Обзор численных методов применяемых при решении задач строительства реферат

Обновлено: 02.07.2024

Современный этап развития строительной механики, в том числе при определении напряженно-деформированного состояния (НДС) строительных конструкций, связан с широким использованием численных методов. Прогресс в компьютерной индустрии и вычислительной математике, продолжающийся в последние десятилетия, обусловил изменение соотношения аналитических, экспериментальных (модельных и натурных) и численных подходов к анализу сложных конструкций, зданий и сооружений. Практика выдвигает на передний план задачи многовариантных исследований двумерных и трехмерных систем, адекватное решение которых иногда возможно только численным путем. Как правило, найти замкнутое аналитическое решение для большинства проблем не представляется возможным, а экспериментальные исследования часто оказываются весьма дорогостоящими, а порой и неполными. Этим, в частности, и объясняется превалирование численных методов, имеющее место как в отечественной, так и в зарубежной расчетной практике. В принципе, на всех этапах изучения НДС сооружения и математическая теория, и исследования аналитическими и экспериментальными методами, и численный расчет должны применяться совместно.

В настоящее время появляются предпосылки для расширения доли аналитических подходов. Достигнутый в начале XXI века уровень мощности ЭВМ и существующий инструментарий аналитических математических средств в сочетании с разнообразием математических моделей позволяют поставить на повестку дня задачи разработки и исследования так называемых численно-аналитических, или (по терминологии О.Зенкевича) полуаналитических методов. О преимуществах сочетания качественных свойств замкнутых решений и общности численных методов говорилось и прежде, но многие из таких разработок либо были практически нереализуемыми из-за отсутствия по крайней мере одного из перечисленных факторов, либо не учитывали вычислительную специфику и необходимость последующей компьютерной реализации. Полуаналитические методы позволяют получать решения в аналитической форме, способствующей повышению качества исследования рассматриваемых объектов. Найденная с их помощью картина НДС развивает интуицию расчетчика и понимание им работы конструкций, характера влияния на них различных локальных и глобальных факторов. Полуаналитические подходы особенно эффективны в зонах так называемого краевого эффекта, который возникает в результате сосредоточенных воздействий на краях конструкции и/или в промежуточных зонах, ибо при этом часть составляющих решения представляет собой быстроменяющиеся функции, скорость изменения которых не всегда может быть адекватно учтена при использовании традиционных численных методов. Кроме того, при численном решении сложных задач строительной механики предварительное аналитическое изучение отдельных локальных свойств проблемы может принести значительную пользу. Сравнение с аналитическими решениями сложной задачи в более простых и частных случаях позволяет дать оценку принятой расчетной схемы конструкции, используемого метода, алгоритма и полученного решения, в частности его точности.

Учитывая вышеизложенное, актуальным вопросом является разработка и исследование так называемых дискретно-континуальных методов расчета строительных конструкций, зданий и сооружений. (Следует отметить, что понятие дискретно-континуальной системы в отношении строительных задач было введено В.З.Власовым.) Эта группа полуаналитических методов применяется для конструкций, зданий и сооружений, которые обладают постоянными физико-геометрическими характеристиками по одному из координатных направлений при произвольно меняющихся внешних нагрузках и любом характере закреплений (балки, балки-стенки, тонкостенные стрежни, полосы, длинные фундаменты, плиты, пластины, оболочки, высотные и протяженные здания, трубопроводы, плотины, рельсы, резервуары и т.д.). Разработанные авторами и представленные в настоящей статье методы являются дискретно-континуальными в том смысле, что по направлению постоянства характеристик (а это основное направление) сохраняется континуальный характер задачи и, следовательно, аналитический вид получаемого решения, в то время как по остальным направлениям производится дискретизация того или иного рода.

Дискретно-континуальный метод конечных элементов

Дискретно-континуальный метод конечных элементов (ДКМКЭ) основывается на том, что решение задачи расчета конструкции, здания или сооружения с постоянными физико-геометрическими характеристиками по одному из направлений в рамках метода конечных элементов (МКЭ) может быть получено в аналитической форме вдоль данного направления (рис. 1).

Преимуществами ДКМКЭ являются понижение размерности при численном решении, отсутствие практических ограничений на длину объектов по основному направлению и эффективность в зонах краевого эффекта. После формулировки операторных и вариационных постановок краевых задач с привлечением метода расширенной области на этапе численной реализации ДКМКЭ рассчитываемая конструкция разбивается на дискретно-континуальные конечные элементы (ДККЭ) (рис. 2).

Дискретно-континуальный метод граничных элементов

В основе дискретно-континуального метода граничных элементов (ДКМГЭ) лежат граничные псевдодифференциальные уравнения. Соответствующие псевдодифференциальные операторы аппроксимируются дискретно с привлечением анализа Фурье или вейвлет-анализа. Преимущества ДКМГЭ перед другими методами численного моделирования заключаются в двукратном понижении размерности задачи (поскольку дискретизации подвергается не вся расчетная область, а только граница ее поперечного сечения, то решается, по сути, одномерная задача и задается лишь шаг по контуру), в возможности проведения детального анализа отдельных зон, в упрощенном этапе подготовки данных, в алгоритмической простоте и высокой степени универсальности. Разработаны два варианта ДКМГЭ непрямой и прямой, причем непрямой вариант, как и в стандартном методе граничных элементов, применяется несколько шире прямого. На стадии численной реализации граница изучаемого объекта аппроксимируется ансамблем дискретно-континуальных граничных элементов (рис. 3).

Дискретно-континуальный вариационно-разностный метод

Дискретно-континуальный вариационно-разностный метод (ДКВРМ) позволяет сочетать простоту и наглядность конечно-разностных методов с преимуществами вариационной постановки (меньший порядок производных и автоматическое удовлетворение решения основным (естественным) граничным условиям), с одной стороны, и очевидные достоинства аналитического решения с другой.

Использование ДКВРМ позволяет сравнительно просто получить дискретную операторную формулировку задачи по направлениям сеточной аппроксимации, внешне повторяющую ее исходную постановку. ДКВРМ используется как для получения непосредственного решения задачи, так и для сопоставления с результатами, полученными по ДКМКЭ. В рамках ДКВРМ конструкция разбивается на дискретно-континуальные сеточные элементы (рис. 4).

Многоточечные краевые задачи строительной механики

Разработанные дискретно-континуальные методы расчета строительных конструкций, зданий и сооружений сводятся на промежуточном этапе к решению многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Под многоточечной краевой задачей понимается задача с внутренними граничными условиями, то есть здесь имеется в виду совокупность обычных краевых задач, рассматриваемых на областях, имеющих общие границы. Характерная для строительных задач жесткость системы, обусловленная явлением краевого эффекта, наличие у матрицы коэффициентов собственных значений разных знаков, присутствие в разложении Жордана клеток неединичного порядка и большой порядок систем дифференциальных уравнений (несколько тысяч) все это приводит к значительным трудностям при практической реализации как аналитических, так и численных методов. Например, метод начальных параметров чаще всего неприменим к изучаемым задачам, а методы прогонки не являются аналитическими. Разработанная нами методика преодолевает вышеуказанные осложняющие факторы, сохраняя аналитический характер решения и используя аппарат обобщенных функций.

Программные реализации дискретно-континуальных методов

Разработанные дискретно-континуальные методы расчета строительных конструкций положены в основу соответствующих комплексов программ: DCFEM 2D/3D (для ДКМКЭ), DCBEM 2D/3D (для ДКМГЭ) и DCVDM 2D/3D (для ДКВРМ). Построенные программы могут использоваться на ПЭВМ с процессорами Intel Pentium III/4 или AMD Athlon XP/MP (имеются соответствующие оптимизированные версии исполнительных модулей). Рекомендуемый объем оперативной памяти 512 Mбайт и более. На жестком диске требуется около 500 Mбайт свободного пространства. Поддерживаются операционные системы Microsoft Windows 95/98/2000/XP/2003 Server. При написании текущих версий вычислительных модулей комплексов использовались язык программирования FORTRAN стандарта FORTRAN-90/95, среда Compaq Visual Fortran 6.6B и компилятор Intel Fortran Compiler 7.0.

Тестовые примеры. Сопоставление с программными комплексами СТАДИО 2003 и Ansys/CivilFEM

На основе разработанных методов и программных комплексов определен представительный набор модельных, тестовых и практически важных задач. В частности, проведены расчеты балочных систем, оболочек, плоских слоев, полос, балок-стенок, бруса в трехмерной постановке, прямолинейного рельса в трехмерной постановке с учетом взаимодействия с верхней частью пути и с подвижным составом, криволинейного рельса в трехмерной постановке с односторонними связями, гравитационной плотины в трехмерной постановке, арочно-гравитационной плотины в трехмерной постановке и др.

Для сопоставления результатов использовались программные комплексы промышленного типа СТАДИО 2003 и Ansys/CivilFEM .

Фрагментарные галереи результатов, полученных при расчетах некоторых трехмерных задач, показаны на рис. 5, 6, 7.

Результаты расчетов рассматриваемых объектов, выполненных по всем программным комплексам, в целом хорошо согласуются друг с другом. Некоторые отличия в напряжениях связаны с особенностями задания упругого основания в программном комплексе Ansys/CivilFEM (распределенное по подошве плотины упругое основание аппроксимировалось системой сосредоточенных пружин, каждая из которых описывалась тремя конечными элементами типа COMBIN 14) и с алгоритмом вычисления напряжений в конечных элементах, принятом в Ansys.

Заключение

Полученные результаты позволяют оценить влияние краевого эффекта на напряженно-деформированное состояние строительных конструкций, зданий и сооружений, получить устойчивые и универсальные методы расчета, позволяющие создать программные комплексы промышленного типа, расширить область аналитических и полуаналитических подходов в расчете и исследовании конструкций, имеющих постоянные физико-геометрические характеристики по одному из направлений.

Зачастую решение некоторых строительных задач сводится к решению достаточно сложных нелинейных уравнений, которые могут представлять собой самостоятельную задачу (например, при проектировании очистных сооружений зависимости, связывающие проектные параметры процесса очистки являются чаще всего нелинейными) или являться составной частью более сложных задач (например, частью расчета сооружения на устойчивость). Корни таких уравнений сравнительно редко удается найти точными методами. Кроме того, в некоторых случаях и коэффициенты уравнения, полученные в процессе эксперимента или как результаты предварительных расчетов, известны лишь приблизительно. Значит, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл, и важное значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности.

Нелинейные уравнения бывают алгебраическими и трансцендентными.

Любое нелинейное уравнение с одним неизвестным можно представить в виде

где функция определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале А / (x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (a ; b ), т.е. если f / (x) >0 (или f / (x х + ln х-10х на отрезке [3;5] удовлетворяет условиям теоремы 1.

Положим для определенности для и f (5)>0. И выберем в качестве нулевого приближения х₀ =5, для которого выполняется условие f ( x )* f ”( x ) >0.

Проведем касательную к кривой у= f ( x ) в точке В₀ [х₀ ; f ( x ₀ ) ]. В качестве первого приближения корня х₁ возмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ . Через точку В₁ [х₁ ; f ( x ₁ ) ] снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой с осью ОХ даст нам второе приближение корня х₂ и т.д.

Уравнение касательной в точке В₁ [х₁ ; f ( x ₁ ) ] (п=0,1,2… ) к нашей кривой записывается

Пологая у=0 , х=х_п+1 , получим формулу для построения последовательности корня нашего уравнения, т.е. итерационную последовательность

Целью курсовой работы является подготовка к последующим этапам учебной деятельности – умению решать инженерные задачи с помощью персональных компьютеров, применять полученные знания в учебной исследовательской работе и в будущем – в дипломной работе.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 3
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 4
МЕТОД СКАНИРОВАНИЯ 4
КРАТКИЙ ОБЗОР ПРОГРАММНЫХ СРЕД 6
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ 7
1. Поиск отрезка, содержащего локальный минимум, в Excel 7
2. Программа в Turbo Pascal 8
2. Проверка результатов в пакете MathCAD 9
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 10
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 11

Работа содержит 1 файл

курсовая.doc

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Пермский государственный технический университет”

Кафедра технологии и механизации производств

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В РЕШЕНИИ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ

Особенностью выполнения курсовой работы является реализация поставленной задачи на персональном компьютере в одной или нескольких программных средах: с помощью универсального математического пакета MathCad, процессора электронных таблиц Microsoft Excel, в среде программирования Турбо Паскаль.

В данной работе рассмотрена задача поиска точки локального минимума функции одной переменной методом сканирования. Поиск отрезка, на котором содержится корень, и следовательно, начального приближения корня, выполнен в табличном процессоре Excel. Решение задачи реализовано в среде программирования Turbo Pascal 7.0, полученный результат проверен с помощью универсального математического пакета MathCAD 2000.

Номер в списке: 27 (метод сканирования).

Сумма первых трех цифр номера зачетной книжки равна 13.

Найти точку локального минимума функции одной переменной с точностью методом сканирования. Для решения задачи использовать одну из двух программных сред: процессор электронных таблиц Microsoft Excel или среду программирования Turbo Pascal. Для уточнения и сравнения результатов вычисления выполнить решение задачи, используя возможности и средства универсального математического пакета MathCAD.

Если функция дважды дифференцируема на отрезке , и в любой точке этого отрезка, то – унимодальная функция на .

Пусть функция y=f(x) является унимодальной на некотором промежутке. Предположим, что произвольная точка этого промежутка является исходной для поиска точки - локального минимума и число – заданная точность нахождения .

Обозначим через произвольное приращение аргумента х и, сделав один шаг от точки , получим новое значение аргумента .

Сравним значения функции и . Возможны три различных продолжения в приближении к точке :

1) - произошло уменьшение значения функции. Тогда примем в качестве нового стартового значения , и сделаем шаг от этой точки к точке , т.е. . Если окажется , то снова сделаем шаг от новой стартовой точки , и т.д.

На некотором k-м шаге произойдет увеличение значения функции, т.е. , и если при этом , то принимаем . В противном случае полагаем, что точка является исходной для продолжения вычислений по следующей схеме II.

2) - значение функции возросло. В этом случае полагаем, что начальной точкой вычислений является точка , а меньшим шагом в продолжении счета – величина , где – некоторое положительное число, . Далее производим вычисления по схеме 1 или 2, вплоть до достижения заданной точности.

3) . В этом практически маловероятном случае (опущенном при рассмотрении случаев I и II) естественно либо принять при достижении заданной точности , либо следовать схеме II.

Поиск минимума функции одной переменной указанным методом представляет собой колебательный процесс, совершающийся около точки локального минимума функции с непрерывно меняющейся амплитудой. В некоторых модификациях данного метода при получении “удачного” шага его значение увеличивают, т.е. , однако это часто приводит к потере сходимости алгоритма, поэтому данную операцию можно считать целесообразной лишь на первых шагах алгоритма при большом удалении от точки оптимума.

Первые несколько шагов сканирования также можно использовать для поиска отрезка унимодальности для описанной ниже группы методов последовательного сокращения отрезков, имеющих хорошую сходимость.

1. Microsoft Excel – самый популярный на сегодняшний день табличный редактор. Он позволяет легко оперировать с цифрами, обладает удобным интерфейсом, является программным средством для проектирования электронных таблиц. Поддерживает все необходимые функции для создания электронных таблиц любой сложности. Занимает ведущее положение на рынке. Последняя версия использует открытый формат XLSX, более ранние версии использовали формат XLS. Доступен под Windows и Macintosh.

2. Turbo Pascal – Процедурно-ориентированный язык. Усовершенствованная версия языка Pascal, изобретенного еще в 60-х годах. В настоящее время используется в качестве учебного языка во всех высших и средних учебных заведениях, а также в школах. Этот язык знает любой программист. На основе синтаксиса Паскаля были созданы другие более функциональные языки, но уже с объектно-ориентированным принципом программирования (Object Pascal, Delphi).

3. MathCad – это многофункциональная интерактивная вычислительная система, позволяющая, благодаря встроенным алгоритмам, решать аналитически и численно большое количество математических задач, не прибегая к программированию. Рабочий документ Mathcad – электронная книга с живыми формулами, вычисления в которой производятся автоматически в том порядке, в котором записаны выражения. Отличается простым и удобным интерфейсом, написанием выражений стандартными математическими символами, хорошей двух- и трехмерной графикой, возможностью подключения к распространенным офисным и конструкторским программам, а также к Internet.

Интегрированная среда содержит текстовый редактор, вычислитель и графический процессор. Текстовый редактор предназначен для ввода и редактирования текстов. Текст может представлять собой обычные символы, математические выражения или формулы, спецзнаки. Система MathCad использует общепринятую в математике символику.

Вычислитель обеспечивает работу со сложными математическими формулами, имеет большой набор встроенных функций, позволяет вычислять ряды, суммы и произведения, определенные интегралы и производные, работать с комплексными числами, решать линейные и нелинейные уравнения, выполнять векторные и математические операции.

Графический процессор служит для создания графиков. Можно строить простые графики от одного до нескольких одновременно, графики трехмерной поверхности, возможно изменение размеров графиков и прочее.

1. Поиск отрезка, содержащего локальный минимум, в Excel

С помощью программы Microsoft Excel найден отрезок, содержащий локальный минимум функции , и выбрано начальное приближение данного корня (см. рис. 1).

Рис.1. Поиск начального приближения корня в Excel

Из рисунка 1 видно, что локальный минимум функции содержится на отрезке .

При решении задачи рассмотрены 2 варианта выбора начального приближения: справа и слева от локального минимума функции.

Выбраны следующие значения:

1) - слева от локального минимума (функция убывает, т.е. );

2) - справа от локального минимума (функция возрастает, т.е. ).

2. Программа в Turbo Pascal

В среде программирования Turbo Pascal 7 разработана программа, выполняющая поиск точки локального минимума функции методом сканирования. Расчеты производятся до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность вычислений. Результаты выполнения программы показаны на рисунке 2. Исходный текст программы приведен в приложении 1. В таблице 1 приведены результаты поиска локального минимума для двух вариантов выбора начального приближения .

Для того, чтобы в Pascal возвести число в дробную степень, сделаем следующее преобразование: . Т.к. область определения логарифма , то запишем функцию следующим образом: .

Рис. 2. Результаты поиска локального минимума в Turbo Pascal

при начальном приближении

Сравнение результатов поиска локального минимума для разных

Из таблицы 1 видно, что при выборе начального приближения слева понадобилось меньшее число итераций (т.к. функция на отрезке поиска минимума все время только убывает). Большее число итераций при выборе начального приближения справа объясняется тем, что на первой итерации согласно алгоритму метода шаг уменьшается в раз.

2. Проверка результатов в пакете MathCAD

Для уточнения и сравнения результатов, локальный минимум также вычислен с помощью пакета MathCAD (см. рис.3).

С помощью встроенных функций пакета MathCAD решается задача поиска локального экстремума. Чтобы найти глобальный минимум, требуется сначала вычислить все их локальные значения и потом выбрать наибольший (наименьший), либо предварительно просканировать с некоторым шагом рассматриваемую область, чтобы выделить из нее наименьших значений функции и осуществить поиск глобального экстремума, уже находясь в его окрестности. Для поиска локального минимума имеется встроенная функция, которая может применяться как в пределах вычислительного блока, так и автономно:

специальностей в Пермском государственном техническом университете и переработанный , в связи с широким внедрением ЭВМ в практику расчетов строительных объектов ( конструкций ) и

в процессы управления и организации строительным производством ( фирмой ).

Внедрение информационных технологий во все сферы деятельности человека , в том числе и в строительную отрасль , резко расширило рамки строительной механики . Появление и развитие метода конечных элементов ( МКЭ ), позволило рассчитывать стержневые и нестержневые системы ( пластинчатые , оболочечные , массивные , комбинированные ) на действие самых разнообразных нагрузок ( статических , динамических , тепловых и др .) рассматривая их с единых позиций . Современные универсальные конечно - элементные программные комплексы

позволяют выполнять расчеты не только задач строительной механики , но и других физических явлений , таких как теплопередача , течение жидкостей и газов и др . От расчетчика – пользователя программными комплексами – не требуется детального знания всех математических , вычислительных и компьютерных проблем . Однако ему необходимо иметь представление о том , как математически формулируются задачи и что представляют собой численные методы их решения . Без этого

трудно рационально выбрать расчетную схему и правильно оценить достоверность окончательных результатов .

Вряд ли какая - либо серьезная экономическая или управленческая задача может быть решена без расчета . Для

успешного решения практических задач совершенствования управления и организации строительства с точки зрения

адаптации их к возможностям , открываемым таким инструментом , как компьютер , требуется внедрение новых принципов управления

на основе математического моделирования и количественных оценок параметров объектов управления .

Для реализации численных методов на ЭВМ существует множество разнообразных программ и программных комплексов

(Eureka, Mercury – для MS DOS; MathCAD, MATLAB, Maple и др . –

для Windows). Может показаться , что это богатство программного обеспечения избавляет специалиста - прикладника от знания математики . Однако , чтобы воспользоваться этим богатством , надо … знать математику . Кроме того , каждая программа имеет свою специфику и особенности и , естественно , требует навыков работы и наличия данного программного средства на компьютере .

Табличный процессор Microsoft Excel, изучаемый студентами в курсе информатики , является весьма доступным , постоянно совершенствующимся программным средством , обеспечивающим

пользователю возможность самостоятельно решать различные задачи , не прибегая к услугам программиста . Для этого только нужно уметь сформулировать интересующую проблему , как

математическую задачу и выбрать соответствующий численный метод для ее решения . Большинство численных методов , представляющих интерес для специалиста - строителя , легко реализуется в табличном процессоре Excel. По этим причинам

именно данное программное средство выбрано для выполнения численных процедур на ЭВМ .

Реализация численных методов требует знания матричного аппарата , так как , работая на ЭВМ , удобнее всего оперировать с матрицами , то есть процесс расчета представлять в матричном виде . Это упрощает программирование решаемых задач , позволяет компактно и в общем виде излагать методы расчета , оказывается

очень полезным при оценке результатов расчетов и используемого математического обеспечения . Поэтому в первой главе излагаются

основные понятия матричного исчисления , рассматриваются типы матриц и практические примеры , встречающиеся в расчетах строительных объектов .

Во второй главе рассматриваются численные методы решения задач линейной алгебры , к которым традиционно относятся :

∙ решение систем линейных алгебраических уравнений

( СЛАУ ) и связанные с ними задачи : 1) вычисление

определителя и 2) нахождение обратной матрицы ;

∙ задача на собственные значения .

Алгебраические уравнения либо непосредственно составляют ту задачу , которую надо решать , либо задача сводится к алгебраическим уравнениям той или иной структуры . Системы

линейных алгебраических уравнений получаются в задачах проектирования строительных объектов : при статическом и динамическом расчете стержневых систем , при проектировании водопроводных и др . сетей , а также в расчетах сложных строительных конструкций , состоящих из пластин , оболочек и массивных тел . Да и вообще , применение численных методов сводит практически все задачи к алгебраическим задачам .

Поэтому они являются основой для изучения почти всех разделов данного курса . В задачах динамики и устойчивости возникают

проблемы собственных значений .

Кроме того , задачи расчета устойчивости сооружений , а также задачи инженерной экологии и др . приводят к нелинейным ( трансцендентным ) уравнениям . Поэтому третья глава посвящена

численным методам решения нелинейных уравнений .

Инженерные расчеты часто связаны с использованием эмпирической информации , т . е . сведениями , полученными из наблюдения и эксперимента . Обычно эта информация представлена в виде таблиц ( СНиПы ) и требуется , имея значения какой - то величины в отдельных точках , найти ее значения в других точках . В некоторых случаях функция f(x) содержит громоздкие ,

трудновычислимые выражения или имеет графическое представление , и ее можно заменить другой функцией ϕ ( х ), более удобной для вычислений . Такую замену называют аппроксимацией или попросту – приближением функции f(x) функцией ϕ ( х ), а в зависимости от используемой теории

приближения – интерполированием или среднеквадратичным приближением . Данные вопросы рассматриваются в четвертой главе .

При решении достаточно большого круга технических задач приходится сталкиваться с необходимостью вычисления определенного интеграла . Численные методы вычисления интеграла и практические примеры приведены в пятой главе .

Множество задач расчета строительных конструкций на прочность , жесткость и устойчивость приводят к

дифференциальным уравнениям – обыкновенным или в частных производных с разного рода дополнительными условиями : 1) задачам Коши или 2) краевым задачам . В шестой главе мы

познакомимся с численными методами решения этих классов задач .

Метод конечных элементов решения краевых задач ,

некоторые аспекты практической реализации этого метода ,

использования готовых программных комплексов рассматриваются в седьмой главе .

Задачи оптимального проектирования , рационального

распределения ограниченных ресурсов составляют важную проблему строительной отрасли . В восьмой главе

рассматриваются схемы различных прикладных задач и принципы построения их математических моделей , а также некоторые методы математического ( линейного и нелинейного ) программирования .

При изучении данного курса предполагается , что читатель знаком с классическим курсом высшей математики в объеме , соответствующем программе вуза , основами сопротивления материалов и классической строительной механики , а также

владеет навыками работы на персональном компьютере в объеме вузовского курса информатики .

Авторы выражают искреннюю благодарность доценту кафедры строительной механики и вычислительной техники Пермского государственного технического университета С . Г . Кузнецовой за помощь в подготовке практических задач по строительной механике .

Одной из характерных особенностей нашего времени является широкое применение ЭВМ в самых различных сферах человеческой деятельности , в том числе и в строительной отрасли

при решении задач проектирования сооружений или управления строительной отраслью . Эффективность применения ЭВМ во многом зависит от опыта , профессиональной квалификации и компьютерной грамотности специалиста .

Основу компьютерной грамотности на современном этапе составляют :

♦ умение формализовать свои профессиональные знания и доводить их до алгоритма ;

♦ создание личной библиотеки программ , ориентированной на конкретную деятельность ;

♦ использование готовых пакетов прикладных программ и анализ полученных решений .

Формализация профессиональных знаний означает умение построить математическую модель технического процесса или объекта , а при создании библиотеки программ необходимо знать ,

какими численными методами может быть решена та или иная задача , уметь выбрать наиболее рациональный из них и оценить достоверность полученных результатов .

Общие сведения о математическом моделировании .

В своей практической деятельности инженер - строитель сталкивается с множеством вопросов , на которые трудно , а порой и невозможно получить ответ с помощью натурных экспериментов , которые обычно , к тому же , весьма дороги . В этих ситуациях на

помощь приходит особая форма изучения окружающей действительности – математическое моделирование , т . е .

моделирование с помощью математического аппарата [32].

Объектом исследования может быть как материальное тело ( жидкое , абсолютно твердое , деформируемое ), так и технологический процесс или процесс управления . И на первом этапе своего исследования инженеру - строителю требуется

формализовать задачу , т . е . составить ее математическую модель

( ММ ) , поскольку по своей природе математические методы можно применять не непосредственно к излучаемой действительности , а лишь к математическим моделям тех или иных явлений .

Построение ММ начинается с выделения наиболее существенных черт и свойств изучаемого объекта и описания его с помощью каких - либо математических соотношений . При этом ММ

представляет собой компромисс между сложностью изучаемого объекта и желаемой простотой его описания . Для одного и того же объекта исследования можно выбрать несколько ММ . Вопрос

применимости той или иной ММ к изучению рассматриваемого объекта решается в процессе эксперимента , который позволяет сравнивать различные ММ и выбирать из них ту , которая является

наиболее простой и в рамках требуемой точности адекватно описывает свойства изучаемого объекта .

В качестве ММ широко используются всевозможные уравнения ( нелинейные , дифференциальные , интегральные и т . д .), неравенства , а также системы описанных выше уравнений . Только

после построения ММ можно воспользоваться математическими методами для ее изучения и решения .

Построенная математическая модель в редких случаях допускает аналитическое решение . Тогда на помощь приходят численные методы во всем их многообразии .

Численные методы и их реализация на ЭВМ составляют содержание огромного раздела современной математики –

Численные методы (ЧМ) – это методы решения математической задачи , сводящиеся к конечному числу арифметических и некоторых логических действий над числами , то есть к тем действиям , которые может выполнить ЭВМ .

Простейшие численные методы мы используем всюду ( например , вычисляя корень квадратный на листе бумаги ). На практике часто встречаются задачи , решение которых не удается получить в виде формул , связывающих искомые величины с заданными . Про такие задачи говорят , что они не решаются в явном виде . Для их решения стремятся найти какой - нибудь процесс , чаще всего бесконечный , сходящийся к искомому ответу . В результате получается приближенное решение задачи , так как выполняется конечное число шагов , и вычисления обрываются . Такой подход был известен еще до появления ЭВМ , но применялся весьма редко из - за исключительной трудоемкости вычислений .

Применение численных методов на базе ЭВМ позволяет решать такие задачи , о которых полвека назад могли только мечтать ( расчет пространственных сооружений , структурных конструкций ,

которые широко применяются в настоящее время для устройства перекрытий различных объектов , пространственных конструкций в виде оболочек , висячих покрытий и др .).

Общим для всех численных методов является сведение непрерывной математической задачи к задаче конечномерной , то

есть переход от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента . При этом область изменения аргумента x заменяется дискретным множеством точек x i , которое называется

сеточной областью ( разностной сеткой или просто сеткой ) [9]:

где x i , – узлы сетки ( i= 0, 1, 2, ….n ), h – шаг сеточной области .

А заданная непрерывная на [ a, b ] функция y=y(x) заменяется

функцией дискретного аргумента y i = f(x i ), ( i= 0, 1, 2 , ….n ) на этой сеточной области . Такая функция называется сеточной .

Если исходная математическая задача формулируется в виде

дифференциального уравнения или системы таких уравнений , то при численном решении задачи ее заменяют системой конечного , возможно , очень большого числа линейных алгебраических уравнений ( СЛАУ ) и говорят , что проведена дискретизация исходной математической задачи . В общем случае дискретную

модель можно рассматривать как конечномерный аналог исходной математической задачи .

Чаще всего дискретная модель зависит от некоторого

параметра дискретизации ( например , шага сетки h ), при стремлении которого к нулю число алгебраических уравнений , составляющих дискретную модель , неограниченно возрастает .

После дискретизации задачи строится вычислительный алгоритм ( последовательность арифметических и логических операций , выполняемых на ЭВМ ), т . е . выбирается какой - либо численный метод , дающий за конечное число действий решение дискретной задачи . Результатом реализации ЧМ на ЭВМ является число или таблица чисел < x i ,y i >, где i = 0, 1, 2, ….n.

Полученное решение обычно принимается за приближенное решение исходной задачи.

Для одной и той же задачи можно использовать несколько ЧМ . Пользователю надо уметь выбрать наиболее рациональный из них для каждого конкретного случая . Правильный выбор

численных методов делается на основе знания их характеристик

( универсальность , экономичность , устойчивость , простота ). И

выбирая тот или иной численный метод , надо помнить , что

уровень точности метода должен быть адекватен точности модели .

Кроме того , надо помнить , что вычислительный алгоритм ( численный метод ) должен давать решение исходной задачи с заданной точностью ε >0 за конечное число действий ( за допустимое машинное время ).

Численные методы не всесильны . Они не заменяют аналитические методы . Их следует применять в комбинации .

Таким образом , целью изучения курса “ Численные методы решения задач строительства на ЭВМ ” является овладение

средствами анализа , построения математических моделей и решения задач , возникающих в проектной , хозяйственной и

организационной сферах деятельности специалиста строительной отрасли .

Эти средства включают в себя :

∙ теорию, которая дает общее понимание модели и процесса решения задачи , что является одним из путей достижения качественного представления о том , что происходит в действительности ;

∙ методы, которые дают средства решения задачи ( метод есть совокупность указаний или шагов решения задачи );

∙ математическое обеспечение – это законченный метод ,

воплощенный в программе для ЭВМ . В самом лучшем случае достаточно просто нажать кнопку РЕШИТЬ , чтобы получить ответ .

Элементы теории погрешности

Решение , получаемое в процессе исследования исходного объекта методом математического моделирования , всегда получается приближенным , то есть содержит некоторые погрешности .

Источниками погрешностей являются [9, 13]:

∙ Погрешность задачи, обусловленная неточным заданием математической модели . Погрешность ММ рассматриваться здесь не будет .

∙ Погрешность исходных данных. Для вычислителя это

неустранимая погрешность ( не зависит от математики ). Исходные данные чаще всего задаются неточно . Они могут быть получены в процессе эксперимента . В технических задачах погрешность измерений допускается в пределах 1 – 10%.

∙ Погрешность метода или погрешность дискретизации , возникающая при замене исходной задачи – дискретной ( характеризует сходимость ЧМ ).

Погрешность численного метода решения задачи связана с тем , что точные операторы и исходные данные заменяются приближенными . Например , интеграл заменяется суммой ,

производная – разностью , функция – многочленом ( разложение в ряд ), бесконечный итерационный процесс заканчивается после выполнения конечного числа итераций и т . д .

Читайте также: