Конспект треугольник и его элементы

Обновлено: 02.07.2024

Треугольник – геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, которые соединены между собой отрезками.

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.

Стороны треугольника– отрезки, соединяющие вершины треугольника.

Равные треугольники –треугольники, которые можно совместить наложением.

Список литературы

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б.Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т.М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т.М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М.А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы.// Иченская М.А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже познакомились с основными геометрическими фигурами:

Рассмотрим геометрическую фигуру, которая также является одной из основополагающих– треугольник.

Точки, с которых начиналось построение, называются вершинами треугольника.

Отрезки, соединяющие вершины треугольника, называются сторонами треугольника.

А, В, С – вершины треугольника АВС.

АВ, ВС, СА – стороны треугольника АВС.

∠А,∠В,∠С – углы треугольника АВС.

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.

Рассмотрим виды треугольников.

Их можно разделить по виду и соотношению углов, а также по соотношению сторон.

По углам треугольник может быть:

– остроугольным, если все его углы являются острыми, (т.е. меньше 90°).

– тупоугольным, если один из его углов тупой(т.е. больше 90°).

– прямоугольным, если один угол 90° (т.е. прямой).

По сторонам треугольник бывает:

– разносторонний, если все его стороны имеют различную длину;

– равнобедренный, если две его стороны равны между собой;

– равносторонний,если у него все три стороны равны между собой.

Напомним, что две фигуры, в том числе и треугольник, можно сравнить. ∆ АВС = ∆ А₁В₁С₁

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. При этом попарно совмещаются вершины, углы и стороны треугольников.

Следует помнить, что если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам (сторонам и углам) другого треугольника.

Свойство равных треугольников.

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. Обратное утверждение тоже верно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Равенство треугольников также можно установить, не производя наложения фигур друг на друга, а сравнивая лишь некоторые элементы этих фигур. Это станет возможным при изучении признаков равенства треугольников.

Внешний угол треугольника.

Введём определение внешнего угла треугольника.

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

У каждого угла треугольника есть два угла, смежных с ним, т.е. у треугольника шесть внешних углов.

Отметим, что при одной вершине внешние углы равны, как вертикальные.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Найдите градусную меру внешнего ∠В, треугольника АВС, если ∠АВС = 60°.

По рисунку видно, что угол В внешний угол треугольника и он является смежным к углу АВС, следовательно, их сумма равна 180°.

∠В = 180° – ∠АВС = 180° – 60° = 120°

Периметр ∆АВС равен 58 см, сторона АВ = 20 см, сторона ВС >АС на 5 см. Найдите стороны ВС и АС.

Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой периметра треугольника Р_∆АВС = АВ + ВС + АС. Обозначим сторону АС за х, тогда сторона ВС равна х + 5, составим уравнение.

Треугольники: равные, равнобедренные. Первый, второй и третий признаки равенства треугольников. Перпендикуляр, высота, медиана, биссектриса, основание, вершина, боковая сторона. Свойства и признаки равнобедренного треугольника. Серединный перпендикуляр, геометрическое место точек, первая замечательная точка. Подробные доказательства теорем.

Треугольник — одна из самых замечательных и самых важных фигур в геометрии. Все знают, как он выглядит. Но что же такое треугольник? Допустим, что треугольник — это замкнутая ломаная из трех звеньев. Можно представить себе треугольник, сделанный из проволоки. Но известно, что у него есть площадь. Поэтому треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Представьте себе треугольник, сделанный из фанеры или вырезанный из картона.

Очень важным моментом при решении геометрических задач является нахождение равных треугольников. Очевидно, что если у двух треугольников все стороны и углы окажутся соответственно равными, то и треугольники будут равны. На практике равные треугольники определяют, прикладывая их друг к другу. Если треугольники совпадут при наложении, значит, они равны. Этот способ и позволяет дать определение равных треугольников.

Треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Сумма длин всех трех сторон треугольника называется периметром. Треугольники называются равными, если совпадают при наложении. Если равные треугольники наложить так, что они совпадут, то окажется, что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов лежат равные стороны.

Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Действительно, если наложить треугольники друг на друга равными углами, то совпадут и равные стороны. Значит, совпадут и оставшиеся две вершины.

Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если наложить треугольники друг на друга равными сторонами, то совпадут углы, прилежащие к этим сторонам. Значит, совпадут и третьи вершины.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную прямую, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, проходящей через данную точку, с концами в данной точке и в точке пересечения с данной прямой. Точка пересечения называется основанием перпендикуляра.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной и точкой пересечения биссектрисы угла и стороны треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника. 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 2. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины к основанию, является высотой и медианой.

Признак равнобедренного треугольника (по двум углам). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Есть еще три признака равнобедренного треугольника. Треугольник является равнобедренным, если:

высота треугольника является и медианой;
высота треугольника является и биссектрисой;
медиана треугольника является и биссектрисой (доказывается продлением медианы на ее длину).

Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Свойство точек серединного перпендикуляра. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек плоскости, обладающих общим свойством. Например, все точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка, и все точки плоскости, равноудаленные от концов отрезка, лежат на серединном перпендикуляре.

Первая замечательная точка. Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, попарно соединенных между собой отрезками. Точки называются вершинами треугольника, отрезки – сторонами треугольника. Треугольник имеет три вершины и три стороны. Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

Внутренние углы треугольника – это углы, образованные его сторонами. Угол А – это угол, образованный сторонами АВ и АС.

Виды треугольников по углам:

Остроугольный треугольник – это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше 90º).
Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол прямой (то есть имеет градусную меру 90º).
Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой (то есть имеет градусную меру больше 90º).

Виды треугольников по сторонам:

Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) – это треугольник, у которого все три стороны равны.
Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны.
Разносторонний треугольник – треугольник, все стороны которого имеют разную длину.

Элементы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Любой треугольник имеет три медианы, которые пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы.

Биссектриса – это отрезок, делящий угол треугольника на две равные части. Любой треугольник имеет три биссектрисы, которые пересекаются в одной точке.

Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Любой треугольник имеет три высоты, которые пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине: \(MN=\frac12AC; \ MN\parallel AC\) .

Серединный перпендикуляр к отрезку – прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину. Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанного круга.

Основные свойства треугольников

Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.
Сумма углов треугольника равна 180º. Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60º.
Продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним.
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности (a b – c; b a – c; c a – b).

Один из внешних углов треугольника равен 65 \(^\circ\) . Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 6:7. Найдите наибольший из них.

Внутренние углы треугольника относятся как 3:7:8. Найдите отношение внешних углов треугольника.

Чему равна градусная мера одного из углов прямоугольного треугольника?

Если в треугольнике один угол больше суммы двух других углов, то он

Если в треугольнике один внешний угол острый, то этот треугольник

Периметр равнобедренного треугольника равен 11 см, а основание равно 3 см. Найдите боковую сторону треугольника.

продолжить формировать представления обучающихся о геометрической фигуре – треугольнике, как о неотъемлемой части окружающего нас мира.

развивающие:

развивать пространственное воображение учащихся, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь;

учить самостоятельно добывать знания, побуждать к любознательности.

воспитательные:

воспитывать сознательное отношение к учебному труду, развивать интерес к математике, самостоятельность, коммуникативность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Планируемые результаты:

Владеют геометрическим языком, умеют использовать его для описания предметов окружающего мира, приобретают навыки геометрических построений

Познавательные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимают необходимость их проверки

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей; осуществляют самоанализ и самоконтроль

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, демонстрационный экран, программное обеспечение Microsoft, Power Point и слайд-фильмы, памятка о видах треугольника, сигнальные карточки, чертежные инструменты.

Организационный момент (СЛАЙД 2)

Ребята, послушайте, какая тишина!

Это в школе начались уроки.

Мы не будем тратить время зря,

И приступим все к работе.

Актуализация знаний учащихся

А сейчас мы повторим те геометрические фигуры, которые мы изучали ранее и которые нам пригодятся при изучении данной темы урока.

Один ученик класса выходит к доске и встает спиной к экрану. На экране появляются следующие фигуры:

Ученики класса описывают ту фигуру, которую они видят на экране, говорят ее определение, а ученик отгадывает, что изображено на экране.

Жили-были три подружки

В разных домиках своих.

Три веселых хохотушки –

Точками все звали их.

Между этими домами

Реки длинные текли.

Точки очень не хотели

Ножки промочить свои.

И тогда они решили

Между домиками взять

Сделать мостики большие,

Чтобы в гости прибегать.

Мост с мостом соединился,

Что же, в общем, получился?

(Треугольник).

(СЛАЙД 6) Эпиграф

В старших классах каждый школьник

Изучает треугольник.

Три каких-то уголка,

А работы — на века

(Валентин Берестов)

Какие цели мы поставим перед собой, как вы думаете, чем мы будем заниматься на уроке? (Ответы детей) (СЛАЙД 7)

Изучение нового материала

Выберите наиболее точное определение.

Треугольник – письмо без марки и конверта, отправленное солдатом с фронта или солдату на фронт. (Солдатский) (СЛАЙД 8)

Треугольник -самозвучащий музыкальный инструмент- стальной прут, согнутый в виде треугольника, по которому ударяют палочкой (СЛАЙД 9)

Треугольник – это фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, попарно соединенных отрезками. (СЛАЙД 10)

Итак, нам подходит последнее определение. Запишите в тетрадь.

(СЛАЙД 11) про Герона. Вместо слова “треугольник” употребляют знак, который ввел в математику древнегреческий ученый Герон (1в.). Запишем Δ АВС.

(СЛАЙД 12) А сейчас я вам предлагаю разгадать анаграммы. Кто знает, что это такое?

ГОЛУ, ШЕРИНАВ, РЕНЬКО, ТОНАРОС

Какое слово лишнее? Почему? (угол, вершина, корень, сторона) Что объединяет остальные слова?

Ребята, эти три точки, не лежащие на одной прямой, называются вершинами. Отрезки – это стороны треугольника. Сколько их? АВ, АС и ВС. Какие элементы есть еще у треугольника? (Выясняем). Итак, у треугольника есть три угла. Три стороны, три угла, три вершины – всё это элементы треугольника.

( СЛАЙД 13) Элементы треугольника

вершины (точки не лежащие на одной прямой): А, В, С;

стороны (отрезки, попарно соединяющие вершины): АВ, ВС, СА;

углы: АВС, ВСА, САВ

(СЛАЙД 14)Теперь вам нужно выполнить ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

(выполняют задание № 87(а) из учебника Геометрия7-9/Атанасян Л. С.)

Начертите треугольник и обозначьте его вершины буквами M, N и P.

а) Записать все углы и стороны и вершины треугольника.

Самопроверка. (СЛАЙД 15) Ответ на слайде. Если правильно поставить 1 балл.

Лабораторно-исследовательская работа. (СЛАЙД 15)

Учитель: Рассмотрите треугольники, изображенные на рисунке,

В чем их различие? (работа в парах)

Теперь мы с вами познакомимся с видами треугольников. Я вам читаю стихотворение, а вы поможете мне вставить пропущенные слова. Готовы?

(СЛАЙД 16) Зовусь я “Треугольник”,
Со мной хлопот не оберётся школьник.
По разному всегда я называюсь,
Когда углы иль стороны даны:
С одним тупым углом - тупоугольный,
Коль острых два, а третий-прям - прямоугольный.
Бываю я равносторонний.
Когда мои все стороны равны.
Когда же все разные даны,
То я зовусь разносторонним.
И если, наконец, равны две стороны,
То равнобедренным я называюсь. На слайде появляются виды называемых треугольников.

(СЛАЙД 17) Я вам приготовила памятки, которые показывают какие виды треугольников бывают.

Ученики получают буклеты, в которых приводится классификация треугольников.

(СЛАЙД 18) Задание на закрепление. На слайде появляются треугольников, определить к какому виду относится данный треугольник. Правильный ответ 1 балл.

Физминутка для глаз.

(СЛАЙД 20) Постановочная задача.

Земельный участок имеет треугольную форму. Сколько потребуется метров проволоки, чтобы обнести этот участок забором? (Ответ: измерить стороны и сложить их длины.)

Как мы называем сумму длин всех сторон треугольника? (Ответ: периметр.)

Р_авс = АВ + ВС + СА (ед.)

(СЛАЙД 21) Самостоятельная работа по вариантам

Найти периметр треугольника, если 2 стороны равны по: 16 см, а третья сторона – 22 см. И определить вид треугольника.

Каждая сторона треугольника равна 12 см. Как называется такой треугольник? Чему равен его периметр?

(у доски 2 человека, взаимопроверка ответ на слайде) (СЛАЙД 22) 1 балл+ 1 балл

Логическая пауза (СЛАЙД 23)

Часто знает и дошкольник,

Что такое треугольник,

А уж вам – то, как не знать!

Но совсем другое дело –

Быстро, точно и умело

Например, в фигуре этой

Сколько разных? Рассмотри!

Все внимательно исследуй

И по краю, и внутри!

Сколько треугольников и определить вид треугольника. Записать ответ в тетрадь. Ответ на слайде. 1 балл

Подведем итог, где же в жизни мы может встретить треугольники. (СЛАЙД 24)

Оценки (СЛАЙД 25)

Рефлексия. (СЛАЙД 26)

Ребята, мы в начале урока ставили перед собой цели. Достигли ли мы их? Что нового узнали? Разобрались ли в данном материале? У вас на парте лежат красные и зеленые треугольники. Если сегодня на уроке, вам все было понятно и комфортно, поднимите зеленый треугольник. Если сегодня на уроке у вас возникли какие-то затруднения, не бойтесь, поднимайте красный треугольник, мы обязательно решим эти трудности вместе.

Д.з. (СЛАЙД 26,27)

Глава 2, параграф 1, пункт 14, № 88, №91

Известный французский архитектор говорил, что образование-это то, что остается после того, как все остальное забыто. Надеюсь, этот материал вы не забудете. Думаю, что знания, которые вы получили сегодня, помогут вам на уроках геометрии в старших классах. Спасибо за урок!

В мире геометрии

подготовила учитель математики

Сурина Екатерина Владимировна

ОТГАДАЙТЕ ЗАГАДКУ:

Жили-были три подружки В разных домиках своих. Три веселых хохотушки – Точками все звали их. Между этими домами Реки длинные текли. Точки очень не хотели Ножки промочить свои. И тогда они решили Между домиками взять Сделать мостики большие, Чтобы в гости прибегать. Мост с мостом соединился, Что же, в общем, получился?

Треугольник

Треугольник и его элементы

Эпиграф урока:

В старших классах каждый школьник

Изучает треугольник.

Три каких-то уголка,

А работы — на века

(Валентин Берестов )

(гг. рождения и смерти

неизвестны, вероятно, 1 век)

Элементы треугольника

Δ АВС Стороны (отрезки, попарно соединяющие вершины): АВ, АС и ВС Вершины (точки не лежащие на одной прямой): А, В, С Углы: А, В, С
Δ АВС Стороны (отрезки, попарно соединяющие вершины): АВ, АС и ВС Вершины (точки не лежащие на одной прямой): А, В, С Углы: А, В, С
Δ АВС Стороны (отрезки, попарно соединяющие вершины): АВ, АС и ВС Вершины (точки не лежащие на одной прямой): А, В, С Углы: А, В, С
Δ АВС Стороны (отрезки, попарно соединяющие вершины): АВ, АС и ВС Вершины (точки не лежащие на одной прямой): А, В, С Углы: А, В, С
Δ АВС Стороны (отрезки, попарно соединяющие вершины): АВ, АС и ВС Вершины (точки не лежащие на одной прямой): А, В, С Углы: А, В, С
Δ АВС Стороны (отрезки, попарно соединяющие вершины): АВ, АС и ВС Вершины (точки не лежащие на одной прямой): А, В, С Углы: А, В, С
Δ АВС Стороны (отрезки, попарно соединяющие вершины): АВ, АС и ВС Вершины (точки не лежащие на одной прямой): А, В, С Углы: А, В, С
Δ АВС Стороны (отрезки, попарно соединяющие вершины): АВ, АС и ВС Вершины (точки не лежащие на одной прямой): А, В, С Углы: А, В, С
Δ АВС
Стороны (отрезки, попарно соединяющие вершины): АВ, АС и ВС
Вершины (точки не лежащие на одной прямой): А, В, С
Углы: А, В, С

Практическое задание

задание № 87(а)

Δ MNP Стороны : NM, NP, MP Вершины: M, N, P Углы: M, N, P
Δ MNP Стороны : NM, NP, MP Вершины: M, N, P Углы: M, N, P
Δ MNP Стороны : NM, NP, MP Вершины: M, N, P Углы: M, N, P
Δ MNP Стороны : NM, NP, MP Вершины: M, N, P Углы: M, N, P
Δ MNP Стороны : NM, NP, MP Вершины: M, N, P Углы: M, N, P
Δ MNP Стороны : NM, NP, MP Вершины: M, N, P Углы: M, N, P
Δ MNP Стороны : NM, NP, MP Вершины: M, N, P Углы: M, N, P
Δ MNP Стороны : NM, NP, MP Вершины: M, N, P Углы: M, N, P
Δ MNP
Стороны : NM, NP, MP
Вершины: M, N, P
Углы: M, N, P

Лабораторно-исследовательская работа

Виды треугольников

Физминутка для глаз

Земельный участок имеет треугольную форму. Сколько потребуется метров проволоки, чтобы обнести этот участок забором?

сумма длин всех сторон треугольника

Р Δ ABC = АВ + ВС + СА (ед.)

Самостоятельная работа

Каждая сторона треугольника равна 12 см. Как называется такой треугольник? Чему равен его периметр?

Читайте также: