Реферат пятый постулат евклида

Обновлено: 08.07.2024

Эвклид – древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о жизни и деятельности Эвклида крайне ограничены. Известно, что он родом из Афин, был учеником Платона. Научная деятельность его протекала в Александрии, где он создал математическую школу.

Достижения в математике

За этими определениями следуют пять постулатов: «Допустим:

1) что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию;

2) и что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой;

3) и что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг;

4) и что все прямые углы равны между собой;

Три первых постулата обеспечивают существование прямой и окружности. Пятый, так называемый постулат о параллельных – самый знаменитый. Он нарочито чужероден, его громоздкая формулировка закономерно вызывает некоторое чувство протеста и желание отыскать для него доказательство, он всегда интриговал математиков, которые пытались вывести его из четырех предыдущих или вообще отбросить. Такие доказательства уже в древности пытались построить Птолемей и Прокл; а в Новое время из этих попыток развилась неевклидова геометрия. Следует отметить, что первые 28 теорем I книги относятся к абсолютной геометрии и в XIX в. обнаружилось, что можно построить другие, неевклидовы геометрии и что пятый постулат имеет право на существование.

Начала – главный трудЕвклида, написанный около 300 г. до н.э. и посвящённый систематическому построению геометрии. Начала – вершина античной геометрии и античной математики вообще, итог её 300-летнего развития и основа для последующих исследований.

Прокл сообщает, что подобные сочинения создавались и до Евклида: Начала были написаны Гиппократом Хиосским, а также платониками Леонтом и Февдием. Но эти сочинения, по-видимому, были утрачены ещё в античности.

Текст Начал на протяжении веков были предметом дискуссий, к ним написаны многочисленные комментарии. Из античных комментариев до нас дошёл комментарий, написанный Проклом. Этот текст является важнейшим источником по истории и методологии греческой математики. Прокл дает краткое изложение истории греческой математики (т. н. Евдемов каталог геометров), обсуждает взаимосвязь метода Евклида и логики Аристотеля, роль воображения в доказательствах.

Из древних комментаторов следует упомянуть Паппа, из новых – Пьера Рамуса, Федериго Коммандино, Христофа Шлюсселя (Клавиуса) и Савилия.

Начала оказали огромное влияние на развитие математики вплоть до Новейшего времени. Книга переведена на множество языков мира. Так, на китайском языке первые 6 книг Начал издал Маттео Риччи во время своей миссии в Китае (1583–1610). По количеству переизданий Начала не имеют себе равных среди светских книг.

В Началах излагаются планиметрия, стереометрия, арифметика, отношения по Евдоксу. В классической реконструкции Гейберга весь труд состоит из 13 книг. К ним традиционно присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, приписываемые Гипсиклу Александрийскому и школе Исидора Милетского.

Изложение в Началах ведётся строго дедуктивно. Каждая книга начинается с определений. В первой книге за определениями идут аксиомы и постулаты. Затем следуют предложения, которые делятся на задачи (в которых нужно что-то построить) и теоремы (в которых нужно что-то доказать). Определения, аксиомы, постулаты и предложения пронумерованы, напр., I def. 2 – второе определение первой книги.

1. Первая книга начинается определениями, из которых первые семь (I def. 1–7) гласят: Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия – длина без ширины.

3. Края же линии – точки.

4. Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках.

5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

6. Края же поверхности – линии.

7. Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.

Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем

За определениями Евклид приводит постулаты (I post. 1–5):

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

За постулатами следуют аксиомы (I ax. 1–9), которые имеют характер общих утверждений, относящихся в равной мере как к числам, так и к непрерывным величинам:

1. Равные одному и тому же равны и между собой.

2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.

3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

4. (И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.)

5. (И удвоенные одного и того же равны между собой.)

6. (И половины одного и того же равны между собой.)

7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

8. И целое больше части.

9. (И две прямые не содержат пространства.)

На современном языке текст Евклида можно переформулировать так:

Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей.

Эквивалентные формулировки постулата о параллельных

В современных источниках обычно приводится другая формулировка постулата о параллельных,эквивалентная (равносильная) V постулату и принадлежащая Проклу(за рубежом её часто называют аксиомой Плейфера):

В плоскости через точку, не лежащей на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Вообще у V постулата имеется огромное количество эквивалентных формулировок, многие из которых кажутся довольно очевидными. Вот некоторые из них:

- Существует прямоугольник (хотя бы один ), то есть четырёхугольник, у которого все углы прямые.

- Существуют подобные, но не равные треугольники (аксиома Валлиса , 1693).

- Любую фигуру можно пропорционально увеличить.

- Существует треугольник сколь угодно большой площади.

- Прямая, проходящая через точку внутри угла, пересекает по крайней мере одну его сторону (аксиома Лоренца ,1791).

- Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны.

- Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую – сближаются.

- Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся.

- Вариант: перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой непременно пересекаются (аксиома Лежандра).

- Точки, равноудалённые от данной прямой (по одну её сторону), образуют прямую,

- Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться (аксиома Роберта Симсона , 1756).

- Сумма углов одинакова у всех треугольников.

- Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым.

- Две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу (аксиома Остроградского , 1855).

- Прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую.

- Через любые три точки можно провести либо прямую, либо окружность.

- Вариант: для всякого невырожденного треугольника существует описанная окружность (аксиома Фаркаша Бойяи ).

- Справедлива теорема Пифагора.

Эквивалентность их означает, что все они могут быть доказаны, если принять V постулат, и наоборот, заменив V постулат на любое из этих утверждений, мы сможем доказать исходный V постулат как теорему.

Если вместо V постулата допустить, что для пары точка–прямая V постулат неверен, то полученная система аксиом будет описывать геометрию Лобачевского. Понятно, что в геометрии Лобачевского все вышеперечисленные эквивалентные утверждения неверны.

Система аксиом сферической геометрии требует изменения также и других аксиом Евклида..

Абсолютная геометрии.

- При продолжении двух прямых от точки их пересечения расстояние между ними неограниченно возрастает.

Попытки доказательства

За два тысячелетия было предложено много доказательств пятого постулата, но в каждом из них рано или поздно обнаруживался порочный круг: оказывалось, что среди явных или неявных посылок содержится утверждение, которое не удаётся доказать без использования того же пятого постулата.

Приведенное доказательство опирается на допущение, что расстояние между двумя параллельными прямыми постоянно (или, по крайней мере, ограничено). Впоследствии выяснилось, что это допущение равносильно V постулату.

После упадка античной культуры V постулатом занялись математики стран ислама. Доказательство ал-Джаухари, ученика ал-Хорезми (IX век), неявно подразумевало: если при пересечении двух прямых какой-либо третьей накрест-лежащие углы равны, то же имеет место при пересечении тех же двух прямых любой другой. И это допущение равносильно V постулату.

Поэт и математик Омар Хайям подверг критике попытки ввести в геометрию механическое движение. Он предложил заменить V постулат на другой, более простой: две сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в направлении схождения. Каждая из двух частей этого утверждения равносильна постулату Евклида.

Ал-Абхари предложил доказательство, сходное с доказательством ал-Джаухари. (Это доказательство приводит в своей книге ас-Самарканди, и ряд исследователей считал его доказательством ас-Самарканди.) Он исходит из верного в абсолютной геометрии утверждения о том, что для всякой прямой, пересекающей стороны данного угла, может быть построена ещё одна прямая, пересекающая стороны этого же угла и отстоящая от его вершины дальше, чем первая. Но из этого утверждения он делает логически необоснованный вывод о том, что через всякую точку внутри данного угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны этого угла, – и основывает на этом последнем утверждении, эквивалентном V постулату, всё дальнейшее доказательство.

Насир ад-Дин ат-Туси предложил построение, аналогичное построению Омара Хайяма. Отметим, что сочинения ат-Туси стали известны Джону Валлису, и тем самым сыграли роль в развёртывании исследований по неевклидовой геометрии в Европе.

Первую в Европе известную нам попытку доказательства аксиомы параллельности Евклида предложил живший вПровансе (Франция) Герсонид (он же Леви бен Гершом, XIV век). Его доказательство опиралось на утверждение о существовании прямоугольника.

К XVI веку относится доказательство учёного-иезуита Христофора Клавиуса. Доказательство его, как и у ибн Курры, основывалось на утверждении, что линия, равноотстоящая от прямой – тоже прямая.

В целом можно сказать, что все перечисленные попытки принесли немалую пользу: была установлена связь между V постулатом и другими утверждениями, были отчётливо сформулированы две альтернативы V постулату – гипотезы острого и тупого угла.

Первые наброски неевклидовой геометрии

В своей книге Ламберт проницательно отметил:

Мне кажется очень замечательным, что вторая гипотеза [тупого угла] оправдывается, если вместо плоских треугольников взять сферические. Я из этого почти должен был бы сделать вывод – заключение, что третья гипотеза имеет место на какой-то мнимой сфере. Во всяком случае, должна же существовать причина, почему она на плоскости далеко не так легко поддаётся опровержению, как это могло быть сделано в отношении второй гипотезы.

Геометрия на поверхности отрицательной кривизны

Открытие неевклидовой геометрии

В первой половине XIX века по пути, проложенному Саккери, пошли сразу три математика: К.Ф. Гаусс, Н.И. Лобачевский и Я. Бойяи. Но цель у них была уже иная – не разоблачить неевклидову геометрию как невозможную, а, наоборот, построить альтернативную геометрию и выяснить её возможную роль в реальном мире. На тот момент это была совершенно еретическая идея; никто из учёных ранее не сомневался, что физическое пространство евклидово. Интересно, что Гаусса и Лобачевского учил в молодости один и тот же учитель – Мартин Бартельс (который, впрочем сам неевклидовой геометрией не занимался).

Допущение, что сумма трёх углов треугольника меньше 180°, приводит к своеобразной, совершенно отличной от нашей (евклидовой) геометрии; эта геометрия совершенно последовательна, и я развил ее для себя совершенно удовлетворительно; я имею возможность решить в этой геометрии любую задачу, за исключением определения некоторой постоянной [кривизны], значение которой a priori установлено быть не может. Чем большее значение мы придадим этой постоянной, тем ближе мы подойдем к евклидовой геометрии, а бесконечно большое её значение приводит обе системы к совпадению.

Предложения этой геометрии отчасти кажутся парадоксальными и непривычному человеку даже несуразными; но при строгом и спокойном размышлении оказывается, что они не содержат ничего невозможного. Так, например, все три угла треугольника можно сделать сколь угодно малыми, если только взять достаточно большие стороны; площадь же треугольника не может превысить, даже не может достичь некоторого предела, как бы велики ни были его стороны. Все мои старания найти в этой неевклидовой геометрии противоречие или непоследовательность остались бесплодными, и единственное, что в этой системе противится нашему разуму, это то, что в пространстве, если бы эта система была справедлива, должна была бы существовать некоторая сама по себе определенная (хотя нам и неизвестная) линейная величина. Но мне кажется, что мы, кроме ничего не выражающей словесной мудрости метафизиков, знаем очень мало или даже не знаем ничего о сущности пространства. (Из письма к Тауринусу, 1824)

В 1818 году в письме к австрийскому астроному Герлингу Гаусс выразил свои опасения:

Я радуюсь, что вы имеете мужество высказаться так, как если бы Вы признавали ложность нашей теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей геометрии. Но осы, гнездо которых Вы потревожите, полетят Вам на голову.

Лобачевский и Бойяи проявили бо́льшую смелость, чем Гаусс, и почти одновременно (Лобачевский – в докладе 1826 года и публикации 1829 года; Бойяи – в письме 1831 года и публикации 1832 года), независимо друг от друга, опубликовали изложение того, что сейчас называется геометрией Лобачевского. Лобачевский продвинулся в исследовании новой геометрии дальше всех, и она в настоящий момент носит его имя. Но главная его заслуга не в этом, а в том, что он поверил в новую геометрию и имел мужество отстаивать своё убеждение (он даже предложил экспериментально проверить V постулат, измерив сумму углов треугольника).

Всем известно, что в геометрии теория параллельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времён Евклида, в продолжении двух тысяч лет, заставили меня подозревать, что в самых понятиях ещё не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения. Главное заключение допускает существование геометрии в более обширном смысле, нежели как ее представил нам первый Евклид. В этом пространном виде дал я науке название Воображаемой Геометрии, где как частный случай входит Употребительная Геометрия.

Трагическая судьба Лобачевского, подвергнутого остракизму в научном мире и служебном окружении за слишком смелые мысли, показала, что опасения Гаусса были не напрасны. Но и его борьба была не напрасна. По иронии судьбы торжество смелых идей Лобачевского обеспечил (посмертно) осторожный Гаусс. В 1860-е годы была опубликована переписка Гаусса, в том числе несколько восторженных отзывов о геометрии Лобачевского, и это привлекло внимание к трудам русского математика. В 1868 году выходит статья Э. Бельтрами, который показал, что плоскость Лобачевского имеет постоянную отрицательную кривизну (у евклидовой плоскости кривизна нулевая, усферы – положительная); очень быстро неевклидова геометрия приобретает легальный научный статус, хотя всё ещё рассматривается как чисто умозрительная.

В конце XIX-начале XX века сначала математики (Бернхард Риман, Уильям Кингдон Клиффорд), а затем и физики (Общая теория относительности, Эйнштейн), окончательно покончили с догматом о евклидовой геометрии физического пространства.

Модели неевклидовой геометрии.

Доказать непротиворечивость новой геометрии ни Лобачевский, ни Бойяи не сумели – тогда математика ещё не располагала необходимыми для этого средствами. Только спустя 40 лет появились модель Клейна (1871) и модель Пуанкаре (1882), реализующие аксиоматику геометрии Лобачевского на базе евклидовой геометрии. Эти модели убедительно доказывают, что отрицание V постулата не противоречит остальным аксиомам геометрии; отсюда вытекает, что V постулат независим от остальных аксиом и доказать его невозможно.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Реферат на тему:

5. Непротиворечивость геометрии Лобачевского

6. Список литературы

Определение 1. Точка есть то, что не имеет частей.

Определение 2. Линия есть длины без ширины

Определение 3. Границы линии суть точки.

Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства.

I . Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

II . И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.

III . И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.

IV . И чтобы все прямые углы были равны.

V . И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

I . Равные порознь третьему равны между собой.

II . И если к ним прибавим равные, то получим равные.

III . И если от равных отнимем равные, то получим равные.

IV . И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.

V . И если удвоим равные, то получим равные.

VI . И половины равных равны между собой.

VII . И совмещающиеся равны.

VIII . И целое больше части.

IX . И две прямые не могут заключать пространства.

Иногда IV и V постулаты относят к числу аксиом. Поэтому пятый постулат иногда называют XI аксиомой. По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно.

Никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.

Одни математики старались доказать постулат о параллельных, применяя только другие постулаты и те теоремы, которые можно вывести из последних, не используя сам V постулат. Все такие попытки оказались неудачными. Их общий недостаток в том, что в доказательстве неявно применялось какое-нибудь предположение, равносильное доказываемому постулату.

С логической точки зрения результаты Хайяма или Валлиса лишь выявляли равносильность V постулата и некоторых других предложений геометрии. Так, Хайям, по существу, установил эквивалентность постулата и предложения о сумме углов треугольника, а Валлис показал, что не только из V постулата можно вывести учение о подобии, но и обратно – их евклидова учения о подобии следует V постулат.

Один из обнадеживающих способов подхода к доказательству пятого постулата, которым пользовались многие геометры XVIII и первой половины XIX веков, состоит в том, что пятый постулат заменяется его отрицанием или каким-либо утверждением, эквивалентным отрицанию. Опираясь на измененную таким образом систему постулатов и аксиом, доказываются всевозможные предложения, логически из нее вытекающие. Если пятый постулат действительно вытекает из остальных постулатов и аксиом, то измененная указанным образом система постулатов ми аксиом противоречива. Поэтому рано или поздно мы придем у двум взаимно исключающим выводам. Этим и будет доказан пятый постулат.

Он рассматривает четырехугольник с тремя прямыми углами. Относительно четвертого угла так же возникают три гипотезы: этот угол прямой, тупой или острый. Доказав эквивалентность пятого постулата гипотезе прямого угла и сведя к противоречию гипотезу тупого угла, Ламберт, подобно Саккери, вынужден заниматься гипотезой острого угла. Она приводит Ламберта к сложной геометрической системе, в которой ему не удалось встретить логического противоречия. Ламберт нигде в своем сочинении не утверждает, что V постулат им доказан, и приходит к твердому заключению, что и все другие попытки в этом направлении не привели к цели.

Более того, развивая систему гипотезы острого угла, Ламберт обнаруживает аналогию этой системы со сферической геометрией и в этом усматривает возможность ее существования.

Лежандр в своем доказательстве пятого постулата рассматривает три гипотезы относительно суммы углов треугольника.

Сумма углов треугольника равна двум прямым.

Сумма углов треугольника больше двух прямых.

Сумма углов треугольника меньше двух прямых.

Он доказал, что первая гипотеза эквивалентна пятому постулату, вторая гипотеза невозможна; и приняв третью гипотезу приходит к противоречию, неявно воспользовавшись в доказательстве пятым постулатом через один из его эквивалентов.

углов треугольника всегда и две прямые могут не пересекаться в случае , когдаони образуют с секущей углы, в

где q – та же постоянная, что и в формуле (1).

т
о формулы тригонометрии Лобачевского можно записать в том же виде, заменив стороны a , b , c треугольника произведениями ai , bi , ci ; так как умножение сторон a , b , c на i равносильно умножению на i радиуса сферы, то, полагая r = qi и воспользовавшись известными соотношениями

cos( ix ) = ch x , sin( ix ) = i sh x ,

мы можем переписать соответственные формулы тригонометрии Лобачевского в виде

Сам Лобачевский пользовался не функциями ch x и sh x , а комбинациями введенной им функции с тригонометрическими функциями; постоянная q в этих формулах – та же, что и в формулах (1) и (2).

Доказательство теоремы о 5-ом постулате Евклида как следствия его первых трех постулатов с использованием доводов, имеющих форму доказательства от противного, методом доведения до абсурда. Сферическое пространство Римана и плоскости Лобачевского.

Рубрика	Математика
Вид	статья
Язык	русский
Дата добавления	29.08.2016
Размер файла	326,2 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

О проблеме 5-го постулата Евклида

Путенихин Петр Васильевич

Приводится доказательство теоремы о 5-ом постулате Евклида, как следствия первых трех постулатов.

Плоскость Лобачевского; пространство Римана; псевдосфера Бельтрами; регулярное пространство; особые точки

1. Содержание проблемы V постулата Евклида

Многие математики пытались перевести этот постулат в разряд теорем, то есть, доказать, что он в качестве постулата - лишний и является следствием предыдущих четырех аксиом. Но это никому так и не удалось:

"Авторы этих доказательств ставили себе задачей вывести логическим путем V постулат из остальных постулатов Евклида. Следует заметить, что хотя эта задача стояла перед геометрами на протяжении многих веков, она до конца XIX столетия оставалась неопределенной". [3]

В наши дни пятый постулат Евклида в России более известен в виде равносильной аксиомы параллельности: В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

2. Теорема о V постулате Евклида

С учетом того, что IV постулат Евклида был доказан как теорема, теорема о V постулате Евклида могла бы иметь, например, такой вид:

Для определенности, необходимой в последующих выкладках, приведем постулаты I-V Евклида, которые он сформулировал в таком виде:

1. Что от всякой точки до всякой точки провести прямую линию.

2. И что ограниченную прямую непрерывно продолжать по прямой.

3. И что из всякого центра и всяким раствором описан круг.

4. И что все прямые углы равны между собой.

Является ли такая формулировка теоремы верной и доказуемой? Чтобы выяснить это, рассмотрим следующие доводы, имеющие форму доказательства от противного, методом доведения до абсурда. Возможны только два тезиса, противоречащие приведенной формулировке теоремы:

1. Не существует ни одной указанной прямой.

2. Существует более одной такой прямой.

Очевидно, что других опровержений теоремы не существует. Если при справедливости трёх постулатов Евклида будет доказан любой из двух перечисленных пунктов, то это будет означать ошибочность теоремы. Однако, оказывается, что признание справедливости I-III постулатов Евклида делает эти два утверждения ошибочными. Рассмотрим их подробнее.

3. Не существует ни одной прямой

Согласно этому утверждению, мы получаем формулировку теоремы в виде: "В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной". Хорошо известно, что этому утверждению соответствует кривое анизотропное (деформированное) неевклидово пространство Римана.

Рис. 1. Сферическое и эллиптическое пространства Римана с отождествлёнными точками. Две отождествлённые точки - это одна и та же точка на сфере (a=a' и b=b') [6].

Понятно, что это не то плоское пространство, каковым его, несомненно, представлял Евклид. Получается: если указанную в теореме прямую провести нельзя, то это означает, что пространство - кривое. В свою очередь, из этого следует и обратное утверждение, что прямую нельзя провести только в одном случае: если пространство кривое, с положительной кривизной.

Однако, на таком "плоском" пространстве оказывается ошибочным и другой постулат Евклида - третий! Действительно, совершенно очевидно, что если пространство Римана имеет радиус кривизны R, то на нём не выполняется требование постулата "из всякого центра и всяким раствором описан круг". Если взять раствор циркуля, равный, например, 4R, то в этом случае конец циркуля будет вне поверхности пространства Римана. Кроме этого, увеличение раствора циркуля свыше 2рR приводит к нарушению и II постулата Евклида, поскольку прямая сливается сама с собой (замыкается) и исключается вообще какая-либо возможность говорить о её длине. Отдельно можно рассмотреть окружность (на сфере) с раствором циркуля, равным в точности 2рR. В этом случае диаметр круга становится равным нулю. Правда, в этом случае речь идёт не о собственно "растворе циркуля", а о его подобии - упругом несжимаемом отрезке (веревке).

Таким образом, отсутствие возможности провести требуемую параллельную прямую в этом случае не является следствием всех трех постулатов, как того требует теорема. Отсутствие такой прямой требует, чтобы не соблюдался третий постулат, что противоречит исходным требованиям теоремы. Следовательно, рассмотренная формулировка теоремы не может быть верной.

4. Существуют две прямые и более

Согласно этому второму варианту отрицания мы получаем формулировку теоремы в виде: "В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести две прямые, параллельные данной".

Доказано, что эта формулировка приводит к непротиворечивой геометрии Лобачевского. Рассмотрим внимательнее возникающее в ней так называемое гиперпространство Лобачевского. Согласно Гильберту, не существует полной и регулярной поверхности, внутренняя геометрия которой представляла бы геометрию полной плоскости Лобачевского. Это означает наличие границ у такой плоскости, что в свою очередь делает невозможным выполнение III постулата Евклида вблизи таких границ. Рассмотрим в качестве примера один из наиболее известных вариантов фрагмента поверхности Лобачевского - псевдосферу Бельтрами с постоянной отрицательной кривизной:

Рис.2. Псевдосфера Бельтрами [5]

Как видно на рисунке, псевдосфера Бельтрами является замкнутой, как бы конической в две стороны. Из множества других известных вариантов поверхностей Лобачевского ни одна из них не позволяет в полной мере выполнить III постулат Евклида [4, 5, 7, 8]:

Рис.3. Псевдосферические поверхности вращения

Многие поверхности постоянной отрицательной кривизны названы именами математиков, которые их исследовали и описали:

Рис.4. Поверхность Дини (слева) и поверхность Бианки - Амслера (справа)

Рис.5. Геликоид Дини (слева) входит в класс поверхностей постоянной отрицательной гауссовой кривизны, псевдосфера является его частным случаем и поверхность Куена (справа) [4].

Гильберт упоминает доказательство наличия у плоскости Лобачевского существенных особенностей, которое можно рассматривать как сильное условие нарушения III постулата Евклида, запрет в самом общем виде:

5. Зависимость V постулата от III

Итак, неизбежным выводом является зависимость пятого постулата от третьего. То есть, третий постулат является необходимым и достаточным условием справедливости пятого постулата. Если существует и справедлив третий постулат, то пятый постулат имеет силу только строго в формулировке Евклида, то есть является его следствием. И, напротив, если считать неверным пятый постулат в формулировке Евклида, то также становится неверным и его третий постулат. Это однозначное и неизбежное соответствие.

Таким образом, мы не имеем никаких оснований утверждать, что пятый постулат Евклида является независимым от его третьего постулата.

теорема евклид лобачевский плоскость

3. Ефимов Н.В. Высшая геометрия (5-е изд.). М.: Наука, 1971

. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. Аналитические поверхности: материалы по геометрии 500 поверхностей и информация к расчету на прочность тонких оболочек, Наука, 2006 г., 539 с.

7. Отрицательной кривизны поверхность, Математическая энциклопедия

8. Попов А.Г. Псевдосферические поверхности и некоторые задачи математической физики, МГУ им. М.В. Ломоносова, Фундаментальная и прикладная математика, 2005, том 11, № 1, с. 227--239.

Подобные документы

Анализ проявлений недоказуемости пятого постулата Евклида. Общая характеристика и обоснование основных идей неевклидовской геометрии в работах Д. Саккери, И.Г. Ламберта, Я. Бояи, Ф. Швейкарта, Ф.А. Тауринуса, К.Ф. Гаусса, Н.И. Лобачевского, Я. Больяйя.

реферат [29,4 K], добавлен 21.09.2010

Геометрическая и алгебраическая формулировка теоремы Пифагора. Многочисленность ее доказательств: через подобные треугольники, методом площадей, через равнодополняемость, при помощи дифференциальных уравнений. Доказательства Евклида и Леонардо да Винчи.

презентация [378,7 K], добавлен 15.10.2013

История создания теоремы. Краткая биографическая справка из жизни Пифагора Самосского. Основные формулировки теоремы. Доказательство Евклида, Хоукинса. Доказательство через: подобные треугольники, равнодополняемость. Практическое применение теоремы.

презентация [3,6 M], добавлен 21.10.2011

Изучение истории развития геометрии, анализ постулатов Евклида, аксиоматики Гильберта, обзор других систем аксиом геометрии. Характеристика неевклидовых геометрий в системе Вейля. Элементы сферической геометрии. Различные модели плоскости Лобачевского.

дипломная работа [245,5 K], добавлен 13.02.2010

История возникновения неевклидовой геометрии. Сравнение постулатов параллельности Евклида и Лобачевского. Основные понятия и модели геометрии Лобачевского. Дефект треугольника и многоугольника, абсолютная единица длины. Определение параллельной прямой.

курсовая работа [4,1 M], добавлен 15.03.2011

Способ доказательства "от противного". Глубинные вопросы гносеологии, сопутствующие решению проблемы. Информация доступна для понимания не только суперматематикам, но и обычным людям, проявляющим интерес к данной проблеме.

статья [17,5 K], добавлен 30.08.2007

Геометрия Евклида — теория, основанная на системе аксиом, изложенной в "Началах". Гиперболическая геометрия Лобачевского, ее применение в математике и физике. Реализация геометрии Римана на поверхностях с постоянной положительной гауссовской кривизной.

Эта статья посвящена пятому постулату Евклида и его истории.

Как появилась геометрия

С тех пор как земельные наделы стали предметом купли-продажи и сдачи в аренду, их размеры и площадь нужно было измерять, в том числе путем вычислений. Кроме того, подобные расчеты стали необходимы при строительстве масштабных сооружений, а также при измерении объема различных предметов. Все это стало предпосылками возникновения 3-4 тысячелетия назад в Египте и Вавилоне искусства землемерия. Оно было эмпирическим и представляло собой собрание примеров решения нескольких сотен конкретных задач, без каких-либо доказательств.

Кем был Евклид

Древняя Греция дала миру многих величайших философов и ученых. Одним из них является Евклид, ставший основоположником Александрийской математической школы. О самом ученом практически ничего не известно. Некоторые источники указывают, что в молодости будущий Отец современной геометрии учился в известной школе Платона в Афинах, а затем вернулся в Александрию, где продолжил заниматься математикой и оптикой, а также писал музыку. В родном городе он основал школу, где вместе с учениками и создал свой знаменитый труд, который на протяжении более чем двух тысячелетий является базой для любого учебника по планиметрии и стереометрии.

Главный и первый наиболее систематизированный труд по геометрии состоит из 13 томов. Первые четыре и шестая книги касаются планиметрии, а 11, 12 и 13-я — стереометрии. Что касается остальных томов, то они посвящены арифметике, которая приводится с точки зрения геометрических постулатов.

Роль главного труда Евклида в последующем развитии математических наук трудно переоценить. До нас дошло несколько папирусных списков с оригинала, а также византийских манускриптов.

Некоторые особенности

Элементарным геометрическим объектом, по мнению Евклида, является точка. Второе важное понятие — бесконечность пространства, которая характеризуется тремя первыми постулатами. Четвертый касается равенства прямых углов. Что касается пятого постулата Евклида, то именно он определяет свойства и геометрию евклидова пространства.

Аксиомы и первые 4 постулата Евклида

Кроме того, Евклид приводит 5 постулатов. Первые четыре гласят:

от любой точки до всякой другой можно провести прямую;
из любого центра всяким радиусом возможно описать окружность;
ограниченная прямая может непрерывно продолжаться по прямой;
все прямые углы равны.

Пятый постулат Евклида

На протяжении более двух тысячелетий это утверждение неоднократно становилось объектом пристального внимания математиков. Однако сначала познакомимся с содержанием пятого постулата Евклида. Итак, в современной формулировке он звучит так: если на плоскости при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних внутренних углов меньше 180°, то эти прямые при продолжении рано или поздно пересекутся с той стороны, с которой эта величина (сумма) меньше 180°.

Пятый постулат Евклида, формулировка которого в разных источниках приводится по-разному, с самого начала вызвала спорт и желание перевести его в разряд теорем путем построения обоснованного доказательства. Кстати, нередко его подменяют другим выражением, на самом деле придуманным Проклом и известным также, как аксиома Плейфера. Оно гласит: на плоскости через точку, не принадлежащей данной прямой, возможно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Формулировки

Как уже было сказано, многие ученые пытались по-другому высказать идею 5-го постулата Евклида. Многие формулировки достаточно очевидны. Например:

сближающиеся прямые пересекаются;
существует хотя бы один прямоугольник, то есть 4-угольник с четырьмя прямыми углами;
каждая фигура может быть пропорционально увеличена;
существует треугольник, имеющий любую, сколь угодно большую площадь.

Недостатки

Геометрия Евклида стала величайшим математическим трудом античности и вплоть до 19 века она безраздельно царила в математике. Несмотря на это, некоторые ее недостатки были отмечены еще современниками автора и древнегреческими учеными, жившими несколько позже. В частности, Архимед добавил новую аксиому, названную его именем. Она гласит: для любых отрезков AB и CD существует такое натуральное число n, что n·[AB]>[CD].

Кроме того, ученые стремились минимизировать систему евклидовых постулатов и аксиом. Для этого они вывели некоторые из них из остальных.

История 5 постулата в древности и в раннем Средневековье

Классическая формулировка этого утверждения геометрии Евклида кажется гораздо менее очевидной, чем четырех других. Именно это обстоятельство не давало покоя математикам.

Камнем преткновения для пятого постулата Евклида явилось само определение параллельности двух прямых a и b, гласящее, что сумма двух односторонних углов, которые образованы пересечением a и b с третьей прямой c, равна 180 градусам.

Первая попытка доказать его как теорему была предпринята древнегреческим геометром Посидонием. Он предложил считать прямой параллельной данной множество всех точек плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от исходной. Однако даже это не позволило Посидонию найти доказательство 5-го постулата.

Ни к чему не привели и попытки прочих математиков, в том числе и средневековых, таких как же арабы ибн Корра и Хайама. Единственное, чего удалось добиться — появление новых постулатов, которые доказываются с учетом различных допущений.

К началу 19-го столетия возникла идея создания неевклидовой геометрии. Первым описание системы, не зависящей от пятого постулата, привел военный инженер Я. Бойаи. Но он сам испугался своего открытия и не стал развивать эту идею, посчитав ее ошибочной. Успеха не смог добиться и великий немецкий математик К. Гаусс.

Прорыв

Н. И. Лобачевский изначально пошел по тому же пути, что и его коллеги. Пытаясь доказать 5-й постулат, он не добился успеха. Тогда ученый отказался от евклидового представления, согласно которому сумма углов треугольника равна 180 градусам. Далее он стал доказывать это утверждение от противного и получил новую формулировку для пятого постулата. Теперь он допускал существование нескольких прямых, параллельных данной, и проходящих через точку, лежащую вне этой прямой.

Новая геометрия

К сожалению, идеи геометрии Лобачевского не были восприняты и поняты современниками. В частности, его ученики не продолжили дело ученого, и развитие неевклидовой геометрии было отложено на несколько десятилетий.

Некоторые особенности теории Лобачевского

Чтобы понять новую геометрию, нужно рассмотреть космическую бесконечность. Действительно, сложно представить, что бескрайная Вселенная представляет собой сумму прямолинейных пространств.

В реальной жизни также есть аналоги криволинейных пространств Вселенной, которые позволяют представить возможность существования нескольких прямых параллельных данной, проходящих через одну точку. В частности, это изогнутые поверхности трех типов, которые выделены итальянским геометром Е. Бельтрами и названные псевдосферами.

Дальнейшее развитие теории Лобачевского

Выдающийся русский был не единственным, кто предположил не абсолютность евклидовой геометрии. В частности, математик Б. Риман в 1854 году выдвинул идею о возможности существования пространств нулевой, положительной и отрицательной кривизной. Это означало, что возможно создание бесконечного множества различных неклассических геометрий.

С позиций Б. Римана, который изучал в основном пространства с положительной кривизной, 5-й постулат Евклида звучит достаточно неожиданно. Согласно его идеям, через точку вне данной прямой нельзя провести ни одной прямой, которая параллельна данной.

Совсем по-иному обстоит дело с пространствами нулевой, отрицательной и положительной кривизны по теории Ф. Клейна. В частности, в первом случае они описываются параболической геометрией, частным случаем которой является классическая, во второй — подчиняются идеям Лобачевского, а в третьем — соответствуют свойствам, описанным Риманом.

После опубликования Теории относительности Альберта Эйнштейна, представления о таких пространствах дополнили данными, учитывающими существование четырех взаимообусловленных и меняющихся измерений — массы, энергии, скорости и времени.

На практике

Остается ждать, когда будут созданы условия, позволяющие получить экспериментальные данные, которые подтвердят или опровергнут теории Н. Лобачевского и Б. Римана в масштабах Галактики.

Теперь вам известны, что декларирует пятый постулат Евклида и его история, которая весьма поучительна и позволяет проследить эволюцию человеческой мысли на протяжении последних 2300 лет.

Вложение	Размер
описание проекта	1.82 МБ
электронный вариант книги	2.2 МБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

2000 лет научных споров. От Евклида до Лобачевского. Дополнительные главы к учебнику геометрии. Татьяна Тиунова

Поистине цементным раствором, соединившим прочнейшими связями основания всех областей математики, явилась в XX веке математическая логика. С её помощью был исследован сам процесс доказательства, процесс вывода теорем из аксиом. Тем самым аксиоматический метод получил дальнейшее своё развитие и достиг в определённом смысле вершины. Аксиоматические теории сами стали точными математическими объектами, названными формальными системами, и стали изучаться математическими методами, стала строиться теория также математических теорий (теория формальных систем), называемая метатеорией. Это направление было начато в работах Гильберта и получило название метода формализации и обоснования математики. В рамках метатеории геометрии были доказаны непротиворечивость, категоричность, полнота и разрешимость аксиоматической теории евклидовой геометрии, а также и геометрии Лобачевского. Можно сказать, что в XX веке состоялся третий этап развития аксиоматического метода. 11

Глава 2. О тех, кто пытался доказать пятый постулат. Наиболее интересные попытки доказательства V постулата заслуживают хотя бы краткого знакомства с ними. Доказательства мы поместим в отдельную главу и посвятим ее наиболее заинтересованным и подготовленным читателям. А в этой главе нас более интересуют личности исследователей и то, насколько их формулировки близки к современным. Изложенные выше особенности V постулата Евклида, как уже говорилось, постоянно обращали на себя внимание математиков последующих веков. Если при этом учесть, что вплоть до конца XIX века царила та точка зрения, что безусловным и неотъемлемым признаком аксиом и постулатов является их непосредственная очевидность, то станут понятными упорно стремление и не прекращавшиеся в течение двух тысячелетий попытки доказательств V постулата, то есть сведение его в разряд теорем. Таким образом, наряду с тремя знаменитыми задачами древности (квадратуры круга, трисекции угла, удвоения куба) возникла не менее знаменитая проблема доказательства V постулата. 20

Постулат о параллельных линиях у арабов Нассир-Эддин Насир-Эддин ( Абу-Джафар Мухаммед ибн-Гасан аль-Тузи ) — арабский математик и астроном, живший в 1201-1274гг, родом из Персии. После молодости, проведенной в путешествиях, он предложил свои услуги халифу Альмустазиму в Багдаде; получив презрительный отказ, удалился к врагу халифа, монгольскому великому хану Гулагу Ильхану , внуку Чингисхана. Здесь он был не только ласково принят, но скоро сделался любимцем хана. Одним из результатов влияния Насир-Эддин на хана было сооружение в 1259 г. астрономической обсерватории в Мераге , близ Тавриза . Мерагская обсерватория обладала прекрасным собранием астрономических инструментов и богатейшей для своего времени библиотекой, рукописи которой, по повелению хана, с большим старанием собирались в Хорасане, Сирии, Багдаде, Моссуле и в других местах. В эту же обсерваторию хан пригласил лучших астрономов и математиков своего государства, в помощники к Н. Частью при их содействии, главным же образом на основании собственных 12-летних наблюдений Насир-Эддин составил астрономические таблицы, очень скоро сделавшиеся знаменитыми во всей Азии. В честь великого хана он назвал их ильханскими таблицами. Перевод их на латинский язык издан в 1652 г. в Лондоне и затем перепечатан в III т. "Малых географов". Насир-Эддин также писал о теории небесных движений и об астролябии. Он оставил после себя более 20 оригинальных и переводных сочинений. В области математики Насир-Эддин принадлежат оригинальные сочинения, посвященные изложению арифметики, алгебры и геометрии, и многочисленные переводы произведений греческих математиков и астрономов: Евклида ("Элементы"), Архимеда, Автолика , Гипсикла , Менелая , Птолемея (4 книги " Алмагеста ") и Феодосия. Арабский текст его перевода "Элементов", вместе со сделанным с него латинским переводом, напечатан в Риме в 1594 г. и в Лондоне в 1657 г., под заглавием: " Euclid . Elementorum LL. XIII Studio Nass i reddini Tusini pr. arab . impressi ". 25

Общие черты и характерные ошибки Попытки доказательств V постулата наталкивались на огромные трудности, причем эти трудности были специфическими, так как были связаны с нашими основными понятиями и пространственными представлениями, с основами самой геометрической науки, они требовали особой проницательности и силы отвлеченной логической мысли, особенно глубокого проникновения в структуру геометрии. За разрешение этой проблемы брались математики самых различных рангов, но все попытки оказались тщетными. Типичной ошибкой большинства доказательств V постулата являлось сознательное или бессознательное использование какого-либо утверждения, не содержащегося явно в остальных постулатах и аксиомах и не вытекающего из них. Обычно автор доказательства незаметно для себя опирался на некоторое допущение, которое оказывалось еще одним эквивалентом V постулата. Допуская, что V постулат не верен, геометры пытались прийти к логическому противоречию, которое и доказывало бы истинность V постулата. 29

Это утверждение у Нассир-Эдина основано на наглядности, но оно может быть обосновано аксиомой Паша: если прямая пересекает сторону треугольника, не проходя ни через одну из его вершин, то она пересекает одну из двух других сторон треугольника. Если же точка H1 лежит между A и C, то проведем отрезок AL перпендикулярно к AC, причем  AL  =  HH 1  . Соединим точки H и L прямой, получим (на основании теоремы 2 Нассир-Эддина ) прямоугольник HLAH 1 , у которого  HL  =  АH 1  . Отложим, далее, отрезок HK = AH и проведем перпендикуляр КK 1 к AC. Легко показать, что  KK 1  >  HH 1  . Отложим отрезок K 1 L 1 = HH 1 и соединим точки H и L 1 . Cнова получим прямоугольник K 1 L 1 HH 1 . Tочки L 1 , H, L расположены на одной прямой, следовательно, треугольники AHL и HL1K равны (по гипотенузе и острому углу: угол L 1 HK = углу AHL , как вертикальные), значит,  L 1 H  =  HL  , отсюда:  K 1 H 1  =  H 1 A  . Далее, откладываем отрезок KM = HK, аналогично доказываем, что  M1K1  =  K 1 H 1  =  H 1 A  Продолжая этот процесс (на основе аксиомы Архимеда), получим, наконец, столь большой отрезок AO1, кратный AH1, что точка O1 окажется вне отрезка AC по другую сторону точки C. Следовательно, прямая CD не может встретиться с прямой O 1 O , так как CD перпендикулярна AC и O 1 O перпендикулярна AC, то есть CD встретит гипотенузу OA прямоугольного треугольника AOO1. 46

Теорема* (общий случай): Любые две прямые из данных непараллельных прямых пересекаются. Доказательство: Пусть AB, CD, EF – данные три прямые, не параллельные друг другу, причем EF - секущая прямых AB и CD. Надо доказать, что прямые AB и CD пересекаются. Пусть угол EFB – острый. Проведем EG перпендикулярно AB, получим треугольник EFG. Так как сумма углов треугольника = 2d, то угол FEG + угол GFE = d , следовательно, и угол DEG – острый. Значит, прямые AB и CD пересекаются, так как AB перпендикулярна EG, а CD наклонна к EG (по теореме 3 Нассир-Эддина ). 47

4). 4 больше 12. Запишем очевидное неравенство 7>5 и равенство -8=-8, которые при сложении почленно , дают 7-8>5-8, или -1>-3, что верно. Умножая обе части неравенства -1>-3 на -4, получим (-1)(-4)>(-3)(-4), откуда следует, что 4>12. Разбор софизма. При умножении на -4 знак неравенства должен поменяться. Пример геометрического софизма: 1). 2).Спичка вдвое длиннее телеграфного столба. Пусть, а дм - длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b - a = c , b = a + c . Перемножаем два эти равенства по частям, нахо-дим : b 2 - ab = ca + c 2 . Вычтем из обеих частей bc . Получим: b 2 - ab - bc = ca + c 2 - bc , или b ( b - a - c ) = - c ( b - a - c ), откуда b = - c , но c = b - a , поэтому b = a - b , или a = 2b. Разбор софизма. В выражении b ( b-a-c )=(- c )*( b-a-c ) производится деление на ( b-a-c ), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба. 87

Пример логического софизма: Софизм учебы. (Не философия, а мечта лентяев!) Данным софизмом является песенка, сочиненная английскими студентами: The more you study, the more you know The more you know, the more you forget The more you forget, the less you know The less you know, the less you forget The less you forget, the more you know So why study ? Чем больше учишься, тем больше знаешь. Чем больше знаешь, тем больше забываешь. Чем больше забываешь, тем меньше знаешь. Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь. Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь. Так для чего учиться? 88

Вместо послесловия. Хочется верить, что наша книга интересна разным категориям читателей, ведь в ней содержатся не только научные аспекты, но и биографические сведения об ярких ученых, которые исследовали проблему пятого постулата. Доказательства теорем, представленные в книге, в некоторой степени сложны для понимания неподготовленных читателей, но они помогают разъяснить суть пятого постулата Евклида. Читатель может наглядно увидеть, какие думы занимали величайшие умы человечества на протяжении двух тысяч лет. Надеемся, что наш читатель смог понять, что ученые - тоже люди, которым свойственно ошибаться. И это совершенно неудивительно, ведь их миссия - работа над проблемами колоссальной сложности. Спасибо за внимание. 89

Читайте также: