Теорема вариньона механика кратко

Обновлено: 02.07.2024

Система сил, линии действия которых расположены в различных плоскостях, называется пространственной системой сил .

Пространственная система сил называется сходящейся , если линии действия всех сил системы пересекаются в одной точке.

Теорема: пространственная система сходящихся сил эквивалентна равнодействующей, которая равна векторной сумме этих сил; линия действия равнодействующей проходит через точку пересечения линий действия составляющих сил.

Пусть дана пространственная система n сходящихся сил (F₁, F₂, F₃. F_n) . На основании следствия из аксиом III и IV перенесем все силы системы вдоль линий действия в точку их пересечения. Затем на основании аксиомы параллелограмма последовательно сложим все силы и получим их равнодействующую:

Силовой многоугольник пространственной системы сил не лежит в одной плоскости, поэтому геометрический и графический способы нахождения равнодействующей пространственной системы сходящихся сил неприемлемы, а применяется только аналитический способ (метод проекций) .

Проекция силы на ось в пространстве находится по проецирующим перпендикулярам, и может быть определена при помощи тригонометрических функций. При определении проекций сил пространственной системы потребуется система координат с осями X , Y , Z , поскольку силы системы не располагаются в одной плоскости.

Правило знаков для проекций будет таким же, как и для плоской системы сил – совпадающие по направлению с координатной осью силы считаются положительными, в противном случае – отрицательными. Если вектор силы параллелен какой-либо оси координат, то он проецируется на эту ось в натуральную величину, если же вектор перпендикулярен оси, его проекция на эту ось будет равна нулю.

Разложение силы по трем осям координат

Пусть дана сила F (см. рисунок 1) .
Возьмем систему координат так, чтобы начало координат совпадало с началом вектора силы F (т. е. с точкой приложения силы). Из конца этого вектора опустим перпендикуляр на плоскость xy и разложим силу F на составляющие F_xy и F_z , а составляющую F_xy – на составляющие F_x и F_y . Тогда:

Достроим полученное изображение до параллелепипеда, у которого составляющие F_x , F_y и F_z являются ребрами, а сила F – диагональю.

Из изложенного можно сделать вывод: равнодействующая трех взаимно-перпендикулярных сил выражается по модулю и направлению диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах .

Из рисунка видно, что в случаях разложения силы F по трем взаимно-перпендикулярным направлениям x , y , z составляющие F_x , F_y и F_z равны по модулю проекциям силы F на эти оси.

Зная проекции силы на три взаимно-перпендикулярные оси координат, можно определить модуль и направление вектора силы по формулам:

модуль силы: F = √(F_x 2 + F_y 2 + F_z 2 ) (здесь и далее √ - знак корня) ;

направляющие косинусы: cos(F,x) = Fx/F; cos(F,y) = Fy/F; cos(F,z) = Fz/F .

Аналитический способ определения равнодействующей пространственной системы сходящихся сил

Рассмотренный выше способ разложения силы F на три составляющие по направлению координатных осей x , y , z можно применить для каждой из сходящихся сил пространственной системы. Тогда вместо данной системы n сходящихся сил мы получим эквивалентную ей систему 3n сил, из которых n сил действуют по оси x , n сил – по оси y , и n сил – по оси z .
Равнодействующая проекций сил системы на ось x равна их геометрической сумме, то же самое можно сказать и о равнодействующих проекций сил на оси y и z .
Таким образом, систему 3n сил можно заменить эквивалентной ей системой трех сил, каждая из которых представляет собой равнодействующую проекций сил данной системы на ту или иную ось координат.

Проекции силы на три взаимно-перпендикулярные оси и составляющие силы, направленные по этим осям, равны по модулю, следовательно, проекции равнодействующей равны:

Очевидно, что равнодействующая трех взаимно перпендикулярных сил выражается по модулю и направлению диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах, и по известным проекциям равнодействующей можно определить модуль и направление самой равнодействующей.

Аналитические условия равновесия пространственной системы сходящихся сил

Известно, что пространственная система сходящихся сил эквивалентна равнодействующей. Если такая система сил находится в равновесии, т. е. эквивалентна нулю, то можно сделать вывод, что равнодействующая этой системы равна нулю, а следовательно, и проекции равнодействующей тоже равны нулю, причем эти проекции равны сумме проекций составляющих.
Отсюда вытекают условия равновесия пространственной системы сходящихся сил:

ΣX = 0; ΣY = 0; ΣZ = 0 .

Эти условия формируются следующим образом: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую их трех координатных осей равнялась нулю.

Момент силы относительно оси

Рассмотрим колесо червячной передачи, укрепленное на валу, вращающемся в подшипниках (см. рисунок 2) . Червяк передает червячному колесу силу F , не лежащую в плоскости, перпендикулярной оси.

Разложим силу F на три взаимно-перпендикулярные составляющие F₁ , F₂ и F₃ .
Составляющую F₁ назовем окружной силой , составляющую F₂ – осевой силой , а составляющую F₃ – радиальной силой .
Из рисунка видно, что составляющая F₁ вызывает вращательное действие, которое измеряется произведением силы F₁ на радиус колеса r ; составляющая F₂ стремится сдвинуть червячное колесо вдоль оси, а составляющая F₃ стремится изогнуть ось колеса.
Очевидно, что вращающее действие сил F₂ и F₃ относительно оси колеса равно нулю.
Таким образом, если нужно найти момент силы относительно оси, то следует принимать в расчет только составляющую F₁ , лежащую в плоскости, перпендикулярной оси, и не пересекающую ось (иначе ее момент будет равен нулю).

Ранее было отмечено, что проекция вектора силы на ось есть скалярная алгебраическая величина. В отличие от проекции на ось проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как эта проекция характеризуется не только числовым значением, но и положением на плоскости, т. е. направлением.
Поэтому моменту силы относительно оси можно дать такое определение: моментом силы относительно оси называется величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Это определение поясняет рисунок 3 .
Момент силы относительно оси условимся записывать следующим образом:

Условимся считать момент силы положительным, если смотреть с положительного конца оси и сила стремится вызвать вращение против часовой стрелки, если же сила стремится вызвать вращение по часовой стрелке, ее момент считаем отрицательным.

Момент силы относительно оси не меняется при перемещении силы вдоль оси ее действия.

если вектор силы параллелен оси, так как при этом проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю (см. рисунок 3, сила F_Z) ;
если линия действия силы пересекает ось, так как при этом плечо равно нулю (сила F₃ на рисунке 2) .

Аналитические условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил

Пространственная система сил, в которой линии действия составляющих сил расположены произвольно, т. е. линии их действия могут не пересекаться и находиться в разных плоскостях, называется произвольно расположенной системой сил.

Для равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую из трех осей координат была равна нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил относительно каждой из этих осей была равна нулю.

Строгое обоснование приведенного выше условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил требует знания некоторых вопросов, не предусмотренных программами учреждений среднего профессионального образования, поэтому условие равновесия такой системы здесь приводится без доказательства.

Математически условие равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил можно записать в виде уравнений:

ΣX = 0; ΣMx(Fi) = 0;
ΣY = 0; ΣMy(Fi) = 0;
ΣZ = 0; ΣMz(Fi) = 0.

Свободное тело в пространстве имеет шесть степеней свободы, а именно: возможность перемещаться в направлениях трех взаимно-перпендикулярных осей координат и возможность вращаться вокруг этих осей. Таким образом, шести степеням свободы тела в пространстве соответствуют шесть условий равновесия.
Если система сил, приложенных к свободному телу, удовлетворяет всем шести условиям равновесия, то возможность трех перемещений и трех вращений тела под действием сил системы исключена, поэтому тело будет находится в равновесии.

Очевидно, что все выведенные ранее условия равновесия для различных систем сил являются частными случаями условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил.

Так как условия равновесия пространственной системы сил справедливы для любых прямоугольных осей координат, то при решении данной задачи систему координат можно изменять, т. е. часть уравнений равновесия составить для одних осей координат, а часть – для измененных. В некоторых случаях этот прием упрощает решение задач.

Теорема о моменте равнодействующей относительно оси
(теорема Вариньона)

Теорема: момент равнодействующей относительно оси равен алгебраической сумме моментов, составляющих сил относительно этой же оси .

Пусть даны пространственная система n произвольно расположенных сил, приложенных к телу, и равнодействующая этой системы сил F_Σ (см. рисунок 4) :

Приложим к телу другую систему сил, равнодействующая которой F’_Σ по модулю равна F_Σ и направлена по той же линии действия, но в противоположную сторону, т. е. является уравновешивающей данной системы сил.
Тогда можно записать:

Так как обе записанные выше системы сил эквивалентны нулю, т. е. уравновешены, то к ним можно применить любое условие равновесия, например

Теорема Вариньона гласит: момент равнодействующей системы сил относительно какого-либо центра равен геометрической сумме моментов составляющих систему сил относительно того же центра.

В некоторых случаях при определении момента силы возникают трудности в расчете плеча силы.

Теорема Вариньона значительно упрощает решение этого вопроса.

Например, момент силы F относительно точки O можно определить как алгебраическую сумму моментов сил F_x и F_y (на которые можно разложить силу F) относительно той же точки O (рисунок 1.17). То есть

где F_x , F_y , x и y – проекции на оси координат силы F и радиуса-вектора r.

Эта теорема связана с моментом равнодействующей пространственной сходящейся системы сил относительно произвольной точки. Ее сформулировал и смог доказать великий французский ученый Пьер Вариньон (1654-1722).

Теорема гласит следующим образом:

Момент равнодействующей пространственной системы сходящихся сил относительно произвольной точки равен векторной сумме моментов всех слагаемых сил относительно этой же точки.

Действительно, если совокупность всех сил, действующих на абсолютно твердое тело сходится в некоторой точке О, то ее равнодействующая находится как геометрическая сумма этих сил, т.е.:

и приложена в той же точке О (рис.4.3.).

Возьмем произвольную точку А и обозначим через вектор-радиус точки О относительно точки А. Тогда по определению момента равнодействующей находим:

Подчеркнем, что теорема Вариньона верна только для сходящейся системы сил и для совокупности сил с параллельными друг другу линиями действия.

Если все силы лежат на некоторой плоскости и составляют плоскую систему сходящихся сил, то вместо геометрической суммы моментов берется алгебраическая сумма моментов этих сил, т.е.

Следует заметить, что формулы (4.21) и (4.22) применяются во многих задачах инженерных дисциплин.

Вопросы для самопроверки

1. Приведите силу, параллельно самой себе, к заданному центру.

2. Как можно сформулировать теорему Пуансо?

3. Что такое главный вектор?

4. Что такое главный момент?

5. Чему равна величина главного вектора?

6. Как находится величина главного момента?

7. Как находится направление главного вектора?

8. Определите направление главного момента системы сил.

9. Какой угол между собой составляет главный вектор и главный моменты системы сил?

10. Как находятся проекции главного вектора на оси координат x, y, z?

11. Определите проекции главного момента на оси координат x, y, z.

12. Какие возможные частные случаи вы знаете при приведении системы сил к заданному центру?

13. Как в векторной форме выглядят условия равновесия произвольной пространственной системы сил?

14. Как записываются они в координатной форме?

15. Какие частные случаи условия равновесия вы знаете?

16. Как можно сформулировать теорему Вариньона?

ЗАДАЧИ:

I. К вершинам куба со стороной а приложены силы F₁ = F₂ = 5 . Приведите эти силы к простейшему виду (рис.4.4).

Решение: Оси декартовых координат x,y,z направим как на рис.4.3. Тогда проекции главного вектора на эти оси, согласно (4.4) будут:

Так как R_x = 0, то лежит на плоскости YOZ. Через направляющие косинусы (4.6) находится направление главного вектора:

Аналогичным образом формулу (4.10), применив к этой задаче, находим главный моменты системы сил.

Тогда согласно (4.11) находим:

Так как M_y = 0, M_z = 0, то главный момент приложенных сил к кубу будет напралвен по оси Х.

Следовательно при приведении указанных сил к центру О система заданных сил сводится к главному вектору R₀=20 Н, направления которого определяются углами = 90 0 , =135 0 , =45 0 и главному моменту M₀ = 15 a нм, направленному по оси Х (рис.4.5), т.е. ^ . В этом случае система сил приводится к равнодействующей , приложенной в точке А, где

II. Определить опорные силы реакции для конструкции и силу , которая держит конструкции в равновесии, показанной на рис.4.6. При этом даны: Q = 3000 H; G = 2000 H; a = 0,6 м; b = 0,2 м; с = 0,4 м; r = 0,05 м; a = 30 0 ; b = 60 0 .

Решение. На рисунке приведены все активные и пассивные силы. Причем через , ? , соответственно обозначен силы реакции в цилиндрических подшипниках А и В. Тогда согласно уравнений равновесия (4.18)

X_A - Qcos 60 0 + X_B + Pcos 30 0 = 0,

Z_A + Qcos 30 0 + Z_B - Pcos 60 0 - G = 0,

(a + b) Qcos 30 0 + (a + 3b) Z_B - (a + 3b + c) Pcos 60 0 - (a + 3b + c) G = 0,

; -rQ cos 30 0 + R × P = 0,

(a + b) Qcos 60 0 - (a + 3b) X_B + (a + 3b + c) × Pcos 30 0 = 0

Решив совместно эти уравнения, находим:

X_B = [(a + b) Qcos 60 0 + (a + 3b + c) × Pcos 30 0 ] = 1750 H.

X_A = Qcos 60 0 - X_B - Pcos 30 0 = -812 H.

Z_B= [(a + 3b + c) (Pcos 60 0 + G) - (a + b) Qcos 30 0 ] = 1368 H.

Z_A = -Qcos 30 0 - Z_B + Pcos 60 0 + G 355 H.

Таким образом определены все неизвестные X_A, Z_A, X_B, Z_B и Р, удерживающие указанную конструкцию в равновесии.

Теорема гласит следующим образом:

и приложена в той же точке О (рис.4.3.).

Следует заметить, что формулы (4.21) и (4.22) применяются во многих задачах инженерных дисциплин.

Вопросы для самопроверки

1. Приведите силу, параллельно самой себе, к заданному центру.

2. Как можно сформулировать теорему Пуансо?

3. Что такое главный вектор?

4. Что такое главный момент?

5. Чему равна величина главного вектора?

6. Как находится величина главного момента?

7. Как находится направление главного вектора?

8. Определите направление главного момента системы сил.

9. Какой угол между собой составляет главный вектор и главный моменты системы сил?

10. Как находятся проекции главного вектора на оси координат x, y, z?

11. Определите проекции главного момента на оси координат x, y, z.

12. Какие возможные частные случаи вы знаете при приведении системы сил к заданному центру?

13. Как в векторной форме выглядят условия равновесия произвольной пространственной системы сил?

14. Как записываются они в координатной форме?

15. Какие частные случаи условия равновесия вы знаете?

16. Как можно сформулировать теорему Вариньона?

ЗАДАЧИ:

I. К вершинам куба со стороной а приложены силы F₁ = F₂ = 5 . Приведите эти силы к простейшему виду (рис.4.4).

Аналогичным образом формулу (4.10), применив к этой задаче, находим главный моменты системы сил.

Тогда согласно (4.11) находим:

Так как M_y = 0, M_z = 0, то главный момент приложенных сил к кубу будет напралвен по оси Х.

X_A - Qcos 60 0 + X_B + Pcos 30 0 = 0,

Z_A + Qcos 30 0 + Z_B - Pcos 60 0 - G = 0,

(a + b) Qcos 30 0 + (a + 3b) Z_B - (a + 3b + c) Pcos 60 0 - (a + 3b + c) G = 0,

; -rQ cos 30 0 + R × P = 0,

(a + b) Qcos 60 0 - (a + 3b) X_B + (a + 3b + c) × Pcos 30 0 = 0

Решив совместно эти уравнения, находим:

X_B = [(a + b) Qcos 60 0 + (a + 3b + c) × Pcos 30 0 ] = 1750 H.

X_A = Qcos 60 0 - X_B - Pcos 30 0 = -812 H.

Z_B= [(a + 3b + c) (Pcos 60 0 + G) - (a + b) Qcos 30 0 ] = 1368 H.

Z_A = -Qcos 30 0 - Z_B + Pcos 60 0 + G 355 H.

Таким образом определены все неизвестные X_A, Z_A, X_B, Z_B и Р, удерживающие указанную конструкцию в равновесии.

Теоре́ма Вариньо́на — одна из теорем механики, устанавливающая зависимость между моментами сил данной системы и моментом их равнодействующей силы относительно какого-либо центра или оси. Сформулирована для сходящихся сил Пьером Вариньоном в 1687, либо, ещё раньше, Симоном Стевином.

Если система сил, приложенных к абсолютно твердому телу имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно произвольного центра (оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно того же центра (оси).

$\bar L_O = \sum\limits_</p> <p> <br />Векторная запись теоремы: ^N (\bar r \times \bar F_k) = \bar r \times \sum\limits_^N \bar F_k = \bar r \times \bar R$
.

Законы классической механики
Физические теоремы

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Теорема Вариньона (механика)" в других словарях:

Теорема Вариньона — Теорема Вариньона: Теорема Вариньона (механика) Теорема Вариньона (геометрия) … Википедия

Вариньона теорема — Теорема Вариньона: Теорема Вариньона (механика) Теорема Вариньона (геометрия) … Википедия

Вариньон, Пьер — Пьер Вариньон Пьер Вариньон (фр. Pierre Varignon, Кан, 1654 23 декабря, 1722 … Википедия

Пьер Вариньон — (фр. Pierre Varignon, Кан, 1654 23 декабря, 1722, Париж) французский математик, член Парижской Академии наук, профессор математики коллежа Мазарини (1688), профессор Коллеж де Франс.[1] Обучался в иезуитском коллеже и универститете … Википедия

Вариньон — Вариньон, Пьер Пьер Вариньон Пьер Вариньон (фр. Pierre Varignon, Кан, 1654 23 декабря, 1722, Париж) французский математик, член … Википедия

Пара сил — Пара сил две равные по величине и противоположные по направлению силы, приложенные к одному телу. Равнодействующая пары сил нулевой вектор. Кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару сил, называют плечом пары.… … Википедия

Момент силы — величина, характеризующая вращательный эффект силы при действии её на твёрдое тело; является одним из основных понятий механики. Различают М. с. относительно центра (точки) и относительно оси. М. с. относительно центра О величина … Большая советская энциклопедия

Вариньон — (Varignon) Пьер (1654 22.12.1722, Париж), французский механик и математик. Член Парижской АН (1688). Профессор математики коллежа Мазарини (с 1688), профессор Коллеж де Франс (с 1704). Труды В. посвящены теоретической механике, анализу… … Большая советская энциклопедия

Равнодействующая плоской системы сил. Теорема Вариньона

Плоская система приводит к силе. Теорема вариньона позволяет любой плоской системе сил F2 воздействовать на твердые тела…И Fn>. Эта система применяется к произвольно выбранному центру C: GGL=2^K>и основным векторам, имеющим моменты, равные n M

C=^MC (FK) относительно этого центра. Затем представьте себе, самый главный момент, с — * =я _ _ Стержень представлен в виде модуля главного вектора системы, то есть пары сил, равных Frn=F=F'(представляющих их через F и F’).

Для этого нужно изменить плечи этой пары так, чтобы момент был равен MS, воспользовавшись Людмила Фирмаль

тем, что пара может быть передана любым способом с точки зрения ее действия, например, F’t помещается в центр C и он помещается в направлении, противоположном действию вектора RGL (4.3). Вторая сила F, составляющая соединенную пару, должна быть обозначена таким образом, чтобы знак момента относительно центра С и знак главного момента совпадали(рис. 4.3 они положительны). Тогда плечи этой пары будут равны: h=Mc / Frn=Mc / F. (4.5) Таким образом,плоская

система этой силы эквивалентна силе FrJi и паре(F, F’), но так как силы GGL и F ‘ уравновешены, то данная система может проходить через центр убывающей CJ. Таким образом, если основной вектор данной плоской силовой системы не равен нулю, то эта система, в результате, направлена в равном с основным вектором направлении и в равном направлении.: ^RAVN=^GL=2Fk,(4-6) А=1 Докажем теорему в момент получения результата, принадлежащего французскому

механику Варину-ОНУ. .Три.* Айрис рис. 4.3. 4.4 Момент любой плоской системы, полученный в результате действия силы на любой центр (точку), являющийся теоремой, равен алгебраической сумме моментов всех сил этой системы на один и тот же центр. Доказательство основано на предыдущей теореме: результирующий момент равен, приложенный в точке C к центру редукции C: M SS^равно)=/?Этикетка (см. Фигура. 4.3), между тем, из Формула (4.5)ясно, что МС является главной точкой системы сил относительно

центра с, учитывая формулу (4.4), имеем ^c (f p a8H)=i^c(f*) — (4.7) / g=1 Теорема вариньона широко используется при решении различных задач статики. В частности, он используется при определении результатов параллельных сил. Сила называется параллельной, если ее линии действия параллельны друг другу. Найти результат действия двух параллельных сил Fi и F2, действующих на твердое тело(рис. 4.4). Исходя из Формулы (1.6), модуль главного вектора планарной системы принимает вид F[=]/F2rJ1X+P~L y. x=2k=i п/?GL y=FKy. Используя тот факт, что оси могут быть- L=1 Однако, чтобы расположить плоскость произвольно, мы направляем ось

параллельна им. Далее, учитывая, что основным вектором является остаток 36равнодействующей, параллельной и направленной в одном направлении, 2^KX=0, к=I Y]F go-fpaBH — ________________k = л =2^K u1+^2. Затем запишем сумму сил для любой точки, лежащей на прямой BiB2 или ее продолжении, по теореме Вариньона найдем положение линии действия равным^FpaBH. Возьмем точку как центр момента, который мы имеем: L4B1 (Pravn)==m B1 (L)+M B1(F2), с тех пор MBl(Fl)=0, (F1+F2) B[C=F2BiB2 или F1B1C=^2^2^ * (4.8)

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: