Как геометрически изображаются комплексные числа кратко

Обновлено: 02.07.2024

Действительная и мнимая ось Аргумент комплексного числа Главный аргумент комплексного числа Тригонометрическая форма комплексного числа

Задание комплексного числа $z = a+bi$ равносильно заданию двух действительных чисел $a,b$ - действительной и мнимой частей данного комплексного числа. Но упорядоченная пара чисел $(a,b)$ изображается в декартовой прямоугольной системе координат точкой с координатами $(a, b)$. Таким образом, эта точка может служить изображением и для комплексного числа $z$: между комплексными числами и точками координатной плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие.

При использовании координатной плоскости для изображения комплексных чисел ось $Ox$ обычно называют действительной осью (так как действительная часть числа принимается за абсциссу точки), а ось $Oy$ — мнимой осью (так как мнимая часть числа принимается за ординату точки).

Комплексное число $z$, изображаемое точкой $M(a,b)$, называется аффиксом этой точки. При этом действительные числа изображаются точками, лежащими на действительной оси, а все чисто мнимые числа $bi$(при $a = 0$) — точками, лежащими на мнимой оси. Число нуль изображается точкой O.

Рис.1
На рис. 1 построены изображения чисел $z_ = 2 + 3i, z_=1 =1,z_ = 4i, z_ = -4 + i, z_ = -2, z_ = - 3 – 2i, z_ = -5i, z_ = 2 – 3i$.

Два комплексно сопряженных числа изображаются точками, симметричными относительно оси $Ox$ (точки $z_$ и $z_$ на рис. 1).

Рис. 2
Часто с комплексным числом $z$ связывают не только точку $M$, изображающую это число, но и вектор $\vec$, ведущий из $O$ в $M$; изображение числа $z$ вектором удобно с точки зрения геометрического истолкования действия сложения и вычитания комплексных чисел. На рис. 2, а показано, что вектор, изображающий сумму комплексных чисел $z_, z_$, получается как диагональ параллелограмма, построенного на векторах $\vec, \vec$, изображающих слагаемые. Это правило сложения векторов известно как правило параллелограмма (например, для сложения сил или скоростей в курсе физики). Вычитание может быть сведено к сложению с противоположным вектором (рис. 2, б).

Рис. 3
Как известно, положение точки на плоскости можно задавать также ее полярными координатами $r, \phi$. Тем самым и комплексное число — аффикс точки также определится заданием $r$ и $\phi$. Из рис. 3 ясно, что $r = OM = \sqrt + y^>$ является в то же время модулем комплексного числа $z$: полярный радиус точки, изображающей число $z$, равен модулю этого числа.

Аргумент комплексного числа (как и полярный угол точки) определен неоднозначно; если $\phi_$ -одно из его значений, то все его значения выражаются формулой
$\phi = \phi_ + 2k \pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$

Все значения аргумента в совокупности обозначаются символом $Arg \: z$.

Итак, всякому комплексному числу может быть поставлена в соответствие пара действительных чисел: модуль и аргумент данного числа, причем аргумент определяется неоднозначно. Напротив, заданным модулю $|z| = r$ и аргументу $\phi$ отвечает единственное число $z$, имеющее данные модуль и аргумент. Особыми свойствами обладает число нуль: его модуль равен нулю, аргументу не приписывается никакого определенного значения.

Для достижения однозначности в определении аргумента комплексного числа можно условиться одно из значений аргумента называть главным. Его обозначают символом $arg \: z$. Обычно в качестве главного значения аргумента выбирается значение, удовлетворяющее неравенствам
$0 \leq arg \: z 0, \\
\pi, & \text a 0, \\
\frac, & \text b < 0; \end$

Действительная и мнимая части комплексного числа (как декартовы координаты точки) выражаются через его модуль и аргумент (полярные координаты точки) по формулам:
$a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1)
и комплексное число может быть записано в следующей тригонометрической форме:
$z = r( \cos \phi \phi + i \sin \phi)$ (2)
(запись числа в виде $z = a + bi$ будем называть записью в алгебраической форме).

Условие равенства двух чисел, заданных в тригонометрической форме, таково: два числа $z_$ и $z_$ равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы равны или отличаются на целое число периодов $2 \pi$.

Пример. Записать в тригонометрической форме следующие числа:
а)$6 + 6i$; б) $3i$; в) $—10$.
Решение, а) Имеем
$r = \sqrt + (-6)^> = 6 \sqrt$,
$\cos \phi = \frac<6 \sqrt> = \frac<\sqrt> = \frac<\sqrt>$,
$\sin \phi = - \frac<6 \sqrt> = - \frac<\sqrt> = - \frac<\sqrt>$,
откуда $\phi = \frac$, и, следовательно,
$6-6i = 6 \sqrt \left ( \cos \frac + i \sin \frac \right )$;
б) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \left ( \cos \frac<\pi> + i \sin \frac<\pi> \right )$
в) $r = 10, \cos \phi = —1, \sin \phi = 0, \phi = \pi$;
$-10 = 10 (\cos \pi + i \sin \pi)$

Комплексные числа изображаются на так называемой комплексной плоскости. Ось, соответствующая в прямоугольной декартовой системе координат оси абсцисс, называется действительной осью, а оси ординат - мнимой осью (рис. 1).

Комплексному числу $z=a+b i$ будет однозначно соответствовать на комплексной плоскости точка $(a ; b)$: $z=a+b i \leftrightarrow(a ; b)$ (рис. 2). То есть на действительной оси откладывается действительная часть комплексного числа, а на мнимой - мнимая.

Например. На рисунке 3 на комплексной плоскости изображены числа $z_=2+3 i$, $z_=i$ и $z_=-2$ .

Модуль комплексного числа

Комплексное число также можно изображать радиус-вектором $\overline$ (рис. 2). Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число $z=a+b i$, называется модулем этого комплексного числа.

Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.

Комплексные числа можно изображать на комплексной плоскости следующим образом: действительные числа располагаются на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части – на вертикальной (мнимой) оси.

) комплексного числа, т.е. вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу.

Модуль комплексного числа

.

Т.е. нужно извлечь квадратный корень из суммы квадрат вещественной и мнимой частей.

Задание	Найти модуль числа .
Решение	Действительной частью комплексного числа является число , мнимой частью является .

Следовательно, модуль числа – это выражение

Если является действительным числом, то его модуль равен абсолютной величине этого действительного числа.

Свойства модуля

Задание	Найти произведение модулей комплексных чисел .
Решение	Модуль комплексного числа равен , модуль комплексного числа равен . Следовательно,

Аргумент комплексного числа

Угол (измеряемый в радианах) радиус-вектора точки, которая соответствует комплексному числу на комплексной плоскости, называется аргументом числа . В таком случае вещественные числа комплексного числа можно выразить через модуль и аргумент .

Свойства аргумента

Два комплексно сопряженных числа имеют равные модули, а их аргументы отличаются знаком.

Задание	Найти аргумент комплексного числа .
Решение	Действительной частью комплексного числа является число мнимой частью является .

Аргумент комплексного числа вычисляется по формуле:

Когда речь заходит о комплексных числах, в первую очередь вспоминают о преобразовании Фурье и прочих аспектах цифровой обработки сигналов. Однако у них есть и более наглядная интерпретация, геометрическая — как точки на плоскости, координатам которой соответствуют действительная и мнимая часть комплексного числа. Рассматривая некоторую кривую как совокупность таких точек, можно описать её как комплексную функцию действительной переменной.

▍ Окружность

Когда нам нужно начертить окружность в реальной жизни — мы берём циркуль и, уперев его одним (острым) концом, а другим (с грифелем) постепенно вращая, оставляем след на бумаге. В математике это делается аналогично — в роли циркуля выступает мнимая единица , а в роли вращения — возведение её в степень переменной , которую можно интерпретировать как момент времени (а в данном конкретном случае — как угол поворота). Здесь вектор описывает полный круг при изменении значения от до — что также удобно интерпретировать как четверти на координатной плоскости, когда при изменении целой части одна из проекций на координатную ось меняет свой знак.

Возможно, выражение кому-то может показаться несколько непривычным, поскольку оно не употребляется в традиционных учебниках математики. В таком случае можно использовать каноническую запись, перейдя к основанию : .

Также в качестве основания можно использовать минус единицу: , что часто используется в Wolfram Mathematica для описания единичных комплексных констант.

Разница между функциями , и состоит лишь в периоде для полного оборота вектора по окружности — , или ; а единицами измерения углов соответственно будут радианы, пол-обороты и кварт-обороты (квадранты). Запись с экспонентой является исторически первой, однако её сложно назвать наглядной — возведение в комплексную степень несколько контринтуитивно. В этой же статье вариант выбран по причине его большей компактности и наглядности.

▍ Эллипс

Эллипс можно начертить растягиванием окружности вдоль одной из осей. Но в таком случае это получится самый обычный параметрический график с участием тригонометрических функций, но без участия комплексных чисел. В комплексных же числах эллипс можно представить как сумму двух векторов разной длины и вращающихся с одной частотой, но в противоположные стороны:

Поскольку в комплексных числах результат суммы тоже не зависит от порядка слагаемых, эту же анимацию можно представить чуть по-другому:

Используя формулу в полярных координатах, можно начертить эллипс одним вектором, но с динамически изменяемой длиной:

Несмотря на то, что фигуры получаются одинаковыми, положение точки (и скорость) в каждый момент времени не совпадают, что хорошо видно на анимации. Поэтому производные этих эллипсов совпадать не будут:

Примечательно, что производная от эллипса, задаваемого суммой двух векторов, осталась тем же эллипсом с теми же пропорциями. Ну а теперь — самое главное преимущество комплексных чисел: чтобы повернуть эллипс на произвольный угол, достаточно просто умножить его на единичный вектор с необходимым углом поворота (phi):

▍ Гипотрохоида и прочее

Усложнение получаемых фигур достигается усложнением их мат.модели. Достаточно изменить частоту второго вектора, и можно получить нечто более интересное, а именно — математическую модель спирографа:

Здесь необходимо обратить внимание на то, что для получения замкнутой кривой одного оборота по окружности оказалось недостаточно — их потребовалось уже 3 и 4 соответственно. Это явилось следствием того, что период второго вектора не укладывается нацело в период первого вектора.

Можно и дальше добавлять векторы и получать всё более и более сложные фигуры:

▍ Синусы и синусоидные ленты

Давайте немного отвлечёмся от окружностей и начертим синус. Традиционная запись синусоиды выглядит так:

В комплекcном виде формула для синусоды выглядит ненамного сложнее

а график, естественно, выглядит аналогично:

Легко видеть, как была получена это формула — правую часть равенства мы умножили на мнимую единицу, знак равенства заменили на плюс, а и заменили на одну и ту же параметрическую переменную — . Принципиальная разница между этими формулами получилась в том, что теперь можно взять и повернуть синусоиду, просто умножив её на единичный вектор с нужным углом наклона (здесь 45°). Подобные трансформации синусодиды могут потребоваться для того, чтобы направлять её вдоль заданных кривых:

В параметрической форме записи можно модулировать координаты, получая таким образом различные деформации синусоиды, на первый взгляд не имеющих ничего общего с оригиналом:

Количество синусоид можно увеличивать, добиваясь эффекта заполнения пространства за счёт равномерного сдвига фаз между ними:

Здесь — количество синусоид, а — порядковый номер синусоиды.

Смещение можно задавать и просто смещением координат — как по одной координате, так и по двум:

▍ Розетты

Теперь можно попробовать и более сложные варианты — добавить фигурам заполнения. Есть два пути для этого:
1) взять центральную кривую, от которой в обе стороны осциллирует синусоида. Это творческий метод, поскольку внутренняя и внешняя огибающие будут зависеть от множества параметров и могут оказаться весьма неожиданными. Здесь также дополнительной сложностью будет вычисление нормали для синусоидной ленты. Несмотря на то, что её легко вычислить дифференцированием нашей кривой (и умножением на мнимую единицу) с последующей нормировкой функцией , более интересные варианты получаются заданием её явным образом, в простейшем случае — нормалью к окружности.
2) явно задать внутреннюю и внешние огибающие, а конкретную точку между ними находить интерполяцией всё той же синусоидой. Этот вариант чуть сложнее, зато более предсказуемый.

Начнём с простого:

Обратите внимание: здесь мы не использовали синусоидную ленту — а обошлись лишь одной синусоидой, с некратным периодом 8/5. Для того, чтобы она замкнулась, потребовалось 5 полных оборотов (да, совпадение со знаменателем периода не случайно). Также обратите внимание, что направляющая для синусоиды не перпендикулярна центральной линии — потому что это условие в неё и не закладывалось. А если мы захотим его заложить — то потребуется продифференцировать кривую и повернуть её на 90° умножением на мнимую единицу:

Как видно, получился тоже эллипс, только с другим масштабом (и сдвигом фазы на 90° что в нашем случае значения не имеет). Используя эту функцию (с коррекцией масштаба) в качестве направляющей для синусоидной ленты получим следующую формулу:

Последний штрих — нормировать длину направляющей к единице, чтобы ширина заполняющей ленты была одинаковой (или явно заданной амплитуды). Сделать это можно функцией или, что то же самое, через деление на абсолютное значение (которое считается как квадратный корень суммы квадратов мнимой и действительной части).

Читайте также:

  
• Как тульские мастера и левша отнеслись к просьбе платова как оценили работу англичан кратко
  
• Информационный стенд доу что должно быть
  
• План мероприятий по исполнению постановления 1006 в школе
  
• Как археология помогает истории кратко
  
• Можно ли отказаться от дистанционного обучения в школе