Докажите что диагонали квадрата являются биссектрисами его углов кратко

Обновлено: 01.07.2024

Определение 17. Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны. Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Поэтому квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба. Просто перечислим их:
Свойство 1 У квадрата (как прямоугольника) все углы прямые
Свойство 2 Диагонали квадрата (как прямоугольника) равны
Свойство 3 Диагонали квадрата (как прямоугольника) точкой пересечения делятся пополам.
Свойство 4 Диагонали квадрата (как ромба) пересекаются под прямым углом.
Свойство 5 Диагонали квадрата (как ромба) являются биссектрисами его углов.
Диагональ квадрата больше его стороны в корень из двух раз

Теорема 44. Площадь квадрата равна квадрату стороны или половине квадрата его диагонали

Центр вписанной и описанной окружностей лежит на пересечении диагоналей квадрата, т.к. точка пересечения одинаково удалена как от сторон, так и отвершин.
Радиус описанной окружности равен половине диагонали (диаметр=диагонали). Радис вписанной окружности - половине стороны квадрата (диаметр=стороне). Эти утверждения не требуют особо сложного доказательства.

Теорема 45. (I признак квадрата) Если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, этот прямоугольник - квадрат.

Теорема 46. (II признак квадрата) Если один из углов ромба прямой, этот ромб - квадрат.

Частным видом параллелограмма является ромб.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны

ABCD - ромб.

Особое свойство ромба

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам

Дано: ABCD - ромб

Доказать: ACBD, ADO = CDO

Доказательство:

AD = DC (по определению ромба), значит, ADC - равнобедренный.

AO = OC (по свойству диагоналей параллелограмма), DO - медиана ADC , а в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой, ACBD, ADO = CDO, что и требовалось доказать.

Теорема

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм - ромб

Дано: ABCD - параллелограмм, ACBD

Доказать: ABCD - ромб

Доказательство:

Рассмотрим AOВ и COВ:

Т.к. ACBD, тоAOВ = COВ = 90 0 ;

AO = OC (по свойству диагоналей параллелограмма), ОВ - общий катет, AOВ = COВ (по двум катетам). В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, ВС = ВА.

В параллелограмме противоположные стороны равны, AD = BC, AB = DC

Итак: ABCD - параллелограмм (по условию) AD = BC = AB = DC (по доказанному). ABCD - ромб, что и требовалось доказать.

Теорема

Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм - ромб

Дано: ABCD - параллелограмм, АС - диагональ и биссектриса DAB и DCB

Доказать: ABCD - ромб

Доказательство:

DAB =DCB (по свойству параллелограмма), а АС -биссектриса DAB иDCB (т.е. АС делит эти углы на два равных угла), DAC = BAC =DCA = BCA

Рассмотрим ADC: DAC =DCA, ADC - равнобедренный с основанием AC, и AD = DC. В параллелограмме противоположные стороны равны, AD = BC, AB = DC

Итак: ABCD - параллелограмм (по условию) AD = BC = AB = DC (по доказанному). ABCD - ромб, что и требовалось доказать.

Две теоремы, доказанные выше, называют признаками ромба.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны

Основные свойства квадрата:

1. Все углы квадрата прямые.

2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – квадрата.

Определение квадрата

Квадрат – это правильная геометрическая фигура на плоскости , у которой четыре равные стороны и прямые углы (т.е. 90°). Чаще всего квадрат обозначается названиями вершин (например, ABCD), а его сторона – маленькой латинской буквой (например, a).

AB = BC = CD = AD = a
∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = ∠BAD = 90°

Свойства квадрата

Свойство 1

Диагонали квадрата равны, расположены под прямым углом друг к другу, в точке пересечения делятся пополам.

AC = BD = d (диагонали)
AE = EC = BE = ED
∠AEB = ∠AED = ∠BEC = ∠CED = 90°

Свойство 2

Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов. Для рисунке выше:

BD – биссектриса углов ABC и ADC, следовательно, ∠ABD = ∠DBC = ∠ADB = ∠BDC
AC – биссектриса углов BAD и BCD, следовательно, ∠BAC = ∠CAD = ∠BCA = ∠ACD

Свойство 3

Центром описанной вокруг и вписанной в квадрат окружностей является точка пересечения его диагоналей (в нашем случае – E).

При этом радиусы окружностей можно вычислить через длину стороны или диагонали квадрата:

R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности;
a – длина стороны квадрата;
d – длина диагонали квадрата.

Также, один радиус можно выразить через другой:

Свойство 4

Зная длину стороны или диагонали квадрата, можно найти его площадь или периметр.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Перечислим свойства квадрата:

Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
Диагонали квадрата делят его углы пополам.

Площадь квадрата, очевидно, равна квадрату его стороны: .
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на , то есть
.

1 . Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна .

Мы знаем, что . Тогда .

2 . Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной .

Очевидно, радиус окружности равен половине диагонали квадрата.

3 . Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса .

Диаметр окружности равен стороне квадрата.

4 . Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат , считая стороны квадратных клеток равными .

Чуть более сложная задача. Нарисуйте окружность, вписанную в данный квадрат, то есть касающуюся всех его сторон. Вы увидите, что диаметр этой окружности равен стороне квадрата.

5 . Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник . В ответе укажите
.

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, . Она равна . Тогда радиус вписанной окружности равен . В ответ запишем .

Читайте также: