Математическое ожидание дсв и его свойства реферат

Обновлено: 05.07.2024

1. Числовые характеристики случайных величин. Параграф. Математическое ожидание ДСВ (дискретно случайных величин) и его свойства..docx

ТЕМА: Числовые характеристики случайных величин.

Числа, которые характеризуют случайную величину суммарно, называются ее числовыми характеристиками. К ним относятся:

1. Математическое ожидание
2. Дисперсия
3. Среднее квадратическое отклонение

ПАРАГРАФ: Математическое ожидание ДСВ (дискретно случайных величин) и его свойства.

Математическим ожиданием ДСВ Х называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие вероятности, с которыми эти возможные значения принимаются.

Задача: найти математическое ожидание ДСВ Х – числа выпавших очков при бросании игральной кости.

Выясним вероятностный смысл математического ожидания. Пусть вероятность появления события А постоянна и равна р. Рассмотрим все возможные значения ДСВ Х – числа появлений события А в одном испытании.

Таким образом, математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании равно вероятности этого события.

Пусть ДСВ Х возможное значение х₁ принимает m₁ раз, возможное значение х₂ – m₂ раз, … , возможное значение х_k – m_k раз. Найдем возможную сумму всех значений, которые ДСВ Х принимает в серии из n испытаний: n=m₁+m₂+…+m_k.

Далее введем величину сигма, представляющую собой G, представляющую собой сумму произведений возможных значений Х на количество раз, которое каждое из этих значений принимало. G=x₁m₁+x₂m₂+…+x_km_k.

Тогда среднее арифметическое всех возможных значений находится по следующей формуле: = G/n = x₁*m₁/n+x₂*m₂/n+…+x_k*m_k/n.

Очевидно, что величина m_i/n представляет собой статистическую вероятность того, что: W(X=x_i)=m_i/n=w_i. Т.е. среднее значение ДСВ Х представимо в виде: X=x₁w₁+x₂w₂+…+x_kw_k. Как известно, для любого значения индекса i имеет место следующее значение: w_i p _. Т.е. X=x₁p₁+x₂p₂+…+x_kp_k=M(X)=>X=M( X). Таким образом, математическое ожидание ДСВ Х приблизительно равно среднему значению ее возможных значений.

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание константы равно самой константе. M(C)=C, C = const. Произведением константы на ДСВ Х называется ДСВ, обозначаемое C*X, возможные значения которой равны произведению возможных значений Х на константу С, а вероятность такая же, как и у ДСВ Х.
2. Математическое ожидание ДСВ, представляющий собой произведение константы С на ДСВ Х, равно произведению этой константы на математическое ожидание ДСВ Х. Две ДСВ называются независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от возможных значений другой ДСВ. Несколько ДСВ называются взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения принимают остальные ДСВ. Произведением двух ДСВ Х и Y называется ДСВ, обозначаемое XY, возможные значения которого равны произведениям каждого из возможных значений Х на каждое из возможных значений Y, а вероятности возможных значений новой ДСВ равны произведениям вероятностей соответствующих множителей.

1. Если Х и Y – независимые ДСВ, то математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий этих ДСВ. M(XY)=M(X)*M(Y). Следствие: Если X₁, X₂, … , X_n взаимно независимы, то математическое ожидание произведения этих ДСВ равно произведению их математических ожиданий. M ( = .Суммой двух ДСВ Х и Y называется ДСВ, обозначаемое X+Y, возможные значения которой равны сумме каждого из возможных значений Х с каждым из возможных значений Y, а вероятности возможных значений новой ДСВ равны произведениям вероятностей суммируемых значений – для независимых ДСВ; а для зависимых ДСВ – произведением вероятности одного из слагаемых на условную вероятность другого.
2. Математическое ожидание суммы двух ДСВ равно сумме их математических ожиданий. M(X+Y)=M(X)+M(Y), для V (любых) X, Y.
3. Если произведено n независимых повторных испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p, то математическое ожидание ДСВ Х – числа появления события А равно произведению количества испытаний на вероятность события А. М(Х) = np

Вероятность попадания в цель при стрельбе из оружия равна 0.6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если произведено 10 выстрелов.

Опр. Математическое ожидание дискретной случайной величины X равно сумме произведений значений случайной величины на соответствующие им вероятности:

Предположим, что подбрасывают монету. Если выпадет герб, выигрывают одно очко, если цифра, — проигрывают одно очко. Чему равен ожидаемый выигрыш? Интуитивно понятно, что шансы выиграть и проиграть одну и ту же сумму очков равны, и, следовательно, в среднем ожидаемый выигрыш будет равен нулю, Выигрыш в этой игре — случайная величина; можно вычислить ожидаемое значение, используя формулу (1):

М(Х)= 1 • 1/2 + (-1) • 1/2 = 0.

Поэтому математическое ожидание называют средним значением. Причина такого названия состоит в том, что среднее значение случайной величины есть оценка, которую ожидают получить.

Свойства математического ожидания ДСВ

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ) = СМ(Х),

гдеС — постоянная.

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа п случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий:

4. Математическое ожидание произведения конечного числа п независимых случайных величин равно произведении 1 их математических ожиданий:

5. Если все значения случайной величины X уменьшить (увеличить) на одно и то же число с, то ее математическое ожидание уменьшится (увеличится) на то же число с:

М(Х ± С) = М(Х) ± М(С) = М(Х) ± С.

Следствие. Математическое ожидание отклонения значе­ний случайной величины X от ее математического ожида­ния равно нулю:

Дисперсия ДСВ и ее свойства

Для практических нужд бывает очень важно знать, как группируются значения случайных величины около ее математического ожидания.

1) при стрельбе из орудия важно, чтобы снаряды ложились кучнее;

2) при измерении какой-то величины важно, чтобы ошибки измерения как можно меньше отличались от их среднего значения.

Задача: Найти мат. ожидание случайной величины Х и У, которые заданы следующими распределениями:

Х:	xi	-0,1	0,1	Y:	yj	-100
рi	½	1/2	рj	1/2	1/2

М(Х)= -0,1*1/2 + 0,1*1/2 = 0

М(У)=-100*1/2 + 100*1/2 = 0

Математическое ожидание ничего не говорит о том, как рассеяны значения случайной величины вокруг его среднего значения (0). Рассеяние случайной величины характеризуетсядисперсией.

Опр. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

Теорема: Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом математического ожидания данной случайной величины

Задача. Число очков, выбиваемых при одном выстреле любого из двух стрелков, подчиняется следующим законам распределения

Х1:	xi	Число очков, выбиваемых 1 стрелком
рi	0,3	0,2	0,5
Х2:	хj	Число очков, выбиваемых 2 стрелком
рj	0,1	0,6	0,3

Кто стреляет лучше?

Так как речь идет о рассеянности, то нужно найти дисперсию

М(Х1) = 1 0,3 + 2 0,2 + 3 0,5 = 2,2

М(Х2) = 1 0,1 + 2 0,6 + 3 0,3 = 2,2

Х1:	xi 2
рi	0,3	0,2	0,5
Х2:	хj 2
рj	0,1	0,6	0,3

М(Х1 2 ) = 1 0,3 + 4 0,2 + 9 0,5 = 5,6

М(Х2 2 ) = 1 0,1 + 4 0,6 + 9 0,3 = 5,2

Д(Х1) = М(Х1 2 ) - М 2 (Х1) = 5,6 – 2,2 2 = 0,76

Д(Х2) = М(Х2 2 ) - М 2 (Х2) = 5,2 – 2,2 2 = 0,36

Ответ: лучше стреляет второй стрелок.

Свойства дисперсий

Д(С) – М(С- М(С)) 2 = М(С - С) 2 = М(0) 2 = 0

1. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат

Д(СХ) = С 2 Д(Х)

Д(СХ) = М(СХ – М(СХ)) 2 = М(СХ – СМ(Х)) 2 = М(С(Х – М(Х))) 2 =

С 2 М(Х – М(Х)) 2 = С 2 Д(Х)

1. Дисперсия суммы нескольких взаимно-независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

где Х₁, Х₂, … Х_n – взаимно-незасвисимые величины.

1. Следствие: дисперсия суммы постоянной величины и случайной величины равна дисперсии случайной величины

Д(С+ Х) = Д(С+ Х)=Д(С) + Д(Х) = Д(Х)

Постоянная не дает рассеяние ее прибавление к случайной величине Х ведет лишь к смещению всех ее значений на одну и ту же постоянную величину, а рассеяние остается прежним.

Одной из важных числовых характеристик случайной величины является математическое ожидание. Введем понятие системы случайных величин. Рассмотрим совокупность случайных величин , которые являются результатами одного и того же случайного эксперимента. Если — одно из возможных значений системы , то событию соответствует определенная вероятность удовлетворяющая аксиомам Колмогорова. Функция , определенная при любых возможных значениях случайных величин , называется совместным законом распределения. Эта функция позволяет вычислять вероятности любых событий из . В частности, совместный закон распределения случайных величин и , которые принимают значения из множества и , задается вероятностями . Расширим понятие независимости случайных событий и введем понятие независимых случайных величин.

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е. .

Доказательство. Постоянную можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую единственное значение с вероятностью 1. .

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: .

Доказательство. Пусть случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Очевидно, что случайная величина также является дискретной и принимает значения , , . , , . с прежними вероятностями , , . , , . т.е. закон распределения имеет вид

Тогда по определению математического ожидания .

3) Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

Доказательство. Рассмотрим случайную величину и докажем, что

Действительно, если и заданы рядами распределения

то, как было указано выше, случайная величина имеет следующий закон распределения:

Тогда

.

Методом математической индукции можно доказать, что если это свойство выполняется для случайных величин, то оно выполняется и для случайных величин.

4) Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: .

Доказательство. Пусть заданы две случайные величины и рядами распределения (см. предыдущее свойство).

В силу вышесказанного возможные значения случайной величины будут , , , , . Их вероятности , , , . , т.к. они определяются по теореме умножения вероятностей. Т.к. вероятность обозначает вероятность того, что события и наступают совместно, т.е. .

Переходя к математическом ожиданию рассматриваемой суммы, имеем

Предположим, что свойство 4) справедливо для случайной величины применяя в очередной раз метод математической индукции докажем, что это свойство справедливо и для случайных величин.

Дисперсия случайной величины

На практике часто требуется оценить рассеивание возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Отклонением случайной величины является разность между значением случайной величины и ее математическим ожиданием и обозначается . Хотя отклонение является величиной случайной, но использовать его для оценки разброса не удобно, т.к. его математическое ожидание всегда равно 0. Поэтому для характеристики рассеивания вводят другие характеристики.

Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения: .

Из этого определения следует, что дисперсия случайной величины вычисляется по формуле

для дискретной случайной величины

для непрерывной случайной величины .

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию ее квадрата минус квадрат математического ожидания: .

Доказательство. Из определения дисперсии и учитывая, что математическое ожидание — постоянная величина, получим

.

Тогда формула (1) примет вид

для дискретной случайной величины

для непрерывной случайной величины .

Свойства дисперсии

Действительно, .

1. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: .

Доказательство. По определению дисперсии и в силу свойств математического ожидания получаем:

.

1. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

Доказательство. Вначале докажем свойство для двух величин и .

И далее методом математической индукции.

Следствие 1. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной величины равна дисперсии случайной величины : .

Действительно, .

Следствие 2. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

Доказательство. Используя свойства 2) и 3), получаем

.

Дисперсия случайной величины как характеристика разброса имеет одну неудобную особенность: ее размерность (из определения) равна квадрату размерности случайной величины .

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется арифметический корень из дисперсии, т.е. .

Зная введенные две числовые характеристики — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение , — получаем ориентировочное представление о пределах возможных значений случайной величины.

Мода и медиана как разновидность средних величин в вариационных рядах

Средние величины являются своего рода отвлеченной, абстрактной величиной. Отвлекаясь от конкретных величин каждого варианта, эти числа отражают то общее, что присуще всей совокупности единиц. При этом может случиться, что величина средней не имеет равенства ни с одним из конкретных вариантов встречающихся в рассматриваемой совокупности вариантов.

Например, среднее число членов семьи, равное 3,84, полученное на основе исчисления соответствующей совокупности данных, ничего общего с конкретным составом семьи не имеет, поскольку дробного числа членов семьи не может быть. Здесь в данном показателе средней величины состава семьи выражается некоторое центральное значение, около которого группируются реально существующие варианты.

Кроме рассмотренных средних, когда определяется некая абстрактная величина, могут быть использованы величины конкретных вариантов имеющихся в рассматриваемой совокупности величин, величин занимающих определенное место в ранжированном ряду индивидуальных значений признака. Ранжировка признаков может быть построена в порядке возрастания или убывания индивидуальных значений признака. Такими величинами, чаще всего являются мода и медиана.

Мода - это наиболее часто встречающаяся в совокупности величина варианта. Эту величину означают символом Мо.

Мода как величина в дискритном (прерывистом) ряду определяется следующим образом на примере выявления наибольшего процента мужчин носящих определенный размер обуви. Наглядно это можно представить следующей таблицей.

Распределение числа мужчин по размеру используемой обуви

Размер обуви

Число мужчин старше 16 лет % к итогу

Накопление частности

В распределении мужчин по размеру обуви наибольшая часть мужчин (28%) относится к величине номера обуви в 41. Следовательно, мода Мо = 41, т.е. модой является 41-й размер обуви.

Чтобы определить медиану, необходимо найти один из центральных вариантов рассматриваемой совокупности. В нашем примере центральным вариантом будет находиться в центре совокупности состоящей из 100 членов, т.е. 100 : 2 = 50. Затем по накопленным частотам определяем величину 50-го члена ряда. В нашем примере он будет находиться между 41 и 69 накопленной частности (см. 3-ий столбец таблицы), 50-ый член ряда имеет величину 41, т.е. Ме = 41-му размеру обуви.

В практике мода и медиана часто используются вместо средней арифметической или наряду с ней. Так, фиксируя средние цены на оптовых рынках, записывают наиболее часто встречающуюся цену каждого продукта, т.е. определяют моду цены. Тем не менее наилучшей характеристикой величины варианта служит средняя арифметическая, которая имеет ряд существенных преимуществ, о которых было сказано раньше, главное из которых, точное отражение суммы всех значений признака, использующихся для решения соответствующих практических задач.

Математическим ожиданием дискретной случайной величиныназывается сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

где – значение дискретной случайной величины; – вероятности принятия случайной величиной X значений .

Если случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то:

Математическое ожидание биномиально распределенной с параметрами n и p случайной величины:

где p - вероятность наступления события.

Свойства математического ожидания:

1. M(С) = C, где С – постоянная величина.

2. M(СX) = CM(X) , где С – постоянный множитель.

4. M(XY) = M(X) × M(Y), где X, Y – независимые случайные величины.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математи-ческое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:

Дисперсиядискретной случайной величины:

Дисперсия биномиально распределенной с параметрами n и p случайной величины:

где p - вероятность наступления события.

Свойства дисперсии:

1. D(C) = 0, где С – постоянная величина.

2. , где С – постоянный множитель.

3. D(X+Y) = D(X) + D(Y), где X, Y – независимые случайные величины.

4. D(C+X) = D(X), где С – постоянная величина.

5. D(XY) = D(X)D(Y) + , где X, Y — независимые случайные величины.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

Свойства среднеквадратичного отклонения:

1. σ[C] = 0, где C = Const;

2. σ [C · X] = C · σ [X];

3. σ [X + Y ] =ABS( σ 2[X 2 ] + σ 2[Y 2 ] )для независимых случайных величин X и Y.

Пример. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 2 детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х - числа нестандартных деталей среди двух отобранных.

Решение. Дискретная случайная величина Х – число нестандартных деталей среди двух отобранных принимает следующие значения:

х₁=0 – все детали стандартны из двух отобранных;

х₂=1 – одна из двух отобранных деталей не стандартна;

х₃=2 – обе отобранные детали нестандартны.

Так как вероятность отбора нестандартной детали p = 0,1 постоянная, то для определения вероятностей в соответствии с биномиальным законом распределения воспользуемся формулой Бернулли:

P_n(k)= p k q n-k , где q = 1 – p = 0,9.

Проверяем условие нормировки =1.

Имеем, что 0,81+0,18+0,01=1.

Искомый биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

х
p	0,81	0,18	0,01

Тот же результат можно было получить, используя формулу

для нахождения математического ожидания биномиально распределенной дискретной случайной величины X.

n = 2 – число испытаний;

p = 0,1 – вероятность успеха в каждом испытании;

Дисперсию найдем по формуле:

По формуле для дисперсии биномиального закона:

Пример. Дискретные случайные величины X и Y независимы и заданы распределениями:

X	Y
p	0,4	0,6	p	0,2	0,8

Найти распределение случайной величины Z = X + Y.

Решение.Найти закон распределения дискретной случайной величины, значит перечислить все ее возможные значения и рассчитать вероятности, с которыми она эти значения принимает. Значения случайной величины Z получаются путем сложения всех возможных попарных комбинаций значений случайных величин Х и Y.

0 + 1 = 1 0 + 2 = 2 1 + 1 = 2 1 + 2 = 3.

Таким образом, Z принимает три возможных значения: 1, 2 и 3. Найдем вероятности принятия величиной Z этих значений.

• Для учеников 1-11 классов и дошкольников
• Бесплатные сертификаты учителям и участникам

1. Закон распределения ДСВ:

Случайная величина. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Например, число бракованных лампочек среди 10 купленных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2,….,10. Случайные величины обозначаются прописными буквами латинского алфавита: X , Y , Z и так далее, а их значения – соответствующими строчными буквами x , y , z и так далее.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Случайная величина называется дискретной, если множество её значений конечно или счетно, то есть множество её значений представляет собой конечную последовательность x ₁ , x ₂ ,…. x _n или бесконечную последовательность x ₁ , x ₂ . x _{n ,} …

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного множества. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Например, если в качестве случайной величины рассматривать оценку студента на экзамене, то с определенной вероятностью, которая зависит от многих факторов, студент может получить или 2, или 3, или 4, или 5, но в результате сданного одним студентом экзамена в ведомости всегда стоит только одна оценка.

Случайная величина может быть задана законом распределения .

Законом распределения дискретной случайной величины (сокращенно ДСВ) называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины таблица состоит из двух строк и называется законом или рядом распределения дискретной случайной величины X. Первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины, а вторая - соответствующие им вероятности.

Значения записываются в таблице, как правило, в порядке возрастания. Приняв во внимание, что в каждом отдельном испытании случайная величина принимает только одно возможное значение случайной величины X, заключаем, что события несовместны и образуют полную группу событий. Следовательно, сумма вероятностей этих событий, т.е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице:

В издательстве выпущено 100 книг по овцеводству. Лотереей разыграны одна книга в 500 руб. и 10 по 10 руб. Найти закон распределения случайной величины х - возможного выигрыша одной книги.

Возможны значениях: Х ₁ = 500, х ₂ = 10 ,х ₃ = 0. Вероятности: р ₁ =0,01; р ₂ =0,1; р ₃ =1 - (р ₁ + р ₂ ) = 0,89.

2. Числовые характеристики дискретной случайной величины:

Функцией распределения случайной величины называют функцию F ( x ), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х, то есть F ( x ) = P ( X x ).

Кроме закона распределения, который дает полное представление о случайной величине, часто используют числа, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К ним относятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины .

Математическим ожиданием (М) дискретной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений, умноженных на их вероятности.

где x _i , - значение случайной величины, p _i - вероятность случайной величины.

Математическое ожидание дискретной случайной величины обладает свойствами , которые вытекают из его определения.

1. Математическое ожидание постоянной величины С есть постоянная величина

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины X, умноженной на постоянную величину С, равно произведению математического ожидания М(Х) на С. То есть постоянный множитель можно выносить за знак суммирования

3. Математическое ожидание суммы дискретных случайных величин X и У равно сумме их математических ожиданий.

4. Математическое ожидание произведения независимых дискретных случайных величин X и Y равно произведению их математических ожиданий

Часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг его среднего значения. Дисперсией (рассеянием) D ( x ) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D ( X ) = М[Х -М(Х)] 2 .

Формула для вычисления дисперсии D ( X ) = М(Х 2 )-[М(Х)] 2 .

Средним квадратичным отклонением ( (х)) случайной величины х называют квадратный корень из дисперсии: ( х )

Исследование вариационных статистических рядов рассмотрим на примере.

Пример: Дан дискретный вариационный ряд

где X x ₁ x ₂ , x ₃ > характеристики случайной величины X ,N n ₁ , п ₂ ,п ₃ > - частоты появления элементов в выборке.

Провести исследование дискретного вариационного ряда

1) найти объём выборки;

2) составить закон распределения случайной величины X ;

3) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

1) Найдём объем выборки: п = n ₁ + n ₂ +п ₃ =10+15+25=50.

2) Найдём относительные частоты: W ₁ =10/50=1/5, w ₂ =15/50=3/10, w ₃ =25/50у =1/2.

Закон распределения случайной величины X представлен таблицей:

3) Найдём математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение:

M=w ₁ x ₁ + w ₂ x ₂ + w ₃ x ₃ =l/5 • 1+3/10 · 4+1/2 · 6=4/4;

D= w ₁ (x ₁ -M) 2 + w ₂ (x ₂ -M) 2 + w ₃ (x ₃ -M) 2 = 1/5 · (1-4,4) +3/10 · (4- 4,4) +1/2 · (6- 4,4)=3,64;(x) = ==1,9

Читайте также:

  
• Самозалечивающийся эластичный бетон реферат
  
• Система образовательных и социальных организаций осуществляющих работу с детьми с овз реферат
  
• Комплекс упражнений со скакалкой реферат
  
• Реферат пятый постулат евклида
  
• Роль физической культуры и спорта в формировании личности студента реферат