Теорема о сумме углов треугольника кратко

Обновлено: 30.06.2024

Pierad.jpg

Рассмотрим произвольный треугольник \(KLM\) и докажем, что ∡ \(K\) \(+\) ∡ \(L\) \(+\) ∡ \(M =\) 180 ° .

2. При пересечении параллельных прямых \(a\) и \(KM\) секущей \(KL\), углы, которые обозначаются \(1\), будут накрест лежащими углами, а углы, обозначенные \(2\) — это накрест лежащие углы при пересечении этих же параллельных прямых секущей \(ML\).

Очевидно, сумма углов \(1\), \(2\) и \(3\) равна развёрнутому углу с вершиной \(L\), т. е.
∡ \(1\) \(+\) ∡ \(2\) \(+\) ∡ \(3 =\) 180 ° , или ∡ \(K\) \(+\) ∡ \(L\) \(+\) ∡ \(M =\) 180 ° .

Данная теорема является одной из важнейших теорем геометрии.

Доказательство


Дано: ABC

Доказать: A+B+C=180 0

Доказательство:


Нам дан ABC



Проведем прямую aAC, проходящую через вершину B и обозначим углы.


Углы 1 и 4; 3 и 5 будут являться накрест лежащими углами при параллельных прямых a и AC, секущих AB и BC соответственно, 4 =1, 5 =3.

Из построения мы видим, что сумма углов 4, 2 и 5 равна развёрнутому углу с вершиной B, значит 4+2+5 = 180 0 . , учитывая то, что 4 =1, 5 =3, можем записать, что 1+2+3 = 180 0 , или A+B+C = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Внешний угол треугольника - это угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним

Доказательство:

Пусть нам дан треугольник, в котором 3 и 4 смежные (т.е. 4 является внешним углом данного треугольника)


Так как данные углы смежные мы можем записать, что 3 +4 = 180 0 , а по теореме о сумме углов треугольника (1 +2) + 3 = 180 0 . Из данных выражений мы видим, что 4 = 1 +2. Что и требовалось доказать.

Наглядная геометрия 7 класс. Опорный конспект № 4 Сумма углов треугольника.

Сумма углов треугольника

В этой теме вы познакомитесь с пятью признаками равенства прямоугольных треугольников и, пожалуй, с самым популярным свойством прямоугольного треугольника с углом 30°. Оно звучит так: катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Разделив равносторонний треугольник высотой, мы сразу получим доказательство этого свойства.


Сумма углов треугольника

ТЕОРЕМА. Сумма углов треугольника равна 180°. Для доказательства проведем через вершину прямую, параллельную основанию. Темные углы равны и серые углы равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Темный угол, серый угол и угол при вершине образуют развернутый угол, их сумма 180°. Из теоремы следует, что углы равностороннего треугольника равны по 60° и что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с углом треугольника. Поэтому иногда углы самого треугольника называют внутренними углами.

ТЕОРЕМА о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Действительно, внешний угол и два внутренних, не смежных с ним, дополняют закрашенный угол до 180°. Из теоремы следует, что внешний угол больше любого внутреннего, не смежного с ним.

ТЕОРЕМА о соотношениях между сторонами и углами треугольника. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. Отсюда следует: 1) Катет меньше гипотенузы. 2) Перпендикуляр меньше наклонной.

Расстояние от точки до прямой. Так как перпендикуляр меньше любой наклонной, проведенной из той же точки, то его длина принимается за расстояние от точки до прямой.

Неравенство треугольника. Длина любой стороны треугольника меньше суммы двух других его сторон, т. е. а

ТЕОРЕМА о свойстве катета, лежащего против угла 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Доказывается достроением треугольника до равностороннего.

ТЕОРЕМА о свойстве точек биссектрисы угла. Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла. Доказывается проведением двух перпендикуляров к сторонам угла и рассмотрением прямоугольных треугольников.

Вторая замечательная точка. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Расстояние между параллельными прямыми. ТЕОРЕМА. Все точки каждой из двух параллельных прямых находятся на равном расстоянии от другой прямой. Из теоремы следует определение расстояния между параллельными прямыми.

Определение. Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Подробные доказательства теорем







Сумма углов произвольного треугольника равна .

Доказательство теоремы о сумме углов треугольника

Рассмотрим треугольник (рис. 1).


Через вершину проведем прямую параллельно основанию . Тогда как внутренние накрест лежащие при параллельных и , и секущей . Аналогично, внутренние накрест лежащие при и секущей . Угол развернутый и равен

\[ \angle DBE = \angle DBA + \angle B + \angle CBE \]

Учитывая, что развернутый угол равен , а и , окончательно получим

Теорема доказана.

Примеры решения задач

Задание Угол при основании равнобедренного треугольника равен . Найти угол при вершине.
Решение Сделаем рисунок (рис. 2).


По условию, треугольник – равнобедренный. Углы при основании равны, на рисунке .

По теореме о сумме углов треугольника

Выразим из последнего равенства , получим

Подставляя заданные значения углов и , получим:

\[ \angle B = 180^\circ - 67^\circ - 67^\circ = 46^\circ \]

Задание Найти углы треугольника , если , .
Решение Сложим, левые и правые части заданных равенств и , получим

\[ \angle M + \angle L + \angle M + \angle F = 123^\circ + 158^\circ \]

\[ \angle M + \angle L + \angle M + \angle F = 281^\circ \]

По теореме о сумме углов треугольника . Подставляя значение этой суммы в последнее равенство, получим

\[ \angle M + 101^\circ = 123^\circ \text< ></p> <p> \Rightarrow \text < >\angle M = 22^\circ \]

\[ 101^\circ + \angle F = 158^\circ \text< ></p> <p> \Rightarrow \text < >\angle F = 57^\circ \]

Читайте также: