Пять правильных многогранников сообщение

Обновлено: 03.05.2024

Многогранник является правильным, если все его грани - одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы одинаковы (таков, к примеру, куб ).

Из этой формулировки получаем, что в правильных многогранниках одинаковы все плоские углы, все двугранные углы и все ребра.

Чтобы конкретизировать, какие правильные многоугольники могут выступить гранями правильных многогранников, примем во внимание, что во многогранном угле наименьшее число граней три и что сумма всех плоских углов меньше 4d (d = 90 0 )

Всякий угол правильного треугольника равен 2 /₃ d .Если повторим 2 /₃ d слагаемым 3 раза, 4 раза и 5 раз, то в результате будет сумма , меньшие 4d. А если повторим 2 /₃ d слагаемым 6 раз и более, то в результате получим сумму 4d и более. По этой причине из плоских углов, равных углам правильного треугольника есть возможность сформировать многогранные углы исключительно трех видов: трехгранные, четырехгранные и пятигранные.

Угол квадрата равен d, а угол правильного пятиугольника равен 6 /₅ d. Повторяя эти углы слагаемым 3 раза, в результате получаем суммы меньшие 4d, а повторяя 4 раза или более, имеем 4d и более. По этой причине из плоских углов, равных углам квадрата или правильного пятиугольника, можно сформировать исключительно трехгранные углы.

Угол правильного шестиугольника равен 4 /₃ d . Соответственно, из таких углов нельзя сформировать даже трехгранного угла. Из углов правильных многоугольников, имеющих более 6-ти сторон, тем более, не получится сформировать ни единого многогранного угла.

Из приведенного выше можно сделать вывод, что правильных многогранников существует только пять:

1. Правильный четырехгранник (или тетраэдр), поверхность которого сформирована из 4-х правильных треугольников.

3. Правильный двадцатигранник (или икосаэдр), сформированый 20-тью правильными треугольниками.

4. Правильный шестигранник (или эксаэдр), сформированый 6-тью квадратами.

5. Правильный двенадцатигранник (или додекаэдр), сформированый 12-тью правильными пятиугольниками.

Именем Древнегреческого ученого - Платона названа группа из пяти геометрических тел. Пять многогранников, которые математики называют - правильные, мы чаще всего в обычной речи называем - Платоновы тела.

Сначала разберемся, что же это за пять геометрических предметов или, в терминологии математиков, геометрических тел.

Это весьма легко запомнить. Стороны правильных многогранников являются правильными многоугольниками. А правильные многоугольники это те у которых, в свою очередь, равны все стороны (например: треугольник, квадрат) и равны углы между соседними сторонами. Причина возникновения слова правильные именно в этом.

Вероятнее всего Древнегреческий ученый Платон не имеет отношения к открытию этих замечательных многогранников.

Но у Платона был другой дар. В современном мире можно было бы назвать Платона популяризатором правильных многогранников. Наибольший вклад Платон сделал именно в том, что рассказал людям о существовании таких предметов как правильные многогранники.

И, возможно, если бы просто рассказал, то большинство бы быстро забыло о них. Платон же наделил эти, казалось бы, простые предметы невероятной силой, мистическим смыслом и возвел на вершину своего учения.

В попытке объяснить природу всего сущего Платон посчитал пять правильных многогранников первоосновами для строения каждой из стихий:

- огонь - соотносился с тетраэдром;
- воздух – соотносился с октаэдром;
- земля – соотносилась с гексаэдром;
- вода – с икосаэдром;
- а додекаэдр - соответствовал Вселенной.

Летописцы тех времен всё подробно записали и, в результате, получился целый научный трактат, как для современников Платона, так и для всех последующих поколений.

Именно сила философии Платона и мистические постулаты закрепились в умах обычных людей. И что же дальше? А дальше люди уже неразрывно связывают эти многогранниками с идеями Платона. И, в какой то момент, так и говорят об пяти правильных многогранниках, как о многогранниках Платона .

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.
Рассмотрим возможные правильные многогранники и прежде всего те из них, гранями которых являются правильные треугольники. Наиболее простым таким правильным многогранником является треугольная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники (рис. 1,а). В каждой ее вершине сходится по три грани. Имея всего четыре грани, этот многогранник называется также тетраэдром, что в переводе с греческого языка означает четырехгранник.

Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, и в каждой вершине сходится четыре грани, изображен на рисунке 1,в. Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников, поэтому он называется октаэдром.
Многогранник, в каждой вершине которого сходится пять правильных треугольников, изображен на рисунке 1,г. Его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников, поэтому он называется икосаэдром.
Заметим, что поскольку в вершинах выпуклого многогранника не может сходиться более пяти правильных треугольников, то других правильных многогранников, гранями которых являются правильные треугольники, не существует.
Аналогично, поскольку в вершинах выпуклого многогранника может сходиться только три квадрата, то, кроме куба (рис. 1,б), других правильных многогранников, у которых гранями являются квадраты не существует. Куб имеет шесть граней и поэтому называется также гексаэдром.
Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники, и в каждой вершине сходится три грани, изображен на рисунке 1,д. Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников, поэтому он называется додекаэдром.
Поскольку в вершинах выпуклого многогранника не могут сходиться правильные многоугольники с числом сторон больше пяти, то, используя теорему Коши о жесткости выпуклого многогранника, получаем, что других правильных многогранников не существует, и таким образом, имеется только пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
Рассмотрим понятие правильного многогранника с точки зрения топологии науки, изучающей свойства фигур, не зависящих от различных деформаций без разрывов. С этой точки зрения, например, все треугольники эквивалентны, так как один треугольник всегда может быть получен из любого другого соответствующим сжатием или растяжением сторон. Вообще все многоугольники с одинаковым числом сторон эквивалентны по той же причине.
Как в такой ситуации определить понятие топологически правильного многогранника? Иначе говоря, какие свойства в определении правильного многогранника являются топологически устойчивыми и их следует оставить, а какие не являются топологически устойчивыми и их следует отбросить.
В определении правильного многогранника количество сторон и количество граней являются топологически устойчивыми, т.е. не меняющимися при непрерывных деформациях. Правильность же многоугольников не является топологически устойчивым свойством. Таким образом, мы приходим к следующему определению.
Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.
Например, все треугольные пирамиды являются топологически правильными многогранниками, эквивалентными между собой. Все параллелепипеды также являются эквивалентными между собой топологически правильными многогранниками. Четырехугольные пирамиды не являются топологически правильными многогранниками.
Выясним вопрос о том, сколько существует не эквивалентных между собой топологически правильных многогранников.
Как мы знаем, существует только пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Казалось бы, топологически правильных многогранников должно быть гораздо больше. Однако оказывается, что никаких других топологически правильных многогранников, не эквивалентных уже известным правильным, не существует.
Для доказательства этого воспользуемся теоремой Эйлера. Пусть дан топологически правильный многогранник, гранями которого являются n - угольники, и в каждой вершине сходится m ребер. Ясно, что n и m больше или равны трем. Обозначим, как и раньше, В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней этого многогранника. Тогда

n Г = 2P; Г =; mB = 2P; В = .

По теореме Эйлера, В - Р + Г = 2 и, следовательно,

Откуда Р = .
Из полученного равенства, в частности, следует, что должно выполняться неравенство 2n + 2m – nm > 0, которое эквивалентно неравенству (n – 2)(m – 2)
Найдем всевозможные значения n и m, удовлетворяющие найденному неравенству, и заполним следующую таблицу

Среди многогранников особо выделяет 5 пространственных фигур, которые называются правильными многогранниками.

План урока:

Понятие правильного многогранника

Ранее мы уже рассматривали такой выпуклый многогранник, как куб. Легко заметить, что каждая грань куба – это квадрат, то есть правильный многоугольник. Более того, все грани куба одинаковы, а из каждой вершины исходит одинаковое количество ребер (по три ребра).

Однако куб – не единственная фигура, обладающая такими свойствами. Так же нам знаком правильный тетраэдр. У него каждая грань – это равносторонний треугольник (а это правильный многоуг-к), а из каждой вершины также выходит по 3 ребра тетраэдра.

И куб, и правильный тетраэдр являются примерами так называемых правильных многогранников. Дадим определение понятию правильного многогранника:

Иногда правильные многогранники именуют иначе – платоновыми телами. Дело в том, что древнегреческий философ Платон использовал их в своей философии, однако огромный вклад в их исследование внес другой ученый – Теэтет Афинский.

Ясно, что все ребра правильных многогранников имеют одинаковую длину. Можно доказать, что и двугранные углы, образованные смежными гранями таких многогранников, также одинаковы.

Пять правильных многогранников

Вероятно, куб и правильный тетраэдр являются первыми правильными многогранниками, открытыми человечеством. Уже во времена Пифагора люди знали и о третьем правильном многограннике – октаэдре. Каждая его грань – это равносторонний треуг-к, но, в отличие от тетраэдра, из каждой его вершины исходит уже не три, а четыре ребра. Выглядит правильный октаэдр так:

Следующие два правильных многогранника как раз и были открыты Теэтетем Афинским. Это икосаэдр и додекаэдр. Икосаэдр также состоит из равносторонних треуг-ков, но каждая его вершина принадлежит сразу 5 ребрам.Правильный икосаэдр довольно сложно нарисовать на плоскости, поэтому его внешний вид мы покажем с помощью анимации:

Гранями додекаэдра являются правильные пятиугольники, причем в каждой его вершине соприкасаются ровно 3 грани, и, соответственно, сходятся 3 ребра. Нарисовать правильный додекаэдр ещё тяжелее, поэтому снова посмотрим на него с помощью gif-анимации:

Для подсчета количества ребер, граней и вершин у додекаэдра и икосаэдра можно применить теорему Эйлера. Начнем с икосаэдра. Обозначим количество его граней буквой Г. Теперь подсчитаем ребра (Р), принадлежащие каждой грани. Так как эти грани являются треуг-ками, то получится 3Г ребер. Но при этом каждое ребро мы посчитали дважды, ведь ребра принадлежат строго двум граням. То есть у икосаэдра количество ребер равно 3Г/2 = 1,5Г.

Также подсчитаем и вершины (В), находящиеся вокруг граней. На каждую грань приходится 3 вершины, но при этом каждая вершины принадлежит уже 5 граням. Тогда общее количество вершин составит 3Г/5 = 0,6Г.

Записываем теорему Эйлера и подставляем в ней полученные значения:

Теперь проведем аналогичные расчеты для додекаэдра. Его грани – пятиугольники, поэтому количество его ребер составляет 5Г/2. В каждой вершине додекаэдра сходятся три грани, а потому количество вершин составит 5Г/3. Используем теорему Эйлера:

Теперь составим таблицу, в которой отразим основные сведения о пяти известным нам правильных многогранниках:

Возникает вопрос – существуют ли ещё какие-нибудь правильные многогранники? Оказывается, что нет. Действительно, каждая вершина правильного многогранника является одновременно и вершиной многогранного угла. Напомним, что сумма плоских углов в многогранном угле всегда меньше 360°. Легко подсчитать, что в правильном шестиугольнике каждый угол составляет 120°, а в многоуг-ках с большим количеством сторон (семиугольник, восьмиугольник…) этот угол ещё больше. Это значит, что если трехгранный угол образован тремя шестигранниками, то сумма его плоских углов составит ровно 120°•3 = 360°, что невозможно. Также невозможно, чтобы трехгранный угол и любой другой многогранный угол был образован правильными семиугольниками, восьмиугольниками и т. д. То есть грани правильного многогранника могут быть исключительно треуг-ками, четырехуг-ками или пятиугольниками.

Рассмотрим случай, когда грани – это треуг-ки. У равностороннего треуг-ка угол составляет 60°. У тетраэдра в вершине смыкаются 3 грани, у октаэдра – 4 грани, а у икосаэдра – 5 граней. А 6 треуг-ков уже не могут образовать многогранный угол, ведь сумма углов составит 6•60° = 360°.

Теперь рассмотрим случай с четырехуг-ком. Правильный четырехуг-к – это квадрат с углом 90°. Варианту с 3 смыкающимися квадратами соответствует куб, а 4 квадрата уже не образуют многогранный угол, ведь сумма углов снова составит 4•90° = 360°.

Остался случай с пятиугольником. У правильного пятиугольника угол равен 108°. Значит, 4 таких фигуры не смогут сомкнуться и образовать многогранный угол, а варианту с тремя пятиугольниками соответствует додекаэдр.

Итак, мы рассмотрели все возможные варианты, и оказалось, что никаких других правильных многогранников, кроме пяти описанных, существовать не может, ч. т. д. Отметим также, что этот факт можно доказать и без применения свойства многогранного угла, используя только теорему Эйлера.

Задачи на правильные многогранники

Задание. Центры смежных граней куба со стороной, равной единице, соединили отрезками. Докажите, что получившийся в результате этого многогранник – это октаэдр, и найдите длину его стороны.

Решение. Грани куба – это квадраты. Напомним, что у любого правильного многоуг-ка, в том числе и квадрата, можно опустить из центра перпендикуляры на стороны, которые будут радиусами вписанной окружности. Все эти радиусы будут иметь одну и ту же длину, при этом они будут падать на середины сторон многоуг-ка. При этом у квадрата радиус вписанной окружности будет вдвое меньше стороны квадрата. В частности, у рассматриваемого куба перпендикуляры, опущенные на середины ребер, будут иметь длину 1:2 = 0,5:

Теперь возьмем любые два центра смежных граней А и В и опустим из них перпендикуляры на ребро, по которому эти грани пересекаются. Перпендикуляры упадут в одну точку – середину ребра Н:

В результате мы получили прямоугольный ∆АВН. Найдем длину его гипотенузы АВ:

Так как мы выбрали центры смежных граней произвольно, то ясно, что расстояние между любыми двумя другими вершинами многогранника, вписанного в куб, будет иметь такую же длину. Тогда каждая его грань оказывается равносторонним треуг-ком. В каждой вершине смыкается 4 ребра, поэтому многогранник оказывается октаэдром.

Задание. Вычислите площадь поверхности икосаэдра, если его ребро имеет длину 1.

Решение. Найдем площадь одной грани икосаэдра. Она представляет собой равносторонний треуг-к со стороной 1. Удобно вычислить его площадь по формуле Герона. Сначала найдем полупериметр треуг-ка:

Задание. Найдите двугранный угол, который образуют грани правильного тетраэдра

Решение. Обозначим вершины тетраэдра буквами А, В, С и D. Далее соединим середину ребра АС, обозначенную как М, с вершинами B и D:

Так как М – середина АС, то ВМ и DM будут медианами ∆АВС и ∆ADC. Но эти треуг-ки равносторонние, поэтому ВМ и DM ещё и высоты. То есть ВМ⊥АС и DM⊥АС. Тогда по определению ∠DMB и будет плоским углом двугранного угла, то есть его как раз и надо вычислить. Предварительно обозначим длину грани тетраэдра буквой а.

∠ВАС составляет 60° как угол равностороннего ∆АВС. Тогда ВМ можно найти из прямоугольного ∆АВМ:

Аналогично из ∆DMC получаем, что и DM имеет такую же длину.

Теперь используем теорему косинусов для ∆BDM:

Задание. Вычислите двугранный угол, который образуют смежные грани октаэдра

Решение. Мы уже говорили, что октаэдр состоит из двух правильных четырехугольных пирамид с общим основанием. Поэтому нам надо просто найти двугранный угол между двумя боковыми гранями такой пирамиды:

Для этого на ребре АЕ отметим середину М и соединим ее с вершинами B и D. Как и в предыдущей задаче с тетраэдром, ВМ и МD окажутся медианами и высотами в равносторонних ∆АЕВ и ∆АЕD, а потому ∠ВМD является искомым.

Обозначим сторону октаэдра буквой а. Тогда длина ВМ и МD, медиан в равносторонних треуг-ках будет такой же, как и в предыдущей задаче:

Задание. Вычислите двугранный угол, образованный смежными гранями додекаэдра

Решение. Нет необходимости строить весь додекаэдр для решения задачи. Построим только трехгранный угол, образованный ребрами, выходящими из одной вершины. То есть нам достаточно рассмотреть только область, выделенную на додекаэдре красным цветом:

Каждый плоский угол такого трехгранного угла будет равен углу правильного пятиугольника, который в свою очередь рассчитывается так:

Итак, надо найти двугранный угол между гранями ADC и ADB. Они пересекаются по прямой AD. Опустим из В и С перпендикуляры на AD. ∆ABD и ∆ADC равны, ведь у них есть одинаковый угол 108°, сторона AD– общая, а BD и DC одинаковы как ребра правильного многогранника. Это значит, что перпендикуляры на AD упадут в одну точку, которую мы обозначим как H. Нам надо вычислить ∠BНС.Обратите внимание, что так как ∆ABD и ∆ADC тупоугольные, то точка Н будет находиться не на отрезке AD, а на его продолжении.

Обозначим длину ребра додекаэдра буквой а. Мы можем найти ∠HDC:

Примечание. Здесь мы использовали одну из тригонометрических формул приведения.

Аналогично из ∆BHD получаем, что BH имеет такую же длину. Теперь из ∆BDC вычисляем величину ВС 2 :

Задание. Вычислите площадь поверхность додекаэдра, если его ребро имеет длину 1

Решение. Каждая грань додекаэдра – правильный пятиугольник. Для нахождения его площади используем уже известные нам формулы для правильных многоугольников:

Здесь n – число сторон у многоуг-ка, Р – его периметр, S – площадь, a_n – длина стороны, R и r – радиусы соответственно описанной и вписанной окружности. По условию

Теперь вспомним, что у додекаэдра 12 граней. Значит, площадь всей его поверхности будет в 12 раз больше:

Сегодня мы познакомились с особыми телами – правильными многогранниками. Важно запомнить, что существует всего 5 типов правильных многогранников. Эти фигуры встречаются не только в геометрии, но и в других науках. Например, атомы в никеле и меди могут выстраиваться в форме октаэдра, а оболочки некоторых вирусов похожи на икосаэдр. Правильные многогранники могут использоваться в настольных играх в качестве игральных костей. Чаще всего применяются кости в виде куба, но встречаются кости в виде додекаэдра и икосаэдра.

Читайте также: