Как разделить отрезок пополам 1815 кратко

Обновлено: 05.07.2024

После того как мы научились находить точку, обратную данной, можно с помощью одного циркуля выполнить дальнейшие интересные построения. Например, сейчас мы найдем середину отрезка, концы которого заданы, с помощью одного циркуля — не проводя самого отрезка. Вот решение этой задачи. Опишем окружность радиусом с центром В и на нем, отправляясь от А, как раньше, отмерим последовательно три дуги радиусом Последняя точка С будет лежать на прямой причем мы будем иметь: Затем опишем окружность радиуса с центром А и построим точку С, обратную точке С относительно этой окружности. Тогда получим:

Значит, С есть искомая середина отрезка.

Рис. 44. Нахождение середины отрезка

Рис. 45. Нахождение центра круга

Другое построение с помощью одного циркуля, также использующее обратные точки, заключается в нахождении центра данной окружности, когда начерчена только сама окружность, а центр не известен. Берем произвольную точку Р на окружности и около нее, как центра, описываем круг произвольного радиуса, пересекающийся с данным кругом в точках Из этих последних точек, как центров, описываем дуги радиусом пересекающиеся, кроме точки Р,

еще в точке Сравнивая то, что получилось, с рис. 41, мы видим, что неизвестный центр есть точка, обратная точке относительно окружности с центром Р, и может быть, как мы видели, построена с помощью одного циркуля.

Все мы с детского садика знаем, как разделить отрезок на две равные части с помощью циркуля и линейки. А вот как разделить отрезок пополам, пользуясь ТОЛЬКО циркулем (без линейки)?

Решение
Дан отрезок AB, требуется разделить его пополам с помощью циркуля.

Построение
Шаг 1. Проведём окружность радиуса AB с центром в точке B. Тем же раствором циркуля отмерим на этой окружности три дуги, начиная от точки A. Получим точку C.

Шаг 2. Проведём окружность радиуса AB с центром в точке A и окружность радиуса AC с центром в точке C. Одну из точек пересечения этих окружностей обозначим D.

Шаг 3. Проведём окружность радиуса AB с центром в точке D. Она пересечёт отрезок AB в точках A и E, причём точка E делит отрезок AB пополам.

Доказательство
Очевидно, что точка C лежит на прямой AB, причём AB=BC, т.е. AC=2*AB

По построению треугольники ACD и ADE - равнобедренные, поэтому углы DAE, AED и ADC равны. Отсюда следует, что треугольники ACD и ADE подобны.

Запишем отношения сторон: AE/AD = AD/AC, следовательно AE = AD*AD/AC = AB*AB / (2*AB) = AB/2.

Этим методом можно делить отрезок не только на 2, но и на N частей. Более того, с незначительными модификациями этот метод применим в случае, когда исходный отрезок вообще не проведён (т.е. заданы только его концы).

из одной точки отрезка делаешь окружность далбше середины отрезка, и из другой точки так же, образуються 2 точки пересечения окружностей, проводишь через эти точки прямую и где эта прямая пересекаеться с отрезком там и середина

Надо взять раствор циркуля чуть больше половины, провести дугу через отрезок из одной и другой точки, затем провести дополнительную линию через точки пересечения двух вновь построенных дуг. Эта линия и разделит отрезок пополам.

одинаковыми радиусами длиной >половины отрезка провести две окружности из концов отрезка, они пересекутся между собой в 2 точках, через эти точки провести прямую, которая разделит Ваш отрезок пополам

С одной стороны, разделить отрезок на равные части несложно, но с другой стороны, при этом могут появиться и трудности. Разбить какой-либо промежуток на равные части требуется не только для решения задач по геометрии, но и во многих областях жизни. В бытовой ситуации, например, такое деление может потребоваться для того, чтобы повесить картину на стене или установить мебельный гарнитур в определённой части комнаты.

Два одинаковых значения

Самый простой способ разделить на две равнозначные доли — воспользоваться линейкой. Необходимо отмерить общую длину от точки А до точки В и разделить это значение на два. Полученное число следует отметить на заданном интервале, совместив отметку 0 на линейке с точкой А.

При делении на две идентичные доли можно воспользоваться циркулем. Для начала надо отмерить расстояние, которое будет несколько больше, чем предполагаемая половина исходной линии. Чертим две окружности, радиус которых мы определили циркулем. Одну окружность проводим из точки А, а другую — из В. Обе эти окружности между собой соединяются, образуя новые точки — С и D. Потом с помощью линейки и карандаша следует провести линию, соединяющую точки C и D. В том месте, где линия пересекает отрезок, образуется точка Е, которая является центром, а соответственно и делит его пополам.

Получение четырех частей

В таком варианте деления можно в упрощённом виде воспользоваться линейкой. Здесь последовательно сначала отмеряется середина, то есть отрезок делится на две равные части, как указывалось выше, а затем каждый из осечённых секторов по отдельности разделяется пополам. Таким образом, получаются четыре равных отрезка.

Однако такой вариант оказывается удачным лишь на тех прямых, которые имеют целое числовое значение. Здесь следует воспользоваться циркулем.

Разложение при помощи циркуля

Как и в первом описании, при помощи черчения двух окружностей заданный отрезок следует поделить пополам. Таким образом, на прямой образуется два отрезка — АЕ и ЕВ. Далее следует совершить аналогичные действия, но уже с двумя отрезками по отдельности. То есть, взяв отрезок АЕ, провести две окружности:

одну — из точки А;
вторую — из точки Е.

И снова в местах соединения этих двух дуг нужно провести прямую линию. Тот же самый алгоритм применяется и в отношении линии ЕВ. После проведённых манипуляций отрезок будет пересечён тремя перпендикулярными прямыми, а соответственно, разделён на четыре равные части.

Теорема Фалеса

Если с делением на две или четыре равные части всё более или менее понятно, то деление отрезка на n равных частей вызывает определённые трудности. Здесь приходит на помощь формула параллельных прямых, описанная в теореме Фалеса.

Суть теоремы состоит в том, что при отложении одинаковых отрезков на одной прямой и проведении через концы этих отрезков параллельных прямых, пересекающих другую прямую, то и на второй прямой будут отложены равные между собой отрезки.

Например, на определённой прямой необходимо отмерить пять одинаковых отрезков. Для начала из точки А следует провести прямую линию, которая будет направлена в сторону противоположного конца отрезка (точки В) под острым углом относительно исходной прямой. Теперь при помощи циркуля на этой линии следует отложить пять равных отрезков. Из точки, отмерившей последний отсек, следует очертить линию в точку В. Затем провести прямые, параллельные той, которая проходит через точку В. Каждая линия должна проходить через отмеченные циркулем точки. При условии, что все линии будут строго параллельны друг другу, на исходной прямой будет отложено пять равных отрезков.

Зная, как производить деление на одинаковые части, можно, например, понять, как разделить треугольник на 4 равные части или более. По указанным вариантам деления на сегменты можно производить следующие действия:

делить прямоугольник на несколько одинаковых прямоугольников;
разделять треугольник, а соответственно, и его угол на две и более частей;
рассекать прямой угол на три равных угла;
разбивать окружность на одинаковые участки.

Все эти знания важны в машиностроении при вычерчивании деталей, а также активно применяются в инженерных работах.

Читайте также: