Функция и способы ее задания преобразования графиков функций конспект

Обновлено: 03.07.2024

В этой статье мы расскажем об основных преобразованиях графиков функций. Что нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали. Как задать растяжение графика по горизонтали или вертикали. Как отразить график относительно оси Х или Y.

Очень жаль, что эта тема - полезная и очень интересная — выпадает из школьной программы. На нее не постоянно хватает времени. Из-за этого многим старшеклассникам не даются задачи с параметрами — которые на самом деле похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов. Хотя бы для того, чтобы решать задачи с параметрами, стоит научиться строить графики функций.

Но конечно, не только для того, чтобы сдать ЕГЭ. Первая лекция на первом курсе технического или экономического вуза посвящена функциям и графикам. Первые зачеты в курсе матанализа связаны с функциями и графиками.

Начнем со сдвигов графиков по Х и по Y.

Сдвиг по горизонтали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции сдвинут относительно исходной на а влево.

1. Сдвиг по вертикали.

Пусть функция задана формулой и С — некоторое положительное число. Тогда график функции сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции сдвинут относительно исходного на С вниз.

Теперь растяжение графика. Или сжатие.

2. Растяжение (сжатие) по горизонтали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если , и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если

3. Растяжение (сжатие) по вертикали

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если

И отражение по горизонтали.

4. Отражение по горизонтали

График функции симметричен графику функции относительно оси Y.

5. Отражение по вертикали.

График функции симметричен графику функции относительно оси Х.

Друзья, не возникло ли у вас ощущения, что вы все это где-то видели? Да, наверняка видели, если когда-либо редактировали изображения в графическом редакторе на компьютере. Изображение можно сдвинуть (по горизонтали или вертикали). Растянуть (по горизонтали или вертикали). Отразить. И все это мы делаем с графиками функций.

И еще два интересных преобразования. Здесь в формулах присутствует знак модуля. Если не помните, что такое модуль, - срочно повторите эту тему.

6. Графики функций и

На рисунке изображен график функции Она специально взята такая — несимметричная относительно нуля.

Построим график функции

Конечно же, мы пользуемся определением модуля.

Это мы и видим на графике. Для неотрицательных значений х график остался таким же, как был. А вместо каждого отрицательного х мы взяли противоположное ему положительное число. И поэтому вся та часть графика функции, что лежала слева от оси Х, заменилась на зеркально отраженную правую часть графика.

Теперь график функции Вы уже догадались, что будет. Вся часть графика, лежащая ниже оси Х, зеркально отражается в верхнюю полуплоскость. А верхняя часть графика, лежащая выше оси Х, остается на месте.

Как определить по формуле функции, будет график преобразован по горизонтали (по Х) или по вертикали (по Y)? Разница очевидна. Если сначала мы что-либо делаем с аргументом х (прибавляем к нему какое-либо число, умножаем на какое-либо число или берем модуль) — преобразование по Х. Если сначала мы нашли функцию, а затем уже к значению функции что-то прибавили, или на какое-нибудь число умножили, или взяли модуль, - преобразование по Y.

Вот самые простые задачи на преобразование графиков.

1. Построим график функции

Это квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево по x и на 1 вниз по y.

Вершина в точке

2. Построим график функции

Выделим полный квадрат в формуле.

График - квадратичная парабола, сдвинутая на 2 вправо по x и на 5 вниз по y.

Обратите внимание: график функции пересекает ось y в точке На нашем графике это точка

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Технологическая карта теоретического занятия (лекции) №1

Дисциплина (профессиональный модуль) : математика: алгебра и начала математического анализа

Специальность: все специальности

Курс 1 Семестр 1

Группы: фарм А-11, Б-11, лаб А, Б-11, с/д АБВ-11

Преподаватель: Башлиева Анастасия Юрьевна

Продолжительность 90 минут Место проведения ККБМК

Цели занятия:

Образовательная:

Изучить понятие функции, ее свойства.

Научить строить графики разнообразных функций.

Систематизировать и обобщить знания о функции, полученные в школе.

Развивающая:

1. Развить представления о роли месте математики в современном мире

2. Способствовать развитию алгоритмического, творческого мышления.

Воспитательная:

1. Способствовать развитию интереса к предмету, активности

2 . Воспитывать аккуратность в работе

Требования к знаниям и умениям:

Знать: определение функции, области определения и значения, графика функции.

Уметь: строить графики функций, находить область определения и значения.

Тип лекции : информационная.

Образовательные технологии: информационная, обучающая технология.

Методы и приемы обучения: рассказ, беседа.

Средства обучения:

Технические средства обучения: компьютер.

Электронные ресурсы: мультимедийные презентации.

Башмаков М. И. Учебник. Математика. – Академия, 2013 год.

Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10(11) кл. – М., 2000

Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М., 2004.

Дополнительная:

Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровень). 11кл.-. М., 2006.

Межпредметные и внутрипредметные связи: химия, физика, информатика

Хронологическая карта занятия

Вступление, мотивация изучения темы:

- формулировка темы лекции, характеристика ее профессиональной значимости, новизны и степени изученности;

- изложение плана лекции, включающего основные вопросы, подлежащие рассмотрению;

- характеристика рекомендуемой литературы.

Актуализация имеющихся знаний, ретроспекция (вопросы, изученные на прошлой лекции, связь их с новым материалом).

Основная часть лекции (изложение содержания в соответствии с планом).

Обобщение и систематизация изученного материала.

Итого: 90 минут

Вступление, мотивация изучения темы:

Понятие функции является одним из главнейших во всей математике, науке, технике. Без этого понятия - никак. Вообще никак. Имеет смысл разобраться, правда? Тем более, что это достаточно просто. Если рискнуть, и. почитать.

Начнём с представления о функции, затем освоим понятие функции. После этого определение функции окажется простым и вполне человеческим.

Актуализация имеющихся знаний, ретроспекция:

Какое понятие функции вам известно?

Что такое система координат?

Что такое натуральное и действительное число?

Основная часть лекции:

Числовая функция.

Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от х.

Ф ункции обычно обозначают латинскими или греческими буквами. Рассмотрим произвольную функцию f. Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке х и обозначают f(х) . Область определения функции f обозначают D ( f ) . Множество, состоящее из всех чисел f(х) . таких, что х принадлежит области определения функции f , называют областью значений функции f и обозначают Е ( f ) .

Функции вида f (х) = р (х), где р (х) — многочлен, называют целыми рациональными функциями, а функции вида f <х) = р (х)/ q (х), где р и q — многочлены, называют дробно-рациональными функциями.

Частное р (х)/ q (х) определено, если q ( x ) не обращается в нуль. Поэтому область определения дробно-рациональной функции f <х) = р (х)/ q (х) —множество всех действительных чисел, из которого исключены корни многочлена q ( x ).

Подмножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу. Множество, изображенное на рисунке 1, не является графиком функции , так как оно содержит две точки с одной и той же абсциссой а, но разными ординатами b ₁ и b ₂ . Если бы мы сочли это множество графиком функции, то пришлось бы считать, что эта функция имеет при х = а сразу два значения b ₁ и b ₂ , что противоречит определению функции. Часто функцию задают графически. При этом для любого хо из области определения легко найти соответствующее значение y _o = f (х _о ) функции (рис. 2).

Преобразования графиков.

1) Параллельный перенос вдоль оси ординат. Для построения графика функции f ( x ) + b , где b — постоянное число, надо перенести график f на величину b вдоль оси ординат.

Пример . Построим графики функций: a ) y = sinx + 2, б) у=х 2 –5.

а) В соответствии с правилом переносим график функции y = sinx вверх по оси Оу на 2 единицы (рис. 3).

б) Построение осуществляется переносом параболы у = х 2 вниз по оси Оу (рис. 4).

2) Растяжение вдоль оси Оу с коэффициентом k .

Для построения графика функции у = kf ( x ) надо растянуть график функции y = f ( x ) в k раз вдоль оси ординат.

Примеры. Построим графики функций у= — 2х 2

Построение осуществляется в первом случае из графика функции у = х 2 (рис. 5), а во втором случае сначала строим график функции y = cos х, затем воспользуемся растяжением вдоль оси ординат с коэффициентом 1/3 (рис. 6).

3) Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на вектор (а; 0) задается формулами х1=х + а;

Примеры. Построение графика функции у = показано на рисунке 7.

Построение графика функции y = cos ( x — π /4) показано на рисунке 8.

4) Растяжение вдоль оси абсцисс Ох с коэффициентом k задается формулами х1 = k х

Примеры. Построение графиков функций y = cos 2 x

показано на рисунках 9 и 10.

Отчетливое выявление основных свойств, позволяющих достаточно наглядно судить о ее поведении, называют исследованием функции.

В стандартную схему исследования функции обычно включают следующие пункты.

1. Область определения функции.

2. Нули (корни) функции.

3. Промежутки знакопостоянства.

4. Точки экстремума функции.

5. Промежутки возрастания и убывания (монотонность) функции.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции.

7. Множество значений функции.

Дадим краткое описание тех понятий, которые включены нами в схему исследования функции.

Область определения – множество значений аргумента, при которых задана функция. Если функция задана формулой, то имеется в виду ее естественная область определения, т. е. множество чисел, к которым применима данная формула.

Нули (корни) – точки, в которых функция обращается в нуль, или, иначе, решения уравнения f(x) = 0.

Промежутки знакопостоянства – интервалы, на которых функция положительна или отрицательна, или, иначе, решения неравенств f(x) > 0 и f(x)

Точки экстремума – точки, лежащие внутри области определения, в которых функция принимает самое большое (максимум) или самое малое (минимум) значение по сравнению со значениями в близких точках.

Промежутки возрастания и убывания – интервалы, на которых функция или возрастает, или убывает. Слова “возрастание” и “убывание” функции иногда заменяют одним словом – “монотонность” функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции – самое большое или самое маленькое значение функции по сравнению со всеми возможными (в отличие от экстремумов, где сравнение ведется только с близкими точками).

а) y = 1 – x; функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

б) y = –x, x [–1; 1]; наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах промежутка: y(–1) = 1 – наибольшее значение; y(1) = 1 – наименьшее значение.

в) y = x 2 – 1; наименьшее значение функция принимает при x = 0,

y(0) = –1. Наибольшего значения у функции нет.

г) y = –x 2 + 2x, x [1; 3], наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах промежутка: y(1) = 1 – наибольшее значение;

y(3) = –3 – наименьшее значение.

Множество значений функции – множество чисел, состоящее из всех значений функции.

а) y = –x, Е: R, или y – любое число.

б) y = –x, x [–1; 1]. Е: [–1; 1].

в) y = x 2 – 1, E: [–1; +¥ ).

г) y = –x 2 + 2x, x [0; 3], Е: [–3; 1]

для построения графика функции y = |f(x)| для всех x из области определения, надо ту часть графика функции y = f(x), которая располагается ниже оси абсцисс ( f(x)

Таким образом, график функции y = |f(x)| расположен только в верхней полуплоскости.

Пример: y = |x 2 - 4|.

Строим график функции y = x 2 – 4

Как правило, учащиеся хорошо понимают правило построения графика такой функции. Его можно легко довести до автоматизма. Во избежание формализма в знаниях и умениях учащихся необходимо чередовать построение графиков вида y = f (|x|) и y = | f (x)|.

С построением графиков зависимостей вида |y| = f (x) учащихся можно познакомить на внеклассных занятиях, ибо такие графики вызывают наибольшие затруднения. Учитывая, что в формуле |y| = f(x) f(x ) ≥ 0 и на основании определения модуля

Правило: для построения графиков зависимости (а не функции) достаточно построить график функции y = f(x) для тех x из области определения, при которых f(x) ≥ 0 и отразить полученную часть графика, симметрично оси абсцисс.

Таким образом, график зависимости |y| = f(x) состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = -f(x), где f(x) ≥ 0.

Обобщение и систематизация изученного материала:

Что включает в себя исследование функции?

Какие свойства функции вам известны?

Что такое график функции?

Какие преобразования графика вам известны?

Что такое функция?

Что такое область определения и область значений?

Что такое график функции?

Какие преобразования графика вам известны?

Подведение итогов: сегодня мы с вами разобрали понятие функции, ее свойства, графики функций, способы построения графиков функций и преобразование графиков. Научились применять свойства функций при решении примеров. Спасибо за внимание

Напомнить понятие функции, ее области определения и множества значений.

Рассмотреть способы задания функции.

Закрепить полученные знания при решении задач.

Ход урока

Повторение изученного материала.

В математике одним из важных понятий является понятие ФУНКЦИИ. Как вы понимаете это слово? Вспомним пройденное за курс алгебры 7 - 9 класса. (Ответы учеников. )

Функцией у от х называется такое соответствие между переменными х и у, при котором каждому значению х соответствует не более одного значения у.

Функцию можно задать формулой, таблицей, графиком.

Устная работа

Среди данных линий найти такую, которая является графиком какой - либо функции.

Решение: На первых трех графиках имеются точки с одинаковыми абсциссами и разными ординатами. Это значит, что на этих линиях одному и тому же значению х соответствует более одного значения у, то есть эти линии не являются графиками функций. На четвертом графике каждому значению х соответствует не более одного значения у – это график функции.

Среди данных таблиц найдите такую, которая является таблицей функции.

Решение: В первой и второй таблице имеются значения х, которым соответствуют два разных значения у, то есть эти таблицы не являются таблицами функций. В третьей таблице каждому значению х соответствует не более одного значения у – это таблица функции.

Изучение нового материала

Рассмотрим понятие функции более широко.

В своей практической деятельности человек сталкивается с величинами различной природы: длина, площадь, объем, масса, температура, вес и т. д.

В зависимости от конкретных условий некоторые из этих величин принимают одно и то же постоянное значение, т. е. не меняются; другие наоборот, принимают различные значения.

Все величины, изучаемые в математике, делятся на постоянные и переменные. (Формулируются соответствующие определения)

Весь материал – смотрите документ.

Содержимое разработки

Предмет: алгебра

Тема: Функция и способы ее задания.

Определить виды величин.

Напомнить понятие функции, ее области определения и множества значений.

Рассмотреть способы задания функции.

Закрепить полученные знания при решении задач.

Повторение изученного материала.

Функцию можно задать формулой, таблицей, графиком.

Устная работа

Среди данных линий найти такую, которая является графиком какой-либо функции.

Среди данных таблиц найдите такую, которая является таблицей функции.

Среди формул а) ; б) ; в) найти такую, которая задает функцию.

Решение: а, б) Для любого значения х по данной формуле значение у находится единственным образом, например, при получим, что , значит – формула, задающая функцию у от х. в) Формула не задает функцию, так как, например, значению , можно найти два соответствующих значения у: 1 и -1.

Изучение нового материала

Рассмотрим понятие функции более широко.

В зависимости от конкретных условий некоторые из этих величин принимают одно и то же постоянное значение, т.е. не меняются; другие наоборот, принимают различные значения.

Те из величин, которые в рассматриваемом процессе называются величинами.

Определение. Правило, или закономерность, при котором каждому значению х из множества Х соответствует единственное значение у из множества Y, называется функцией. Обозначение: .

Уточним смысл некоторых понятий, известных вам из курса алгебры 7-9 класса. (Ученики формулируют, учитель при необходимости корректирует. Формулировки выводятся на экран.)

Определение:
Функцией называют зависимость,
где каждому элементу х из множества определения
функции X ставят в соответствие единственный элемент
у из множества значений функции Y. Такую зависимость,
записывают в виде: у=f(х). Саму функцию, кроме буквы f
обозначают буквами t, s, v, u, φ, ψ, F и т.д. Где х называют
независимой переменной(или аргументом), а у называют
значением функции(или зависимой переменной).

Способы задания функции
1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ
функция задается при помощи формулы или нескольких
формул
Например,
у х 4 х 7,
2
у 2 x,
x 2 , если х 0,
f ( x)
х 3, если х 0.

Способы задания функции
2. ГРАФИЧЕСКИЙ
функция задается своей геометрической
моделью на координатной плоскости
Например,

Способы задания функции
3. ТАБЛИЧНЫЙ
приводится таблица, в которой указаны значения
функции для конечного множества значений
аргумента
Например,

Способы задания функции
4. СЛОВЕСНЫЙ
правило задания функции описывается словами
Например,
Каждому
натуральному
числу ставится в
соответствие куб
этого числа.

Функция задана таблицей:
х
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x) 1
4
9 16 25
36
49
64 81
Составьте словесное описание этой
функции.

График функции y x 2 получен в
результате параллельного переноса графика
функции y x на 2 единицы вверх.
График функции y x 1 получен в
результате параллельного переноса графика
функции y x на 1 единицу вниз.
График функции y f x a можно получить в
результате параллельного переноса графика функции
на a единиц вверх, если a 0, и на a единиц
вниз, если a 0 .

График функции y x 1 получен в результате
2
параллельного переноса графика функции y x
на 1 единицу влево.
2
График функции y x 2 получен в результате
2
параллельного переноса графика функции y x
на 2 единицы вправо.
2
График функции y f x a можно получить в
результате параллельного переноса графика функции
на a единиц влево, если a 0, и на a единиц
вправо, если a 0 .

Читайте также: