Доклад на тему интегрирование рациональных дробей

Обновлено: 02.07.2024

Ранее речь шла об общих приемах интегрирования. В этом и следующих параграфах мы будем говорить об интегрировании конкретных классов функций с помощью рассмотренных приемов.

Интегрирование простейших рациональных функций

Рассмотрим интеграл вида , где — рациональная функция. Всякое рациональное выражение можно представить в виде , где и — многочлены. Если эта дробь неправильная, т. е. если степень числителя больше или равна степени знаменателя, то ее можно представить в виде суммы многочлена (целая часть) и правильной дроби. Поэтому достаточно рассмотреть интегрирование правильных дробей.

Покажем, что интегрирование таких дробей сводится к интегрированию простейших дробей , т. е. выражений вида:

где — действительные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Выражения вида 1) и 2) называют дробями 1-го рода, а выражения вида 3) и 4) — дробями 2-го рода.

Интегралы от дробей 1-го рода вычисляются непосредственно

Рассмотрим вычисление интегралов от дробей 2-го рода:

Сначала заметим, что

Чтобы свести вычисление интеграла 3) к этим двум интегралам, преобразуем квадратный трехчлен , выделив из него полный квадрат:

Так как по предположению этот трехчлен не имеет действительных корней, то и мы можем положить . Подстановка преобразует интеграл 3) к линейной комбинации указанных двух интегралов:

В окончательном ответе нужно лишь заменить , а . Так как , то

Как и в предыдущем случае, положим . Получим:

Первое слагаемое вычисляется так:

Второй же интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы.

Пример 1. Вычислим .

Решение. Имеем: . Положим и и, следовательно,

Пример 2. Вычислим .

Решение. Имеем: . Введем новую переменную, положив и . Заменив переменную под знаком интеграла, получим:

Интегрирование правильных дробей

Рассмотрим правильную дробь , где — многочлен степени . Не теряя общности, можно считать, что старший коэффициент в равен 1. В курсе алгебры доказывается, что такой многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами:

где —действительные корни многочлена , а квадратные трехчлены не имеют действительных корней. Можно доказать, что тогда представляется в виде суммы простейших дробей вида 1) —4):

где показатели у знаменателей последовательно уменьшаются от до 1, от до 1, …, от — неопределенные коэффициенты. Для того чтобы найти эти коэффициенты, необходимо освободиться от знаменателей и, получив равенство двух многочленов, воспользоваться методом неопределенных коэффициентов.

Другой способ определения коэффициентов основан на подстановке значений переменной интеграл от любой рациональной функции выражается через рациональную функцию, арктангенсы и логарифмы .

Пример 3. Вычислим интеграл от правильной рациональной дроби .

Решение. Разложим знаменатель подынтегральной функции на множители:

Выпишем подынтегральную функцию и представим ее в виде суммы простейших дробей:

Освободившись в этом равенстве от знаменателей, получим:

Для отыскания коэффициентов воспользуемся методом подстановки частных значений. Для нахождения коэффициента . Для отыскания коэффициента . Тогда из равенства (2) получим , откуда .

Пример 4. Вычислим .

Решение. Выпишем подынтегральную функцию и представим ее в виде суммы простейших дробей. В знаменателе содержится множитель , не имеющий действительных корней, ему соответствует дробь 2-го рода: множителю соответствует сумма двух дробей 1-го рода: ; наконец, множителю . Таким образом, подынтегральную функцию мы представим в виде суммы четырех дробей:

Освободимся в этом равенстве от знаменателей. Получим:

Знаменатель подынтегральной функции имеет два действительных корня: . При подстановке в равенство (4) значения , откуда находим . При подстановке получаем . Подстановка значения (корня многочлена ) позволяет перейти к равенству

Оно преобразуется к виду:

Решив систему двух уравнений с двумя переменными находим: .

Осталось определить значение коэффициента , то есть .

Подставим найденные значения коэффициентов в равенство (3):

а затем перейдем к интегрированию:

Интегрирование неправильных дробей

Пусть нужно проинтегрировать функцию , где и — многочлены, причем степень многочлена больше или равна степени многочлена . В этом случае прежде всего необходимо выделить целую часть неправильной дроби , т. е. представить ее в виде

где — многочлен степени, равной разности степеней многочленов и , а — правильная дробь.

Пример 5. Вычислим интеграл от неправильной дроби .

Для выделения целой части разделим на :

Для вычисления интеграла применяется, как и выше, метод неопределенных коэффициентов. После вычислений, которые мы оставляем читателю, получаем:

Интегралы, содержащие в знаменателе квадратный трехчлен, можно вычислить, применяя прием выделения полного квадрата разности или суммы. Рассмотрим пример такого интеграла.

Алгоритм интегрирования рациональной дроби

1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен, т.е. представить в виде:

2. Знаменатель разложим на простейшие сомножители: Q_n(x)

3. Представим дробь

виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

Приведем все дроби в разложении к общему знаменателю и приравняем числители в обеих частях равенства.
Составим систему уравнений, используя равенство многочленов, стоящих в числителе, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x.
Решим систему уравнений, находя некоторые коэффициенты методом частных значений, полагая равным действительным корням знаменателя.
Подставим найденные коэффициенты A₁,A₂,…,C_s,D_s в разложение дроби.
Проинтегрируем простейшие дроби.

Примеры интегрирования рациональных функций

Пример 4.

Корни знаменателя: x=1, а x 2 +1 = 0 не имеет действительных корней.

Тогда разложение для данной дроби имеет вид:

Приводя полученные дроби к общему знаменателю, получим тождество:

Вычислим коэффициенты разложения, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях. Так как знаменатель имеет три действительных различных корня, то три коэффициента найдем методом частных значений.

Рассмотрение теоретических основ алгебры. Теорема о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Интегрирование целых рациональных функций. Различные способы нахождения и математического анализа неопределенного интеграла.

Рубрика	Математика
Вид	лекция
Язык	русский
Дата добавления	17.01.2014
Размер файла	133,2 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Подобные документы

Особенности неопределенного интеграла. Методы интегрирования (Замена переменной. Интегрирование по частям). Интегрирование рациональных выражений. Интегрирование рациональных дробей. Метод Остроградского. Интегрирование тригонометрических функций.

лабораторная работа [1,7 M], добавлен 05.07.2010

Класс рациональных функций. Практический пример решения интегралов. Линейная замена переменной. Сущность и главные задачи метода неопределенных коэффициентов. Особенности, последовательность представления подынтегральной дроби в виде суммы простых дробей.

презентация [240,6 K], добавлен 18.09.2013

Первообразный и неопределенный интеграл. Некоторые свойства неопределенного интеграла. Интегрирование методом замены переменой, способом подстановки, по частям. Интегрирование рациональных дробей. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование.

курсовая работа [187,8 K], добавлен 26.09.2014

Понятие первообразной функции. Виды иррациональных функций, приемы их интегрирования. Интегрирование рациональных дробей, алгебраических иррациональностей, биномиальных дифференциалов, тригонометрические подстановки. Примеры решения типовых задач.

курсовая работа [278,4 K], добавлен 07.06.2012

Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Некоторые свойства неопределенного интеграла. Интегрирование методом замены переменой или способом подстановки. Интегрирование по частям. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби.

Рациональная дробь (рациональная функция) -- это отношение двух многочленов $P_ (x)$ и $Q_ (x)$ степеней $m$ и $n$ соответственно:

Дробь $\frac (x)> (x)> $ называется правильной рациональной дробью, если $m

В случае, когда имеется неправильная рациональная дробь, то ее можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов:

Правильные рациональные дроби вида:

называются простейшими дробям I, II, III и IV типов.

Рассмотрим нахождение интеграла от рациональной дроби $\frac (x)> (x)> $, т.е.

Алгоритм нахождения интеграла от рациональной дроби следующий:

Если дробь, стоящая в подынтегральном выражении, является неправильной, то необходимо преобразовать эту дробь в правильную дробь, выделив путем деления многочленов целое выражение.
Знаменатель полученной дроби необходимо разложить на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений.
Полученную рациональную дробь необходимо разложить на простейшие дроби, методом неопределенных коэффициентов.
Вычислить интегралы от полученных простейших дробей.

Готовые работы на аналогичную тему

Вид простейших дробей определяется корнями знаменателя рациональной дроби.

Возможны несколько случаев (1 и 2 самые простые -- распишем подробно):

1 случай:

Корни знаменателя дроби являются действительными и все различны. В данном случае рациональная дробь разлагается на простейшие дроби I типа.

Так как $Q_ (x)=(x-a)(x-b). (x-d)$, то

\[\int \frac dx =2\cdot \int \frac =2\cdot \ln |x+1|+C\]

Записывается разложение дроби на простейшие в общем виде:

Записываем сумму простейших дробей в виде рациональной дроби с неопределенными коэффициентами:

Приравниваем полученную дробь и исходную дробь:

Решаем систему уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов:

2 случай:

Корни знаменателя дроби являются действительными, причем некоторые из них являются кратными корнями. В данном случае рациональная дробь разлагается на простейшие дроби I, II типов.

Записывается разложение дроби на простейшие в общем виде:

Записываем сумму простейших дробей в виде рациональной дроби с неопределенными коэффициентами:

Приравниваем полученную дробь и исходную дробь:

Решаем систему уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов:

3 случай:

Среди корней знаменателя дроби имеются комплексные корни и все из них различны. В данном случае рациональная дробь разлагается на простейшие дроби I, II, III типов.

4 случай:

Среди корней знаменателя дроби имеются комплексные корни, причем некоторые из них являются кратными корнями. В данном случае рациональная дробь разлагается на простейшие дроби I, II, III и IV типов.

Таким образом, интеграл от рациональной дроби может быть выражен через:

логарифмы (интегрирование простейших рациональных дробей I типа);
рациональные функции (интегрирование простейших рациональных дробей II типа);
логарифмы и арктангенсы (интегрирование простейших рациональных дробей III типа);
рациональные функции и арктангенсы (интегрирование простейших рациональных дробей IV типа).

Для выполнения интегрирования рациональных дробей вида $\frac +px+q> $ можно применять метод, при котором в знаменателе выделяют полный квадрат, после чего интеграл приводится к табличному:

Материал, изложенный в этой теме, опирается на сведения, представленные в теме "Рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на элементарные (простейшие) дроби". Очень советую хотя бы бегло просмотреть эту тему перед тем, как переходить к чтению данного материала. Кроме того, нам будет нужна таблица неопределенных интегралов.

Напомню пару терминов. О их шла речь в соответствующей теме, посему тут ограничусь краткой формулировкой.

Примеры рациональных дробей (правильных и неправильных), а также примеры разложения рациональной дроби на элементарные можно найти тут. Здесь нас будут интересовать лишь вопросы их интегрирования. Начнём с интегрирования элементарных дробей. Итак, каждый из четырёх типов указанных выше элементарных дробей несложно проинтегрировать, используя формулы, указанные ниже. Напомню, что при интегрировании дробей типа (2) и (4) предполагается $n=2,3,4,\ldots$. Формулы (3) и (4) требуют выполнение условия $p^2-4q 0$. Можно рассудить и по-иному, не привлекая выделение полного квадрата. Так как $10^2-4\cdot 34=-16 0$ при любом $x\in R$ (если эта логическая цепочка вызывает удивление, советую посмотреть графический метод решения квадратных неравенств). В любом случае, так как $x^2+10x+34 > 0$, то $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, т.е. вместо модуля можно использовать обычные скобки.

Все пункты примера №1 решены, осталось лишь записать ответ.

$\int\frac=7\ln|x+9|+C$;
$\int\frac=-\frac+C$;
$\int\fracdx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac\arctg\frac+C.$

На первый взгляд подынтегральая дробь $\frac$ очень похожа на элементарную дробь третьего типа, т.е. на $\frac$. Кажется, что единcтвенное отличие – это коэффициент $3$ перед $x^2$, но ведь коэффициент и убрать недолго (за скобки вынести). Однако это сходство кажущееся. Для дроби $\frac$ обязательным является условие $p^2-4q 0$, посему выражение $3x^2-5x-2$ можно разложить на множители. А это означает, что дробь $\frac$ не является элементаной дробью третьего типа, и применять к интегралу $\int\fracdx$ формулу (3) нельзя.

Ну что же, если заданная рациональная дробь не является элементарной, то её нужно представить в виде суммы элементарных дробей, а затем проинтегрировать. Короче говоря, след воспользоваться схемой интегрирования рациональных дробей. Как разложить рациональную дробь на элементарные подробно написано тут. Начнём с того, что разложим на множители знаменатель:

Подынтеральную дробь представим в таком виде:

Теперь разложим дробь $\fracx+4><\left(x+\frac<1>\right)(x-2)>$ на элементарные:

Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$ есть два стандартных пути: метод неопределённых коэффициентов и метод подстановки частных значений. Применим метод подстановки частных значений, подставляя $x=2$, а затем $x=-\frac$:

Так как коэффициенты найдены, осталось лишь записать готовое разложение:

В принципе, можно такую запись оставить, но мне по душе более аккуратный вариант:

Возвращаясь к исходному интегралу, подставим в него полученное разложение. Затем разобьём интеграл на два, и к каждому применим формулу (1). Константы я предпочитаю сразу выносить за знак интеграла:

Нам останется только разбить заданный интеграл на три, и к каждому применить формулу (1). Константы я предпочитаю сразу выносить за знак интеграла:

Читайте также: