Что такое непрерывность кратко

Обновлено: 02.07.2024

Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.

Непрерывность функции в точке

Функция f ( x ) является непрерывной в точке x 0 , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке x 0 , т.е.: lim x → x 0 - 0 f ( x ) = lim x → x 0 + 0 f ( x ) = f ( x 0 )

Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.

Дана функция f ( x ) = 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 . Необходимо доказать ее непрерывность в точке х 0 = 2 .

Решение

В первую очередь, определим существование предела слева. Чтобы это сделать, используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 · ( х n 2 ) . Например, такой последовательностью может быть:

- 2 , 0 , 1 , 1 1 2 , 1 3 4 , 1 7 8 , 1 15 16 , . . . , 1 1023 1024 , . . . → 2

Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:

f ( - 2 ) ; f ( 0 ) ; f ( 1 ) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . = = 8 . 667 ; 2 . 667 ; 0 . 167 ; - 0 . 958 ; - 1 . 489 ; - 1 . 747 ; - 1 . 874 ; . . . ; - 1 . 998 ; . . . → - 2

на чертеже они обозначены зеленым цветом.

Достаточно очевидно, что такая последовательность сводится к - 2 , значит lim x → 2 - 0 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 = - 2 .

Определим существование предела справа: используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 ( х n > 2 ) . Например, такой последовательностью может быть:

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Соответствующая последовательность функций:

f ( 6 ) ; f ( 4 ) ; f ( 3 ) ; f 2 1 2 ; f 2 1 4 ; f 2 1 8 ; f 2 1 16 ; . . . ; f 2 1 1024 ; . . . = = - 7 . 333 ; - 5 . 333 ; - 3 . 833 ; - 2 . 958 ; - 2 . 489 ; - 2 . 247 ; - 2 . 247 ; - 2 . 124 ; . . . ; - 2 . 001 ; . . . → - 2

на рисунке обозначена синим цветом.

И эта последовательность сводится к - 2 , тогда lim x → 2 + 0 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 = - 2 .

Действиями выше было показано, что пределы справа и слева являются равными, а значит существует предел функции f ( x ) = 1 6 x - 8 2 - 8 в точке х 0 = 2 , при этом lim x → 2 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 = - 2 .

После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:

lim x → 2 - 0 f ( x ) = lim x → 2 + 0 f ( x ) = f ( 2 ) = 1 6 ( 2 - 8 ) 2 - 8 = - 2 что свидетельствует о непрерывности заданной функции в заданной точке.

Ответ: Непрерывность функции f ( x ) = 1 6 ( x - 8 ) 2 - 8 в заданной части доказано.

Устранимый разрыв первого рода

Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке х 0 , когда пределы справа и слева равны, но не равны значению функции в точке, т.е.:

lim x → x 0 - 0 f ( x ) = lim x → x 0 + 0 f ( x ) ≠ f ( x 0 )

Задана функция f ( x ) = x 2 - 25 x - 5 . Необходимо определить точки ее разрыва и определить их тип.

Решение

Сначала обозначим область определения функции: D ( f ( x ) ) ⇔ D x 2 - 25 x - 5 ⇔ x - 5 ≠ 0 ⇔ x ∈ ( - ∞ ; 5 ) ∪ ( 5 ; + ∞ )

В заданной функции точкой разрыва может служить только граничная точка области определения, т.е. х 0 = 5 . Исследуем функцию на непрерывность в этой точке.

Выражение x 2 - 25 x - 5 упростим: x 2 - 25 x - 5 = ( x - 5 ) ( x + 5 ) x - 5 = x + 5 .

Определим пределы справа и слева. Поскольку функция g ( x ) = x + 5 является непрерывной при любом действительном x , тогда:

lim x → 5 - 0 ( x + 5 ) = 5 + 5 = 10 lim x → 5 + 0 ( x + 5 ) = 5 + 5 = 10

Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х 0 = 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Неустранимый разрыв первого рода

Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.

Функция имеет неустранимый разрыв первого рода в точке х 0 , когда пределы справа и слева не являются равными, т.е.: lim x → x 0 - 0 f ( x ) ≠ lim x → x 0 + 0 f ( x ) . Точка х 0 здесь – точка скачка функции.

Задана кусочно-непрерывная функция f ( x ) = x + 4 , x - 1 , x 2 + 2 , - 1 ≤ x 1 2 x , x ≥ 1 . Необходимо изучить заданную функцию на предмет непрерывности, обозначить вид точек разрыва, составить чертеж.

Решение

Разрывы данной функции могут быть лишь в точке х 0 = - 1 или в точке х 0 = 1 .

Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:

слева от точки х 0 = - 1 заданная функция есть f ( x ) = x + 4 , тогда в силу непрерывности линейной функции: lim x → - 1 - 0 f ( x ) = lim x → - 1 - 0 ( x + 4 ) = - 1 + 4 = 3 ;
непосредственно в точке х 0 = - 1 функция принимает вид: f ( x ) = x 2 + 2 , тогда: f ( - 1 ) = ( - 1 ) 2 + 2 = 3 ;
на промежутке ( - 1 ; 1 ) заданная функция есть: f ( x ) = x 2 + 2 . Опираясь на свойство непрерывности квадратичной функции, имеем: lim x → - 1 + 0 f ( x ) = lim x → - 1 + 0 ( x 2 + 2 ) = ( - 1 ) 2 + 2 = 3 lim x → 1 - 0 f ( x ) = lim x → 1 - 0 ( x 2 + 2 ) = ( 1 ) 2 + 2 = 3
в точке х 0 = - 1 функция имеет вид: f ( x ) = 2 x и f ( 1 ) = 2 · 1 = 2 .
справа от точки х 0 заданная функция есть f ( x ) = 2 x . В силу непрерывности линейной функции: lim x → 1 + 0 f ( x ) = lim x → 1 + 0 ( 2 x ) = 2 · 1 = 2

Ответ: в конечном счете мы получили:

lim x → - 1 - 0 f ( x ) = lim x → - 1 + 0 f ( x ) = f ( - 1 ) = 3 - это означает, что в точке х 0 = - 1 заданная кусочная функция непрерывна;
lim x → - 1 - 0 f ( x ) = 3 , lim x → 1 + 0 f ( x ) = 2 - таким образом, в точке х 0 = 1 определён неустранимый разрыв первого рода (скачок).

Нам остается только подготовить чертеж данного задания.

Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)

Функция имеет разрыв второго рода в точке х 0 , когда какой-либо из пределов слева lim x → x 0 - 0 f ( x ) или справа lim x → x 0 + 0 f ( x ) не существует или бесконечен.

Задана функция f ( x ) = 1 x . Необходимо исследовать заданную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, подготовить чертеж.

Решение

Запишем область определения функции: x ∈ ( - ∞ ; 0 ) ∪ ( 0 ; + ∞ ) .

Найдем пределы справа и слева от точки х 0 = 0 .

Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 слева. К примеру:

- 8 ; - 4 ; - 2 ; - 1 ; - 1 2 ; - 1 4 ; . . . ; - 1 1024 ; . . .

Ей соответствует последовательность значений функции:

f ( - 8 ) ; f ( - 4 ) ; f ( - 2 ) ; f ( - 1 ) ; f - 1 2 ; f - 1 4 ; . . . ; f - 1 1024 ; . . . = = - 1 8 ; - 1 4 ; - 1 2 ; - 1 ; - 2 ; - 4 ; . . . ; - 1024 ; . . .

Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой отрицательной, тогда lim x → 0 - 0 f ( x ) = lim x → 0 - 0 1 x = - ∞ .

Тепереь зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 справа. К примеру: 8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 1 2 ; 1 4 ; . . . ; 1 1024 ; . . . , и ей соответствует последовательность значений функции:

f ( 8 ) ; f ( 4 ) ; f ( 2 ) ; f ( 1 ) ; f 1 2 ; f 1 4 ; . . . ; f 1 1024 ; . . . = = 1 8 ; 1 4 ; 1 2 ; 1 ; 2 ; 4 ; . . . ; 1024 ; . . .

Эта последовательность - бесконечно большая положительная, а значит lim x → 0 + 0 f ( x ) = lim x → 0 + 0 1 x = + ∞ .

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

Непрерывность в математике — свойство отображения пространств, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

Непрерывность числовой функции — свойство, при котором малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывность множества действительных чисел — свойство системы действительных чисел, отличающее её от системы рациональных чисел, широко использующееся в аксиоматизациях действительных чисел.

НЕПРЕРЫ'ВНОСТЬ, и, мн. нет, ж. Отвлеч. сущ. к непрерывный.

Лит.: Дедекинд Р., Непрерывность и иррациональные числа, пер. с нем., 4 изд., Одесса, 1923; Кантор Г., Основы общего учения о многообразиях, [пер. с нем.], в кн.: Теория ассамблей. 1, СПБ, 1914 (Новые идеи в математике, сб. 6); Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М. — Л., 1948; Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. — Л., 1937; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .

Полезное

Смотреть что такое "Непрерывность" в других словарях:

непрерывность — непрерывность … Орфографический словарь-справочник

Непрерывность — способность системы функционировать с заданными рабочими характеристиками в течение определенного периода. Примечание. Непрерывность характеризуется соответствующей вероятностью. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

непрерывность — беспрерывность, непрестанность, беспрестанность, непрерывность; континуум, ежеминутность, постоянность, неизменность, неустанность, нескончаемость, сплошность, безустанность, перманентность, неумолчность, безостановочность, постоянство. Ant.… … Словарь синонимов

непрерывность — Способность системы функционировать без перерывов в обслуживании с заданными рабочими характеристиками. [Л.М. Невдяев. Телекоммуникационные технологии. Англо русский толковый словарь справочник. Под редакцией Ю.М. Горностаева. Москва, 2002]… … Справочник технического переводчика

НЕПРЕРЫВНОСТЬ — НЕПРЕРЫВНОСТЬ, непрерывности, мн. нет, жен. отвлеч. сущ. к непрерывный. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

непрерывность — НЕПРЕРШЫВНЫЙ, ая, ое; вен, вна. Не имеющий перерывов, промежутков. Н. поток. Н. стаж работы. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

НЕПРЕРЫВНОСТЬ — (continuity) Отсутствие внезапных скачков функции. Функция у=f(x) является непрерывной, если при изменении значения х на сколь угодно малую величину не происходит внезапных изменений значения у. Некоторые функции непрерывны при всех значениях х,… … Экономический словарь

Непрерывность — [continuity] общее понятие математики и кибернетики, не имеющее, по видимому, общепринятого определения. В математике непрерывная функция та, значения которой близки, если близки значения аргументов. Для кибернетики здесь важно, что при… … Экономико-математический словарь

Непрерывность — (в рекламе) стратегия и тактика, используемые для составления графика рекламирования на все время рекламной кампании … Реклама и полиграфия

Непрерывность — В математике Непрерывная функция Непрерывное множество Непрерывное отображение Непрерывность (философия) Непрерывность (юридическая) действующий принцип, согласно которому судебное заседание по каждому делу происходит непрерывно, кроме времени,… … Википедия

Приводятся определения и формулировки основных теорем и свойств непрерывной функции одной переменной. Рассмотрены свойства непрерывной функции в точке, на отрезке, предел и непрерывность сложной функции, классификация точек разрыва. Даны определения и теоремы, связанные с обратной функцией. Изложены свойства элементарных функций.

Определение непрерывности функции

Определение
Функция f ( x ) называется непрерывной в точке x ₀ , если она определена на некоторой окрестности этой точки, если существует предел при x стремящемся к x ₀ , и если этот предел равен значению функции в x ₀ :
.

Можно сформулировать понятие непрерывности в терминах приращений. Для этого мы вводим новую переменную , которая называется приращением переменной x в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
.
Введем новую функцию:
.
Ее называют приращением функции в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
.

Определение непрерывности справа (слева)
Функция f ( x ) называется непрерывной справа (слева) в точке x ₀ , если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x ₀ равен значению функции в x ₀ :
.

Свойства непрерывных в точке функций

Теорема об ограниченности непрерывной функции
Пусть функция f ( x ) непрерывна в точке x ₀ . Тогда существует такая окрестность U ( x ₀) , на которой функция ограничена.

Теорема о сохранении знака непрерывной функции
Пусть функция непрерывна в точке . И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
.
Тогда существует такая окрестность точки , на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
при .

Арифметические свойства непрерывных функций
Пусть функции и непрерывны в точке .
Тогда функции , и непрерывны в .
Если , то и функция непрерывна в точке .

Свойство непрерывности слева и справа
Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в справа и слева.

Непрерывность сложной функции

Теорема о непрерывности сложной функции
Пусть функция t = g ( x ) непрерывна в точке x ₀ . И пусть функция f ( t ) непрерывна в точке t ₀ = g ( x ₀) .
Тогда сложная функция f ( g ( x )) непрерывна в точке x ₀ .
Доказательство

Предел сложной функции

Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции t = g ( x ) при x → x ₀ , и он равен t ₀ :
.
Здесь точка x ₀ может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f ( t ) непрерывна в точке t ₀ .
Тогда существует предел сложной функции f ( g ( x )) , и он равен f ( t ₀) :
.
Доказательство

Теорема о пределе сложной функции
Пусть функции и имеют пределы:
;
.
И пусть существует такая проколотая окрестность точки , на которой
.
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.
Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Доказательство

Точки разрыва

Определение точки разрыва
Пусть функция определена на некоторой проколотой окрестности точки . Точка называется точкой разрыва функции , если выполняется одно из двух условий:
1) не определена в ;
2) определена в , но не является непрерывной ⇑ в этой точке.

Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.

Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.

Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .

Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва 1-го рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода
Точка называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение функции, непрерывной на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева ⇑ в точках a и b , соответственно.

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Определение достижимости максимума (минимума)
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве , если существует такой аргумент , для которого
для всех .

Определение достижимости верхней (нижней) грани
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве , если существует такой аргумент , для которого
.

Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.

Теорема Больцано – Коши о промежуточном значении
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и . Тогда существует точка , для которой
.

Следствие 1
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: или . Тогда существует точка , значение функции в которой равно нулю:
.

Следствие 2
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть . Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
при .

Обратные функции

Определение обратной функции
Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y . И пусть она обладает свойством:
для всех .
Тогда для любого элемента из множества Y можно поставить в соответствие только один элемент множества X , для которого . Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к . Обратная функция обозначается так:
.

Из определения следует, что
;
для всех ;
для всех .

Лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций
Если функция строго возрастает (убывает), то существует обратная функция , которая также строго возрастает (убывает).

Свойство о симметрии графиков прямой и обратной функций
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (строго убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (строго убывает).
Для возрастающей функции .
Для убывающей: .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (строго убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале . Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (строго убывает).
Для возрастающей функции .
Для убывающей: .

Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.

Свойства и непрерывность элементарных функций

Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. Далее мы приводим формулировки соответствующих теорем и даем ссылки на их доказательства.

Показательная функция

Показательная функция f ( x ) = a x , с основанием a > 0 – это предел последовательности
,
где есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x :
.

Теорема. Свойства показательной функции
Показательная функция имеет следующие свойства:
(П.0) определена, при , для всех ;
(П.1) при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(П.2) строго возрастает при , строго убывает при , является постоянной при ;
(П.3) ;
(П.3*) ;
(П.4) ;
(П.5) ;
(П.6) ;
(П.7) ;
(П.8) непрерывна для всех ;
(П.9) при ;

Логарифм

Логарифмическая функция, или логарифм, y = log _a x , с основанием a – это функция, обратная к показательной функции с основанием a .

Теорема. Свойства логарифма
Функция, y = log _a x , имеет следующие свойства:
(Л.1) определена и непрерывна, при и , для положительных значений аргумента, ;
(Л.2) имеет множество значений ;
(Л.3) строго возрастает при , строго убывает при ;
(Л.4) при ;

Экспонента и натуральный логарифм

В определениях показательной функции и логарифма фигурирует постоянная a , которая называется основанием степени или основанием логарифма. В математическом анализе, в подавляющем большинстве случаев, получаются более простые вычисления, если в качестве основания использовать число e :
.
Показательную функцию с основанием e называют экспонентой: , а логарифм по основанию e – натуральным логарифмом: .

Степенная функция

Степенная функция с показателем степени p – это функция f ( x ) = x p , значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p .
Кроме этого, f (0) = 0 p = 0 при p > 0 .

Теорема. Свойства степенной функции (x ≥ 0)
Степенная функция, y = x p , с показателем p имеет следующие свойства:
(С.1) определена и непрерывна на множестве
при ,
при ;
(С.2) имеет множество значений
при ,
при ;
(С.3) строго возрастает при ,
строго убывает при ;
(С.4) при ;

Тригонометрические функции

Теорема о непрерывности тригонометрических функций
Тригонометрические функции: синус ( sin x ), косинус ( cos x ), тангенс ( tg x ) и котангенс ( ctg x ), непрерывны на своих областях определения.

Теорема о непрерывности обратных тригонометрических функций
Обратные тригонометрические функции: арксинус ( arcsin x ), арккосинус ( arccos x ), арктангенс ( arctg x ) и арккотангенс ( arcctg x ), непрерывны на своих областях определения.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Приращением аргумента называют разность $$ \triangle x= x-x_0 $$ где x - произвольное число, которое мало отличается от начальной точки $x_0$. Приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным.
Приращением функции называют соответствующую разность $$ \triangle y=f(x)-f(x_0) $$ Приращение функции может быть как положительным, так и отрицательным.

п.2. Непрерывность функции в точке и на промежутке

Функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если в этой точке малому приращению аргумента $\triangle x=x-x_0$ соответствует малое приращение функции $\triangle y=f(x)-f(x_0)$: $$ \lim_\triangle y=\lim_\triangle y=0 $$

ε-δ определение непрерывности похоже на ε-δ определение предела функции, с той разницей, что модуль $|x-x_0|$ может быть равен 0 для непрерывной функции, т.е. сама точка $x_0$ входит в δ-окрестность.

Проанализируем предел приращения функции: \begin \lim_\triangle y= \lim_\left(f(x)-f(x_0)\right)= \lim_f(x)-\lim_f(x_0)=\\ =\lim_f(x)-f(x_0) \end т.к. $f(x_0)$ - величина постоянная и от $\triangle x$ не зависит.
Для непрерывной функции: $$ \lim_\triangle y =0 \Leftrightarrow \lim_f(x)-f(x_0)=0\Leftrightarrow \lim_f(x)=f(x_0) $$ Учитывая, что $\triangle x\rightarrow 0\Leftrightarrow x-x_0\rightarrow 0\Leftrightarrow x\rightarrow x_0$
получаем $\limf(x)=f(x_0).$

Функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в точке: $$ \limf(x)=f(x_0) $$

Все три представленных определения непрерывности функции в точке эквивалентны.
Существуют и другие эквивалентные определения. Мы дадим ещё одно из них дальше, в этом же параграфе.

п.3. Непрерывность функции на промежутке

Промежуток – это интервал, отрезок, луч и т.п. (см. §16 справочника для 8 класса).

Непрерывная функция

Кусочно-непрерывная функция

п.4. Односторонние пределы

Односторонний предел – это предел числовой функции при приближении к предельной точке с определенной стороны (слева или справа).
Обозначение односторонних пределов: \begin \lim_f(x)=a -\ \text\\ \lim_f(x)=b -\ \text \end

Рассмотрим гиперболу $y=\frac$.

У этой гиперболы две асимптоты $y=0$ и $x=2$.
Точка $x_0=2$ не входит в область определения.
Если мы будем приближаться к $x_0=2$ слева , начав, например с 1,5, мы будем постепенно опускаться по ветке гиперболы на минус бесконечность. Т.е., левый предел: $$ \lim_\frac=-\infty $$

Если же мы будем приближаться к $x_0=2$ справа , начав, например с 2,5, мы будем постепенно подниматься по ветке гиперболы на плюс бесконечность. Т.е., правый предел: $$ \lim_\frac=+\infty $$ Левый и правый пределы в точке $x_0=2$ для данной гиперболы не равны: $$ \lim_\frac \ne \lim_\frac $$

Теперь рассмотрим параболу $y=x^2-2$
Областью определения параболы является вся числовая прямая $x\in\mathbb$

В этом случае, если приближаться к $x_0=2$ слева , мы получаем: $$ \lim_(x^2-2)=2 $$ И если приближаться $x_0=2$ справа , мы тоже получаем: $$ \lim_(x^2-2)=2 $$ Левый и правый пределы равны: $$ \lim_(x^2-2) =\lim_(x^2-2) $$

Функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если одновременно выполняются следующие три условия:
1) точка $x_0$ принадлежит области определения функции $x\in D$;
2) левый и правый пределы в точке $x_0$ равны и конечны: $$ \lim_f(x) =\lim_f(x)=\lim_f(x)=a\ne\infty $$ 3) предел функции в точке $x_0$ равен значению функции в этой точке: $$ \lim_f(x)=f(x_0) $$

Это еще одно определение непрерывности, которым удобно пользоваться на практике.

п.5. Классификация точек разрыва

Точка $x_0$ будет точкой разрыва для функции $y=f(x)$, если выполняется хотя бы одно из условий:
1) точка $x_0$ не принадлежит области определения функции $x\notin D$;
2) левый и правый пределы в точке $x_0$ не равны или бесконечны: $$ \lim_f(x) \ne\lim_f(x)\ \text\ \lim_f(x) =\lim_f(x)=\pm\infty $$ 3) предел функции в точке $x_0$ не совпадает со значением функции в этой точке: $$ \lim_f(x)\ne f(x_0) $$

Точки разрыва	1-го рода Односторонние пределы существуют и конечны	Устранимые Односторонние пределы равны между собой, но не равны $f(x_0)$
		Неустранимые (скачок) Односторонние пределы не равны между собой
	2-го рода Хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует

п.6. Точки разрыва первого рода

Устранимые точки разрыва 1-го рода
Левый и правый пределы в точке $x_0$ равны и конечны: $$ \lim_f(x)=\lim_f(x)=\lim_f(x)=a\ne\infty $$ НО:
либо точка $x_0$ НЕ принадлежит области определения функции $x\notin D$;
либо предел НЕ равен значению функции в точке $x_0$: $\lim_f(x)\ne f(x_0)$

$y=\frac, x_0=2$
Эта функция эквивалентна системе $$ y=\frac \Leftrightarrow \begin y=x+2\\ x\ne 2 \end $$ При этом $\lim_(x+2)=\lim_(x+2)=4$
В точке $x_0=2\notin D$ функция имеет устранимый разрыв.

Неустранимые точки разрыва 2-го рода (скачок)
Левый и правый пределы в точке $x_0$ конечны, но не равны: $$ \begin \lim_f(x)=a\ne\infty\\ \lim_f(x)=b\ne\infty\\ a\ne b \end $$ Такой разрыв также называют скачком .
Величина скачка рассчитывается по формуле: $$ \triangle y=\lim_f(x)- \lim_f(x)=b-a $$

п.7. Точки разрыва второго рода

В точках разрыва 2-го рода хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.

$x_0=0\ne D$ - точка не входит в ОДЗ
Односторонние пределы: \begin \lim_e^\frac1x=e^>=e^<-\infty>=0\\ \lim_e^\frac1x=e^>=e^<+\infty>=+\infty \end Пределы не равны между собой, и один и них бесконечен.

п.8. Алгоритм исследования функции на непрерывность

На входе: функция $y=f(x)$
Шаг 1. Найти ОДЗ функции, определить точки и промежутки, не принадлежащие ОДЗ.
Шаг 2. Составить множество точек, в которое входят точки и границы промежутков, не принадлежащие ОДЗ, а также – для кусочно-непрерывных функций – точки сшивания. Полученное множество состоит из точек, подозрительных на разрыв.
Шаг 3. Исследовать каждую из точек, подозрительных на разрыв, с помощью односторонних пределов. Если разрыв обнаружен, определить тип разрыва.
На выходе: список точек разрыва и тип разрыва для каждой точки.

п.9. Примеры

Пример 1. Исследуйте функцию на непрерывность:
a) $ y=\frac $
ОДЗ: $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$
$x_0=1\notin D$ - точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.
Найдем односторонние пределы: \begin \lim_\frac=\frac=\frac=-\infty\\ \lim_\frac=\frac=\frac=+\infty \end Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка $x_0=1$ - точка разрыва 2-го рода.

б) $ y=\frac-2> $
ОДЗ: $ \begin x+2\geq 0\\ \sqrt-2\ne 0 \end \Rightarrow \begin x\geq -2\\ \sqrt\ne 2 \end \Rightarrow \begin x\geq -2\\ x\ne 2 \end $
$x_0=-2$ - левая граница ОДЗ
$x_1=2\notin D$- точка не входит в ОДЗ
Точки $x_0$ и $x_1$ - подозрительные на разрыв

Исследуем $x_0=-2$. Найдем односторонние пределы: \begin \lim_\frac-2> - \text\\ \lim_\frac-2>=\frac-2>=\frac=1 \end Один из односторонних пределов не существует.
Точка $x_0=-2$ - точка разрыва 2-го рода.

Исследуем $x_1=2$. Найдем односторонние пределы: \begin \lim_\frac-2> =\frac-2>=\frac=-\infty\\ \lim_\frac-2>=\frac-2>=\frac=+\infty \end Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка $x_1=2$ - точка разрыва 2-го рода.

в) $ y=\frac $
ОДЗ: $x\ne 0$
$x_0=0\notin D$- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв
Найдем односторонние пределы: \begin \lim_\frac=\frac13\lim_\frac=\frac13\cdot 1=\frac13\\ \lim_\frac=\frac13\lim_\frac=\frac13\cdot 1=\frac13 \end Односторонние пределы конечны и равны.
Точка $x_0=0$ - точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.

г) $ y= \begin x+1,\ x\lt 3\\ x^2+3,\ x\geq 3 \end $
ОДЗ: $x\in\mathbb$
$x_0=3$- точка сшивания, подозрительная на разрыв.
Найдем односторонние пределы: \begin \lim_y=\lim_(x+1)=3+1=4\\ \lim_y=\lim_(x^2+3)=3^2+3=12 \end Односторонние пределы конечны, но неравны.
Точка $x_0=3$ - точка разрыва 1-го рода, неустранимый разрыв (скачок).
Величина скачка: $\lim_y-\lim_y=12-4=8$

Пример 2. Доопределите функцию в точке разрыва так, чтобы она стала непрерывной в этой точке:
a) $ y=\frac $
ОДЗ: $x\ne 0$
$x_0=0\notin D$- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.
Упростим выражение: $\frac=\frac=\frac$ $$ y=\frac\Leftrightarrow y= \begin \frac\\ x\ne 0 \end $$ Найдем односторонние пределы: \begin \lim_\frac=0,\ \ \lim_\frac=0 \end Односторонние пределы конечны и равны.
Точка $x_0=0$ - точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.
Доопределить функцию нужно значением предела в точке разрыва: $y(0)=0$.
Доопределенная непрерывная функция: $$ y= \begin \frac,\ x\ne 0\\ 0,\ \ x=0 \end $$ б) $ y=\frac $
ОДЗ: $x\ne 0$
$x_0=0\notin D$- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.
Упростим выражение: $\frac=\frac=\frac>=8\left(\frac\right)^2$ $$ y=\frac\Leftrightarrow y= \begin 8\left(\frac\right)^2\\ x\ne 0 \end $$ Найдем односторонние пределы: \begin \lim_8\left(\frac\right)^2=8\cdot 1=8,\ \ \lim_8\left(\frac\right)^2=8\cdot 1=8 \end Односторонние пределы конечны и равны.
Точка $x_0=0$ - точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.
Доопределить функцию нужно значением предела в точке разрыва: $y(0)=8$.
Доопределенная непрерывная функция: $$ y= \begin \frac,\ x\ne 0\\ 8,\ \ x=0 \end $$

Читайте также: