Конспект степень с дробным показателем

Обновлено: 03.07.2024

образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Степень с рациональным показателем”; проконтролировать уровень усвоения материала; ликвидировать пробелы в знаниях и умениях учащихся;

развивающие: формировать навыки самоконтроля учащихся; создать атмосферу заинтересованности каждого ученика в работе, развивать познавательную активность учащихся;

воспитательные: воспитывать интерес к предмету, к истории математики.

Содержимое разработки

“Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь”. (М.В.Ломоносов)

воспитательные: воспитывать интерес к предмету, к истории математики.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: оценочные листы, карточки с заданиями, дешифраторами, кроссвордами для каждого учащегося.

Предварительная подготовка: класс разбит на группы, в каждой группе руководитель - консультант.

I. Организационный момент.

Учитель: Мы закончили изучение темы “Степень с рациональным показателем и её свойства”. Ваша задача на этом уроке, показать, как вы усвоили изученный материал и как вы умеете применять полученные знания при решении конкретных задач. На столе у каждого из вас есть оценочный лист. В него вы будете вносить свою оценку за каждый этап урока. В конце урока вы выставите средний балл за урок.

Оценочный лист

Проверь себя (с\р)

II. Проверка домашней работы.

Взаимопроверка с карандашом в руках, ответы зачитываются учащимися.

III . Актуализация знаний учащихся.

Учитель: Известный французский писатель Анатоль Франс сказал в свое время: “Учиться надо весело.…Чтобы поглощать знания надо поглощать их с аппетитом”.

Повторим необходимые теоретические сведения в ходе разгадывания кроссворда.

1. Действие, с помощью которого вычисляется значение степени (возведение).

2. Произведение, состоящее из одинаковых множителей (степень).

3. Действие показателей степеней при возведении степени в степень (произведение).

4. Действие степеней, при которых показатели степеней вычитаются (деление).

5. Число всех одинаковых множителей (показатель).

6. Степень с нулевым показателем (единица).

7. Повторяющийся множитель (основание).

8. Значение 10 5 : ( 2 3 • 5 5 ) (четыре).

9. Показатель степени, который обычно не пишут (единица).

I V . Математическая разминка.

Учитель. Повторим определение степени с рациональным показателем и его свойства, выполним следующие задания.

1. Представить выражение х 22 в виде произведения двух степеней с основанием х, если один из множителей равен: х 2 , х 5,5 , х 1\3 , х 17,5 , х 0

а) х 2\3 = х

б) у 5\8 у 1\4 : у 1\8 = у

в) с 1,4 с -0,3 с 2,9

3. Вычислить и составить слово, используя дешифратор.

Выполнив это задание, вы, ребята, узнаете фамилию немецкого математика, который ввел термин - “показатель степени”.

1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3

Слово: 1234567 (Штифель)

V. Письменная работа в тетрадях (ответы открываются на доске).

Задания:

1. Упростить выражение:

(х-2): (х 1\2 -2 1\2 ) (у-3): (у 1\2 – 3 1\2 ) (х-1): (х 2\3 -х 1\3 +1)

2. Найти значение выражения:

( х 3\8 х 1\4 :) 4 при х=81

V I . Работа в группах.

Задание. Решить уравнения и составить слово, используя дешифратор.

1) Х 1\3 =4; 2) у -1 =3\5; 3) а 1\2 = 2\3; 4) х -0,5 х 1,5 = 1; 5) у 1\3 =2; 6) а 2\7 а 12\7 = 25; 7) а 1\2 : а = 1\3

Слово: 1234567 (Диофант)

Карточка № 2

1) Х 1\3 =4; 2) у -1 = 3; 3) ( х+6) 1\2 = 3; 4) у 1\3 =2; 5) (у-3) 1\3 =2; 6) а 1\2 : а = 1\3

Cлово: 123456 (Декарт)

1) а 2\7 а 12\7 = 25; 2) (х-12) 1\3 =2; 3) х -0,7 х 3,7 = 8; 4) а 1\2 : а = 1\3; 5) а 1\2 = 2\3

Cлово: 123451 (Ньютон)

Учитель. Все эти ученые внесли свой вклад в развитие понятия “степень”.

Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Степени некоторых чисел использовались при решении отдельных задач учеными Древнего Египта и Вавилона.

В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта “Арифметика”, в которой было положено начало введению буквенной символики. Диофант вводит символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин. В этой книге квадрат обозначается знаком с индексом r; куб – знаком k c индексом r и т.д.

Из практики решения более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел. К идее обобщения понятия степени на степень с ненатуральным показателем математики пришли постепенно.

Дробные показатели степени и наиболее простые правила действии над степенями с дробными показателями встречаются у французского математика Николая Орема (1323–1382 гг.) в его труде “Алгоритм пропорций”.

Равенство, а 0 =1 (для а не равного 0) применял в своих трудах в начале ХV века самаркандский ученый Гиясаддин Каши Джемшид. Независимо от него нулевой показатель был введен Николаем Шюке в ХV веке. Известно, что Николай Шюке (1445–1500 гг.), рассматривал степени с отрицательными и нулевым показателями.

Позже дробные и отрицательные, показатели встречаются в “Полной арифметике” (1544 г.) немецкого математика М.Штифеля и у Симона Стевина. Симон Стевин предположил подразумевать под а 1/n корень .

Немецкий математик М.Штифель (1487–1567 гг.) дал определение а 0 =1 при и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степень.

В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней. Но современные обозначения (типа а 4 , а 5 ) в XVII ввел Рене Декарт.

Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса (1616–1703) и Исаака Ньютона (1643–1727).

О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г. английский математик Джон Валлис. Его дело завершил Исаак Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.

Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщение понятий математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробными показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применены те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т.е. чтобы сохранились основные свойства первоначального определённого понятия степени.

Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, то есть смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения постоянства). В несовершенной форме его высказал 1830 г. английский математик Дж.Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г.Ганкель в 1867 г.

VII I . Проверь себя.

Самостоятельная работа по карточкам (ответы открываются на доске).

Вариант 1

1. Вычислить: (1 балл)

2. Упростить выражение: по 1 баллу

а) х 1\2 х 3\4 б)( х -5\6 ) -2\3

в) х -1\3 : х 3\4 г) (0,04х 7\8 ) -1\2

3. Решить уравнение: (2 балла)

4. Упростить выражение: (2 балла)

(а + 3а 1\2 ): (а 1\2 +3)

5. Найти значение выражения: (3 балла)

(У 1\2 -2) -1 - (У 1\2 +2) -1 при у=18

Вариант 2

1. Вычислить: (1 балл)

2. Упростить выражение: по 1 баллу

а) х 1,6 х 0,4 б)( х 3\8 ) -5\6

в) х 3\7 : х -2\3 г) (0,008х -6\7 ) -1\3

3. Решить уравнение: (2 балла)

4. Упростить выражение: (2 балла)

(в 1,5 с- вс 1,5 ): (в 0,5 - с 0,5 )

5. Найти значение выражения: (3 балла)

(х 3\2 +х 1\2 ): (х 3\2 -х 1\2 ) при х=0,75

I X . Подведение итогов урока.

- Какие формулы и правила вспомнили на уроке?

- Проанализируйте свою работу на уроке.

Оценивается работа учащихся на уроке.

Х. Домашнее задание. К: Р IV (повторить) ст.156-157 № 4 (а-в), № 7 (а-в),

Практика показывает, что выражения с корнями получаются довольно громоздкими, особенно если они возводятся в степень. К счастью, есть способ более компактной их записи. Для этого используют дробные степени.

План урока:

Степень с рациональным показателем

Напомним, что в 7 классе мы впервые познакомились с понятием степени, причем тогда рассматривались случаи, когда показателем степени является натуральное число. В 8 классе понятие степени было расширено, теперь в него включались случаи, когда показатель являлся целым числом. Настоятельно рекомендуем перечитать соответствующие уроки. Сегодня же мы можем сделать ещё один шаг вперед и рассмотреть степени с рациональными показателями.

При расширении понятия степени важно обеспечить то, чтобы уже известные правила работы с целыми степенями работали и для дробных показателей. Одно из свойств степеней выглядит так:

Подставим в эту формулу следующие значения переменных:

Мы специально выбрали эти числа такими, чтобы произведение mn равнялось единице:

Подставляем эти значения:

(3 1/6 ) 6 = 3 1/6 • 6 = 3 1 = 3

Однако по определению корня n-ой степени число, дающее при возведении в шестую степень тройку, является корнем шестой степени из трех. То есть можно записать:

С помощью подобных преобразований нам удалось указать, чему равно число, возведенное в дробную степень. Аналогично можно показать, что для любого а > 0 справедлива формула:

Действительно, если возвести левую часть в n-ую степень, то получим:

(а 1/ n ) n = a 1/ n • n = a

Значит, по определению корня n-ой степени

Ограничение а > 0 необходимо для того, чтобы не рассматривать случаи, когда подкоренное выражение является отрицательным.

Продолжим наши рассуждения. Чему будет равна степень а m / n ? Ясно, что дробь m/n можно представить в виде:

C учетом этого выполним преобразование:

В результате несложных преобразований нам удалось получить формулу, позволяющую возводить число в степень, у которой рациональный показатель!

Приведем несколько примеров вычисления дробных степеней:

Часто при вычислениях удобнее сначала извлечь корень из числа, а потом полученный результат возвести в степень:

Напомним, что одну и ту же дробь можно представить разными способами, например:

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 0,5

Возникает вопрос – изменится ли значение дробной степени, если мы приведем дробь к новому знаменателю? Очевидно, что нет, но всё же убедимся в этом на примере. Сначала возведем в степень 1/2 число 25:

Теперь заменим дробь 1/2 на идентичную ей дробь 2/4:

Результат не изменился. В общем случае есть смысл максимально сократить дробь перед вычислением, чтобы избежать операций с большими числами. Особенно это касается десятичных дробей. Например, пусть необходимо вычислить значение выражения 81 0,25 . По определению десятичной дроби можно записать, что 0,25 = 25/100. Тогда вычислить 81 0,25 можно так:

Согласитесь, возводить число 81 в 25-ую степень не очень легко! Поэтому поступим иначе. Сократим дробь 25/100:

0,25 = 25/100 = 25/(25•4) = 1/4

Теперь вычисления будет более простыми:

Вообще легко запомнить, что 0,25 = 1/4, а 0,5 = 1/2. Замена десятичных дробей обыкновенными дробями сильно упрощает вычисления. Приведем примеры:

Свойства дробных степеней и операции с ними

Когда мы изучали степени с целыми показателями, мы выяснили, что правила работы с ними ничем не отличаются от правил работы со степенями с натуральным показателем. Оказывается, эти же правила работают и для степеней с рациональным показателем. Сформулируем основные свойства дробных степеней.

Например, справедливы следующие действия:

5 0,5 •5 2,5 = 5 0,5 + 2,5 = 5 3 = 125

19 5/3 •19 1/3 = 19 5/3 + 1/3 = 19 2 = 361

29,36 –0,37 •29,36 1,37 = 29,36 –0,37 + 1,37 = 29,36 1 = 29,36

Вот несколько примеров подобных вычислений:

17 4,5 :17 3,5 = 17 4,5–3,5 = 17 1 = 1

4 9,36 :4 6,36 = 4 9,36–6,36 = 4 3 = 64

20 12 :20 14 = 20 12–14 = 20 –2

Проиллюстрируем это правило примерами:

(6 0,25 ) 8 = 6 0,25•8 = 6 2 = 36

(9 3/2 ) 2 = 9 (3/2)•2 = 9 3 = 729

(25 4 ) 0,125 = 25 4•0,125 = 25 0,5 = 5

Покажем, как можно применять данное правило:

4 1/6 •16 1/6 = (4•64) 1/6 = 64 1/6 = 2

0,5 1,5 •50 1,5 = (0,5•50) 1,5 = 25 1,5 = 25 1+0,5 = 25 1 •25 0,5 = 25•5 = 125

4,9 0,5 •10 0,5 = (4,9•10) 0,5 = 49 0,5 =7

Это правило можно применять следующим образом:

360 0,5 :10 0,5 = (360:10) 0,5 = 36 0,5 = 6

500 3 :50 3 = (500:50) 3 = 10 3 = 1000

6,25 1/4 :0,01 1/4 = (6,25:0,01) 1/4 = 625 1/4 = 5

Заметим, что степени очень удобны тем, что с их помощью легко упростить работу с корнями, ведь если

то верное и обратное:

То есть любое выражение с корнями в виде степени с рациональным показателем.

Пример. Вычислите значение выражения

Решение. Корней много, поэтому для удобства заменим их степенями

Получили тоже самое выражение, но в более компактном виде. Посчитаем его значение:

(9 1/4 ) 1/5 •3 9/10 = (9 0,25 ) 0,2 •3 0,9 = 9 0,25•0,2 •3 0,9 = 9 0,05 •3 0,9 = (3 2 ) 0,05 •3 0,9 =

=3 2•0,05 •3 0,9 = 3 0,1 •3 0,9 = 3 0,1•0,9 = 3 1 = 3

Пример. Упростите выражение

(81 n+1 – 65•81 n ) 0,25

Решение. Степень 81 n+1 можно представить как произведение:

81 n+1 = 81 n •81 1 = 81•81 n

С учетом этого можно записать:

(81 n+1 – 65•81 n ) 0,25 = (81•81 n – 65•81 n ) 0,25 = (81 n (81 – 65)) 0,25 =

= (81 n •16) 0,25 = 81 0,25 n •16 0,25 = 81 0,25 n •16 1/4 = 2•81 0,25 n

Ответ: 2•81 0,25 n .

Сравнение степеней

Напомним, что из двух корней n-ой степени больше тот, у которого больше подкоренное выражение:

Отсюда следует вывод, что если a 1/ n 1/ n

теперь возведем каждую часть этого неравенства в степень m. Тогда получим неравенство:

Получили, что из двух степеней с одинаковыми показателями меньше та, у которой меньше основание (правила сравнения будем нумеровать, чтобы на них удобнее было ссылаться):

В частности, справедливы следующие неравенства:

a – n = 1/a n = (1/а) n

Пример. Сравните выражения с рациональным показателем степени:

20 –3,14 и 50 –3,14

Решение. Избавимся от знака минус в показателе:

20 –3,14 = (1/20) 3,14 = 0,05 3,14

50 –3,14 = (1/50) 3,14 = 0,02 3,14

Получили две степени с одинаковым и, что принципиально важно, положительным показателем. Из них больше та, у которой больше основание. То есть из неравенства 0,02 3,14 3,14

Это означает, что

Ответ: 50 –3,14 –3,14 .

Особенным является случай, когда показатель степени равен нулю. Напомним, что любое число в нулевой степени (кроме самого нуля) равно единице, а выражение 0 0 не имеет смысл. Это значит, что числа в нулевой степени равны друг другу, даже если у них разные основания:

9,36 0 = 9,37 0 = 1

18,3546 0 = 12,3647 0 = 1

Несколько сложнее сравнивать числа, у которых одинаковые основания, но различные показатели. Здесь возможны три случая – основание либо равно единице, либо больше неё, либо меньше неё.

На основании этого правила можно записать, что:

Единица в любой степени равна самой себе. Поэтому, если у двух чисел в основании записана именно она, то они должны быть равны друг другу:

1 –7,56 = 1 –0,15 = 1 0,236 = 1 521,36 = 1

Осталось рассмотреть случай, когда основание меньше единицы (но всё равно положительное). В таком случае ситуация становится противоположной – чем больше степень, тем меньше число. Проиллюстрируем это на примере. Пусть надо сравнить числа 0,5 7,6 и 0,5 8,9 . Заменим дробь 0,5 так, чтобы вместо нее получилась степень с основанием, большим единицы:

0,5 = 1/2 = 1/(2 1 ) = 2 –1

Итак, 0,5 = 2 –1 . Тогда можно записать, что:

0,5 7,6 = (2 –1 ) 7,6 = 2 –7,6

0,5 8,9 = (2 –1 ) 8,9 = 2 –8,9

Такие числа мы уже умеем сравнивать. Так как

Следовательно, 0,5 7,6 > 0,5 8,9 .

Например, справедливы неравенства:

0,57 15,36 > 0,57 16,47

0,49 0,04 > 0,49 0,05

Рассмотрим чуть более сложное задание на сравнение степеней, где надо использовать одновременно несколько правил.

Пример. Докажите, что

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3

Решение. Напрямую вычислить значение выражений в правой и левой части затруднительно. Однако мы можем усиливать неравенство, чтобы получить более простые выражения.

Усилить неравенство – это значит увеличить его меньшую или уменьшить большую часть. Например, неравенство 10 1/3 :

Также ясно, что 27 1/3 1/3 (правило 1). Усилим исходное неравенство:

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3 (1)

Действительно, если (1) справедливо, то мы можем записать двойное неравенство

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3 1/3

Опустив здесь среднюю часть, получим исходное неравенство. Так как 27 1/3 = 3, мы можем переписать (1) так:

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 0,8 0,8 (снова используем правило 1). С другой стороны, 0,9 0,8 0,7 (правило 3). Значит, можно записать двойное неравенство:

или просто 0,8 0,8 0,7 . Абсолютно аналогично можно записать, что

Или 0,7 0,8 0,7 . Наконец, в силу правила (3), 0,9 0,9 0,7 . Итак, имеем три неравенства:

Их левые части стоят в (2). Следовательно, можно усилить (2):

0,9 0,7 + 0,9 0,7 + 0,9 0,7 0,7 0,7 0,7 :

Из правила 1 следует, что (4) справедливо. Но мы получили его, усиливая исходное неравенство. Из справедливости более сильного неравенства следует и справедливость более слабого. Следовательно, из справедливости (4) вытекает верность исходного неравенства, которое и надо было доказать.

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Возведение в степень - это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова "вычисление значение степени" и "возведение в степень" означают одно и то же. Так, если в задаче стоит "Возведите число 0 , 5 в пятую степень", это следует понимать как "вычислите значение степени ( 0 , 5 ) 5 .

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Условие: возведите - 2 в степень 4 .

Решение

Используя определение выше, запишем: ( − 2 ) 4 = ( − 2 ) · ( − 2 ) · ( − 2 ) · ( − 2 ) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .

Возьмем пример посложнее.

Вычислите значение 3 2 7 2

Решение

Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Выполните возведение в квадрат числа π .

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ ( 3 , 14 ) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ ( 3 , 14159 ) 2 = 9 , 8695877281 .

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени ( ln 6 ) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Так, ( − 9 ) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .

Как возвести число в целую степень

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени - целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .

5 0 = 1 , ( - 2 , 56 ) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а - любое число, а z - целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Возведите 2 в степень - 3 .

Решение

Используя определение выше, запишем: 2 - 3 = 1 2 3

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8 : 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тогда ответ таков: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Возведите 1 , 43 в степень - 2 .

Решение

Переформулируем: 1 , 43 - 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло ( 1 , 43 ) - 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: ( 1 , 43 ) - 2 = 10000 20449

Отдельный случай - возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a - 1 = 1 a 1 = 1 a .

Пример: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.

У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а , потом возводим результат в степень с целым показателем m .

Проиллюстрируем на примере.

Вычислите 8 - 2 3 .

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

После этого извлечем корень 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 и результат возведем в квадрат: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .

Решение

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107

Ответ: 13 501 , 25107 .

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями - довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367.

Решение

Ограничимся десятичным приближением a n = 1 , 17 . Проведем вычисления с использованием этого числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Если же взять, к примеру, приближение a n = 1 , 1743 , то ответ будет чуть точнее: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .

Значение степени с дробным показателем не зависит от выбора способа записи числа х в виде дроби; представляя дробное число х в виде отношения целого числа к натуральному разными способами, всегда будем получать один и тот же результат.

Если основания степеней положительны, то свойства степени с целым показателем остаются справедливыми и для степеней с любым дробным показателем.

Действия над степенями с любыми рациональными показателями выполняют по тем же правилам, что и действия над степенями с натуральными показателями.

Для любых рациональных u и v и действительного a > 0 верны равенства:

Комментариев нет:

Уроки математики и физики (RU + UA)

I. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДРОБИ (RU + UA + EN)
II. ПРОПОРЦИИ ПРОЦЕНТЫ МАСШТАБ (RU + UA)
III. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА (RU + UA)
IV. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ (RU + UA)
V. КОРНИ (RU + UA)
VI. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ (RU + UA + EN)
VII. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ (RU + UA)
VIII. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
IX. НЕРАВЕНСТВА (RU + UA)
X. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (RU + UA)
XI. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА (RU + UA)
XII. ПЛАНИМЕТРИЯ (1) (RU + UA)
XIII. ПЛАНИМЕТРИЯ (площади фигур) (RU + UA)
XIV. СТЕРЕОМЕТРИЯ (1) (RU + UA)
XV. СТЕРЕОМЕТРИЯ (2) (RU + UA)
XVI. КОМБИНАТОРИКА (RU + UA)
XVII. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ (RU + UA)
XVIII. ВЕКТОРЫ (RU + UA)
XIX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ (RU + UA)
XX. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ (RU + UA)
КИНЕМАТИКА
ДИНАМИКА
WATCH YOUR MONEY!

О сайте

На сайте размещена минимальная информация по математике, позволяющая сдать тесты любому ученику с положительной отметкой, если конечно он решит все предложенные уроки.
Также данный сайт поможет ученику, начинающему изучать математику и бабушкам, которые захотят помочь своим внукам в изучении математики.

Каждый урок содержит краткие сведения по теоретической части и три практических задания по 12 примеров или задач в каждом задании. При желании Вы можете написать ответы заданий для проверки в комментариях. Сайт находится в постоянной доработке. Возможны методические и математические ошибки.

полезным делом, воспитание трудолюбия и аккуратности.

Тип урока: урок комплексного применения знаний, умений и навыков.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

(На экране проектируется решенное домашнее задание, учащиеся

должны самостоятельно проверить правильность выполнения своего

3. Устная работа.

(На экране демонстрируются задания для устной работы.)

Вычислите: 16 1/2 , 81 0,5 , 16 1/4 , 9 – 0,5 .
Представьте в виде степени:

3 √ с 2 , √ 30 , 5 √ 27 – 1 , √ √у .

У 1,5 х 3 а 2 а – 2,5

(m 1/2 ) 4 , x – 1,5 х 1/2 , у 0,5 х 3,5 , а 2,5 .

4. Самостоятельная работа ( по уровням сложности )

1-й уровень (ФУТБОЛ)

Упростите, где можно вычислите:

(1) (а 1/2 ) 2 х 3 ; (2) у 2 : у 13/14 ; (3) х 3/4 √ х ;

(4) 2 2,5 * 2 – 1,5 * 3 – 1 ; (5) а 3/4 * b 1/5 ; (6) 2500 1/2 .

2-ой уровень №№ 611(а,в,г), 613(а). (РОМБ)

3-ий уровень №№ 611(б,д,е), 613(б). (УГОЛ)

На экране появляются зашифрованные буквы. Учащиеся по своим ответам составляют слова: футбол, ромб, угол .

А – х 2,4 К – 1/с 2 О – а 1/4 b 1/5 (х 2 /у 2 )

Б – 2/3 Л – 50 П – х 3 у Т – х 5/4

В – 20 М – с 2 Р – х 0,4 У – у 1,1/4

Г – а/ b Н – 4/9 С – у 3/14 Ф – ах 3

5 . Задания на развитие внимания:

b 1/3 (b 2/3 + с 1/2 − b 1/3 с) = b + b 1/3 c 1/2 – b 1/3 c .

Вместо многоточия вставьте выражение так, чтобы равенство было

6. Работа с книгой.

Учащиеся самостоятельно разбирают пример №1 из учебника на с.39.

7. Фронтальная работа.

Выполняются задания из учебника № 614(а,в,е), № 616(а,б,в)

ОТВЕТЫ : № 614 а) ху 1/2 – х 1/2 у ; в) а 3 − b; е) m + 2m 1/2 n 1/2 + n.

№ 616 а) 1 + с; б) − 2b 1/4 с 1/4 ; в) 4а 1/3 b 1/3 .

8. Домашнее задание. №№ 614(б), 615(а-е), 617.

9. Работа в парах.

Учащиеся самостоятельно, объясняя друг другу, выполняют задания на

закрепление нового материала. №№ 614(б), 616(д), 687(а) – (– а – 1/3 b 1/3 ).

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

В статье представлено учебное проектирование в рамках креативного урока "Преобразование энергии в тепловых процессах". Учебная проблема реализована в форме вопроса, не совпадающего с темой (можн.

Представлен сценарий урока формирования новых знаний, на котором используются различные активные методы работы. Применение информационных технологий в виде презентации позволяет активизировать учащихс.

Цели урока:1. Развивать познавательный интерес к изучению предмета и навыки выполнения простейших преобразований выражений, содержащих степени с целым показателем.2. Обобщить и систематизировать.

урок алгебры в 9 классе по теме "Понятие корня n-й степени и арифметического корня n-й степени""

План-конспект урока алгебры, 9 класс по теме "Понятие корня n-й степени и арифметического корня n- й степени". Базовый учебник: Ю.Н. Макарычев. Алгебра 9 класс, М. Просвещение, 2011 г. Урок модульного.

Читайте также: