Сообщение на темы условие равновесия системы пар сил сложение пар
Обновлено: 08.07.2024
, называется плечом силы относительно центра О. Так как точку приложения силы можно произвольно перемещать вдоль линии действия, то, очевидно, вращательный эффект силы будет зависеть:
1) от модуля силы F и длины плеча h;
2) от положения плоскости поворота ОАВ, проходящей через центр О и силу F;
3) от направления поворота к этой плоскости.
Рис.1. Сила, приложенная к телу
Ограничимся пока рассмотрением систем сил, лежащих в одной плоскости. В этом случае плоскость поворота для всех сил является общей и в дополнительном задании не нуждается.
Тогда для количественного измерения вращательного эффекта можно ввести следующее понятие о моменте силы: моментом силы относительно центра О называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на длину плеча.
Момент силы относительно центра О будем обозначать M.
Следовательно, М= ±Fh. Единицы измерения в системе СИ : Н·м,
Правило знаков для момента силы: момент пары сил будем считать положительным, если пара стремиться повернуть тело по направлению хода часовой стрелки, и отрицательным, если пара сил стремится вращать тело против хода часовой стрелки.
Отметим следующие свойства момента силы:
1) Момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия.
2) Момент силы относительно центра О равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр О (плечо равно нулю).
3) Момент силы численно выражается удвоенной площадью треугольника ОАВ (рис. 1)
§2.Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
Докажем следующую теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра.
Рассмотрим систему сил (F, F 1 ), образующих пару.
Пара сил вызывает вращение тела, и ее действие на тело оценивается моментом.
Силы, входящие в пару, не уравновешиваются, т. к. они приложены к двум точкам . Их действие на тело не может быть заменено одной силой (равнодействующей).
Момент пары сил численно равен произведению модуля силы на расстояние между линиями действия сил (плечо пары).
Момент считают положительным, если пара вращает тело по часовой стрелке : M(F; F') = Fa; М > 0.
Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью действия пары.
Свойства пар:
Пару сил можно перемещать в плоскости ее действия.
Эквивалентность пар. Две пары, моменты которых равны, эквивалентны (действие их на тело аналогично).
Сложение пар сил. Систему пар сил можно заменить равнодействующей парой.
Момент равнодействующей пары равен алгебраической сумме моментов пар, составляющих систему:
Для равновесия пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов пар системы равнялась нулю:
Пара сил. Теорема о сумме моментов пары сил. Теорема об эквивалентности пар сил. Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость. Теорема о сложении пар сил. Условия равновесия пар сил. эквивалентность сила равновесие плоскость
Условия равновесия тел
Статикой называется раздел механики, изучающий условия равновесия тел.
Из второго закона Ньютона следует, что если геометрическая сумма всех внешних сил, приложенных к телу, равна нулю, то тело находится в состоянии покоя или совершает равномерное прямолинейное движение. В этом случае принято говорить, что силы, приложенные к телу, уравновешивают друг друга. При вычислении равнодействующей все силы, действующие на тело, можно прикладывать к центру масс.
Чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, приложенных к телу, была равна нулю.
или
Если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия недостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил.
Вращающее действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния между линией действия силы и осью вращения.
Длина перпендикуляра, проведенного от оси вращения до линии действия силы, называется плечом силы.
Произведение модуля силы на плечо d называется моментом силы M. Положительными считаются моменты тех сил, которые стремятся повернуть тело против часовой стрелки (рис. 1.14.2).
Правило моментов : тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:
Состояние равновесия называется устойчивым, если при малых отклонениях тела от этого состояния возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в равновесное состояние.
При малом отклонении тела из состояния неустойчивого равновесия возникают силы или моменты сил, стремящиеся удалить тело от положения равновесия.
Таким образом, изучив данную тему. Мы поняли, что для общего случая произвольную пространственную систему сил, для них получены условия равновесия в виде соотношений. Узнали формлы и дествия сил на объекты.
Теоретическая механика. Статика:
Контакты
Содержание
Система пар сил, приложенных к ТТ, будет уравновешена, если момент результирующей пары равен нулю.
Таким образом, из соотношений системы пар следуют:
условия равновесия системы пар:
Необходимым и достаточным условием равновесия системы пар в пространстве является равенство нулю геометрической суммы вектор-моментов слагаемых пар:
$$\sum_^\vec=0$$
Необходимым и достаточным условием равновесия системы пар на плоскости является равенство нулю алгебраической суммы моментов слагаемых пар:
$$\sum_^M_i=0$$
Условие 1 имеет геометрическую интерпретацию и означает замкнутость многоугольника, образованного из векторов моментов пар.
Пример 1
Определить опорные реакции рамы, загруженной системой пар (Рис.1).
Решение
Из условия равновесия систем пар 2 следует, что активную пару MR , приложенную к раме, может уравновесить только пара сил, образованных опорными реакциями, поэтому линия действия RA должна быть параллельной RВ и $M_R + M(R_A, R_В) = 0$ , откуда $R_A = R_В = \frac$ , где $d = 6\cdot\cos30^ = 3\sqrt$м – плечо пары $(R_A, R_В)$.
Инструменты страницы
Записаться на занятия
Записаться на занятия к репетитору
Система сил, действующих на плоскости, называется плоской системой сил. Особенностью плоской системы сил заключается в том, что линии действия этих сил уже не пересекаются в одной точке.
Одним из важнейших понятий плоской системы сил является понятие пары сил.
Парой сил называется система двух, равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.
Пара сил может быть обозначена как . Плечом пары сил называется длина перпендикуляра, проведенного к линиям действия сил, составляющих пару.
Согласно аксиоме №1 пара сил не находится в равновесии и не имеет равнодействующую.
Момент пары сил. Моментом пары сил является сумма моментов сил составляющих пару относительно произвольного центра .
Вычисление алгебраического момента пары сил. Для вычисления алгебраического момента пары сил, удобно воспользоваться результатом следующей теоремы.
Теорема. Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любого центра, лежащего в плоскости действия пары сил не зависит от выбора этого центра. Момент пары сил равен произведению одной из сил, составляющих пару на плечо пары.
Доказательство.
Пусть в плоскости действует пара сил, как показано на рис.С.24.
Обозначим плечо силы относительно центра буквой . Тогда плечо силы относительно центра будет равно величине , где является плечом пары сил.
Тогда, согласно определению алгебраического момента пары сил и в соответствии с правилом знаков для момента силы относительно центра можно записать
Таким образом, алгебраический момент пары сил не зависит от расстояния до центра и равен произведению модуля силы на плечо пары.
Что и требовалось доказать.
В дальнейшем необходимо рассмотреть следующие теоремы, выражающие основные свойства пар сил и устанавливающие условие эквивалентности двух пар сил.
Теорема. Две пары сил, лежащие в одной плоскости и имеющие численно равные моменты и одинаковое направление вращения, эквивалентны.
Доказательство.
Пусть на абсолютно твердое тело действует пара сил , причем . Будем считать, что сила приложена в точке , а сила приложена в точке (рис.С.25).
Доказательство теоремы проведем в несколько этапов.
1. Проведем прямую линию , соединяющую точки и , а также параллельные прямые и , являющиеся линиями действия сил и .
2. Проведем две произвольные параллельные прямые и , проходящие соответственно через точки и .
3. Разложим силу по направлениям , а силу по направлениям (рис.С.26).
4. Согласно теореме Вариньона
Причем , так как линия действия силы (линия ) проходит через точку .
Аналогичным образом получаем, что .
Из последних формул следует, что момент пары сил эквивалентен моменту пары сил . Что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы вытекают два важных следствия.
Следствие 1. У данной пары сил, не изменяя оказываемого действия, можно менять величину и направление сил, а также длину плеча, сохраняя при этом величину момента силы.
Следствие 2. Данную пару сил, не изменяя оказываемого действия, можно переносить куда угодно в плоскости действия пары. Следовательно, действие пары на тело не зависит от положения пары в ее плоскости. Таким образом, момент пары является свободным вектором!
Теперь необходимо разобраться со следующей важной проблемой. Можно ли, не меняя оказываемого действия, переносить силу, приложенную к заданной точке абсолютно твердого тела параллельно самой себе в любую другую точку ?
Читайте также: