Теорема лемма доказательство кратко

Обновлено: 02.07.2024

Пусть существует число $\delta > 0$ такое, что функция $f(x)$ определена в $\delta$-окрестности точки $x_$, то есть на множестве $U_(x_0)=(x_0-\delta,x_+\delta)$, и пусть для всех $x\in U_(x_0)$ выполняется неравенство
$$
f(x)\geq f(x_).\label
$$
Тогда говорят, что функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ локальный минимум.

Аналогично, если существует число $\delta > 0$ такое, что для всех $x\in U_(x_0)$ выполняется неравенство
$$
f(x)\leq f(x_).\label
$$
то говорят, что функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ локальный максимум.

Локальный минимум и локальный максимум объединяются общим термином локальный экстремум. Функция $y=f(x)$, график которой изображен на рис. 17.1, имеет локальные экстремумы в точках $x_1=1,\ x_2=3,\ x_3=4$, а именно минимумы при $x=1$ и $x=4$ и максимум при $x=3$.

Если функция $f(x)$ имеет локальный экстремум в точке $x_0$ и дифференцируема в этой точке, то
$$
f'(x_0)=0\label
$$

$\circ$ Пусть, например, функция $f(x)$ имеет локальный минимум в точке $x_0$. Тогда в силу \eqref для всех $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ выполняется неравенство
$$
f(x)-f(x_)\geq 0.\label
$$
Если $x\in (x_0-\delta,x_0)$, то \(x-x_0 Рис. 17.2

Теорема Ферма имеет простой геометрический смысл: касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке локального экстремума $(x_0,f(x_0))$ параллельна оси абсцисс (рис. 17.2).

Теорема Ролля о нулях производной.

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, принимает в концах этого отрезка равные значения, то есть
$$
f(a)=f(b),\label
$$
и дифференцируема на интервале $(a,b)$, то существует точка $\xi\in(a,b)$ такая, что
$$
f'(\xi)=0.\label
$$

Если $m=M$, то $f(x)=\operatorname$, и в качестве $\xi$ можно взять любую точку интервала $(a,b)$.

Если $m\neq M$, то $m 0$ такое, что $U_(c_)\subset (a,b)$. Так как для всех $x\in U_(c_)$ выполняется условие $f(x)\geq f(c_)=m$, то по теореме Ферма $f'(c_)=0$, то есть условие \eqref выполняется при $\xi=c_$. Аналогично рассматривается случай, когда $c_\in(a,b).\quad \bullet$

Теорему Ролля можно кратко сформулировать так: между двумя точками, в которых дифференцируемая функция принимает равные значения, найдется хотя бы один нуль производной этой функции. Для случая $f(a)=f(b)=0$ теорема формулируется еще короче: между двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один нуль ее производной.

Геометрический смысл теоремы Ролля: при условиях теоремы 2 существует значение $\xi\in(a,b)$ такое, что касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке $(\xi,f(\xi))$ параллельна оси $Ox$ (рис. 17.3).

Все условия теоремы Ролля существенны. На рис. 17.4—17.6 изображены графики функций, каждая из которых удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, кроме одного. Для всех этих функций не существует точки на интервале $(-2,2)$, в которой производная была бы равно нулю.

Формула конечных приращений Лагранжа.

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и дифференцируема на интервале $(a,b)$, то в этом интервале найдется хотя бы одна точка $\xi$ такая, что
$$
f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).\label
$$

$\circ$ Рассмотрим функцию
$$
\varphi(x)=f(x)+\lambda x,\nonumber
$$
где число $\lambda$ выберем таким, чтобы выполнялось условие $\varphi(a)=\varphi(b)$, то есть $f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b$. Отсюда находим
$$
\lambda=-\frac.\label
$$
Так как функция $\varphi(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, дифференцируема на интервале $(a,b)$ и принимает равные значения в концах этого интервала, то по теореме Ролля существует точка $\xi\in(a,b)$ такая, что $\varphi'(\xi)=f'(\xi)+\lambda=0$. Отсюда в силу условия \eqref получаем равенство
$$
f'(\xi)=\frac,\label
$$
равносильное равенству \eqref. $\bullet$

Правая часть, формулы \eqref равна угловому коэффициенту секущей, которая проходит через точки $A(a,f(a))$ и $B(b,f(b))$ графика функции $y=f(x)$, а левая часть этой формулы равна угловому коэффициенту касательной к графику в точке $(\xi,f(\xi))$. Поэтому теорема Лагранжа имеет следующую геометрическую интерпретацию: существует значение $\xi\in(a,b)$ такое, что касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке $(\xi,f(\xi))$ параллельна секущей (рис. 17.7), соединяющей точки $A(a,f(a))$ и $B(b,f(b))$.

Пусть функция $f$ удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. Если $x_\in[a,b]$, а приращение $\Delta x\neq 0$ таково, что точка $x_+\Delta x$ также принадлежит отрезку $[a,b]$, то, применив теорему Лагранжа к функции $f(x)$ на отрезке $l$ с концами $x_0$ и $x_0+\Delta x$ ($\Delta x$ может быть и отрицательным), получим
$$
f(x_+\Delta x)-f(x_)=\Delta xf'(\xi),\label
$$
где $\xi$ — некоторая внутренняя точка отрезка $l$.

Пусть, $\Delta x > 0$; тогда \(0 Пример 1.

$$
\operatorname(1+x) 0,\label
$$
$$
|\operatornamex_2-\operatornamex_1|\leq|x_-x_|,\quad x\in\mathbb,\ x\in\mathbb.\label
$$

$\triangle$ Применяя теорему Лагранжа к функции $f(x)=\operatorname(1+x)$ на отрезке $[0,x]$, где $x > 0$, получаем $\operatorname(1+x)=\displaystyle \frac<1+\xi>x$ откуда следует неравенство \eqref, так как \(0

Некоторые следствия из теоремы Лагранжа.

Если функция $f(x)$ дифференцируема на интервале $(a,b)$ и $f'(x)=0$ для всех $x\in (a,b)$, то
$$
f(x)=C=\operatorname,\quad x\in (a,b).\nonumber
$$

$\circ$ Пусть $x_$ — фиксированная точка интервала $(a,b)$, $x$ — любая точка этого интервала. Применяя теорему Лагранжа к функции $f(x)$ на отрезке с концами $x_0$ и $x$ получаем
$$
f(x)-f(x_0)=(x-x_0)f'(\xi),\nonumber
$$
где $\xi\in(a,b),\ f'(\xi)=0$, откуда $f(x)=f(x_)=C$. $\bullet$

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, дифференцируема на интервале $(a,b)$ и для всех $x\in (a,b)$ выполняется равенство $f'(x)=k$, где $k$ — постоянная, то
$$
f(x)=kx+B,\quad x\in[a,b],\nonumber
$$
то есть $f$ — линейная функция.

$\circ$ Применяя теорему Лагранжа к функции $f$ на отрезке $[a,x]$, где $a\leq x\leq b$, получаем $f(x)-f(a)=k(x-a)$, откуда следует, что $f(x)=kx+B$, где $B=f(a)-ka$. $\bullet$

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема на интервале $(a,b)$, за исключением, быть может, точки $x_0\in (a,b)$, и непрерывна в точке $x_0$. Тогда если существует конечный или бесконечный
$$
\lim_-0>f'(x)=A,\label
$$
то в точке $x_0$ существует левая производная, причем
$$
f_'(x_)=A.\label
$$

Аналогично, если существует
$$
\lim_+0>f'(x)=B,\label
$$
то
$$
f_'(x_0)=B.\label
$$
$\circ$ Пусть приращение $\Delta x$ таково, что $\Delta x\neq 0$ и точка $x_0+\Delta x$ принадлежит интервалу $(a,b)$. Запишем равенство \eqref в виде
$$
\frac=f'(x_+\theta\Delta x),\quad 0

Найти точки разрыва функции $f'(x)$, если
$$
f(x)=\left\
\displaystyle x^2\sin> & при\ x\neq 0,\\\nonumber
0 & при\ x=0.\nonumber
\end\right.
$$

$\triangle$ Если $x\neq 0$, то $f'(x)=2\displaystyle \sin\frac-\cos\frac$, а если $x=0$, то по определению производной $f'(0)=\displaystyle\lim_\frac<\displaystyle x^2\sin<\frac>>=0$. Следовательно, функция $f'(x)$ определена на $\mathbb$ и непрерывна при $x\neq 0$. В точке $x=0$ эта функция имеет разрыв второго рода, так как не существует предела функции
$$
f'(x)=2x\sin\frac-\cos\frac\quad при \ x\rightarrow 0.\quad \blacktriangle\nonumber
$$

Если функции $\varphi$ и $\psi$ дифференцируемы при $x\geq x_0$ и удовлетворяют условиям $\varphi(x_0)=\psi(x_0)$, $\varphi'(x) > \psi(x)$ при $x > x_0$, то $\varphi(x) > \psi(x)$ при $x > x_$.

$\circ$ Применяя теорему Лагранжа к функции $f(x)=\varphi(x)-\psi(x)$ на отрезке $[x_0,x]$, где $x > x_0$, получаем $f(x)=f'(\xi)(x-x_0)$, так как $f(x_0)=0$. Отсюда, учитывая, что
$$
\xi > х_0,\ f'(\xi)=\varphi'(\xi)-\psi'(\xi) > 0,\nonumber
$$
получаем $f(x) > 0$, то есть $\varphi(x) > \psi(x)$ при $x > x_0$. $\bullet$

$\triangle$ Пусть $\varphi(х)=\operatorname(1+x)$, $\psi(x)=x-\displaystyle \frac>$, тогда $\varphi(0)=\psi(0)$, $\displaystyle \varphi'(x)=\frac$, $\psi'(x)=1-x$, и при $x > 0$ справедливо неравенство $\displaystyle \frac > 1-x$, так как при $x > 0$ это неравенство равносильно очевидному неравенству $1 > 1-x^2$. Применяя следствие 4 к функциям $\varphi(x)$ и $\psi(x)$, получаем неравенство \eqref. $\blacktriangle$

Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны на отрезке $[a,b]$, дифференцируемы на интервале $(a,b)$, причем $g'(x)\neq 0$ во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка $\xi\in(a,b)$ такая, что
$$
\frac=\frac.\label
$$

$\circ$ Рассмотрим функцию
$$
\varphi(x)=f(x)+\lambda g(x),\nonumber
$$
где число $\lambda$ выберем таким, чтобы выполнялось равенство $\varphi(a)=\varphi(b)$, которое равносильно следующему:
$$
f(b)-f(a)+\lambda(g(b)-g(a))=0.\label
$$
Заметим, что $g(b)\neq g(a)$, так как в противном случае согласно теореме Ролля существовала бы точка $c\in(a,b)$ такая, что $g'(c)=0$ вопреки условиям теоремы. Итак, $g(b)-g(a)\neq 0$, и из равенства \eqref следует, что
$$
\lambda=-\frac.\label
$$
Так как функция $\varphi$ при любом $\lambda$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и дифференцируема на интервале $(a,b)$, а при значении $\lambda$ определяемом формулой \eqref, принимает равные значения в точках $a$ и $b$, то по теореме Ролля существует точка $\xi\in(a,b)$ такая, что $\varphi'(\xi)=0$ и , то есть $f'(\xi)+\lambda g'(\xi)=0$, откуда $\displaystyle \frac=-\lambda$. Из этого равенства и формулы \eqref следует утверждение \eqref. $\bullet$

Теорема Лагранжа — частный случай теоремы Коши $(g(x)=x)$.

Теорему Коши нельзя получить, применением теоремы Лагранжа к числителю и знаменателю дроби, стоящей в левой части равенства \eqref.

Действительно, эту дробь, по теореме Лагранжа можно записать в виде $\displaystyle \frac$, где $\xi_\in (a,b),\ \xi_\in (a,b)$, но, вообще говоря, $\xi_\neq\xi_$.

Это очень красивая теорема – родственница малой теоремы Ферма, ибо в обоих случаях речь идет о единичном окончании. Правда, в малой теореме речь идет о единичном окончания степени числа, а в теореме об R-числе – о каждом его простом сомножителе, и потому R-теорема (назовем ее так) на порядок труднее доказательства малой теоремы, поскольку требует не очевидного обращения к теории решения линенйных диофантовых уравнений. Итак.

6°) Лемма /факультативно/. Каждый простой делитель сомножителя R бинома
A^(n^k)+B^(n^k)=R, где k>1, числа A и B взаимно простые и число A+B не кратно простому n>2, имеет вид: m=dn^k+1.

Допустим, что среди простых сомножителей числа R есть сомножитель вида:
m=dn^(k-1)+1, где d не кратно n. Тогда два числа:

6-1°) A^+B^ и, согласно малой теореме Ферма для простой степени m,
6-2°) A^-B^ (где d четно) делятся на m.

Теорема о НОД двух степенных биномов A^(dn)+B^(dn) и A^(dq)+B^(dq), где натуральные A и B взаимно простые, n [>2] и q [>2] взаимно простые и d>0, утверждает, что наибольший общий делитель этих биномов равен A^d+B^d .
В нашем случае НОД, кратный m, есть число A^-B^, которое является взаимно простым с числом R. Следовательно, никакой сомножитель m вида m=dn^+1 не принадлежит числу R. Из чего следует истинность Леммы.

Единственное, что я в доказательство не включил, это теорему о НОД двух степенных биномов, полагая, что эта базовая теорема из теории степенных биномов является и доказанной, и хорошо известной специалистам. К тому же в моем доказательстве ВТФ она используется лишь в запасном, третьем случае. Однако буду рад узнать, что теорема о НОД не известна и тогда я с огромным удовольствием приведу ее подробнейшее доказательство (которое было многократно опубликовано мною на математических форумах).

Таким образом, теорема о базовом равенстве Ферма полностью доказана.

А единичные окончания чисел p, q, и r и простейшие соотношения между числами в равенстве Ферма делают чудо: свойство двузначных окончаний степеней переносится и на сами основания – на числа А, В, С: их последние цифры однозначно определяют и их предпоследние цифры! И более того: предпоследние цифры чисел А, В, С лишены возможности иметь какие-либо иные значения, так эта закономерность принуждает их иметь определенные значения! И в самом смешном случае (он же и самый невообразимо трудный при попытке доказательства ВТФ), когда числа С и А оканчиваются цифрой 1, окончания чисел А и В любой сколь-угодно большой длины оказываются равными 1.

***
И вот теперь, КОГДА доказательство ВТФ найдено, можно удивляться, ну как 350 лет самые сильные математические умы человечества не могли его найти?! (И тут же другое чудо: как эту неразрешимую теорему смог доказать САМЫЙ плохой математик в истории?!). На этом математическую стезю я оставляю (есть дела поважней, мой друг Горацио!). Надеюсь на прощание, если будет время, порадовать любителей математики частной формулой простого числа, на миг показавшейся мне в процессе доказательства R-теоремы и очень похожей на формулу простого числа Пьера Ферма, которую в свое время и я тоже принял за настоящую.

А я с трепетом вспоминаю СВОЮ математику и своих реальных и книжных учителей – Софью Ковалевскую, Эвариста Галуа, Петра Сергеевича Моденова и гения Бачелиса, который менее чем за минуту расписал доказательство конкурсной задачи по алгебре, которую я решал полтора года!

Я не спорю: я действительно плохой математик: придумал десять тысяч доказательств ВТФ и все оказались ошибочными! Я, конечно, понимаю, что терпение многих специалистов, к которым я обращался со своим доказательством, иссякло. Но я обещаю: я больше не буду! Я спрячусь в склепе своей никому не нужной социологии.

Ну а какой шум начнется после признания моего доказательства мировым сообществом, это уже совсем другая тема, которая меня волнует мало. Я буду очень далеко от всего этого.

На этом уроке мы дадим основные определения и теоремы на тему параллельных прямых в пространстве.
В начале урока рассмотрим определение параллельных прямых в пространстве и докажем теорему о том, что через любую точку пространства можно провести только одну прямую, параллельную данной. Далее докажем лемму о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость. И с ее помощью докажем теорему о двух прямых, параллельных третьей прямой.

Чтобы щелкать задачки по геометрии, важно рассуждать логически. Это качество поможет быстрее запомнить все правила и перейти к решению задач и доказательствам. В этой статье узнаем про аксиомы, теоремы и доказательства теорем.

О чем эта статья:

Понятие аксиомы

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии

Через любые две точки проходит единственная прямая.
Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки. А точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки.
На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному.
Отрезки, полученные сложением или вычитанием соответственно равных отрезков — равны.
Каждая прямая на плоскости разбивает эту плоскость на две полуплоскости. При этом если две точки принадлежат разным частям, то отрезок, который соединяет эти две точки, пересекается с прямой. Если две точки принадлежат одной части, то отрезок, соединяющий эти точки, не пересекается с прямой.
От любого луча на плоскости в заданную сторону можно отложить только один угол, который равен данному. Все развернутые углы равны.
Углы равны, если они получились путем сложения или вычитания соответственно равных углов.

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

У этой аксиомы два следствия:

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Способы доказательства геометрических теорем

Синтетический или синтез — метод, при котором данное предложение выступает, как необходимое следствие другого, уже доказанного.
Аналитический или анализ — обратный синтезу способ. Рассуждения всегда начинаются с доказываемой теоремы и закачиваются другой известной истиной.

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

Способ наложения — когда одну геометрическую величину накладывают на другую. Этим способом убеждаются в равенстве или неравенстве геометрических протяжений в зависимости от того, совмещаются они или нет при наложении.
Способ пропорциональности — применение свойств пропорций. Этот способ пригодится для доказательства теорем про подобные фигуры и пропорциональные отрезки.
Способ пределов — когда вместо данной величины берут свойства другой, близкой к ней. А потом перекладывают эти выводы на исходные данные.

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

прямая теорема: в треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
обратная теорема: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

Прямая: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
Обратная: если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей, соответственные углы равны.
Противоположная: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы не равны, прямые не параллельны.
Обратная противоположной: если прямые не параллельны, соответственные углы не равны.

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Теоремы без доказательств

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:

Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:

где a, b и c — стороны плоского треугольника,

α — угол, противолежащий стороне а.

Следствия из теоремы косинусов:

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Читайте также: