Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами реферат

Обновлено: 30.06.2024

Уравнение (9.1) называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами; a_k - постоянные вещественные числа. Если функция f(x) не равна тождественно нулю, то иногда говорят, что уравнение с правой частью.

Уравнение (9.2) называется линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами; a_k- постоянные вещественные числа.Т. к. функция f(x) равна тождественно нулю, то иногда говорят, что уравнение без правой части.

называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами уравнения (9.2).

Система функций y₁, y₂, y₃. y_n-1, y_nназывается линейно независимой в интервале (a, b), если тождество (c₁, c₂, c₃. c_n - постоянные числа)

может выполняться только когда все c_k=0. Если к тому же каждая из функций y_k является частным решением однородного уравнения(9.2), то система решений однородного уравнения называется фундаментальной системой решений.

Если фундаментальная система решений найдена, то функция

дает общее решение однородного уравнения (9.2),( все C_k- константы ).

Однородное дифференциальное уравнение

Рассмотрим три случая.

Все корни характеристического уравнения различны и вещественны.

Фундаментальная система решений имеет вид :

Функция дает общее решение однородного уравнения (9.2) (все C_k- константы ).

Записываем характеристическое уравнение Его корни ,

фундаментальная система решений

П. 9.2 Начальные данные при .

Корни характеристического уравнения . Общее решение . Т. к. , то для определения костант

имеем два уравнения: . Значит, - частное решение, удовлетворяющее заданным начальным данным.

Все корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные

Каждому вещественному корню λ по-прежнему соответствует частное решения y = e λx , а каждой паре комплексных сопряженных корней соответствуют два линейно-независимых частных решения :

Т.о.,фундаментальную систему решений в данном случае образуют линейно-независимые частные решения, которые соответствуют вещественным корням, и линейно-независимые частные решения, которые соответствуют каждой паре комплексно-сопряженных корней.

Общее решение дает линейная комбинация фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентами C_k.

Находим корни характеристического уравнения или

. Один корень вещественный и пара комплексно-сопряженных корней (a = 0, b = 3, т. е. корни чисто мнимые) Фундаментальная система решений :. Записываем общее решение

, (a = 3, b = 2 ). Фундаментальная система решений :.

П. 9.5 . Начальные данные: .

Корни характеристического уравнения

Фундаментальная система решений : .

Общее решение . Для определения констант находим

При . Т.о. , частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет следующий вид:

Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни

В этом случае каждому вещественному корню λ кратности k соответствует k линейно-независимых частных решений вида

причем в формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной комбинации

а каждой паре комплексных сопряженных корней кратности k соответствуют 2k линейно-независимых частных решения вида

В формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной комбинации

Т.о., фундаментальную систему решений в данном случае образуют линейно-независимые частные решения, которые соответствуют вещественным простым и кратным корням, и линейно-независимые частные решения, которые соответствуют каждой паре простых и кратных комплексно-сопряженных корней.

Корни характеристического уравнения кратны, . Кратность вещественного корня . Фундаментальная система

решений : . Общее решение .

Корни характеристического уравнения комплексны и кратны, . Кратность пары комплексно-сопря-женных корней , (a=0, b=2, т. е. корни чисто мнимые ). Фундаментальная систе-ма решений : .

Характеристическое уравнение имеет двукратный вещественный корень и пару комплексно-сопряженных корней , . Фундаментальная система решений : .

Характеристическое уравнение имеет простой вещественный корень и двукратную пару комплексно-сопряжен-ных корней , корни чисто мнимые).

Фундаментальная система решений : .

Неоднородное дифференциальное уравнение

можно найти по формуле (формула верна и в том случае, когда коэффициенты не являются константами) , где - частное решение неоднородного уравнения, а

- общее решение однородного уравнения .

Т.о., чтобы найти общее решение неоднородного уравнения , надо

найти общее решение однородного уравнения и частное решение

Стало быть, возникает задача нахождения частного решения неоднородного уравнения. Рассмотрим четыре случая решения задачи методом неопределенных коэффициентов, когда правая часть имеет специальный (стандартный ) вид.

Суть метода заключается в том, что частное решение ищут в заранее известном виде с неопределенными коэффициентами, конкретные значения которых находят подстановкой в исходное уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых функциях в левой и правой частях.

(♠) f(x) = P_n(x)где P_n(x) - полином от степени (который, в частности, может быть константой, не равной нулю).

Если число 0 не является корнем характеристического уравнения, то следует искать в виде

где - полином той же степени с неопределенными коэффициентами.

Если же число 0 является корнем характеристического уравнения кратности , то следует искать в виде

Корни характеристического уравнения .Общее решение однородного уравнения . Число 0 не является корнем характеристи-ческого уравнения частное решение ищем в виде . Теперь согласно рецепту следует подставить в исходное уравнение, однако обычно при-держиваются нижеследующей схеме.

-1	y_ч=Ax 2 +Bx+C
0
1

Из третьего столбца получим A=-1, B=1, C=-3 неопределенные коэффициенты.

Во втором столбце стоят и производные, в первом - коэффициенты, с которыми входят в уравнение; в третьем столбце приравнены коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях уравнения. Т.о., частное решение

Корни характеристического уравнения .Общее решение однородного уравнения . Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности частное решение ищем в виде . Далее, согласно схеме.

0	y_ч=x(Ax 2 +Bx+C)
-4	y ' _ч=3Ax 2 +Bx+C
1

Из третьего столбца найдем A=1, B=0, C=1.

Т.о., . Общее решение

Корни характеристического уравнения .Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности .Общее решение одно-родного уравнения . Частное решение ищем в виде . Далее, согласно схеме.

Из третьго столбца получим A=1/2, B=1.

Т.о., . Общее решение .

(♠♠) , где - полином от степени (который, в частности, может быть константой, не равной нулю); - вещественное число.

Если число не является кратным корнем, то следует искать

где - полином той же степени с неопределенными коэффициентами.

Если же число является корнем характеристического уравнения кратности , то следует искать в виде

П. 9.13 .

Начальные данные: при .

Число не является корнем характеристического уравнения ,

. Общее решение однородного уравнения . Частное решение ищем в виде .

0	y_ч=(Ax 2 +Bx+C)	e x x 2 :-2A+A=1
-2	y ' _ч=e x [Ax 2+ (2A+B)x+B+C]	e x x:-4A-4B+B+4A=1
1	y '' _ч=e x [Ax 2 +(B+4A)x+2A+ 2B+C]	e x :-2B-2C+2A+2B+C=-3

Решая уравнения, находим . Т.о., .

Общее решение . Решаем задачу Коши.

. Решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет следующий вид: .

Число является простым корнем характеристического уравнения , . Общее решение однородного уравнения . Частное решение ищем в виде

Из третьего столбца таблицы находим A=2.

Число является двукратным корнем характеристического уравнения , . Общее решение однородного уравнения . Частное решение ищем в виде .

Т.о., . Общее решение .

(♠♠♠) , где - полиномы от (которые, в частности, могут быть константами и один из них может быть равным нулю); - вещественные числа.

Пусть - наибольшая из степеней полиномов .

Если число не является корнем характеристического уравнения, то следует искать в виде

где - полиномы степени с неопределенными коэффициентами.

Если число является корнем кратности , то следует искать в виде

Корни характеристического уравнения .Общее решение однородного уравнения . Т.к. ; число не является корнем характеристического уравнения , то частное решение ищем в виде .

-1	y_ч= Acosx+Bsinx	cosx:-A-A=-4
0	y ' _ч=-Asinx+Bcosx	sinx:-B-B=2
1	y '' _ч= -Acosx-Bsinx

Из третьего столбца найдем A=2, B=-1.

Значит,; oбщее решение .

Корни характеристического уравнения .Общее решение однородного уравнения . Т.к. и число не является корнем характеристического уравнения ,то частное решение ищем в виде .

-1	y_ч=(Ax+B)cosx+ (Cx+D)sinx	xcosx : -A-A=4
0	y'_ч=(Cx+A+D)+ (-Ax-B+C)sinx	xsinx : -C-C=0
1	y''_ч=(-Ax-B+2C)cosx- (Cx+2A+D)sinx	cosx : -B-B+2C=0
sinx : -D-D+2A=0

Решая уравнения, находим ; .

Корни характеристического уравнения .Общее решение од-нородного уравнения . Т.к. ; и число не является корнем характеристического уравнения , то частное решение ищем в виде .

В данном случае пользоваться обычной схемой неудобно. Вначале находим производные .

Теперь следуем привычной схеме.

1	y ч =e x [(Ax+B)cosx+ Cx+D)sinx]	e x xcosx:A+2C=0
1	y''_ч=e x [2Cxcosx +2(A+C+D)c0sx -2Axsinx-2(A+B-C)sinx]	e x xsinx:C-2A=30
e x cosx:B+2A+2C +2D=0
e x sinx:D-2A-2B +2C=0

Из уравнений в последний колонки найдем константы A=-12, C=6, D=12, B=-12.

Корни характеристического уравнения .Общее решение однородного уравнения .

Т.к. и число является корнем характеристического уравнения , то частное решение ищем в виде :

Из системы уравнений найдем С=0, A=0, D=0, B=-3.

Т.о. ; общее решение .

Найти вид частного решения.

Корни характеристического уравнения

Т.к. и число является двукратным

корнем характеристического уравнения , точастное решение имеет вид :

где - функции стандартного вида.

где - частное решение, отвечающее функции .

Корни характеристического уравнения .Общее решение однородного уравнения .

Т.к.. для функции и число является корнем характеристического уравнения , точастное решение ; функции отвечает .

Далее, поступаем по рецепту:

1	y_ч=x(Acosx+Bsinx)+ Ce -x	xcosx:A-A=0
y'_ч=Acosx+Bsinx+ x(-Asinx+Bcosx)-Ce -x	xsinx:B-B=0
0	=(A+Bx)cosx+(B-Ax)· sinx-Ce -x	cosx:2B=0
y''_ч=Bcosx-(A+Bx)sinx-Asinx+(B-Ax)cosx+Ce -x =	sinx:-2A=6
1	=(2B-Ax)cosx-(2A+Bx)sinx	e -x :2C=-2

Отсюда найдем A=-3, B=0, C=-1.

Итак, . Общее решение .

Иногда правая часть уравнения не имеет стандартного вида, но с помощью преобразований может быть приведена к стандартному виду.

Правя часть не имеет стандартного вида. Однако, т.к. , то

. Теперь правая часть имеет стандартный вид.

Корни характеристического уравнения .Общее решение однородного уравнения .

4	y_ч=x(Acos2x+Bsin2x)+C	xcosx:4A-4A=0
y'_ч=Acos2x+2Axsin2x+ +Bsin2x+2Bxcos2x=	xsinx:4B-4B=0
0	=(A+2Bx)cos2x+(B-2Ax)sin2x	cosx:4B=4
y''_ч=2Bcos2x-(2A+4Bx)*sin2x-2Asin2x+(2B-4Ax)c0s2x=	sinx:-4A=0
1	=(4B-4Ax)cos2x-(4A+4Bx)sin2x	x 0 :4C=4 свободный член

Из уравнений найдем A=0, B=1, C=1.

Таким образом, частное решение y_ч=xcos2x+1, а общее y=C₁cos2x+C₂sin2x+1.

П. 9.23 . Найти вид частного решения.

Корни характеристического уравнения .

Поэтому, y_ч=y_ч1+ y_ч2=Acos4x + Bsin4x + Ccos2x + Dsin2x. .

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

система имеет ненулевое решение, определенное с точ-ностью до произвольного множителя пропорциональности Ai:

i1 = Aimi1, i2 = Aimi2,…, in = Aimin (i=1.2,…, n).(9)

Например, в качестве ik можно взять алгебраические дополнения элементов любой строки определителя l(i, если не все они равны нулю. В самом деле, так как сумма произведений элементов какой-либо строки определителя l(i на алгебраические дополнения эле-ментов другой строки равна нулю, а сумма произведений элементов строки на их алгебраические дополнения равна самому определителю (i т. е. снова равна нулю, то ясно, что, заменив в системе (7) неизвестные k взятыми алгебраическими дополнениями, мы получим тождества.

Фиксируя в формулах (9) множитель Ai, мы получим определен-ное решение системы (7).

Подставляя теперь в (3) вместо  последовательно характеристи-ческие числа i ,а вместо   n — соответствующие им решения системы (7), определяемые формулами (9) при фиксированных множителях Ai, получим п решений:

Эти решения линейно независимы в интервале .

Если при этом все корни n вещественны, то все решения (10) тоже будут вещественными.

Таким образом, в случае различных вещественных корней характеристического уравнения система (2) имеет п вещественных линейно независимых частных решений вида (10), так что последние образуют фундаментальнуюсистему решений.

Поэтому, в силу теоремы о построении общего решения, формулы

Дают общее решение системы (2) в области

Если характеристические числа различные, но среди них есть комплексные, то последние входят сопряженными парами. Пустьa + ib и а – ib — простые корни характеристического уравнения. Корню a+ib соответствует согласно формуле (3) решение

y1=e(a+ib)x, y2=e(a+ib) , … , yn=ne(a+ib).(13)

здесь n – комплексные числа. Полагая

y1=(11+i21) e(a+ib)x, y2=(12+i22) e(a+ib)x, … , yn=(1n+i2n) e(a+ib)x.

Эторешениекомплексное. Отделяя в нем вещественные и мнимые части, мыполучим,согласно свойствам решений однородной системы, два вещественных решения:

Эти решения, очевидно, линейно независимы в интервале . Нетрудно убедиться, что сопряженный корень а—ib не порождает новых вещественных линейно независимых частных решений.

Таким образом, если все характеристические числа — различные и вещественные, то мы получаем соответствующие им вещественные линейно независимые частные решения в виде (10). Если же все характеристические числа — различные, но среди них есть комплексные, то последние обязательно входят сопряженными парами и каждой паре таких характеристических чисел соответствуют два линейно независимых частных решения вида (15). Всего мы получим п вещественных частных решений. Все эти решения линейно независимы в интервале .

В самом деле, предположим обратное. Тогда, написав соответствующую систему соотношений между этими решениями и перейдя в ней от тригонометрических функций к 'показательным, мы получили бы, что системы функций вида (10), где 1,2, … ,n —различные числа, оказались бы линейно зависимыми.

Общее решение системы (2) в области (12) представляет собою линейные комбинации построенных п

Теорема общего решения ЛДНУ

Общим решением, находящимся на интервале х , неоднородного дифференциального уравнения вида y ( n ) + f n - 1 ( x ) · y ( n - 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) с непрерывными коэффициентами интегрирования на x интервале f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n - 1 ( x ) и непрерывной функцией f ( x ) равняется сумме общего решения y 0 , которое соответствует ЛОДУ и каким-нибудь частным решением y ~ , где исходным неоднородным уравнением является y = y 0 + y ~ .

Отсюда видно, что решение такого уравнения второго порядка имеет вид y = y 0 + y ~ . Алгоритм нахождения y 0 рассмотрен в статье о линейных однородных дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами. После чего следует переходить к определению y ~ .

Выбор частного решения ЛНДУ зависит от вида имеющейся функции f ( x ) , располагающейся в правой части уравнения. Для этого необходимо рассмотреть отдельно решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка при постоянных коэффициентах.

Когда f ( x ) считается за многочлен n -ой степени f ( x ) = P n ( x ) , отсюда следует, что частное решение ЛНДУ находим по формуле вида y ~ = Q n ( x ) · x γ , где Q n ( x ) является многочленом степени n , r – это количество нулевых корней характеристического уравнения. Значение y ~ является частным решением y ~ '' + p · y ~ ' + q · y ~ = f ( x ) , тогда имеющиеся коэффициенты, которые определены многочленом
Q n ( x ) , отыскиваем при помощи метода неопределенных коэффициентов из равенства y ~ '' + p · y ~ ' + q · y ~ = f ( x ) .

Вычислить по теореме Коши y '' - 2 y ' = x 2 + 1 , y ( 0 ) = 2 , y ' ( 0 ) = 1 4 .

Решение

Иначе говоря, необходимо перейти к частному решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y '' - 2 y ' = x 2 + 1 , которое будет удовлетворять заданным условиям y ( 0 ) = 2 , y ' ( 0 ) = 1 4 .

Общим решением линейного неоднородного уравнения является сумма общего решения, которое соответствует уравнению y 0 или частному решению неоднородного уравнения y ~ , то есть y = y 0 + y ~ .

Для начала найдем общее решение для ЛНДУ, а после чего – частное.

Перейдем к нахождению y 0 . Запись характеристического уравнения поможет найти корни. Получаем, что

k 2 - 2 k = 0 k ( k - 2 ) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Получили, что корни различные и действительные. Поэтому запишем

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x .

Найдем y ~ . Видно, что правая часть заданного уравнения является многочленом второй степени, тогда один из корней равняется нулю. Отсюда получим, что частным решением для y ~ будет

y ~ = Q 2 ( x ) · x γ = ( A x 2 + B x + C ) · x = A x 3 + B x 2 + C x , где значения А , В , С принимают неопределенные коэффициенты.

Найдем их из равенства вида y ~ '' - 2 y ~ ' = x 2 + 1 .

Тогда получим, что:

y ~ '' - 2 y ~ ' = x 2 + 1 ( A x 3 + B x 2 + C x ) '' - 2 ( A x 3 + B x 2 + C x ) ' = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C ' - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x ( 6 A - 4 B ) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Приравняв коэффициенты с одинаковыми показателями степеней x , получим систему линейных выражений - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . При решении любым из способов найдем коэффициенты и запишем: A = - 1 6 , B = - 1 4 , C = - 3 4 и y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Эта запись называется общим решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для нахождения частного решения, которое удовлетворяет условиям y ( 0 ) = 2 , y ' ( 0 ) = 1 4 , требуется определить значения C 1 и C 2 , исходя из равенства вида y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

y ( 0 ) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y ' ( 0 ) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x ' x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Работаем с полученной системой уравнений вида C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , где C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Применив теорему Коши, имеем, что

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Ответ: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Когда функция f ( x ) представляется в виде произведения многочлена со степенью n и экспоненты f ( x ) = P n ( x ) · e a x , тогда отсюда получаем, что частным решением ЛНДУ второго порядка будет уравнение вида y ~ = e a x · Q n ( x ) · x γ , где Q n ( x ) является многочленом n -ой степени, а r – количеством корней характеристического уравнения, равняющиеся α .

Коэффициенты, принадлежащие Q n ( x ) находятся по равенству y ~ '' + p · y ~ ' + q · y ~ = f ( x ) .

Найти общее решение дифференциального уравнения вида y '' - 2 y ' = ( x 2 + 1 ) · e x .

Решение

Уравнение общего вида y = y 0 + y ~ . Указанное уравнение соответствует ЛОДУ y '' - 2 y ' = 0 . По предыдущему примеру видно, что его корни равняются k 1 = 0 и k 2 = 2 и y 0 = C 1 + C 2 e 2 x по характеристическому уравнению.

Видно, что правой частью уравнения является x 2 + 1 · e x . Отсюда ЛНДУ находится через y ~ = e a x · Q n ( x ) · x γ , где Q n ( x ) , являющимся многочленом второй степени, где α = 1 и r = 0 , потому как у характеристического уравнения отсутствует корень, равный 1 . Отсюда получаем, что

y ~ = e a x · Q n ( x ) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

А , В , С являются неизвестными коэффициентами, которые можно найти по равенству y ~ '' - 2 y ~ ' = ( x 2 + 1 ) · e x .

y ~ ' = e x · A x 2 + B x + C ' = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ ' ' = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C ' = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ '' - 2 y ~ ' = ( x 2 + 1 ) · e x ⇔ e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = ( x 2 + 1 ) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 · x 2 + 0 · x + 1

Показатели при одинаковых коэффициентах приравниваем и получаем систему линейных уравнений. Отсюда и находим А , В , С :

- A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Ответ: видно, что y ~ = e x · ( A x 2 + B x + C ) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 является частным решением ЛНДУ, а y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - общим решением для неоднородного дифуравнения второго порядка.

Когда функция записывается как f ( x ) = A 1 cos ( β x ) + B 1 sin β x , а А 1 и В 1 являются числами, тогда частным решением ЛНДУ считается уравнение вида y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ , где А и В считаются неопределенными коэффициентами, а r числом комплексно сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняющимся ± i β . В этом случае поиск коэффициентов проводится по равенству y ~ '' + p · y ~ ' + q · y ~ = f ( x ) .

Найти общее решение дифференциального уравнения вида y '' + 4 y = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) .

Решение

Перед написанием характеристического уравнения находим y 0 . Тогда

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

Имеем пару комплексно сопряженных корней. Преобразуем и получим:

y 0 = e 0 · ( C 1 cos ( 2 x ) + C 2 sin ( 2 x ) ) = C 1 cos 2 x + C 2 sin ( 2 x )

Корни из характеристического уравнения считаются сопряженной парой ± 2 i , тогда f ( x ) = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) . Отсюда видно, что поиск y ~ будет производиться из y ~ = ( A cos ( β x ) + B sin ( β x ) · x γ = ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) ) · x . Неизвестные коэффициенты А и В будем искать из равенства вида y ~ '' + 4 y ~ = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) .

y ~ ' = ( ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) · x ) ' = = ( - 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) ) · x + A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) y ~ '' = ( ( - 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) ) · x + A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) ) ' = = ( - 4 A cos ( 2 x ) - 4 B sin ( 2 x ) ) · x - 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) - - 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) = = ( - 4 A cos ( 2 x ) - 4 B sin ( 2 x ) ) · x - 4 A sin ( 2 x ) + 4 B cos ( 2 x )

Тогда видно, что

y ~ '' + 4 y ~ = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) ⇔ ( - 4 A cos ( 2 x ) - 4 B sin ( 2 x ) ) · x - 4 A sin ( 2 x ) + 4 B cos ( 2 x ) + + 4 ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) ) · x = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) ⇔ - 4 A sin ( 2 x ) + 4 B cos ( 2 x ) = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x )

Необходимо приравнять коэффициенты синусов и косинусов. Получаем систему вида:

- 4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Следует, что y ~ = ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) · x = - 3 4 cos ( 2 x ) + 1 4 sin ( 2 x ) · x .

Ответ: общим решением исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами считается

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos ( 2 x ) + C 2 sin ( 2 x ) + - 3 4 cos ( 2 x ) + 1 4 sin ( 2 x ) · x

Когда f ( x ) = e a x · P n ( x ) sin ( β x ) + Q k ( x ) cos ( β x ) , тогда y ~ = e a x · ( L m ( x ) sin ( β x ) + N m ( x ) cos ( β x ) · x γ . Имеем, что r – это число комплексно сопряженных пар корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняются α ± i β , где P n ( x ) , Q k ( x ) , L m ( x ) и N m ( x ) являются многочленами степени n , k , т , m , где m = m a x ( n , k ) . Нахождение коэффициентов L m ( x ) и N m ( x ) производится, исходя из равенства y ~ '' + p · y ~ ' + q · y ~ = f ( x ) .

Найти общее решение y '' + 3 y ' + 2 y = - e 3 x · ( ( 38 x + 45 ) sin ( 5 x ) + ( 8 x - 5 ) cos ( 5 x ) ) .

Решение

По условию видно, что

α = 3 , β = 5 , P n ( x ) = - 38 x - 45 , Q k ( x ) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Тогда m = m a x ( n , k ) = 1 . Производим нахождение y 0 , предварительно записав характеристическое уравнение вида:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 · 1 · 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2

Получили, что корни являются действительными и различными. Отсюда y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Далее необходимо искать общее решение, исходя из неоднородного уравнения y ~ вида

y ~ = e α x · ( L m ( x ) sin ( β x ) + N m ( x ) cos ( β x ) · x γ = = e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) · x 0 = = e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) )

Известно, что А , В , С являются коэффициентами, r = 0 , потому как отсутствует пара сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению с α ± i β = 3 ± 5 · i . Данные коэффициенты находим из полученного равенства:

y ~ '' - 3 y ~ ' + 2 y ~ = - e 3 x ( ( 38 x + 45 ) sin ( 5 x ) + ( 8 x - 5 ) cos ( 5 x ) ) ⇔ ( e 3 x ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) ) '' - - 3 ( e 3 x ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) ) = - e 3 x ( ( 38 x + 45 ) sin ( 5 x ) + ( 8 x - 5 ) cos ( 5 x ) )

Нахождение производной и подобных слагаемых дает

- e 3 x · ( ( 15 A + 23 C ) · x · sin ( 5 x ) + + ( 10 A + 15 B - 3 C + 23 D ) · sin ( 5 x ) + + ( 23 A - 15 C ) · x · cos ( 5 x ) + ( - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D ) · cos ( 5 x ) ) = = - e 3 x · ( 38 · x · sin ( 5 x ) + 45 · sin ( 5 x ) + + 8 · x · cos ( 5 x ) - 5 · cos ( 5 x ) )

После приравнивания коэффициентов получаем систему вида

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Из всего следует, что

y ~ = e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) = = e 3 x · ( ( x + 1 ) cos ( 5 x ) + ( x + 1 ) sin ( 5 x ) )

Ответ: теперь получено общее решение заданного линейного уравнения:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x · ( ( x + 1 ) cos ( 5 x ) + ( x + 1 ) sin ( 5 x ) )

Алгоритм решения ЛДНУ

Любой другой вид функции f ( x ) для решения предусматривает соблюдение алгоритма решения:

нахождение общего решения соответствующего линейного однородного уравнения, где y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , где y 1 и y 2 являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ, С 1 и С 2 считаются произвольными постоянными;
принятие в качестве общего решения ЛНДУ y = C 1 ( x ) ⋅ y 1 + C 2 ( x ) ⋅ y 2 ;
определение производных функции через систему вида C 1 ' ( x ) + y 1 ( x ) + C 2 ' ( x ) · y 2 ( x ) = 0 C 1 ' ( x ) + y 1 ' ( x ) + C 2 ' ( x ) · y 2 ' ( x ) = f ( x ) , а нахождение функций C 1 ( x ) и C 2 ( x ) посредствам интегрирования.

Найти общее решение для y '' + 36 y = 24 sin ( 6 x ) - 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x .

Решение

Переходим к написанию характеристического уравнения, предварительно записав y 0 , y '' + 36 y = 0 . Запишем и решим:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos ( 6 x ) + C 2 sin ( 6 x ) ⇒ y 1 ( x ) = cos ( 6 x ) , y 2 ( x ) = sin ( 6 x )

Имеем, что запись общего решения заданного уравнения получит вид y = C 1 ( x ) · cos ( 6 x ) + C 2 ( x ) · sin ( 6 x ) . Необходимо перейти к определению производных функций C 1 ( x ) и C 2 ( x ) по системе с уравнениями:

C 1 ' ( x ) · cos ( 6 x ) + C 2 ' ( x ) · sin ( 6 x ) = 0 C 1 ' ( x ) · ( cos ( 6 x ) ) ' + C 2 ' ( x ) · ( sin ( 6 x ) ) ' = 0 ⇔ C 1 ' ( x ) · cos ( 6 x ) + C 2 ' ( x ) · sin ( 6 x ) = 0 C 1 ' ( x ) ( - 6 sin ( 6 x ) + C 2 ' ( x ) ( 6 cos ( 6 x ) ) = = 24 sin ( 6 x ) - 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x

Необходимо произвести решение относительно C 1 ' ( x ) и C 2 ' ( x ) при помощи любого способа. Тогда запишем:

C 1 ' ( x ) = - 4 sin 2 ( 6 x ) + 2 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) - 6 e 6 x sin ( 6 x ) C 2 ' ( x ) = 4 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) - 2 cos 2 ( 6 x ) + 6 e 6 x cos ( 6 x )

Каждое из уравнений следует проинтегрировать . Тогда запишем получившиеся уравнения:

C 1 ( x ) = 1 3 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) - 2 x - 1 6 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 3 C 2 ( x ) = - 1 6 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) - x - 1 3 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) + 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 4

Отсюда следует, что общее решение будет иметь вид:

y = 1 3 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) - 2 x - 1 6 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 3 · cos ( 6 x ) + + - 1 6 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) - x - 1 3 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) + 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 4 · sin ( 6 x ) = = - 2 x · cos ( 6 x ) - x · sin ( 6 x ) - 1 6 cos ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos ( 6 x ) + C 4 · sin ( 6 x )

Ответ: y = y 0 + y ~ = - 2 x · cos ( 6 x ) - x · sin ( 6 x ) - 1 6 cos ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos ( 6 x ) + C 4 · sin ( 6 x )

Даны определения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (однородных, неоднородных и общее определение). Рассмотрены свойства их решений.

Определения

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами – это уравнение, линейное относительно зависимой переменной y и ее производных:
(1) .
Член f ( x ) называется неоднородной частью уравнения.

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами – это уравнение вида (1), неоднородная часть которого равна нулю:
.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами – это уравнение вида (1) с отличной от нуля неоднородной частью:
.

Здесь все коэффициенты a _i – постоянные. n – порядок уравнения.

Свойства решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Однородные уравнения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение:
(2) .
Общее решение такого уравнения можно записать в виде:
,
где – линейно независимые частные решения уравнения (2). Каждое из них удовлетворят уравнению (2):
.
В этом случае говорят, что функции образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения (2).

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения (2) – это n линейно независимых функций , каждая из которых является решением этого уравнения.

Линейно независимые функции – это такие функции, для которых соотношение

может выполняться только если все постоянные равны нулю.

Линейно зависимые функции – это функции, между которыми имеет место линейная зависимость:
,
где – постоянные, из которых хотя бы одна отлична от нуля.

Неоднородные уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
(3) .
Пусть Y – частное решение этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (3) равно сумме общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного:
.
Здесь – общее решение однородного уравнения:
;
Y – частное (любое) решение неоднородного уравнения:
.

Часто встречается случай, когда неоднородная часть может быть представлена в виде суммы функций:
.
Тогда частное решение Y также может быть представлено в виде суммы частных решений:
,
каждое из которых удовлетворяет уравнению с правой частью в виде одной из функций :
.
В некоторых случаях бывает легче решать отдельные частные решения от более простых неоднородных частей, а затем получать частное решение для всего уравнения, суммированием полученных частных решений.

Читайте также:

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами реферат

Однородное дифференциальное уравнение

Все корни характеристического уравнения различны и вещественны.

Все корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные

Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни

Неоднородное дифференциальное уравнение

Похожие работы

Теорема общего решения ЛДНУ

Алгоритм решения ЛДНУ

Определения

Свойства решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Однородные уравнения

Неоднородные уравнения