Что такое окружность в математике 6 класс определение кратко

Обновлено: 02.07.2024

Определение. Окружность — это совокупность всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки О, которая называется центром окружности.

Определение. Диаметр окружности D - отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр.

Основные свойства окружности

5. Если две окружности соприкасаются в одной точке, то эта точка лежит на прямой, что проходит через центры этих окружностей.

Формулы длины окружности и площади круга

Формулы длины окружности

Формулы площади круга

Уравнение окружности

2. Уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами ( a, b ) в декартовой системе координат:

r 2 = ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2

3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами ( a, b ) в декартовой системе координат:

	x = a + r cos t
	y = b + r sin t

Касательная окружности и ее свойства

Основные свойства касательных к окружности

3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:

Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:

Секущая окружности и ее свойства

Основные свойства секущих

1. Если с точки вне окружности (Q) выходят две секущие, которые пересекают окружность в двух точках A и B для одной секущей и C и D для другой секущей, то произведения отрезков двух секущих равны между собою:

2. Если из точки Q вне окружности выходит секущая прямая, что пересекает окружность в двух точках A и B, и касательная с точкой соприкосновения C, то произведение отрезков секущей равна квадрату длины отрезка касательной:

Хорда окружности ее длина и свойства

Длина хорды

AB = 2 r sin α 2

Основные свойства хорд

если хорды AB = CD, то

если хорды AB ∣∣ CD, то

3. Если радиус окружности перпендикулярен к хорде, то он разделяет хорду пополам в точке их пересечения:

4. Если две хорды AB и CD пересекаются в точке Q, то произведение отрезков, что образовались при пересечении, одной хорды равны произведению отрезков другой хорды:

если хорды AB = CD, то

ON Определение. Центральный угол окружности - угол, вершиной которого есть центр окружности.

Определение. Угол вписанный в окружность - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла пересекают окружность.

Основные свойства углов

4. Если два вписанных угла опираются на одну хорду и находятся по различные стороны от нее, то сумма этих углов равна 180°.

Определение. Градусная мера дуги - угол между двумя радиусами, которые ограничивают эту дугу. Градусная мера дуги всегда равна градусной мере центрального угла, который ограничивает эту дугу своими сторонами.

Определение. Сектор ( ◔ ) - часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой между этими радиусами.

S = π r 2 360° ∙ α

Определение. Концентрические окружности - окружности с различными радиусами, которые имеют общий центр.

На тему “Окружность” в 6 классе по учебнику Шарыгина И.Ф., Ерганжиева Л.Н. отводится 3 урока:

1-й урок: “Что такое окружность?”

2-й урок: “Деление окружности на части”

3-й урок: “Практическое занятие”.

Основная цель: познакомить учащихся с понятием “Окружность”, научить строить окружность и делить её на части.

Урок №1 “Что такое окружность ?”

Цель урока: познакомить учащихся с “Окружностью”, научить строить окружность.

1. Организационный момент.

(Учителю заранее можно подготовить презентацию со слайдами или с записями на доске)

Слайд №2. На слайде представлены разные геометрические фигуры:

Учитель: Ребята, я прошу вас посмотреть на геометрические фигуры, назовите их. Какие фигуры мы с вами не изучали? (Cлайд №2) Сегодня на уроке мы с вами будем знакомиться с фигурой окружностью.

Слайд №3. “В одном из своих стихотворений поэт Павел Коган сказал: “Я с детства не любил овал, я с детства угол рисовал…” На это ему возразил другой поэт, Наум Коржавин: “Меня, наверно, Бог не звал и вкусом не снабдил утонченным. Я с детства полюбил овал за то, что он такой законченный””.

3. Работа по теме урока

Учитель: (слайд №3) В одном из своих стихотворений поэт Павел Коган сказал: “Я с детства не любил овал, я с детства угол рисовал…”. На это ему возразил другой поэт, Наум Коржавин: “Меня, наверно, Бог не звал и вкусом не снабдил утонченным. Я с детства полюбил овал за то, что он такой законченный”. Но все же не стоит противопоставлять друг другу угол и овал, треугольник и окружность. Среди всевозможных плоских фигур выделяются две главные: треугольник и окружность. Эти фигуры известны нам всем с раннего детства. Известный математик Гротендик, вспоминая свои школьные годы, заметил, что он долго не мог понять, что такое окружность (слайд №4).Ведь эта линия в каждой точке загибается! Что же такое окружность? (Ответы учеников). Оказывается, эта линия определяется совсем иначе, чем треугольник и вообще многоугольник.

Окружность – это линия, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости, называемой центром

Учитель: Расскажите, как построить окружность при помощи циркуля (Ответы учеников.) Сейчас мы с вами выполним практическую работу в тетради.

4. Работа в тетради

Учитель: Мы построим окружность с помощью циркуля. Этому замечательному предмету Н.Глазков посвятил такие строки: (слайд №5).

Танцевальное вращенье
Совершеннейшие ноги,
И круги, круги, круги
Вызывали восхищенье.
Балерина создавала
Точный круг в один момент.
Подивился ей немало
Достославный геометр.
О прекрасной балерине
Вспоминал частенько он -
Не по этой ли причине
Циркуль был изобретён!

Практическая работа (слайд № 6,7)

1. Поставьте в тетради точку О , отступив вниз от предыдущей записи 8 клеточек.

2. Возьмите в раствор циркуля отрезок 3см. Поставьте иголочку в точку О и постройте окружность.

- Как называется точка О?

- Окружность - это линия, которая делит плоскость на две части. Покажите часть плоскости, которая находится внутри окружности. Как она называется?

3. Поставьте на окружности две любые точки. Соедините их. Какая фигура получилась? (Отрезок)

- Этот отрезок называется хордой.

- Попробуйте дать определение, что такое хорда.

4. Соедините любую точку окружности с центром.

- Как называется этот отрезок?

- Дайте определение радиусу.

- Сколько радиусов можно провести в одной окружности?

5. Начертите ещё три радиуса.

6. Измерьте все радиусы. Что заметили?

7. Начертите хорду, которая проходит через центр. Как называется эта хорда?

8. Измерьте диаметр. Что заметили?

(Одновременно с беседой выполняются записи в тетради)

Учитель: Как нарисовать окружность? Известно, что для изображения окружности служит циркуль. Гораздо труднее нарисовать окружность от руки. Попробуйте сделать это сами (учащимся предлагается нарисовать от руки).

Учитель: Не правда ли, получается какой- то овал, лишь отдалённо напоминающий окружность? Конечно, опытные, тренированные люди весьма ловко одним росчерком изображают окружность. Рассказывают, что великий немецкий художник Альбрехт Дюрер (слайд №8) одним движением руки мог столь точно нарисовать окружность, что последующая проверка при помощи циркуля не показала никаких отклонений. Действовать по этому правилу нужно так:

- Возьмем пересечение линий (узел) клетчатой бумаги .

- Отступив на три клетки вправо и на одну вниз, поставим вторую точку.

- Отступая от второй точки по одной клетке вправо и вниз, находим третью точку.

- Четвёртая точка находится на расстоянии одной клетки вправо и трёх вниз от третьей точки.

- Соединив плавной линией полученные точки, мы весьма, похоже, изобразим четверть окружности.

Учитель: При вычерчивании окружности на клетчатой бумаге стоит запомнить одно правило, позволяющее сделать нужное изображение от руки. Правда, речь идет об изображении окружности определенного размера. Правило это записывается в виде трех пар чисел: 3-1, 1-1,1-3. (Cлайд №9)

Учитель: На рисунке (слайд №10) изображена окружность, отмечен её центр – точка О, проведены два отрезка: ОС и АВ. Отрезок ОС соединяет центр окружности с точкой на окружности. Он будет РАДИУСОМ (по-латыни radius – “спица в колесе”). Отрезок АВ соединяет две точки окружности и проходит через её центр. Это ДИАМЕТР окружности (в переводе с греческого – “поперечник”). Точки А и В делят окружность на две части. Каждую из этих частей называют дугой окружности, а точки А и В – концами этих дуг.

5. Историческая справка.

Учитель: Окружность – удивительно гармоничная фигура, древние греки считали её самой совершенной. Совершенство окружности – в расположении всех её точек на одинаковом расстоянии от центра. Именно поэтому

Окружность – единственная кривая, которая может “скользить сама по себе”, вращаясь вокруг центра.

Основное свойство окружности дает ответ на вопросы, почему для ее вычерчивания используют циркуль и почему колеса делают круглыми, а не квадратными или, например, треугольными. Подумайте и вы над этими вопросами. Кстати, о колесе. Это одно из самых великих изобретений человечества. Оказывается, додуматься до колеса было не так просто, как это может показаться. Ведь даже ацтеки, жившие в Мексике, почти до XVI в. не знали колеса. (Cлайд №11)

Окружность обладает еще одним интересным свойством. (Cлайд №12)

Площадь, ограниченная окружностью (т.е. площадь круга), - наибольшая среди полученных таким образом площадей.

Окружность – это замкнутая кривая линия. Она имеет ДЛИНУ.

Круг – плоская фигура, его характеризует ПЛОЩАДЬ.

С площадью круга связана одна из самых знаменитых задач древности – ЗАДАЧА О КВАДРАТУРЕ КРУГА (слайд №13). Требовалось построить с помощью циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга. Поиски квадратуры круга продолжались четыре тысячелетия! Лишь в 1882г. немецкий математик Ф. Линденман доказал, что с помощью циркуля и линейки эта задача неразрешима.

6. Закрепление изученного материала.

Б) Решение задач (слайд № 17).

Отметьте в тетради точку О. Постройте окружность с центром в этой точке. Измерьте радиус окружности. Чему равен её диаметр?

Начертите окружность и отметьте на ней три точки А, В и С. Назовите дуги, на которые эти точки делят окружность.

Начертите две окружности с радиусами 2 см, 3 см 2 мм.

Подсчитайте сколько и какие фигуры составляют данный рисунок. (Слайд № 18)

Окружность — это геометрическая фигура, образованная замкнутой кривой линией, все точки которой одинаково удалены от одной и той же точки.

Точка, от которой одинаково удалены все точки окружности, называется центром окружности. Центр окружности обычно обозначают большой латинской буквой O:

Окружность делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Геометрическая фигура, ограниченная окружностью, — это круг:

Построение окружности циркулем

Для построения окружности используют специальный прибор — циркуль:

Установим циркулю произвольный раствор (расстояние между ножками циркуля) и, поставив его ножку с остриём в какую-нибудь точку плоскости (например, на листе бумаги), станем вращать циркуль вокруг этой точки. Другая его ножка, снабжённая карандашом или грифелем, прикасающимся к плоскости, начертит на плоскости замкнутую линию — окружность:

Радиус, хорда и диаметр

Радиус — это отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром. Радиусом также называется расстояние от точки окружности до её центра:

Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину, то есть они равны между собой. Радиус обозначается буквой R или r.

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности.

Диаметр обозначается буквой D. Диаметр окружности в два раза больше её радиуса:

D = 2r.

Дуга — это часть окружности, ограниченная двумя точками. Любые две точки делят окружность на две дуги:

Чтобы различать дуги, на которые две точки разделяют окружность, на каждую из дуг ставят дополнительную точку:

Для обозначения дуг используется символ :

Окружность – это множество всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, которую называют центром окружности.

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Радиус – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности.

Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности.

Длина окружности вычисляется по формулам: С = πd или С = 2πR, где π ≈ 3, 14 – иррациональное число.

Обязательная литература:

Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Окружность – это множество всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, которая называется центром окружности.

Элементы окружности: центр, радиус, диаметр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности.

Как измерить дину окружности?

Можно взять сантиметровую ленту (если нет ленты, можно воспользоваться нитью или полоской бумаги).

Можно прокатить кольцо по ровной поверхности, сделав полный оборот.

Проверьте, верно ли, что отношение длины окружности к диаметру ≈ 3?

Возьмите несколько круглых предметов (тарелка, стакан, игрушечное колесо и др.).

Результаты измерений можно записать в таблицу в тетради.

Закон для более точного вычисления числа π очень сложен. В настоящее время значение π для точных расчётов в строительстве, авиационной или космической промышленности находят при помощи компьютера.

Вспомните, что π – это иррациональное число, которое выражается бесконечной непериодической дробью.

При решении обычных задач используют приближенное значение

иногда используют π ≈ 3

Обозначим длину окружности буквой С, а её диаметр – буквой d, и запишем формулу:

Читайте также: