Иррациональные уравнения 8 класс конспект урока

Обновлено: 01.07.2024

На предыдущем уроке вы рассмотрели решение некоторых иррациональных уравнений.

А сегодня мы научимся решать более сложные иррациональные уравнения.

1) Какие из следующих уравнений являются иррациональными:

2) Является ли число корнем уравнения

3) Назовите корни уравнений:

4) Возведите в квадрат выражение:

5) Решите приведенные квадратные уравнения методом подбора корней:

Вывод: Итак, мы повторили, какие уравнения являются иррациональными, научились проверять корни уравнений, устно решали простейшие иррациональные уравнения, повторили материал, который нам пригодится сегодня на уроке.

Какие из предложенных иррациональных уравнений вы умеете решать?

Задание по рядам. Трое разбирают уравнения на доске уравнения (1-3).

Ребята, а вы знаете, что возведение в квадрат не является равносильным преобразованием. Поэтому необходима проверка корней, что отсеивает посторонние корни.

Золотое правило решения иррациональных уравнений.

1) Возвести обе части в квадрат.

2) Решить полученное рациональное уравнение.

3) Обязательно сделать проверку, отсекая возможные посторонние корни.

А сейчас рассмотрим 4 уравнение. Как его можно решать?

Воспользуемся золотым правилом.

На слайде вы видите иррациональные уравнения, которые предлагались на ЕГЭ по математике в разные годы. Умеете ли вы их решать? Объясните шаги решений этих уравнений.

Как называется знак корня в математике?

Радикал от латинского слова. Радикс - корень. В математике означает извлечение корня.

Вы изучаете такие дисциплины, как обществознание, история, там встречаются словосочетания "радикальные изменения", что означает коренные изменения.

Легкое задание - на зеленой дорожке.
Средней сложности - на желтой дорожке.
Более сложное задание - на красной дорожке.

Каждый может выбрать себе задание по свом способностям.

Они составлены в виде тестов ЕГЭ.

Решения задания зеленой дорожки.

Решения задания желтой дорожки.

Решения задания красной дорожки

Взаимопроверка по готовым ответам. Разбор заданий по готовым решениям.

Те, кто справился с заданием, выбрал правильную траекторию своей деятельности. У вас ребята была правильная самооценка. Молодцы!

У кого были затруднения, стоит еще поработать дома самостоятельно и у вас всё получится!

У нас осталось немного времени, и хочу вам предложить очень интересную задачу.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Сценарный план урока

Образовательная: формирование у обучающихся понятия иррациональных уравнений, умения решать иррациональные уравнения.

Развивающая: развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить, интеллектуальных умений и мыслительных операций – анализ, синтез, сравнение и обобщение; развитие навыков исследовательской деятельности.

Воспитательная: воспитание познавательного интереса к предмету, самостоятельности при решении учебных задач, воли и упорства для достижения конечных результатов.

Планируемые результаты:

1) предметные: знать определение иррационального уравнения, корней иррационального уравнения, постороннего корня уравнения, метода возведения в квадрат; уметь решать иррациональные уравнения методом возведения в квадрат.

2) метапредметные: формирование умений работать по алгоритму, использовать иррациональные уравнения для решения практических задач.

3) личностные: формирование умений вести диалог, формулировать собственное мнение, аргументировать свою точку зрения, работать в группах и парах.

Тип урока: урок открытия новых знаний.

Средства методического обеспечения урока: компьютер, мультимедийный проектор, презентация, модель яблока, вырезанная из ватмана, маркеры, листки бумаги.

Используемые методы и приемы:

репродуктивный: воспроизведение полученных ранее знаний, воспроизведение знаний при выполнении заданий;

частично-поисковый: поиск собственных вариантов ответа, отбор информации по заданной теме;

вербальный: словесное общение на протяжении всего урока.

Используемые технологии:

технологии проблемного обучения,

технологии коллективного взаимодействия.

1) Мотивация

- Как вы думаете, почему именно эти слова я выбрала эпиграфом урока? Чем мы сегодня будем заниматься? (Учащиеся сами формулируют цель урока).

2 ) Актуализация знаний и фиксация затруднений в пробном действии .

- Иногда при решении задач с помощью уравнений можно столкнуться с такой ситуацией. Пример: периметр прямоугольного треугольника равен 48 см, один катет на 4 см больше другого. Чему равны стороны треугольника? ( Дети кратко записывают решение задачи ).

- Пусть х см – меньший катет, тогда (х+4) см больший катет. По теореме Пифагора гипотенуза равна . Составим и решим уравнение: х+х+4+=48, откуда =44-2х. С таким уравнением мы еще не сталкивались! Как его решать? В чем основная трудность? ( Переменная находится под знаком корня ).

- На доске написаны уравнения. Посмотрите на них внимательно. Распределите их на четыре группы. ( Учащиеся работают в группах по 4 человека ).

-Как называются уравнения I группы? Как решаются? ( линейные; все с неизвестными перенести в левую часть уравнения, все числа в правую, привести подобные слагаемые, найти неизвестный множитель )

- Как называются уравнения II группы? Как решаются? ( квадратные; выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему, обратную т. Виета, графический ).

- Как называются уравнения III группы? Как решаются? ( дробно-рациональные; приведение к ОЗ, приравнивание числителя к нулю, проверка, чтобы знаменатель в ноль не обращался)

- Как называются уравнения IV группы? (?).

-Что общего у уравнений IV группы? ( Переменная содержится под знаком квадратного корня.)

- Уравнения, в которых переменная содержится под знаком квадратного корня, называются иррациональными уравнениями.

- Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке?

- Сформулируйте тему урока. ( Иррациональные уравнения ).

- Хочу предложить вам следующее: перед вами плод древа познания – яблоко. Давайте разделим его на части и запишем, с какими трудностями нам придется сегодня столкнуться. ( На доску крепится символическое яблоко из ватмана, вместе с учениками записываем вероятные трудности: усвоение понятия иррационального уравнения, понятие корней иррационального уравнения, понимания метода решений таких уравнений, получу плохую отметку и т.д. )

- А сейчас мы повторим основной теоретический материал, который понадобится нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

Что такое уравнение? ( равенство с переменной или переменными )

Что значит решить уравнение? ( найти все его корни или убедиться, что их нет )

Что такое корень уравнения? ( значение переменной, которое при подстановке его в исходное равенство обращает его в верное числовое равенство )

Дайте определение квадратного корня из неотрицательного числа. ( квадратным корнем из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен а. на доске = b , b ≥0 и b 2 = a , свойство корня =а).

3) Построение проекта выхода из затруднения.

- Итак, мы все очень хорошо повторили, а теперь вернемся к теме урока. Сможете ли вы теперь из множества всех уравнений выделить иррациональные уравнения?

-Что будет отличать их от остальных уравнений?

Я вам более того скажу, эта тема настолько важная, что ее изучают и в старшей школе, и иррациональные уравнения вынесены на ЕГЭ.

Решить в тетрадях и на доске уравнение № 1

х=2 2 ,(по определению квадратного корня)

-Какое иррациональное уравнение можно попробовать решить, используя определение квадратного корня?

, по определению квадратного корня получим:

- Как мы избавились от знака корня?

(Возвели обе части в квадрат).

-Давайте убедимся, что полученное число действий является корнем уравнения. Как это сделать? ( выполнить проверку )

4) Реализация проекта.

Теперь попытайтесь решить уравнение № 3.

- не имеет смысла.

-В подобных случаях говорят, что х=1 – посторонний корень. Поэтому уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

- Метод, который мы использовали, называется возведением в квадрат обеих частей уравнения. Это основной метод решения иррациональных уравнений. Он не сложен, но иногда приводит к неприятностям, как в предыдущем примере. Поэтому проверку выполнять обязательно.

Фактически решая примеры № 1- № 3 мы применяли этот метод.

Попробуйте сформулировать правило решения иррациональных уравнений, которые мы изучили сегодня на уроке. ( Дети пробуют самостоятельно сформулировать правило :

Переверзева Людмила Васильевна, МБОУ "Средняя общеобразовательная школа № 43 им. Г. К. Жукова" г. Курска

Описание разработки

Цели урока:

изучить понятие иррациональное уравнение;

рассмотреть способы решения простейших иррациональных уравнений;

научить решать иррациональные уравнения;

активизировать учебный процесс через разнообразные виды работы и актуализацию имеющихся знаний;

продолжить формирование навыков устной и письменной речи, познавательного интереса, самостоятельности;

способствовать развитию памяти, рефлексии, эмоционального восприятия, устранению типичных недостатков в развитии и воспитании учащихся;

способствовать формированию у учащихся правильного отношения к здоровью;

создать комфортную атмосферу на уроке;

воспитывать уважительное отношение к сверстникам.

Формы организации учебно-познавательной деятельности: фронтальная, индивидуальные.

Тип урока: изучение новой темы.

Оборудование: учебник, задачник, классная доска, ИКТ.

Ход урока.

1. Организационный момент урока: (2 минуты)

Приветствие учеников, фиксация отсутствующих;

Проверка внешнего вида класса и готовности учеников к занятию;

Проверка домашнего задания. (3 минуты)

Возникли проблемы при решении задания № 29.39

№29.39. Пусть x₁ и x₂ – корни уравнения x 2 -9x-17=0. Не решая уравнения, вычислите:

Для решения нашего примера прибавим 2x₁x₂ и отнимем 2x₁x_2:

9 2 -2 ∙ (-17) =81+34=115.

x₁ 2 x₂+x₁x₂ 2 ; (Так же как и в первом примере по формулам Виета мы знаем, что x₁+x₂ = -b/a, а x₁∙x₂ = c/a)

В этом примере у нас есть общий множитель x₁x_2, вынесем общий множитель за скобки;

x₁x₂(x₁+x₂ ), теперь можем подставить известные значения;

3. Устный счет: (8 минут)

Повторение ранее изученного понятия квадратного корня из неотрицательного числа, свойства квадратного корня из неотрицательного числа;

Что называется квадратным корнем из неотрицательного числа?

Ответ: Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Весь материал - в документе.

Содержимое разработки

Учитель: Переверзева Л.В.

изучить понятие иррациональное уравнение;

рассмотреть способы решения простейших иррациональных уравнений;

научить решать иррациональные уравнения;

активизировать учебный процесс через разнообразные виды работы и актуализацию имеющихся знаний;

продолжить формирование навыков устной и письменной речи, познавательного интереса, самостоятельности;

способствовать формированию у учащихся правильного отношения к здоровью;

создать комфортную атмосферу на уроке;

воспитывать уважительное отношение к сверстникам.

Формы организации учебно-познавательной деятельности: фронтальная, индивидуальные.

Тип урока: изучение новой темы.

Оборудование: учебник, задачник, классная доска, ИКТ.

Организационный момент урока: (2 минуты)

Приветствие учеников, фиксация отсутствующих;

Проверка внешнего вида класса и готовности учеников к занятию;

Проверка домашнего задания.

Возникли проблемы при решении задания № 29.39

№29.39. Пусть x₁ и x₂ – корни уравнения x 2 -9x-17=0. Не решая уравнения, вычислите:

x₁ 2 + x₂ 2 ; (По формулам Виета мы знаем, что x₁+x₂= - , а x₁∙x₂= ).

Для решения нашего примера прибавим 2x₁x₂ и отнимем 2x₁x₂ :

9 2 -2 ∙ (-17)=81+34=115.

x₁ 2 x₂+x₁x₂ 2 ; (Так же как и в первом примере по формулам Виета мы знаем, что x₁+x₂= - , а x₁∙x₂= ). x₁+x₂=9, а x₁∙x₂= -17.

В этом примере у нас есть общий множитель x₁x_2, вынесем общий множитель за скобки;

x₁x₂(x₁+x₂ ), теперь можем подставить известные значения;

Устный счет: (8 минут)

Что называется квадратным корнем из неотрицательного числа?

Ответ: Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен a. Это число обозначают , число a при этом называют подкоренным числом. Итак если a- неотрицательное число, то

≥ 0;

( ) 2 = a.

Сформулировать свойства квадратного корня:

Ответ: Свойства квадратного корня из неотрицательного числа:

= ∙ ( a≥ 0; b ≥ 0)

= (a≥ 0; b0)

2 n = a n (a≥ 0)

2 = │a│.

Вычислите устно: (смотреть презентацию урок 1)

, ( ответ: 7)

, ( ответ: 31)

, ( ответ: 0,5)

, ( ответ: 75)

, ( ответ: 0)

. ( ответ: ) (8минут).

Изучение нового материала: (12 минут)

Решим с вами уравнение 2x+1=3 Какого типа данное уравнение? (ответ: линейное), как решаем линейное уравнение? (ответ: числа с неизвестной переменой оставляем в левой части уравнения, без переменной переносим в правую часть уравнения с противоположным знаком)

2x=2, что делаем дальше?

(ответ: разделим обе части уравнения на 2)

Решите еще одно уравнение:

= 3.

Знаком ли вам такой тип уравнений, умеете ли вы их решать? (ответ: нет)

Цели сегодняшнего урока:

рассмотреть способы решения простейших иррациональных уравнений;

Определение. Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то уравнение называют иррациональным.

= 3.

По определению квадратного корня означает, что 2x+1=3 2 . Фактически мы обе части иррационального уравнения возвели в квадрат. Метод возведения в квадрат обеих частей уравнения - основной метод решения иррациональных уравнений. Тогда мы получаем:

2x+1=9, какой тип уравнения? (ответ: линейное уравнение).Решаем линейное уравнение получаем:

При решении иррационального уравнения обязательно делаем проверку (подставляем в данное нам иррациональное уравнение значение переменной которое мы получили):

3=3. Получили верное равенство, значит x=4, является решением для данного нам иррационального уравнения.

= . Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:

() 2 =() 2 . Из определения квадратного корня из неотрицательного числа, получаем:

2x+5=4x-7. Далее решаем линейное уравнение:

2x-4x= -7-5

-2x= -12

= . Получили верное равенство. Значит, x=6 является решение данного нам иррационального уравнения.

Я еще раз напоминаю, что при решении иррациональных уравнений обязательно проводим проверку.

Рассмотрим еще один пример:

= 44 – 2x. Возведем обе части уравнения в квадрат:

( ) 2 = (44 – 2x ) 2 , получаем:

2x 2 +8x+16 = 1936-176x+4x 2 ,

-2x 2 +184x-1920=0, разделим обе части уравнения на (-2):

x 2 -92x+960=0, какое уравнение получили? (ответ: квадратное уравнение).

Как решается данное уравнение? (ответ: найдем корни уравнения по теореме Виета), получаем:

Если x₁=80, то получаем:

= -16, очевидно, что получили неверное равенство, значит x₁=80 – посторонний корень данного иррационального уравнения.

Если x₂=12, то получаем:

20=20. Получили верное равенство, значит x=12 – корень данного иррационального уравнения.

Физкультминутка: (1 минуты)

Руки тянем в потолок,

Будто к солнышку цветок.

(потягивание, руки вверх)

Давай с тобой попрыгаем

И ножками подвигаем.

Раз прыжок и два прыжок,

Поактивнее дружок.

(прыжки на месте)

Всё закончилась зарядка.

Мы пройдемся для порядка.

(ходьба на месте)

Остановимся и снова

Мы к занятиям готовы.

(дети садятся за парты).

Закрепление изученного материала: (17 минут)

№ 30.1. Решите уравнение устно:

=3, (Ответ: x=7, проверка: =3, =3, 3=3.)

=3, (Ответ: x=2, проверка: =3, =3, 3=3.)

=9, (Ответ: x=86, проверка: =9, =9, 9=9.)

=3, (Ответ: x= , проверка: =3, =3, 3=3.)

№ 30.4(a). Решите уравнение:

= 1. Какой тип уравнения? (ответ: иррациональное уравнение). Каким методом решаем данное уравнение? (ответ: методом возведения обеих частей уравнения в квадрат). Получаем:

= 1. Какое получили уравнение? (ответ: дробно-рациональное уравнение). Как решаем данное уравнение? (ответ: умножим обе части уравнения на x-1, причем х-1 о). Получаем:

2x+3=x-1. Какое уравнение получили? (ответ: линейное уравнение). Решаем линейное уравнение:

x=-4. Проводим проверку:

1=1. Получили верное равенство, значит x=-4 является решением данного нам иррационального уравнения.

№30.5 (a). Докажите, что уравнение не имеет корней:

+2=0. Для этого решим данное уравнение, какого типа данное уравнение? (ответ: иррациональное уравнение).

Что сделаем для начала? (ответ: перенесем 2 в правую часть уравнения)

= -2. Каким методом решаем иррациональное уравнение? (ответ: метод возведения обеих частей уравнения в квадрат).

=4. Что получаем? (ответ: линейное уравнение).

Решаем линейное уравнение:

4=0, получили неверное равенство, значит, x=1 не является решением данного нам иррационального уравнения.

Ответ: нет решений.

№30.6 (a). Решите уравнение:

=. Какого типа данное уравнение? (ответ: иррациональное уравнение). Как решаем иррациональное уравнение? (ответ: метод возведения обеих частей уравнения в квадрат). Получаем:

=5x+2. Какое уравнение получили? (ответ: линейное уравнение). Решаем уравнение:

=, получили верное равенство, значит x=3- решение данного иррационального уравнения.

№30.16 (а). Решите уравнение:

4x+3=4x 2 +5x-2, что делаем дальше? (ответ: переносим все члены из правой части уравнения в левую и приводим подобные). Получаем:

-4x 2 -x+5=0. Какое уравнение получили? (ответ: квадратное уравнение).

Как решаем это уравнение? (ответ: находим дискриминант, затем по формулам находим корни уравнения).

D=1+80=81. Находим корни данного уравнения по формулам:

Если x₁=1, то получаем: =,

=, получили верное равенство, значит x₁=1- решение данного иррационального уравнения.

Если x₂= -1,25, то получаем =,

=,получили неверное равенство, значит x₂= -1,25 не является корнем данного иррационального уравнения.

Домашнее задание: ( 1 минута)

Домашнее задание: §30 №30.4 (б), №30.5 (б), №30.6 (б), №30.10 (б), №30.16 (б).

№30.10 (б) Используя метод введения новой переменной, решите уравнение:

при решении данного примера вводим новую переменную: t=.

Подведение итогов: (1 минута)

Теперь подведем итоги сегодняшнего урока:

-75%

Планируемые результаты:

Тип урока: урок открытия новых знаний.

Используемые методы и приемы:

репродуктивный: воспроизведение полученных ранее знаний, воспроизведение знаний при выполнении заданий;

частично-поисковый: поиск собственных вариантов ответа, отбор информации по заданной теме;

вербальный: словесное общение на протяжении всего урока.

Используемые технологии:

технологии проблемного обучения,

технологии коллективного взаимодействия.

1) Мотивация

2) Актуализация знаний и фиксация затруднений в пробном действии.

- Иногда при решении задач с помощью уравнений можно столкнуться с такой ситуацией. Пример: периметр прямоугольного треугольника равен 48 см, один катет на 4 см больше другого. Чему равны стороны треугольника? (Дети кратко записывают решение задачи).

- Пусть х см – меньший катет, тогда (х+4) см больший катет. По теореме Пифагора гипотенуза равна . Составим и решим уравнение: х+х+4+ =48, откуда =44-2х. С таким уравнением мы еще не сталкивались! Как его решать? В чем основная трудность? (Переменная находится под знаком корня).

- На доске написаны уравнения. Посмотрите на них внимательно. Распределите их на четыре группы. (Учащиеся работают в группах по 4 человека).

Читайте также: