Инженерные расчеты в maple реферат

Обновлено: 02.07.2024

Одним из лидеров в компьютеризации математических вычислений является канадская корпорация Waterloo Maple Inc, выпускающая программ-ный продукт Maple. Последние версии Maple (11-я и 12-я) охватывают прак-тически всю математику, начиная с элементарной математики и заканчивая специальными математическими разделами. Maple математическое Win-dowsприложение, позволяющее решать задачи из широчайшего… Читать ещё >

Методическое пособие по Maple: Элементарные преобразования математических выражений. Операции оценивания. Решение уравнений и неравенств. Построение график ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Содержание

1. Введение
2. Основные правила и приемы работы в Maple
3. Элементарные преобразования математических выражений
- 3. 1. Выделение частей выражений
- 3. 2. Раскрытие скобок expand
- 3. 3. Приведение подобных членов collect
- 3. 4. Разложение на множители factor
- 3. 5. Нормализация дроби normal
- 3. 6. Объединение выражений combine
- 3. 7. Упрощение выражений simplify
- 4. 1. Оценивание вещественных выражений
- 4. 2. Оценивание комплексных выражений
- 5. 1. Решение обыкновенных уравнений
- 5. 2. Решение систем уравнений
- 5. 3. Численное решение уравнений
- 5. 4. Решение тригонометрических уравнений
- 5. 5. Решение трансцендентных уравнений
- 5. 6. Решение неравенств
- 5. 7. Решение систем неравенств
- 6. 1. Двумерные графики
  - 6. 1. 1. Команда plot и ее параметры
  - 6. 1. 2. Примеры построения графиков функций, заданных явно
  - 6. 1. 3. Построение графиков нескольких функций в одной декартовой системе координат
  - 6. 1. 4. Построения графиков функции, заданной параметрически
  - 6. 1. 5. Построение графиков функций, заданных в полярной системе координат
  - 6. 1. 6. Построение графиков функций, заданных неявно
  - 6. 1. 7. Вывод нескольких графических объектов на один рисунок
  - 6. 2. 1. График поверхности, заданной явной функцией
  - 6. 2. 2. График поверхности, заданной параметрически
  - 6. 2. 3. График поверхности, заданной неявно
  - 6. 3. 1. Двумерная быстрая графика smartplot
  - 6. 3. 2. Трехмерная быстрая графика smartplot3d
  Одним из лидеров в компьютеризации математических вычислений является канадская корпорация Waterloo Maple Inc, выпускающая программ-ный продукт Maple. Последние версии Maple (11-я и 12-я) охватывают прак-тически всю математику, начиная с элементарной математики и заканчивая специальными математическими разделами. Maple математическое Win-dowsприложение, позволяющее решать задачи из широчайшего диапазона за минимальное время.
  
  Можно перечислить основные задачи, которые помогает решить пакет Maple. Среди этих задач:
  
  проведение математических исследований, требующих вычислений и аналитических выкладок;
  
  разработка и анализ алгоритмов;
  
  математическое моделирование, компьютерный эксперимент;
  
  анализ и обработка данных;
  
  визуализация, научная и инженерная графика;
  
  разработка графических и расчетных приложений.
  
  Работать в системе Maple не представляет больших трудностей. Про-граммы решений основных математических задач и геометрических по-строений оформлены в виде встроенных функций. Задача пользователя вы-страивать из них и операторов нужные последовательности и задавать необ-ходимые входные данные. Последние версии Maple содержат более 3000 встроенных функций. Для сравнения, в MathCAD2000 их около 300.
  
  Система Maple является первой компьютерной программой в своей области, прошедшей тестирование с результатом 100%. Данная программа является незаменимой как для проверки окончательных и промежуточных результатов, получаемых аналитически без компьютера, так и для поиска методов решения.
  
  В Maple имеется мощная справочная система с пояснениями и приме-рами. Пользователю рекомендуется использовать ее как можно чаще, тем бо-лее, что Maple достаточно жесткая система, не допускающая никаких откло-нений от установленных в ней правил.
  
  2. Основные правила и приемы работы в Maple
  
  Графический интерфейс Maple аналогичен имеющемуся в системах редактирования и подготовки текста и использует обычные средства работы с файлами и редактирования (мышь и клавиатура). После запуска выполняе-мого модуля wmaple появляется оболочка с новым документом (worksheet). Характерное окно приведено на рис. 2.1. В верхней части окна расположено меню (пункты File, Edit и т. д. ), чуть ниже строка значков Toolbar для ряда часто выполняемых операций, еще ниже строка значков Context Bar, орга-низующих представление данных в сеансе. Затем следует одно или несколько окон с документами, в которых размещаются формулы, рисунки, сопровож-дающий текст и др. В нижней части окна находится полоса Status line, кото-рая содержит информацию о системе.
  
  Кроме того, в Maple можно вводить таблицы и текстовые параграфы, структурировать текст и документ, добавлять гиперссылки, объединяющие несколько документов в подобие электронной книги. В документ также мож-но вставлять объекты (рисунки и таблицы) из других программ, используя интерфейс OLE2.
  
  Команды Maple набираются после приглашения (>). Возможны два способа представления вводимого: стандартная математическая нотация и нотация Maple. В первом случае на экране дисплея интегралы, суммы и др. даются своими математическими изображениями, а во втором — при помощи текстовых эквивалентов. Например, на рис. 2.1 для левого документа исполь-зована нотация Maple, а для правого документа стандартная математиче-ская.
  
  Результаты работы могут быть сохранены в файлах различных форма-тов. Текущий документ (области ввода и вывода, комментарии, текст, графи-ка) записываются в файл с расширением .mws. При записи в файлы с други-ми расширениями сохраняются только области ввода и тексты комментариев. Кроме того, весь документ или его часть могут быть сохранены в форматах, допускающих их использование в других программах.
  - Для учеников 1-11 классов и дошкольников
  - Бесплатные сертификаты учителям и участникам
  Кафедра информатики и вычислительной техники
  
  Выполнила: Батурина О.С.
  
  Проверила: Кормилицына Т.В.
  
  Эру создания компьютерной символьной математики принято отсчитывать с начала 60-х годов. Именно тогда в вычислительной технике возникла новая ветвь компьютерной математики, не совсем точно, но зато броско названная компьютерной алгеброй. Речь шла о возможности создания компьютерных систем, способных осуществлять типовые алгебраические преобразования: подстановки в выражениях, упрощение выражений, операции со степенными многочленами (полиномами), решение линейных и нелинейных уравнений и их систем, вычисление их корней и т. д. При этом предполагалась возможность получения аналитических (символьных) результатов везде, где это только возможно.
  
  Пользователи, работающие с математическими программами, особенно в области символьной математики, в недалеком прошлом не были избалованы удобными и красивыми интерфейсами этих программ. Все внимание было уделено математической корректности программ и богатству их функциональных возможностей.
  
  Заметное развитие получили языки программирования для символьных вычислений Reduce, система muMath для малых ЭВМ, а в дальнейшем — интегрированные системы символьной математики для персональных компьютеров: Maple, MathCad, Mathematicа, Maxima, Scilab и т.д. Тем самым обуславливается актуальность темы, так как применение математических систем облегчает самые сложные математические, статистические и финансово-экономические расчеты, для проведения которых раньше приходилось привлекать научную элиту — математиков-аналитиков.
  
  В этой связи целью работы является изучение основ работы с программой Maple; знать команды, используемые при решении уравнений и их систем, неравенств и их систем в системе аналитических вычислений Maple; уметь применять указанные команды для решения математических задач.
  
  Maple — это пакет, система компьютерной алгебры для аналитических вычислений на компьютере,содержащий более двух тысяч команд, которые позволяют решать задачи алгебры, геометрии, математического анализа, дифференциальных уравнений, статистики, математической физики. Является продуктом компании Waterloo Maple Inc. (англ.)русск., которая с 1984 года выпускает программные продукты, ориентированные на сложные математические вычисления, визуализацию данных и моделирование. Обладает развитыми графическими средствами. Имеет собственный язык программирования, напоминающий Паскаль.
  
  Maple умеет производить сложные алгебраические преобразования и упрощения над полем комплексных чисел; находить конечные и бесконечные суммы, произведения, пределы и интегралы; находить все корни многочленов; решать аналитически и численно алгебраические (в том числе трансцендентные) системы уравнений и неравенств, а также системы обыкновенных дифференциальных уравнений и некоторые классы уравнений в частных производных. В Maple включены специализированные пакеты подпрограмм для решения задач линейной и тензорной алгебры; евклидовой и аналитической геометрии; теории чисел; комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики; теории групп; численной аппроксимации и линейной оптимизации (симплекс-метод); финансовой математики; для выполнения интегральных преобразований и многих других задач. С каждой новой версией Maple добавляются новые математические пакеты расширения и применения для решения задач.
  
  Maplesoft – это коммерческий продукт, продаёт как студенческую, так и академическую и профессиональную версии Maple, с существенной разницей в цене ($124, $1555 и $2845, соответственно). Также доступна версия для персонального использования по цене $299, лицензионное соглашение которой не подразумевает применения системы в коммерческих, научных и учебных целях.
  
  Работа в Maple проходит в режиме сессии – пользователь вводит предложения (команды, выражения, процедуры), которые воспринимаются условно и обрабатываются Maple.
  
  Основное меню, Панель инструментов:
  
  Логотип – кленовый лист ( Maple -в переводе клён)
  
  Интерфейс данной системы адаптирован для работы пользователя, имеющего элементарные навыки работы с Windows-приложениями. Под интерфейсом понимается не только легкое управление системой, как с клавишного пульта, так и с помощью мыши, но и просто набор необходимых символов, формул, текстовых комментариев с последующим запуском документов (Worksheets) в реальном времени. Запустив систему Maple из Windows, вы увидите на экране окно. Над ним видна строка с основными элементами интерфейса. Опции главного меню, содержащиеся в этой строке, легко изучить самостоятельно через опцию Help; некоторые из них очень похожи на стандартные опции, принятые в текстовых редакторах Windows.
  
  Переходим к рассмотрению примеров решения некоторых задач на Maple .
  
  1) Решение обыкновенных уравнений.
  
  Для решения уравнений в Maple существует универсальная команда solve(eq,x), где eq – уравнение, x – переменная, относительно которой уравнение надо разрешить. В результате выполнения этой команды в строке вывода появится выражение, которое является решением данного уравнения. Например: > solve(a*x+b=c,x);
  
  Если уравнение имеет несколько решений, которые вам понадобятся для дальнейших расчетов, то команде solve следует присвоить какое-нибудь имя name. Обращение к какому-либо k–ому решению данного уравнения производится указанием его имени с номером решения k в квадратных скобках: name[k]. Например :
  
  2) Решение систем уравнений.
  
  Системы уравнений решаются с помощью такой же команды solve(,), только теперь в параметрах команды следует указывать в первых фигурных скобках через запятую уравнения, а во вторых фигурных скобках перечисляются через запятую переменные, относительно которых требуется решить систему. Если вам будет необходимо для дальнейших вычислений использовать полученные решения уравнений, то команде solve следует присвоить какое-нибудь имя name. Затем выполняется присвоения команда assign(name). После этого над решениями можно будет производить математические операции. Например :
  
  3) Решение неравенств
  
  Команда solve применяется также для решения неравенств. Решение неравенства выдается в виде интервала изменения искомой переменной. В том случае, если решение неравенства полуось, то в поле вывода появляется конструкция вида RealRange(–¥ , Open(a)), которая означает, что xÎ (–¥ , a), а – некоторое число. Слово Open означает, что интервал с открытой границей. Если этого слова нет, то соответствующая граница интервала включена во множество решений. Например :
  
  Если вы хотите получить решение неравенства не в виде интервального множества типа xÎ (a, b), а в виде ограничений для искомой переменной типа a
  
  4)Решение систем неравенств.
  
  С помощью команды solve можно также решить систему неравенств. Например: > solve(=2,x-2*y =0,x-2*y>=1>,);
  
  У Maple есть возможность работать с матрицами. Их можно задать несколькими способами.
  
  1) С помощью палитры Matrix, где можно указать количество строк и столбцов матрицы и вставить шаблон (Insert Matrix). Полученный шаблон можно заполнить значениями, используя клавишу Tab для перемещения между элементами матрицы.
  
  2) С помощью угловых скобок – матрица размера n x m, заданная по столбцам (составленная из вектор-столбцов) – матрица размера n x m , заданная по строкам (составленная из вектор-строк)
  
  3)С помощью команды-конструктора
  
  Matrix ([[ a 11, a 12,…, a 1 m ],…,[ an 1, an 2,…, anm ]]) или Matrix ( n , m , [[ a 11, a 12,…, a 1 n ], …, число строк, m – число столбцов в матрице. Эти[an1,an2,…,anm]]), где n числа задавать необязательно, а достаточно перечислить элементы матрицы построчно в квадратных скобках через запятую. Например:
  
  Список используемых источников
  
  2. Яцкин, Н. И. Линейная алгебра : Теоремы и алгоритмы : учеб. пособие / Н. И. Яцкин. – Иваново : Иван. гос. ун-т, 2008. – 607 с.
  
  * Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
  
  "Двумерная графика системы Maple"
  
  знать команды, используемые для построения графиков функций одной переменной (двумерная графика);
  
  уметь применять указанные команды для отображения результатов вычислений в виде графических образов.
  
  Команда plot () – многофункциональная команда двумерной графики. Расположена она в системной библиотеке Maple, и поэтому доступна в любое время. Данная команда позволяет строить график одной или нескольких функций одной вещественной переменной, заданных в явном или параметрическом виде, а также отобразить множество точек в декартовой или полярной системе координат. Синтаксис команды: plot (f, h, v, опции);
  
  Здесь f – функция, график которой необходимо отобразить, h – диапазон изменения независимой переменной по горизонтальной оси графика, v – диапазон изменения значения функции вдоль вертикальной оси графика.
  
  Диапазон изменения независимой переменной h задается в виде x = а..b, где а и b – наименьшее и наибольшее значения изменения переменной, а х – имя независимой переменной. Если диапазон не задан (т.е., второй параметр представляет собой просто имя независимой переменной в функции), то по умолчанию принимается интервал ее изменения –10..10. Этот параметр (с диапазоном или нет) обязательно должен присутствовать при задании графика командой plot().
  
  Вертикальный диапазон v ограничивает вывод графика определенной областью изменения функции. Он необязателен, как и опции, задающиеся в виде уравнений имя_опции=значение. При отсутствии явного задания опций принимаются их значения по умолчанию.
  
  С помощью опций определяют вид отображаемого графика: толщину, цвет и тип линии графика, тип осей координат, размещение надписей и т.д. Задаются опции в форме уравнений имя_опции = значение. Набор возможных опций во всех командах двумерного графического вывода, за некоторым исключением, одинаков. В табл. 1 представлены все опции двумерной графики и соответствующие им значения (умалчиваемые значения подчеркнуты).
  
  Таблица 1. Опции двумерной графики
  
  Опция
  
  Описание
  
  Для вычисления отображаемых точек кривой используется специальный адаптивный алгоритм: сначала вычисляются значения функции на некотором множестве равноотстоящих точек в заданном интервале изменения независимой переменной, а затем в областях, где график функции сильно отличается от прямой линии, соединяющей соседние точки, вычисляются значения функции в дополнительных точках. По умолчанию этот алгоритм всегда включен (значение опции равно true), но его можно отключить, установив значение опции adaptive равным false.
  
  axes
  
  Определяет тип отображаемых осей координат. Опция принимает значения: normal – обычные оси координат, пересекающиеся в точке начала координат (0,0); boxed – график заключен в прямоугольник с нанесенными шкалами по нижней и левой вертикальной граням; frame – оси с точкой пересечения в левом нижнем углу рисунка; none – оси не отображаются.
  
  axesfont
  
  Задает шрифт для надписей под засечками вдоль осей координат. Значение этой опции аналогично значению опции font
  
  Задает цвета кривых, отображаемых на график. В качестве значения этой опции может выступать одно из зарезервированных значений цвета в Maple: aquamarine, black, blue, navy, coral, cyan, brown, gold, green, gray, grey, khaki, magenta, maroon, orange, pink, plum, red, sienna, tan, turquoise, violet, wheat, white и yellow.
  
  Можно определить и собственный цвет, соответствующий смешению заданных частей красного, зеленого и синего цветов. Это делается с помощью следующей команды macro (palegreen=COLOR (RGB.5607.7372.5607)), где palegreen – имя константы нового цвета, в котором красный составляет 0.5607 части, зеленый 0,7372 и синий 0.5607, В дальнейшем это имя можно использовать для задания цвета аналогично именам встроенных цветов.
  
  При выводе как явно заданной функции, так и параметрически заданной функции по умолчанию используется декартовая система координат (cartesian), т.е. задаваемое уравнение кривой рассматривается именно в этой системе координат. Данная опция меняет тип системы координат. Возможные значения: bipolar, cardiod, cassinian, elliptic, hyperbolic, invcassinian, invelliptic, logarithmic, logcosh, maxwell, parabolic, polar, rose и tangent, описание которых можно получить в справочной системе Maple с помощью команды? coords.
  
  Значение по умолчанию false. При установке значения этой опции, равной true, Maple первоначально вызывает команду discont (), которая определяет промежутки непрерывности функции, а затем на них рисуются непрерывные участки графика функции.
  
  Установка значения данной опции равным true приводит к тому, что область, ограниченная графиком функции и горизонтальной осью х, закрашивается заданным в опции соlor цветом
  
  Задает шрифт для вывода текста на рисунке. Значение опции задается в виде списка [семейство, стиль, размер]. Параметр семейство задает гарнитуру шрифта: TIMES, COURIER, HELVETICA или SYMBOL. Параметр стиль определяет стиль шрифта: для гарнитуры TIMES возможные значения ROMAN, BOLD, ITALIC или BOLDITALIC, для гарнитуры COURIER и HELVETICA стиль можно опустить или задать BOLD, OBLIQUE или BOLDOBLIQUE, для шрифта SYMBOL стиль не задается. Последний параметр размер задает размер шрифта в пунктах (points) (один пункт приблизительно равен 1/72 дюйма)
  
  Задает названий осей координат в виде списка [х, у]. Параметры х и у задаются в виде строк и соответствуют отображаемым названиям горизонтальной и вертикальной осей. По умолчанию принимают значения имени независимой переменной и имени функции
  
  Эта опция определяет направление отображения названий осей и задается в виде списка [х, у], элементы которого могут принимать одно из двух значений HORISONTAL или VERTICAL и определяют расположение надписей осей координат: горизонтально или вертикально. Умалчиваемое значение HORIS0NTAL
  
  Задает параметры шрифта, которым отображаются названия осей координат. Значение этой опции аналогично значению опции font
  
  Задает отображение легенды для нескольких кривых на одном графике в виде списка, в котором i?й строковый элемент соответствует i?й кривой графика
  
  Определяет тип линии графика. Значение опции – целое число n. При n=0 тип линии соответствует умалчиваемому типу для используемого устройства отображения (обычно сплошная линия), значение 1 соответствует сплошной линии, значение 2?отображению линии точками, 3 – пунктиром и 4 – штрихпунктиром
  
  Определяет минимальное число вычисляемых точек, по которым строится график (значение по умолчанию равно 50).
  
  Определяет горизонтальное разрешение дисплея в пикселах на дюйм и используется в качестве критерия для завершения адаптивного алгоритма отображения (значение по умолчанию равно 200).
  
  Задает масштаб, в котором отображается график. Если значение опции равно CONSTRAINED, то это соответствует заданию абсолютных значений по осям координат, т.е. одна единица измерения по оси независимой переменной равна одной единице измерения по оси значений функции. Значение по умолчанию равно UNCONSTRAINED, и это соответствует тому, что оси растягиваются таким образом, чтобы их размеры соответствовали размерам графического окна вывода.
  
  Задает отображение графика функции линиями (значение опции равно LINE) или точками (значение опции равно POINT). Значения опции, равные PATCH и PATCHNOGRID, применяются, когда выводится замкнутый многоугольник (графическая структура POLYGONS). В этом случае его внутренняя область закрашивается цветом, установленным в опции color, причем в случае значения PATCHNOGRID его граница не отображается. Если в графическом выводе нет замкнутых многоугольников, то действие этих значений данной опции соответствует значению LINE.
  
  Определяет тип символа, которым помечаются точки графика функции при style=POINT. Принимает значения: BOX для , CROSS для +, CIRCLE для О, POINT для (точка) и DIAMOND для
  
  Задает размер символа в пунктах. Его значение может быть любое натуральное число. По умолчанию используются символы размером 10 пунктов. Действие этой опции не распространяется на символ POINT.
  
  Задает толщину линии графика. Значение является целым числом от 0 до 15, соответствуя изменению толщины линии от тонкой до самой жирной.
  
  Определяет число точек, не менее которого должно быть помечено по горизонтальной и вертикальной оси координат. Значение задается в виде списка [n, m]. Для каждой из осей можно определить список помечаемых точек.
  
  Определяет строку, выводимую как заголовок рисунка. По умолчанию заголовок не выводится. В строке используются специальные комбинации символов. Например, \n осуществляет перевод на новую строку, формируя тем самым многострочный заголовок.
  
  Определяет шрифт для заголовка рисунка. Значение этой опции аналогично значению опции font.
  
  Задает число точек, не менее которого должно быть помечено на горизонтальной оси. Значение опции может быть целым числом или списком значений координат точек горизонтальной оси, которые должны быть помечены. Список может состоять из уравнений, левые части которых определяют координаты помечаемых точек, а правые задают в обратных кавычках отображаемый текст, например, [0=`0.`, 0.5=`1/2`, 1=`1.`].
  
  Задает число точек, не менее которого должно быть помечено на вертикальной оси. Значение опции может быть целым числом или списком значений координат точек вертикальной оси, которые должны быть помечены. Список может состоять из уравнений, левые части которых определяют координаты помечаемых точек, а правые задают в обратных кавычках отображаемый текст, например, [0=`0.`, 0.5=`1/2`, 1=`1.`].
  
  Ниже приводятся примеры работы с командой plot (). Первым примером будет отображение графика функции
  
  Для удобства восприятия в примере 1 (и в некоторых других нижеследующих примерах) команды набраны в столбик, каждая отдельно. На практике команды набираются в строку, одна за одной, без пробелов. Для создания многострочной надписи в строке значения опции title использован символ перехода на новую строку (\n).
  
  Команда plot () отображает графики функций не только на конечном интервале изменения независимой переменной, но и на бесконечном:
  
  >plot (3*cos(x)/x, x=0..infinity, – 1.5..1, color=red, numpoints=1000, thickness=1);
  
  Здесь пришлось ограничить область значений функции диапазоном [-1. 5,1], так как при х, стремящемся к нулю, функция стремится к бесконечности, а также задать больше точек на графике функции, иначе в районе надписи infinity не наблюдалась бы гладкость функции, а были бы явные сломы, которые не соответствуют поведению функции.
  
  В явном виде можно представить не всякую функцию. Многие функции задаются в параметрической форме. Отображение графиков таких функций лишь немного отличается от вывода явно задаваемых функций. Отличие заключается в том, что параметрическая кривая задается в виде списка, где первый и второй элементы являются выражениями через параметр, соответственно, горизонтальной и вертикальной координат, а третий элемент списка задает изменение параметра в виде диапазона. Отображение параметрически заданной кривой показано на примере 2.
  
  Пример 2. Отображение графика параметрически заданной функции.
  
  При необходимости вывода нескольких функций на одном графике следует в команде plot () задавать функции в виде множества или списка, а значение опции color в виде списка позволяет задать цвет для вывода графиков функций. Если опция color не задана, то функции отображаются в соответствии со списком цветов по умолчанию.
  
  Пример 3. Отображение графиков нескольких функций.
  
  > plot([x^3+1.5*sin (x^3), 20*exp (-1.5*x)*sin(x)],
  
  labelfont=[TIMES, ITALIC, 12]);
  
  Рекомендуется при выводе нескольких графиков также отображать легенду заданием списка значений опции legend. Легенду можно всегда скрыть или снова отобразить с помощью команды Show Legend меню Legend.
  
  Команда plot () позволяет отображать на графике отдельные точки, которые задаются в виде списка списков, т.е. списка, элементами которого являются списки. Эти двухэлементные списки определяют координаты точек на плоскости. Для вывода точек необходимо задать значение опции style, равной POINT. Если этого не сделать, то Maple отобразит ломаную линию, соединяющую точки в последовательности их задания, не выделяя их специальными символами. В примере 4 точки, заданные своими координатами на плоскости, отображаются с использованием символа круг symbol = CIRCLE.
  
  Пример 4. Отображение точек на плоскости.
  
  title=`Отображение точек\nкомандой plot`,
  
  labelfont=[TIMES, ITALIC, 16]);
  
  2. Меню для работы с двумерной графикой.
  
  После построения графика функции командой plot () или другой командой двумерной графики из пакета plots, его внешний вид можно изменить. Для этого надо переустановить значения некоторых опций с помощью команд основного меню интерфейса пользователя, контекстной панели инструментов или команд контекстного меню, отображаемого нажатием левой кнопки мыши при наведении указателя в область рисунка.
  
  На рис. 1 показан общий вид интерфейса пользователя с меню и контекстной панелью инструментов для работы с графикой. Также на этом же рисунке отображено контекстное меню, появляющееся при щелчке правой кнопкой мыши, когда указатель расположен в области графического вывода. При выделении двумерной графики на рабочем листе меню Insert, Spreadsheet и Options, находящиеся в строке основного меню, заменяются новыми Style, Legend. Axes, Projection, Animation и Export, которые позволяют изменить основные опции построенного графика, а также сохранить его в различных форматах с помощью команд последнего меню. Все команды этих меню дублируются в контекстном меню, в котором дополнительно присутствует команда Сору копирования графики в Буфер обмена, а некоторая их часть в контекстной панели инструментов для двумерной графики. На рис. 1 показаны опции, которым соответствуют кнопки контекстной панели инструментов. Дополнительно к изменению основных меню сокращается список команд меню Format. Так меняется окно интерфейса пользователя при выделении двумерного графика на рабочем листе.
  
  Команды Line (Линия). Point (Точка), Patch (Заливка) и Patch w/o grid (Заливка без сетки) меню Style устанавливают значение опции style, равной, соответственно, line, point, patch или PATCHNOGRID. На контекстной панели инструментов этим командам соответствуют первые четыре кнопки (рис. 1).
  
  Рис. 1. Интерфейс пользователя при выделении графики
  
  Подменю Symbol (Символ), Line Style (Тип линии) и Line Width (Толщина линии) позволяют установить значения опций symbol, linestyle и thickness, а команда Symbol Size отвечает за установку и изменение размеров символов отображения точек при отображении линий точками, т.е. когда установлена опция linestyle=POINT. Кнопок на контекстной панели инструментов для этих опций не предусмотрено.
  
  Команды меню Axes (Оси) позволяют установить значения BOXED, FRAME, NORMAL и NONE опции axes. На контекстной панели инструментов им соответствуют четыре кнопки, показанные на рис. 1.
  
  Меню Projection (Проекция) устанавливает значения опции scaling. На панели инструментов значения этой опции можно устанавливать с помощью последней кнопки. Если она не нажата, то соответствует значению unconstrained, если нажата – установлено значение constrained.
  
  Меню Animation специально предназначено для анимации изображений и становится доступным, когда в документе Maple графика выводится командой создания анимации animate ().
  
  Командами последнего меню Export можно сохранить выделенный на рабочем листе график в одном из следующих форматов: EPS, GIF, JPG, BMP и WMF.
  
  Все перечисленные команды меню можно выполнить из контекстного меню, в котором кроме этих команд присутствует команда Сору (Копировать), копирующая графический рисунок в Буфер обмена операционной системы Windows для вставки его в документ другого приложения или обработки какой-либо графической программой. Отметим, что скопировать график в Буфер обмена можно и командой Сору меню Edit.
  
  1. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. – М.: Мир, 1997. – 208 с.
  
  3. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 176 с.
  
  4. Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. – СПб.:БХВ – Петербург, 2001. – 528 с.
  
  Maple – система компьютерной математики, рассчитанная на широкий круг пользователей. До недавнего времени ее называли системой компьютерной алгебры, что указывало на особую роль символьных вычислений и преобразований, которые способна осуществлять эта система. Но такое название сужает сферу применения системы. На самом деле она способна выполнять быстро и эффективно не только символьные, но и численные расчеты, причем сочетает это с превосходными средствами графической визуализации и подготовки электронных документов.
  
  Maple – типичная интегрированная система. Она объединяет в себе:
  
  - мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой);
  
  - редактор для подготовки и редактирования документов и программ;
  
  - современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;
  
  - мощную справочную систему со многими тысячами примеров;
  
  - ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;
  
  численный и символьный процессоры;
  
  - библиотеки встроенных и дополнительных функций;
  
  - пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ.
  
  Как у всех приложений под Windows, интерфейс Maple имеет ряд характерных элементов, видимых на рисунке 1.1 и перечисленных ниже:
  
  - строка заголовка (сверху);
  
  - строка главного меню;
  
  - главная панель инструментов;
  
  - контекстная панель инструментов, вид которой зависит от режима работы с Maple;
  
  - окно ввода и редактирования документов; строка состояния (в самом низу окна).
  
  Основой для работы с символьными преобразованиями в Maple является ядро системы. Оно содержит сотни базовых функций и алгоритмов символьных преобразований. В новых реализациях объем ядра достигает 6–7 Мбайт. Имеется также основная библиотека операторов, команд и функций. Многие встроенные в нее функции, как и функции ядра, могут использоваться без какого-либо объявления, другие нуждаются в объявлении. Кроме того, имеется ряд подключаемых пакетов (packages).
  
  Дополнительные функции из пакетов могут применяться после объявления подключения пакета с помощью команды with(name), где name – имя применяемого пакета. Общее число функций, с учетом встроенных в ядро и размещенных в пакетах, в системе приближается к 3000. Это означает, что большинство задач может решаться в режиме прямого диалога с системой без использования каких-либо программных средств.
  
  Например, пакет linalg – линейная алгебра – представляет собой совокупность следующих основных функций:
  
  > with(linalg);
  
  Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
  
  Maple способна решить огромное число задач вообще без какого-либо программирования в общепринятом смысле этого понятия. Достаточно лишь описать алгоритм решения задачи и разбить его на отдельные вопросы, на которые система Maple способна дать ответы. Более того, есть тысячи задач, алгоритмы решения которых уже реализованы в виде функций и команд системы. Тем не менее, это вовсе не означает, что в Maple нельзя программировать. На самом деле Maple поддерживает три собственных языка: входной, реализации и программирования.
  
  Имеет Maple и свой язык процедурного программирования – Maple-язык. Этот язык имеет вполне традиционные средства структурирования программ: операторы циклов, операторы условных и безусловных переходов, операторы сравнения, логические операторы, команды управления внешними устройствами, функции пользователя, процедуры и т.д. Он также включает в себя все команды и функции входного языка, ему доступны все специальные операторы и функции. Многие из них являются весьма серьезными программами, например символьное дифференцирование, интегрирование, разложение в ряд Тейлора, построение сложных трехмерных графиков и т.д.
  
  Не следует путать входной язык и язык программирования системы (Maple-язык) с языком ее реализации. Им является один из самых лучших и мощных универсальных языков программирования – Си. На нем написано ядро системы, содержащее тщательно оптимизированные процедуры. Большинство же функций, которые содержатся в пакетах, написаны на Maple-языке, благодаря чему их можно модифицировать и даже писать свои собственные библиотеки. По разным оценкам, лишь от 5 до 10% средств Maple создано на языке реализации – все остальное написано на Maple-языке. Таким образом, система имеет развитые возможности для расширения и адаптации к задачам пользователя. Для подготовки программ на языке Maple могут использоваться внешние редакторы, но система имеет и свой встроенный редактор, вполне удовлетворяющий требованиям большинства пользователей. Он открывается командами New и Open в меню File. Этот редактор можно использовать для редактирования файлов программ или математических выражений.
  
  Синтаксис структурных операторов языка Maple напоминает смесь Бейсика и Паскаля. Это облегчает знакомство с ним тем, кто имеет хотя бы начальный опыт программирования на этих языках. По близким к Бейсику правилам (и при помощи общепринятых математических сокращений) выполняется и ввод математических выражений в диалоговом режиме работы с системой.
  
  Перечислим кратко основные возможности Maple.
  
  - работа со многими окнами;
  
  - вывод графиков в отдельных окнах или в окне документа;
  
  - представление выходных и входных данных в виде естественных математических формул;
  
  - задание текстовых комментариев различными шрифтами;
  
  - возможность использования гиперссылок и подготовки электронных документов;
  
  - удобное управление с помощью клавиатуры через главное меню и инструментальную панель;
  
  - управление с помощью мыши.
  
  Символьные и численные вычисления:
  
  - численное и аналитическое интегрирование;
  
  - вычисление пределов функций;
  
  - разложение функций в ряды;
  
  - вычисление сумм и произведений;
  
  - интегральные преобразования Лапласа, Фурье и др.;
  
  - прямое и обратное быстрое преобразование Фурье;
  
  - работа с кусочно-заданными функциями.
  
  Работа с уравнениями в численном и символьном виде:
  
  - решение систем линейных и нелинейных уравнений;
  
  - решение систем дифференциальных уравнений;
  
  - символьное вычисление рядов;
  
  - работа с рекуррентными функциями;
  
  - решение трансцендентных уравнений;
  
  - решение систем с неравенствами.
  
  Работа с функциями:
  
  - вычисление значений всех элементарных функций;
  
  - вычисление значений большинства специальных математических функций;
  
  - пересчет координат точек между различными координатными системами;
  
  - задание функций пользователя.
  
  - свыше ста операций с векторами и матрицами;
  
  - решение систем линейных уравнений;
  
  - формирование специальных матриц и их преобразования;
  
  - вычисление собственных значений и собственных векторов матриц;
  
  - поддержка быстрых векторных и матричных алгоритмов пакета программ NAG.
  
  Графическая визуализация результатов вычислений:
  
  - построение графиков многих функций;
  
  - различные типы осей (с линейным и логарифмическим масштабом);
  
  - графики функций в декартовой и полярной системах координат;
  
  - специальные виды графиков (точки массивов, векторные графики, диаграммы уровней и др.);
  
  - системы координат, определяемые пользователем;
  
  - графики, представляющие решения дифференциальных уравнений;
  
  - графики трехмерных поверхностей с функциональной закраской;
  
  - построение пересекающихся в пространстве объектов;
  
  - задание пользователем окраски графиков;
  
  - импорт графиков из других пакетов и программных систем;
  
  - создание и проигрывание анимационных файлов.
  
  - встроенный язык процедурного программирования;
  
  - простой и типичный синтаксис языка программирования;
  
  - обширный набор типов данных;
  
  - типы данных, задаваемых пользователем;
  
  - средства отладки программ;
  
  - мощные библиотеки функций;
  
  - задание внешних функций и процедур;
  
  - поддержка языков программирования С и Fortran;
  
  - возможность записи формул в формате LaTeX.
  
  Отметим также некоторые специальные возможности:
  
  - новый пакет для поддержки языка XML;
  
  - поддержка новейшего стандарта записи математической информации – языка MathML 2.0;
  
  - поддержка протокола TCP/IP, обеспечивающего динамический удаленный доступ к данным, например, для финансового анализа в реальном масштабе времени или данных о погоде;
  
  - дополнительные пакеты (Maple PowerTools), доступные через Интернет, поддерживающие анализ методом конечных элементов (РЕМ), нелинейную оптимизацию и статистику, а также три новых пакета: вычисления для новичков, теоретическая физика и программирование;
  
  - возможность работы с курсом университетского математического образования, загружаемого через Интернет.
  
  Ввод выражений (вопросов) задается по правилам, давно принятым для строчных редакторов. Они хорошо известны, и мы не будем на них останавливаться подробно. Отметим лишь специфический момент: знак фиксации конца выражения ; (точка с запятой) указывает, что результат его вычисления должен быть выведен на экран, а знак : (двоеточие) отменяет вывод и может использоваться лишь как знак разделителя при записи нескольких выражений в одной строке. Клавиши перемещения курсора позволяют передвигаться по ранее введенным строкам на экране.
  
  Нижеприведенная строка иллюстрирует несколько базовых моментов. Операторы могут располагаться на одной строке, и в этом случае они выполняются все сразу (в порядке их написания) при одном нажатии клавиши ввода. Знак := представляет собой оператор присваивания, причем он применяется как для присваивания значения переменной (a), выражения (g), так и функции (f).
  
  > restart: a:=2: f:=x->sin(a*x)/x; g:=cos(b*x);
  
  > f(2); subs(x=2,g);
  
  > evalf(f(2)); evalf(subs(,g));
  
  (в случае g для вычисления конкретного значения необходимо, помимо x, подставить также значение для b, по этой причине внутри оператора subs использованы фигурные скобки для обозначения списка условий). Используем определенные функции для построения их графиков (внутри оператора построения графика plot также использованы фигурные скобки для обозначения списка функций):
  
  Рис. 1.2. Пример построения графиков функций от одной переменной в Maple
  
  Обратим еще раз внимание, что здесь f и g используются по-разному: если первая записана в обычном для функции виде , то вторая записана просто как , а ее зависимость от переменной подразумевается, т.к. ранее символу было присвоено значение . Другой распространенный оператор, оператор равенства =, используется для задания равенств и логических условий (например, ), указания областей изменения переменных (например, x=–15..15 означает формирование диапазона изменения x от –15 до 15) и определения значений параметров в функциях и командах (например, color=b1ack для задания черного цвета у линий графиков).
  
  Аналогично, как график обычной функции в декартовой системе координат, можно построить график трехмерной поверхности. В данном случае задана функция двух переменных и ее график строится с использованием графической функции plot3d. Правила задания пределов изменения переменных х и у соответствуют описанным выше.
  
  > z:=sin(x+y):plot3d(z,x=-2..2,y=-2..2);
  
  Рис. 1.3. Пример построения графика функции от двух переменных
  
  Необходимо помнить, что сила системы Maple состоит прежде всего в возможности выполнения аналитических (символьных) вычислений. Рассмотрим некоторых примеры.
  
  Требуется найти емкость трех последовательно включенных емкостей (конденсаторов) C₁, C₂ и C₃ произвольной величины. Из электротехники известно, что суммарная емкость C₀ определяется уравнением:
  
  Задав это уравнение и присвоив ему некоторое имя (например, eq), далее достаточно использовать функцию решения алгебраических уравнений solve, чтобы найти значение С₀ в общей аналитической форме:
  
  > eq:=1/C0=1/C1+1/C2+1/C3:R:=solve(eq,C0);
  
  Результат может быть получен и в численном виде для конкретных значений C₁, C₂ и C₃:
  
  > C1:=2:C2:=1:C3:=4:R;evalf(%);
  
  (знак % означает последнее предыдущее выражение). Отметим еще некоторые тонкие моменты, связанные с применением оператора solve. Выполним следующую командную строку:
  
  > restart:eq:=1/C0=1/C1+1/C2+1/C3:R:=solve(,C0);
  
  Отличие от предыдущего случая состоит лишь в наличии фигурных скобок, в которые заключено имя решаемого уравнения eq. Благодаря этому, как видно из результата выполнения оператора, теперь R (имя, которым мы обозначили процедуру решения уравнения) представляет собой массив (в данном случае размерности 1). В этом легко убедиться, выполнив оператор:
  
  > R[1];
  
  Отметим, что предыдущие операции не определили значения символа :
  
  > C0;
  
  > solve(R[1],C0);
  
  > assign(R):C0;
  
  Вычисления производных и интегралов в символьном виде являются наиболее интересными из простейших применений систем символьной математики. Ниже показаны примеры с применением функции diff для вычисления производной и int для вычисления неопределенных и определенных интегралов:
  
  > diff(sin(x)^2+cos(x)^3,x);
  
  > int(sin(x),x); int(sin(x),x=0..Pi);
  
  Возможны случаи, когда интеграл выражается через специальные функции, а если это невозможно, то возвращается в символьном виде:
  
  > q1:=int(exp(-x^2),x=-1..1); q2:=int(exp(-x^3),x=-1..1);
  
  К такому же результату приводит функция Int – так называемая инертная форма функции int. Инертная форма служит для вывода записи интеграла в естественной математической форме, но с отложенным выводом результата вычислений. Это один из путей наглядного представления входных выражений, причем инертные формы имеют не только интегралы, но практически все функции. Все инертные функции имеют имена, начинающиеся с большой буквы, тогда как обычные функции имеют имена, начинающиеся с маленькой буквы.
  
  > q3:=Int(sin(x),x=0..Pi);
  
  Во всех случаях можно посчитать численные значения:
  
  > evalf(q1);evalf(q2);evalf(q3);
  
  Отметим в заключение, что настоящее пособие ни в коей мере не является систематическим учебником Maple, MATLAB или Mathematica, поэтому детальное изложение языка выходит за его рамки. Так, слова solve, diff и int с их аргументами являются именами встроенных в систему функций, возвращающих символьные значения результатов, и таких функций с их вариантами система Maple имеет около трех тысяч. При этом многие функции подчас могут применяться во многих случаях и имеют массу параметров и директив для уточнения направлений решения и расширения областей применения. В то же время, задача данного пособия состоит в том, чтобы читатель после его изучения мог самостоятельно использовать указанные системы для решения практических задач, не используя специальные систематические пособия. Это возможно в силу следующих важных обстоятельств:
  
  - мало кто на практике использует из всей этой массы функций более чем несколько десятков;
  
  - названия и формы представления многих функций интуитивно предсказуемы;
  
  - наконец, система имеет превосходную справочную базу данных, с помощью которой можно легко разобраться с синтаксисом любой функции.
  
  Задача настоящего пособия и состоит в предоставлении и разъяснении важнейших, базовых сведений и приемов, овладев которыми (с обязательным изучением примеров), читатель сможет работать самостоятельно.
  
  Читайте также: