Решение задач по теме теорема пифагора 8 класс конспект урока

Обновлено: 06.07.2024

Метапредметные: формировать умения определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии.

Формируемые УУД: Познавательные УУД формулирование проблемы; самостоятельное создание способов решения проблем; осознанное построение речевого высказывания; умение осуществлять сравнение, устанавливать причинно-следственные связи; алгоритмизация способа действия.

Регулятивные УУД целеполагание; планирование; контроль и оценка деятельности на учебном занятии.

Личностные УУД развитие адекватной самооценки; развитие познавательных интересов, учебных мотивов; взаимопомощь.

Коммуникативные УУД формулирование и аргументация собственного мнения; умение договариваться и приходить к общему решению; умение строить монологическое высказывание.

Цель деятельности учителя

Создать условия для совершенствования навыков решения задач на применение теоремы Пифагора. Создать условия для формирования у учащихся знания и понимания теоремы Пифагора, осознания ее практической значимости.

Термины и понятия

Прямоугольный треугольник, катеты, гипотенуза

Универсальные учебные действия

Владеют геометрическим языком, умеют использовать его для описания предметов окружающего мира

Познавательные : умеют видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в окружающей жизни.

Регулятивные : понимают сущность алгоритмических предписаний и умеют действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Коммуникативные : учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Личностные : имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и общественной практики

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

• Исторические сведения о применении теоремы Пифагора

Проверка домашнего задания

Проверить домашнее задание.

Здравствуйте ребята.

Сегодня у нас с вами необычный урок, присутствуют гости.

Так же мы с вами начали писать книгу, авторами которой вы являетесь. Презентация некоторых страниц будет на сегодняшнем уроке.

Посмотрите на столах у вас оценочные листы. в течении урока прошу оценить себя.

Проверка домашнего задания. № 483, №484

Актуализация опорных знаний . Мотивация к деятельности

Постановка учебной задачи

Повторить теоретический материал.

- Какая геометрическая фигура изображена на экране? (прямоугольный треугольник)

- Как определили что это прямоугольный треугольник? (обозначение прямого угла)

- Кто может дать полное определение прямоугольного треугольника? (Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным)

Продолжите предложение:

- Сторона, лежащая против угла 90 о называется . (гипотенуза)

- Стороны образующие прямой угол называются….(катет)

Вспомним некоторые свойства прямоугольного треугольника:

- Сумма острых углов …..(равна 90 градусов)

- Катет, лежащий против угла в 30 0 равен …(половине гипотенузы)

Посмотрим, что вы помните о свойствах площадей

- Площадь квадрата равна .(квадрату его стороны)

- Площадь прямоугольного треугольника равна….(половине произведения его катетов)

Скажите формулировку теоремы Пифагора (В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов)

Укажите номера верных утверждений (самостоятельно). на листочках

1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2. В прямоугольном треугольнике любой из катетов больше гипотенузы.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30º, равен удвоенной гипотенузе.

4. Треугольник со сторонами 4,5,6 является прямоугольным.

5. Катеты прямоугольного треугольника с углом в 60º равны.

(Правильный ответ только 1)

Вызвать двух учеников к доске

Записать теорему Пифагора для треугольников.

4) АВСD – прямоугольник.

Проверка доказательства теоремы Пифагора. Ивакова Анастасия записывает доказательство на боковой доске, остальные в листочках.

Исследовательская работа.

Ангелина Мазур представит вам ещё одно доказательство теоремы Пифагора. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник, в самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника АВС, квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах - по два.

Вывод: Площадь квадрата построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Так изначально формулировалась теорема Пифагора.

- Сейчас теорема звучит так: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Закрепить изученную теорему при решении простейших задач.

Презентация отрывков книги

Пожарные увидели на крыше горящего дома маленького котенка. Котенок жалобно пищал и звал на помощь. Но вот беда: пожарная машина не может приблизится к дому ближе, чем на 6м, высота дома – 8м. Свою лестницу пожарники могут растянуть не более, чем на 11м. Достаточно ли этого, чтобы помочь бедному котенку?

Теорема Пифагора в корабельном строительстве.

Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты.

Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

Теорема Пифагора в биологии.

В 4 м друг от друга растут два дерева. Высота одного 5 м, а другого – 2 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.

Закрепление изученного материала

Закрепить изученные теоремы при решении простейших задач

Задача из ОГЭ

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD , если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 135°, а CD = 29.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Проведём высоты и В трапеции сумма смежных углов при боковой стороне равна 180°, поэтому Из прямоугольного треугольника найдём сторону

Углы и равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Высоты и равны. Из прямоугольного треугольника найдём

Ответ:

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Задачи урока:

1) образовательная: углубление и систематизация теоретических знаний, отработка умений и навыков;

2) развивающая : при работе на уроке учащихся познакомить с любопытными и историческими фактами из жизни с использованием теоремы Пифагора, развивая при этом познавательную активность ,логическое мышление, память, умение применять ранее полученные знания в навыке решении задач, повысить интерес к предмету;

3) воспитательная :умение работать в группе и индивидуально,воспитать умение контактировать с одноклассниками, воспитание чувство честности к себе и другим,чувство ответственности,взаимопомощи

Тип урока : урок-закрепление, совершенствование и развитие знаний,умений и навыков

Форма организации работы на уроке :групповая и индивидуальная работа

1. Организационный момент .Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку.

-На прошлом уроке мы выучили Теорему Пифагора Сегодня мы постараемся ответить на вопрос: Как теорема Пифагора применяется в жизни? В каких сферах деятельности применяется теорема Пифагора?

2. Проверка домашнего задания

3. Актуализация знаний учащихся. Тест.

І вариант ІІ вариант

1.Выберите верное утверждение:

А)площадь прямоугольника равна произведению двух его параллельных сторон;

Б)площадь квадрата равна квадрату его сторон;

В)площадь прямоугольника равна удвоенному произведению двух его соседних сторон

1.Выберите верное утверждение:

А) площадь квадрата равна сумме его сторон;

Б) площадь прямоугольника равна произведению двух его противолежащих сторон;

В)площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон

2.Закончите фразу:площадь ромба равна половине прозведению.

Б)его стороны и высоты,проведенной к этой стороне

2.Закончите фразу: площадь параллелограмма равна прозведению.

А)двух его соседних сторон

Б)его стороны на высоту,проведенную к этой стороне

В)двух его противолежащих сторон

3.По формуле S =аh _a можно вычислить площадь:

3.По формуле S = d ₁ d ₂ :2 можно вычислить площадь:

4.Площадь трапеции АВСД с основаниями АВ и СД и высотой ВН вычисляется по формуле:

4.Площадь трапеции АВСД с основаниями ВС и АД и высотой СH вычисляется по формуле :

5 .Выберите верное утверждение:

Площадь прямоугольного треугольника равна:

а)половине произведения его стороны на какую-либо высоту;

б) половине произведения его катетов;

в) произведению его стороны на проведенную к ней высоту

5 .Выберите верное утверждение:

Площадь треугольника равна:

а)половине произведения его сторон;

б) половине произведению его стороны на проведенную к ней высоту;

в) половине произведения двух его сторон

с амопроверка, оценку в тетради ставят карандашом

4. Работа по теме урока

Работа с учебником

А ) Дано:,АВ=ВС

ВК=8 см, АС=12 см

Решение : 1) ВК-высота и медиана в равнобедренном АВС треугольнике.

Рассмотрим, АК=12/2=6 см

По теореме Пифагора АВ 2 =ВК 2 +АК 2 =64+36=100, АВ АВ=10 (см)

І способ: 2) S _АВС =*ВК*АС=*8*12=48 (см 2 ) Ответ : 10см, 48 см 2 .

ІІ способ: 2) по формуле Герона р=

5.Решение исторических задач:

Задача №1индийского математика

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в этом месте река

В четыре лишь фута была широка

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?

Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти нужно.

І V . Решение задач на готовых чертежах с использованием теоремы Пифагора и нахождения площадей фигур

6.Физкультминутка

7. Самостоятельная работа по разноуровневым дидактическим карточкам .

Уровень А . 1.Дан прямоугольный треугольник АВС. Катеты равны 12 см и 16 см. Найти гипотенузу.

2. Является ли треугольник со сторонами 13 см; 12 см и 5 см прямоугольным?

Уровень В . 1. В прямоугольной трапеции основания равны 22 см и 6 см, а большая сторона – 20 см. Найдите площадь трапеции.

2. Диагональ квадрата равна 10 см. Найти площадь квадрата.

Уровень С . 1. Одна из сторон прямоугольника в 2 раза больше другой. Площадь равна 98 см ². Найти периметр прямоугольника.

2. Найдите площадь ромба, если сторона его равна 20 см, а диагонали относятся как 3 : 4.

продолжить овладение системой геометрических знаний и умений, необходимых для продолжения образования.

образовательные:

добиться усвоения теоремы Пифагора;

привить навыки вычисления неизвестной стороны прямоугольного треугольника по двум известным;

научить применять теорему Пифагора к решению простейших задач;

отработать умение делать логические выводы из полученного результата;

формировать учебно-познавательные действия по работе с дополнительными источниками.

развивающая:

способствовать развитию способности к сопоставлению, наблюдательности, внимания, развитие способности к аналитико-синтетическому мышлению, расширение кругозора;

развивать умение работать в коллективе;

развивать умение классифицировать информацию, используя разнообразные информационные источники;

развитие логического мышления, навыков самоконтроля.

воспитательная:

прививать устойчивый интерес к изучению математики, воспитывать культуру общения;

воспитать отношение к геометрии как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости геометрии для научно-технического прогресса;

воспитывать познавательный интерес к изучению геометрии.

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания

1) ВЕ – высота в равнобедренном треугольнике и медиана АЕ = ЕD = 7,6 см.

2) АВЕ – прямоугольный и равнобедренный АЕ = ВЕ = 7,6 см.

3) S_АВСD = (15,2 · 7,6) = 115,52 см 2 .

Решить задачи (устно):

1. α = 3β. Найти β.

2. α + γ = β. Найти β.

3. Найти площадь четырехугольника ВDАС.

3. Изучение нового материала

1. Доказательство теоремы провести с помощью учащихся.

2. Для закрепления теоремы можно предложить учащимся устные задачи на вычисление:

а) а = 6 см; b = 8 см.

б) с = 5 см, b = 3 см.

3. Напомнить учащимся понятие обратной теоремы. Всегда ли она верна? Разобрать вопросы из домашнего задания.

4. Сформулировать с помощью учащихся теорему, обратную теореме Пифагора.

5. Доказательство теоремы Пифагора.

6. Рассказать учащимся о том, что хотя эта теорема и связана с именем Пифагора, она была известна задолго до него.

4. Закрепление изученного материала

Решить задачи: №№ 483 (г), 484 (а, в), 498 (в, д).

5. Итоги урока

1) если С = 90°, то с 2 = а 2 + b 2 ;

2) если с 2 = а 2 + b 2 , то С = 90°.

6. Домашнее задание:

§ 3, п. 54, 55, вопросы 8–10, с. 134;

№ 483 (в), 484 (б, г), 498 (б, г, ж).

Существует более ста доказательств теоремы Пифагора.

1. С помощью теоремы Пифагора доказать, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.

По теореме Пифагора АВ 2 = АС 2 + ВС 2 .

Так как ВС 2 0, то АС 2 АВ 2 , то есть АС АВ.

У вас на столе лежат карточки, представьте, что это вы и закончите рисунок

Урок геометрии в 8 классе

Содержание: теорема Пифагора, применение теоремы Пифагора в решении задач.

Тип урока: комбинированный.

познакомить учащихся с теоремой Пифагора и историческими сведениями, связанными с этой теоремой;

развивать у детей умение работать с дополнительной литературой, развитие любознательности, умение преодолевать трудности при решении задач;

воспитание интереса к истории математики, как науке, эстетическое умение выполнять чертежи, воспитывать внимание, активность речи.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация по теме, карточки с тестами, линейка, транспортир, интерактивная доска.

Организационный момент. (2 мин)

Актуализация опорных знаний. (3 мин)

Работа по готовым чертежам. (7 мин)

Историческая справка о теореме Пифагора. (2 мин)

Объяснение нового материала. (7 мин)

Закрепление изученного материала. (13 мин)

Рефлексия (2 мин)

Подведение итогов урока. (1 мин)

Организационный момент. (2 мин)

- Здравствуйте, ребята. Сегодня на уроке у нас гости. И мне бы хотелось, чтобы у нас им было хорошо. А это зависит от нас с вами. Я надеюсь, что вы сделаете все, чтобы гости ушли от нас с хорошими впечатлениями.

- Сегодня на уроке мы приступаем к изучению одной из важных теорем геометрии – теоремы Пифагора. Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки, техники и практической жизни. Она является основной для решения множества геометрических задач и базой для дальнейшего изучения теоретического материала, докажем теорему, а также рассмотрим её применение при решении задач. (Слайд № 2)

- А сейчас откройте тетради и запишите число и тему урока.

Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далёкий век

- Мы изучили свойства и формулы для вычисления площадей фигур, давайте сейчас их и вспомним.

Назовите, какие фигуры начертил нам карандаш?

Работаем со слайдами на экране.

- Назовите основные свойства площадей?

- Как найти площадь прямоугольника? Параллелограмма? Треугольника? Прямоугольного треугольника?

- Что вы знаете о площадях двух треугольников, у которых равны высоты?

- Теперь настроимся на работу с готовыми чертежами. Это поможет восприятию нового материала. (Слайды 9-12)

Какой треугольник изображен на рисунке?

1. Назовите катеты и гипотенузу?

Верно ли высказывание: Катет больше гипотенузы?

2. Какой треугольник изображен на рисунке 2? Чем он интересен?

(Равнобедренный, прямоугольный треугольник, углы при гипотенузе по 45°, катеты равны)

3. Найти площадь АВСД?

У ч е н и к: О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н. э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Еще в детстве он проявлял незаурядные способности, а когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Он отправился в Египет. Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Постиг науку египетских жрецов, и засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Но жрецы не желали, чтобы их знания распространялись за территорию их храмов и не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.

Однако по дороге домой Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашел свое место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели в Египте. Вавилоняне изобрели и применили при счете позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые кубические уравнения.

Пифагор прожил в Вавилоне 10 лет и вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго, и поселился в одной из греческих колоний Южной Италии. Там Пифагор организовал тайный союз молодежи. В этот союз новых членов принимали с большими церемониями после долгих испытаний. Пифагорейцы, как их стали позднее называть, занимались математикой, философией, естественными науками. Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

- геометрические решения квадратных уравнений;

- деление чисел на четные и нечетные, простые и составные;

- теорема о сумме углов треугольника и мн. др.

Пифагор участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях.

Около сорока лет ученый посвятил созданной им школе, и в возрасте восьмидесяти лет, по одной из версий, Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.

V. Историческая справка о теореме Пифагора. (2 мин)

- Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него.

Однажды кто-то из вавилонских математиков обнаружил, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. И это действительно так (рисунок на плакате).

Египтяне за 2000 лет до нашей эры пользовались этим соотношением (с 2 = а 2 +в 2 ) для построения прямых углов при сооружении зданий. Если взять верёвку и сделать узлы, делящее её на 12 равных частей, затем связать её концы и растянуть на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4, 5, то угол между сторонами окажется равным 90 0 . Это единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трем последовательным натуральным числам. Его часто называют египетским треугольником.

- Пифагор по-видимому первым нашел ее доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Но это противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. Были найдены такие записи, где говорилось о том, что когда Пифагор доказал эту теорему он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста.

В настоящее время известно более 100 доказательств теоремы Пифагора, одно из них мы сегодня и рассмотрим. (Слайды 24-15)

Откройте, пожалуйста, тетради и сделайте там запись:

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов.

Доказать: с 2 =а 2 +в 2

1. Достроим треугольник до квадрата со стороной (а+в).

2. Разобьём квадрат на несколько фигур, получим 4 треугольника и квадрат, то, что это квадрат, мы с вами уже доказали при устной работе.

Вопросы для учащихся:

Какие получились треугольники?

3. С одной стороны площадь квадрата равна сумме площадей четырёх равных треугольников и квадрата со стороной с.

4. С другой стороны площадь этого же квадрата равна сумме площадей двух прямоугольников со сторонами а и в и квадратов со сторонами а и в соответственно.

S_кв = 2ав + а 2 + в 2

Приравняем правые части этих выражений, получим:

2ав + с 2 = 2ав + а 2 + в 2

Откуда имеем: с 2 =а 2 + в 2

Если дан нам треугольник,

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим –

И таким простым путем

К результату мы придем.

Что и требовалось доказать.

- У кого есть вопросы по доказательству?

Закрепление изученного материала: (Слайд 17) (13 мин)

1.Решить устно задачи из учебника № 483 (а), № 484 (а).

2.Решить на доске и в тетрадях задачу № 487.

3. Задания для учащихся, выполнивших задания, указанные выше:

- С чем вы познакомились сегодня на уроке? (Сегодня на урок мы познакомились с теоремой Пифагора, с некоторыми сведениями из жизни ученого. Решили несколько простейших задач.)

- Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника, пользуясь теоремой Пифагора.

- Как найти катеты прямоугольного треугольника.

- Молодцы, ребята. Вы сегодня славно потрудились. Как вы думаете, Пифагор принял бы нас в свою школу?( предлагается учащимся высказать своё мнение о проделанной работе, оценить свою роль в выполнении заданий, сделать вывод о том, что вызвало наибольшее затруднение)

- В заключении урока прошу всех учащихся сделать рисунок в тетради.

Если вам понравился урок, было интересно, узнали много нового, чувствовали себя комфортно, то нарисуйте солнце, если урок понравился, но было беспокойство, то облако. Если не понравился, то - черные тучи и дождь.

Подведение итогов урока. (1 мин)

- Значение теоремы Пифагора состоит в том, что с ее помощью можно доказать многие теоремы геометрии решить большинство задач. Работа по данной теме будет продолжена на следующих уроках. Один из них будет посвящен различным способам доказательства теоремы, другой решению задач.

- Закончить я хочу словами итальянского астронома Скиапарелли, который сказал. Что если мы хотим дать знать внеземным цивилизациям о существовании разумной жизни на земле, то следует посылать в космос изображение Пифагоровой фигуры. Эту информацию смогут принять мыслящие существа и понять, что на земле существует достаточно развитая цивилизация.

- Чтобы закрепить еще лучше полученные знания ваше домашнее задание. (Выставление оценок за урок)

Теоретический материал, контрольные вопросы : п. 54, в. 8.

Практический материал: 483 (в, г), №484 (в, г), № 486 (в)

3. Индивидуально. Рассмотреть самостоятельно ещё одно доказательство теоремы Пифагора, которое есть у вас в учебниках.

Читайте также: