при а = -2 х – любое число;

если а ≠ ±2 и а ≠ 0, то х = ( а 2 – а – 6)/(а(а 2 – 4)).

Текст самостоятельной работы показать на экране:

а 2 х – а 2 = х – а;

2х + 3а = 10 + 5а + ах

На экране высвечивается решение уравнений.

а 2 х – а 2 = х – а;

а 2 х – х = а 2 – а

х(а 2 – 1) = а 2 – а

Контрольные значения параметра:

а = 1, то уравнение примет вид: 0 • х = 0, значит х – любое число;
а = -1, то получим уравнение 0 • х = 2, тогда корней нет;
а ≠ ±1, тогда х = (а 2 – а)/ (а 2 – 1)

х = а(а - 1)/((а – 1)(а + 1

Ответ: при а = 1 х – любое число;

При а = -1 тогда корней нет;

При а ≠ ±1 х = а/(а +1)

2х + 3а = 10 + 5а + ах

2х – ах = 10 + 5а – 3а

Контрольные значения параметра

если а = 2, то уравнение примет вид 0 • х = 10, значит корней нет;

если а ≠ 2, то х = (2а + 10)/(2 – а)

Ответ: 1) при а = 2 корней нет;

2) при а ≠ 2 х = (2а + 10)/(2 – а)

При каких значениях параметра а среди корней уравнения

2 ах – 4 х – а 2 + 4 а - 4 = 0 есть корни больше 1.

Решение: 2 ах – 4 х – а 2 + 4 а - 4 = 0

2( а -2) х = а 2 –4 а +4

2( а -2) х = ( а -2) 2

При а = 2, 0 х = 0 решением будет любое число, в том числе и большее 1.

При а ≠ 2 х = , по условию х > 1, то > 1, а >4 .

Ответ : при а ∈ ∪ (4 ; + ∞ ) .

1. Решите уравнение mx + 2 = - 1 относительно х .

А. x = - , при m ≠ 0

Б. 1) при m = 0 корней нет;

В. 1) при m = 0 корней нет

2. Решите уравнение k( х – 4 ) + 2( х + 1) = 1 относительно х .

А.1) при k = -2 корней нет;

Б.1) при k = - 2 корней нет

В.1) при k = 0 корней нет.

3) при k ≠ -2 , k ≠ х =

3. Решите уравнение 2 а ( а -2) х = а 2 -5 а +6 относительно х .

А. 1) при а =2 х ∈ R

2) при а =0 корней нет

3) при а ≠ 0 и а ≠ -2, х =

Б. 1) при а =2 х ∈ R

2) при а =0 корней нет

3) при а ≠ 0 и а ≠ 2, х =

В. 1) при а =2 х ∈ R

2) при а =0 корней нет

4) при а ≠ 2, а ≠ 0, а ≠ 3 х =

4. При каких значениях b уравнение 1+2 х – bх =4+ х имеет отрицательное решение?

А.При b b > 1 В. При b

1. Решите уравнение (m – 2) х = 3 относительно х .

А. x = - , при m ≠ 0

Б. 1) при m = 2 корней нет;

В. 1) при m = 2 корней нет

2. Решите уравнение а (3 х -2) =6 х – 4 относительно х .

А.1) при а = 2 x – любое число;

Б.1) при а = -2 корней нет

В.1) при а = 0 корней нет.

3) при а ≠ -2 , а ≠ х =

3. Решите уравнение 3 ах – 6 х – а 2 + 4 а - 4 = 0 относительно х .

А. 1) при а =2 х ∈ R

2) при а =0 корней нет

3) при а ≠ 0 и а ≠ -2, х =

Б. 1) при а =2 х ∈ R

В. 1) при а =2 х ∈ R

2) при а =0 корней нет

4) при а ≠ 2, а ≠ 0, а ≠ 3 х =

4. При каких значениях b среди корней уравнения х – b х + b 2 – 1=0 есть корни больше 1?

А.При b > -1 Б. При b > 0 В. При b

Код верного ответа

а) (2 b – 3 x ) + ( x – 5 b ) = 4 x + 6 b

б) (2 x – c ) – (5 c – x ) = 3 c

При каких значениях параметра с корень уравнения х+с=3х-5 является неотрицательным числом?
При каких значениях параметра а корень уравнения 4а+12х=4ах-3а+6 больше 3?

1. В классе обучаются 29 учащихся. 10 учащихся могут учиться на 4-5, 13 человек на четвёрки, остальные без направляющей помощи учиться не могут. При планировании урока это было учтено и определило выбор методов и приёмов изложения материала и способов закрепления полученных знаний на основе систематизации .

2. Этот урок является уроком обобщения и систематизации знаний и умений. Материал урока направлен на развитие логического мышления, алгоритмической культуры, интуиции, навыков исследовательской деятельности, творческих способностей учащихся. Задачи подобраны одно-двухшаговые и алгоритмичные по своему решению. Структура урока: постановка цели и задач урока; повторение умений и навыков, являющихся опорой для обобщения и систематизации знаний по данной теме; проведение проверочных упражнений (устное решение уравнений); ознакомление с алгоритмом решения линейных уравнений с параметром, упражнения на закрепление данного алгоритма; тренировочные упражнение по образу и подобию в виде самостоятельной работы; самоконтроль учащихся; решение уравнений с дополнительным условием, предполагающие элементы творчества в деятельности учащихся

3. На уроке решались следующие задачи:

Комплексность их решения продумана. Главными были обучающие задачи, при их решении попутно решались и развивающие, и воспитывающие задачи. Развивающая задача решалась через приёмы доступного изучения материала, а воспитывающая уже на этапе выбора класса для открытого урока, во время самопроверки.

4. Данная структура урока продиктована тем, что класс сильный, большинство учащихся активно работают на уроке, способны быстро воспринимать информацию. Поэтому урок плотнен и динамичен на всех этапах. Опрос проводился с целью актуализации имеющихся знаний. Связки между этапами логичны. Домашнее задание содержит четыре номера.

5. Главный акцент делался на понятиях: линейное уравнение, параметр, контрольные значения параметра, алгоритм решения линейного уравнения с параметром. Выбраны задания различного вида: линейные уравнения стандартного вида, уравнения, которые нужно привести к стандартному виду, линейные уравнения с дополнительным условием. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа.

6. Методы обучения выбраны частично-поисковые, наглядные, деятельностные.

7. Необходимости применения методов дифференцированного обучения не было. Достаточно оказания индивидуальной помощи.

8. Контроль усвоения знаний осуществлялся наблюдением за самостоятельностью и активностью учащихся на первых этапах урока, в конце урока была дана самостоятельная работа в форме теста.

Внимание Скидка 50% на курсы! Спешите подать
заявку

Профессиональной переподготовки 30 курсов от 6900 руб.

Курсы для всех от 3000 руб. от 1500 руб.

Повышение квалификации 36 курсов от 1500 руб.

Лицензия №037267 от 17.03.2016 г.
выдана департаментом образования г. Москвы

Конспект урока по Алгебре "Линейное уравнение с параметром" 7 класс

Урок математики в 7 классе

Жукова Светлана Владимировна

2. Знакомство с параметрами. Линейные уравнения с параметрами.

3. Схема исследования уравнения вида Ах=В.

4. Типы уравнений. Формулировки заданий.

5. Уравнения, приводимые к линейным и алгоритмы их решения.

6. Примеры решений уравнений с параметром из ГИА. Тест.

8. Используемая литература.

Обращаясь к этой теме, я хотела бы облегчить и себе, и своим слушателям, тяжесть решения задач с параметрами.

Цель урока - научить решать линейные уравнения с параметрами и познакомиться с методами решения подобных заданий.

Я поставила перед собой следующие задачи:

Научить решать линейные уравнения с параметрами различных видов.

Познакомить с разными методами решения подобных уравнений.

Показать какие задания с параметрами встречаются на ГИА.

Знакомство с параметром. Линейные уравнения с параметрами.

Для начала, стоило бы пояснить, что собой представляют уравнения с параметрами, которым посвящена моя работа. Итак, если уравнение (или неравенство), кроме неизвестных, содержит числа, обозначенные буквами, то оно называется параметрическим, а эти буквы – параметрами.

Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве), придать некоторое значение, то возможен один из двух следующих случаев:

получится уравнение , содержащее лишь данные числа и неизвестные (т.е. без параметров);

получится условие, лишенное смысла.

В первом случае значение параметра считается допустимым, во втором – недопустимым. К задачам с параметром можно отнести, например, поиск решения линейных уравнений в общем виде, исследование уравнения на количество имеющихся корней в зависимости от значения параметра.

Не приводя подробных определений, в качестве примеров рассмотрим следующие линейные уравнения:

у = kx, где x, y – переменные, k – параметр;

у = kx + b, где x, y – переменные, k и b – параметр;

Уравнение вида Ах-В=0, где А и В выражения, зависящие от параметров, а х - переменная, называют линейным. Иногда уравнения, кроме букв, обозначающих неизвестное(X, Y,Z), содержат другие буквы, называемые параметрами(a, b, c). Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений.
При одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других – имеет только один корень, при третьих – два корня.
Решить такое уравнение – это значит:

1) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров;

2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнений.

При решении таких уравнений надо:
1) найти множество всех доступных значений параметров;
2) перенести все члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а все члены, не содержащие неизвестного в правую;
3) привести подобные слагаемые;
4) решать уравнение ax = b.

Возможно три случая.

3. Схема исследования линейного уравнения.

Таким образом, любое линейное уравнение с параметрами элементарными преобразованиями может быть приведено к виду Ах=В , где А и В – некоторые выражения, хотя бы одно из которых содержит параметр и исследуется по схеме: ( приложение1.)

4. Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:

а ) в условии сказано: решить уравнение (неравенство, систему) – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя.

б ) требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д.

В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется.

Параметр, являясь неизвестным фиксированным числом, имеет как бы особую двойственность. В первую очередь, необходимо учитывать, что предполагаемая известность говорит о том, что параметр необходимо воспринимать как число. Во вторую очередь, свобода обращения с параметром ограничивается его неизвестностью. Так, например, операции деления на выражение, в котором присутствует параметр или извлечения корня четной степени из подобного выражения требуют предварительных исследований. Поэтому необходима аккуратность в обращении с параметром.

Я нашла различные формулировки заданий:

При каких значениях параметра а уравнение а 2 (х-2)=х+а-3 имеет бесконечное множество решений?

При каком значении параметра а корень уравнения х+3=2х-а будет отрицательным числом?

Для каждого значения параметра а, определить число корней уравнения |x-1| = а.

Для каждого значения параметра а, определить число корней уравнения |5x-3|= а.

При каких значениях параметра с корень уравнения х+с=3х-5, является неотрицательным числом?

При каких значениях параметра а, корень уравнения 4а+12х=4ах-3а+6 больше 3?

Сравнить числа: а) а и 3а ; б) -а и 3а.
Решение:
а) естественно рассмотреть три случая:
если а , то а > 3а; если а = 0 , то а = 3а; если а > 0 , то а ;

Имеет ли уравнение 3х+5 = 3х+а решение при а=1. Подберите значение а , при котором уравнение будет иметь корни.

Найдите множество корней уравнения ах = 4х+5
а) при а=4; б) при а ≠ 4.

Найти все натуральные значения а , при которых корень уравнения (а-1)х=12 является: a) натуральным числом; б) неправильной дробью.

Решение:
а≠1 , то так как иначе уравнение не имеет решений;
а) если а≠1 , то
Перебором находим:
при а=13, х=1; при а=7, х=2; при а=5, х=3; при а=4, х=4; при а=3, х=6; при а=2, х=12.
Ответ: а є .
б) если а≠1 , то
Перебором находим, что а є .

Решить уравнение | х|=|а|.

Решить уравнение ах+8=а.
Решение. Запишем уравнение в стандартном виде ах=а-8.
Основа правильного решения задач с параметрами состоит в грамотном разбиении области изменения параметра, к этому надо приучать путем подробного описания хода решения.
Итак, коэффициент при х равен а .

Возникают два возможных случая:

-коэффициент при х равен нулю и уравнение примет вид 0х=-8 , полученное уравнение не имеет корней ;

-коэффициент при х не равен нулю , и мы имеем право разделить обе части уравнения на этот коэффициент: а≠0, ах=а-8,
Ответ: при а=0, нет корней ; при а≠0,

5. Уравнения, приводимые к линейным и алгоритмы их решения.

Алгоритм решения такого типа уравнений:

2. Решить исходное уравнение относительно х при тех значениях параметра, которые были определены в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно х при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.

4. Записать ответ можно в следующем виде:

1) при … (значения параметра), уравнение имеет корни …;

2) при … (значения параметра), в уравнении корней нет.

Пример № 1. При каких значениях а уравнение (а 2 -1)х=а+1
а) не имеет решений; б) имеет бесконечное множество решений; в) имеет единственный корень.
Решение:
а) данное уравнение не имеет решений в том случае, если коэффициент при х равен нулю, а выражение, стоящее в правой части уравнения не обращается в нуль, то есть
Т.о., при а=1 уравнение не имеет решений.
б) данное уравнение имеет бесконечное множество решений в том случае, если коэффициент при х равен нулю и выражение, стоящее в правой части уравнения, обращается в нуль, то есть
Т.о., при а=-1 уравнение имеет бесконечное множество решений.
в) уравнение имеет единственное решение , при а 2 -1≠0 , то есть (а-1)(а+1)≠0, т.е. а≠±1.
Ответ: Уравнение не имеет решений, при а=1.

Уравнение имеет бесконечное множество решений, при а=-1.

Уравнение имеет единственный корень, при а≠±1.

Пример №2. Решить уравнение (а-1)х+2=а+1.
Решение. Запишем уравнение в стандартном виде
(а-1)х=а-1.

Если а-1=0, т.е. а=1, то уравнение примет вид 0х=0 , т.е. х – любое число.

Если а-1≠0, т.е. а≠1, то х=1.

Ответ:
при а=1 , х – любое число; при а≠1, х=1.

Пример №3. Для каждого значения а, решить уравнение ; найти при каких а, корни больше нуля.

Это уравнение не является линейным уравнением (т.е. представляет собой дробь), но при х -1 и х 0 сводится к таковому: или а-1-х=0.

Мы уже выявили допустимые значения икс (х -1 и х 0), выявим теперь допустимые значения параметра а: а-1-х=0 а=х+1

Из этого видно, что при х 0 а 1, а при х -1 а 0.

Таким образом, при а 1 и а 0 х=а-1 и это корень больше нуля при а>1.

Ответ: при а решений нет, а при a >1 корни положительны.

6. Примеры решений уравнений с параметром из ГИА и ЕГЭ части С. Тест.

Узнав всю теоретическую основу и методы решений различных уравнений, содержащих параметр, я решила применить свои знания на практике. Я выбрала несколько вариантов заданий ГИА, представляющих собой именно те виды уравнений, которые были представлены в моей работе, а именно: уравнение первой степени с одним неизвестным. Ниже будут предложены решения этих уравнений.

Определить значения k , при которых корни уравнения положительны.

Сразу можно выделить, что , , из этого следует, что при уравнение не имеет смысла.

В уравнение х(3 k -8)=6- k подставим недопустимые значения х, чтобы узнать, при каких k уравнение не имеет смысла:

Итак, мы выяснили, что .

Выразим х: . Х будет больше нуля, если .

Учитывая, что , , . Ответ: ,

ИССЛЕДОВАНИЕ: Я самостоятельно решила уравнение: и исследовала его корни на четность и нечетность.

а) Если ; , то - единственное решение

б) Если , то (ложь) – нет решений

в) Знаем, что корни должны быть четными, отсюда составим равенство:

г) Знаем, что корни могут быть и нечетными, поэтому составим равенство:

Ответ: Если то - единственное решение,

Если , то решений нет,

Если N , то корни уравнения - четные,

Если N , то корни уравнения - нечетные.

И решив следующее уравнение, выяснила при каких значениях параметра а, среди корней уравнения 2ах – 4х –а 2 + 4а - 4 = 0 есть корни больше 1.

Решение: 2ах – 4х – а 2 + 4а - 4 = 0

2(а-2) х = а 2 –4а +4

При а = 2, 0 х = 0, решением будет любое число, в том числе и большее 1.

При а  2 х = , по условию х> 1, то > 1, а>4 .

Ответ: при а   (4 ; +  ) .

1. Решите уравнение mx + 2 = - 1 относительно х .

А. x = - , при m  0

Б. 1) при m = 0 корней нет;

В. 1) при m = 0 корней нет

2. Решите уравнение k (х – 4 ) + 2(х + 1) = 1 относительно х.

А.1) при k = -2 корней нет;

Б.1) при k = - 2 корней нет

В.1) при k = 0 корней нет.

2) при k  0 х = 3) при k  -2 , k  х =

3. Решите уравнение 2а (а-2)х = а 2 -5а+6 относительно х.

А. 1) при а =2 х  R

2) при а =0 корней нет

3) при а  0 и а  -2, х =

Б. 1) при а =2 х  R

2) при а =0 корней нет

3) при а0 и а  2, х =

В. 1) при а=2 х  R

2) при а =0 корней нет

4) при а 2, а  0, а 3 х =

4. При каких значениях b уравнение 1+2х – b х=4+х имеет отрицательное решение?

А.При b b > 1 В. При b

1. Решите уравнение (m – 2) х = 3 относительно х .

А. x = - , при m  0

Б. 1) при m = 2 корней нет;

В. 1) при m = 2 корней нет

2. Решите уравнение а(3х-2) =6х – 4 относительно х .

А.1) при а = 2 x – любое число;

Б.1) при а = -2 корней нет

В.1) при а = 0 корней нет.

3) при а  -2 , а  х =

3. Решите уравнение 3ах – 6х –а 2 + 4а - 4 = 0 относительно х .

А. 1) при а =2 х  R

2) при а =0 корней нет

3) при а  0 и а  -2, х =

Б. 1) при а =2 х  R

В. 1) при а=2 х  R

2) при а =0 корней нет

4) при а 2, а  0, а 3 х =

4. При каких значениях b среди корней уравнения х – b х + b 2 – 1=0 есть корни больше 1?

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
До 500 000 руб. ежемесячно и 10 документов.

Тема: Линейное уравнение с параметром. (урок усвоения новых знаний) Цели урока: Образовательные: дать определение линейного уравнения с параметром, рассмотреть способы его решения, схему исследования линейных уравнений с параметрами. Формировать навыки решения линейных уравнений с параметрами. Развивающие: развивать уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности. Воспитательные: формирование волевые качества, формирование коммуникабельность, выработка объективной оценки своих достижений, формирование ответственности. Этапы урока Организационный этап Актуализация знаний Ход урока Деятельность учителя Приветствие учеников а)Сформулируйте определение линейного уравнения с одним неизвестным; б )сколько корней может иметь линейное уравнение с одним неизвестным; в ) приведите пример линейного уравнения, которое имеет :а ) один корень, б ) не имеет корней, в ) имеет бесконечное множество корней. Деятельность учеников Приветствие учителя Учащиеся отвечают на вопросы учителя Мотивация. Рассмотрим два уравнения: 3 x 10 и . 10xa Учащиеся пытаются ответить на вопросы учителя постановка целей и задач. Первичное усвоение новых знаний 2. решить уравнения: 8 x 30 , 2   x 5 2  , 3 x  x 5  3 . 6 Устно решают уравнения В чем сходство этих уравнений? ( оба линейные, одинаковые свободные члены) В чем отличие? (коэффициентом перед х) Коэффициент во втором уравнении задан неявно и называется он параметр. Попытайтесь сформулировать тему урока, цели , задачи. Параметр (от греческого “parametron” – отмеривающий) – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой. С использованием параметров проводятся исследования многих систем и процессов реальной жизни. В частности, в физике в качестве параметров могут выступать температура, время и др. Вернемся к уравнению . Найдите корень данного уравнения. 10xa Можно ли считать число 10 a корнем данного уравнения? При каком условии это число будет корнем уравнения ? При каком нет? Если а=0 , то уравнение не имеет корней; Если а ≠0, . x 10 a Ответ .при а=0 , то уравнение не имеет корней; При а ≠0, . x 10 a Учащиеся формулируют тему, цели и задачи урока Отвечают на поставленный вопрос Учащиеся записывают алгоритм решения уравнения. Первичная проверка понимания 1.Решить уравнения: , 5xa 6 ax 12 2. Решим уравнение ax 5  x 1 .Какие преобразования необходимы в данном уравнении ( переносим слагаемые из одной части в другую, общий множитель выносим за скобку). Получаем уравнение  Если а=5, то уравнение примет вид 0х= 1 . Корней нет Если а≠5,  x 1 5 . a   . x    a 1 5 Решают на местах по алгоритму с последующей проверкой . Обсуждают решение уравнение вместе с учителем, записывают в тетради. Ответ. При а=5 корней нет, при а≠5, . x    a 1 5 Первичное закрепление Решить уравнение . Один учащийся у доски , остальные на местах решают уравнение. Для того, чтобы выразить х нужно будет поделить  a  1  a  на (а7)(а 7 3). Но выполнение этой операции возможно не всегда (делить на нуль нельзя). Все выше сказанное определяет дальнейший ход рассуждений: исследовать случаи, когда коэффициент при х равен нулю и когда – отличен от нуля. Если а = 7, то уравнение примет вид 0х=0. Решением полученного уравнения является любое действительное число. Если а = 3, то уравнение примет вид 0х = 16. Решений нет. Если a  7 и a  3, то . x    a a  a 1  a 7      7  3  a a   1 3 Ответ : при а = 7 x  R ; при а = 3 решений нет; при a  7 и a  3 x  a a   1 3 Решить уравнения 6хах = 11,  Задание повышенной сложности : a 2  25  x   a  5 a 6  . Учащиеся сами выбирают уровень сложности.  xa 2   1  x 5 6 x  (для более  a  2 Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению Рефлексия подготовленных учащихся). Подводит итог урока , выставление оценок, рефлексия

Читайте также: