Классическая и квантовая механика кратко

Обновлено: 02.07.2024

Квантовый мир совсем не похож на наш, так как законы классической механики не могут описать явления, происходящие на квантовом уровне. Однако, несмотря на то, что физики противопоставляют квантовую механику классической, классическая, всё же, является её частью.

Принципиально новым, тем, чего не было в классической физике, является Принцип неопределённости - это фундаментальный закон квантовой механики, говорящий о том, что невозможно точно и одновременно определить скорость и местонахождение частицы . Но почему? Всё дело в том, что всё во Вселенной в квантовом мире ведёт себя одновременно и как частица, и как волна - это принцип квантово-волнового дуализма (частицы могут себя вести как волны, а волны - как частицы). Каково это - вести себя и как частица, и как волна?

Если объект является частицей, то он в конкретный момент времени может быть только в одной точке пространства. Например, вы сейчас находитесь у себя дома. Больше вы нигде не можете быть в данный момент - на работе, или в гостях у друга. С волной дело обстоит иначе, так как волна - это возмущения в пространстве. Звуковая волна, световая волна, и, самая понятная - волна на поверхности воды (как рябь). Её главная характеристика - длина (расстояние между гребнями - максимумами, или впадинами - минимумами).

Если мы себя представляем как частицу, то у нас есть определённые координаты местоположения в пространстве. А вот волна может распространяться повсюду (взглянуть хотя бы на поверхность реки). Пример из жизни: гитара издаёт звук - нота Ля 2й октавы. Где же находится нота Ля? Она есть - вы ее слышите, и приборы регистрируют. Но где же именно сейчас она? В какой точке на струне? Непонятно! На всей струне, но не в конкретной её части. А что, если Ля именно в том месте, где мы дотронулись до струны, и в тот момент, когда это произошло? Даже если и так, то место мы нашли на струне - момент импульса, но частоту гребней именно в этот момент времени измерить не удастся, так как колебания волны ещё не распространились по струне - мы только натянули струну, но не отпустили её.

Кардинальным ли образом это отличается от классической физики?

Возьмём совсем лёгкий пример - частицу, которая движется в пространстве: мы не знаем, какие силы на неё действуют, и пытаемся изучить характер её движения. Метод будет прост: мы осветим её и будем фотографировать. Но по одной фотографии мы не определим скорость частицы и её положение одновременно: на одной фотографии будет одна точка - мы определим только положение, но не скорость. Для определения скорости понадобятся хотя бы 2 фотографии. Замерив время, сделаем повторный снимок: насколько частица сместилась в пространстве за определённый этап? - так мы и посчитаем скорость. Но с появлением у нас второго снимка мы ничего уже не скажем о координате: скорость к какому местоположению относится? К первому или второму? Возникает некая неопределённость. Получается, что Принцип неопределённости работает даже в привычном нам мире, а не только в квантовом!

Но не всё так просто: в привычном нам мире мы на эту неопределенность никогда особо не обращаем внимания. Почему она важна в квантовой механике? Потому что наблюдатель своим наблюдением заставляет всю систему работать иначе. Так, если в обычной жизни вы наблюдаете за тем, как падают яблоки за окном, то яблоки не будут менять траектории своего полёта только лишь из-за того, что вы на них смотрите. В квантовой механике есть ещё один интересный момент - это Эффект наблюдателя .

Если пропускать поток электронов через 2 щели, то в отсутствии наблюдателя электроны ведут себя как волны. Когда наблюдатель появляется, они сразу же начинают вести себя как частицы. Аналогичный опыт проводился и со световыми лучами - результат был таким же.

То есть, сам факт наблюдения меняет всю систему на квантовом уровне.

Всё-таки человек, яблоко или иные механические объекты не могут себя вести как волны в привычных нам масштабах. А вот частицам в квантовом мире это под силу, исходя из опыта выше: они могут вести себя как световые волны, как волны на воде или как струны на гитаре. Поэтому, чтобы описать положение частицы, мы должны использовать не привычные нам законы (например, наличие у частицы траектории), а мы уже будем говорить о том, что у частицы есть траектория с некой вероятностью, которая будет определяться соотношением неопределённости. Каждое новое присутствие наблюдателя меняет поведение частицы, каждое новое то или иное её измерение будет заставлять её двигаться несколько иначе. Поэтому, если в классическом мире мы можем точно измерить всё, что касается упавшего яблока, то в квантовом мире любое измерение будет с погрешностью. Почему частицы начинают менять своё поведение из-за присутствия наблюдателя - очень любопытная загадка.

Если мы что-то заранее знаем о частицах, то мы можем свести неопределённость к минимуму, так как уже не будет необходимости определять и измерять все её свойства.

Волновые свойства, возникающие в результате неопределённости, - это сложно объяснимый феномен с точки зрения классического мира, так как вероятность, описывающая квантово-механические объекты, - это не та вероятность, к которой мы привыкли (например, какова вероятность того, что я сегодня встречу своего друга - и далее мы подсчитываем определённое соотношение, исходя из суммы факторов, свидетельствующих в положительный или отрицательный результат). В квантовой механике такого подхода недостаточно, так как там приходится использовать ещё и амплитуду вероятностей, поскольку мы имеем дело с волновой природой. Вероятность будет соответствовать интенсивности волн. То есть, в квантовой механике поведение частиц описывается с точки зрения амплитуд вероятностей, а не абсолютных вероятностей (как в нашем мире).

Ключевое различие между Классической механикой и Квантовой механикой заключается в том, что Классическая механика описывает природу макроскопического уровня, тогда как квантовая механика описывает природу микроскопического уровня.

Классическая механика и квантовая механика являются очень важными разделами в физике, поскольку они используются для описания поведения любых объектов. Р азница между классической механикой и квантовой механикой, заключается в предсказуемости событий, а также в самих рассматриваемых предметах, то есть классическая механика применяется для макроскопических объектов, тогда как квантовая механика описывает поведение микроскопических частиц.

Содержание

Обзор и основные отличия
Что такое Классическая механика
Что такое Квантовая механика
В чем разница между Классической механикой и Квантовой механикой
Заключение

Что такое классическая механика?

Классическая механика — это теория, описывающая движение макроскопического объекта. Тип макроскопического объекта может варьироваться от снарядов до астрономических объектов, таких как космические корабли. События и движения предсказуемы согласно классической механики. Это означает, что если мы знаем начальное положение объекта, то мы можем предсказать его положение в будущем или определить, каким было его положение в прошлом зная конечное положение. Д ругими словами, мы можем предсказать, как объект будет двигаться и как он перемещался в прошлом.

Анализ движения снаряда

Как правило, классическая механика дает чрезвычайно точные результаты для крупных объектов. Однако эта теория не работает для чрезвычайно массивных объектов и объектов, движущихся со скоростью света.

Что такое Квантовая механика?

Электронные переходы между уровнями энергии атома

Кроме того, эта теория важна для определения того, как атомы связываются друг с другом посредством ковалентной связи. О бласти, в которых применяется квантовая механика, включают электронику, криптографию, квантовые вычисления и другие.

В чем разница между Классической механикой и Квантовой механикой?

Классическая механика — это теория, которая описывает движение макроскопического объекта, в то время как квантовая механика — это теория, которая описывает природу объектов на атомном уровне. Следовательно, ключевое различие между классической механикой и квантовой механикой заключается в том, что классическая механика описывает природу макроскопического уровня, тогда как квантовая механика описывает природу микроскопического уровня. Кроме того, классическая механика не описывает корпускулярно-волновой дуализм, а квантовая механика его описывает.

Еще одно различие между классической и квантовой механикой состоит в том, что будущие события предсказуемы, если мы используем классическую механику, но, согласно квантовой механике, события непредсказуемы.

Заключение — Классическая механика против Квантовой механики

Классическая механика и квантовая механика являются важными теориями в физике. Ключевое различие между классической механикой и квантовой механикой заключается в том, что классическая механика описывает природу макроскопического уровня, тогда как квантовая механика описывает природу микроскопического уровня.

Если Вы вдруг поняли, что подзабыли основы и постулаты квантовой механики или вообще не знаете, что это за механика такая, то самое время освежить в памяти эту информацию. Ведь никто не знает, когда квантовая механика может пригодиться в жизни.

Зря вы усмехаетесь и ехидствуете, думая, что уж с этим предметом вам в жизни вообще никогда не придется сталкиваться. Ведь квантовая механика может быть полезной практически каждому человеку, даже бесконечно далекому от нее. Например, у Вас бессонница. Для квантовой механики это не проблема! Почитайте перед сном учебник – и Вы спите крепчайшим сном странице уже эдак на третьей. Или можете назвать так свою крутую рок группу. Почему бы и нет?

Шутки в сторону, начинаем серьезный квантовый разговор.

С чего начать? Конечно, с того, что такое квант.

Квант

Квант (от латинского quantum – ”сколько”) – это неделимая порция какой-то физической величины. Например, говорят - квант света, квант энергии или квант поля.

Квантовая механика для "чайников"

Как механика может быть квантовой?

Как Вы уже заметили, в нашем разговоре мы много раз упоминали о частицах. Возможно, Вы и привыкли к тому, что свет – это волна, которая просто распространяется со скоростью с. Но если посмотреть на все с точки зрения квантового мира, то есть мира частиц, все изменяется до неузнаваемости.

Квантовая механика – это раздел теоретической физики, составляющая квантовой теории, описывающая физические явления на самом элементарном уровне – уровне частиц.

Действие таких явлений по величине сравнимо с постоянной Планка, а классическая механика Ньютона и электродинамика оказались совершенно непригодными для их описания. Например, согласно классической теории электрон, вращаясь с большой скоростью вокруг ядра, должен излучать энергию и в конце концов упасть на ядро. Этого, как известно, не происходит. Именно поэтому и придумали квантовую механику – открытые явления нужно было как-то объяснить, и она оказалась именно той теорией, в рамках которой объяснение было наиболее приемлемым, а все экспериментальные данные "сходились".

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Немного истории

Зарождение квантовой теории произошло в 1900 году, когда Макс Планк выступил на заседании немецкого физического общества. Что тогда сообщил Планк? А то, что излучение атомов дискретно, а наименьшая порция энергии этого излучения равна

Наименьшая порция энергии излучения атома

Где h - постоянная Планка, ню - частота.

Затем Альберт Эйнштейн, введя понятие “квант света” использовал гипотезу Планка для объяснения фотоэффекта. Нильс Бор постулировал существование у атома стационарных энергетических уровней, а Луи де Бройль развил идею о корпускулярно-волновом дуализме, то есть о том, что частица (корпускула) обладает также и волновыми свойствами. К делу присоединились Шредингер и Гейзенберг, и вот, в 1925 году публикуется первая формулировка квантовой механики. Собственно, квантовая механика – далеко не законченная теория, она активно развивается и в настоящее время. Также следует признать, что квантовая механика с ее допущениями не имеет возможности объяснить все стоящие перед ней вопросы. Вполне возможно, что на смену ей придет более совершенная теория.

При переходе от мира квантового к миру привычных нам вещей законы квантовой механики естественным образом трансформируются в законы механики классической. Можно сказать, что классическая механика – это частный случай квантовой механики, когда действие имеет место быть в нашем с Вами привычном и родном макромире. Здесь тела спокойно движутся в неинерциальных системах отсчета со скоростью, гораздо меньшей скорости света, и вообще - все вокруг спокойно и понятно. Хочешь узнать положение тела в системе координат – нет проблем, хочешь измерить импульс – всегда пожалуйста.

Совершенно иной подход к вопросу имеет квантовая механика. В ней результаты измерений физических величин носят вероятностный характер. Это значит, что при изменении какой-то величины возможно несколько результатов, каждому из которых соответствует определенная вероятность. Приведем пример: монетка крутится на столе. Пока она крутится, она не находится в каком-то определенном состоянии (орел-решка), а имеет лишь вероятность в одном из этих состояний оказаться.

Здесь мы плавно подходим к уравнению Шредингера и принципу неопределенности Гейзенберга.

Уравнение Шредингера

Согласно легенде Эрвин Шредингер, в 1926 году выступая на одном научном семинаре с докладом на тему корпускулярно-волнового дуализма, был подвергнут критике со стороны некоего старшего ученого. Отказавшись слушать старших, Шредингер после этого случая активно занялся разработкой волнового уравнения для описания частиц в рамках квантовой механики. И справился блестяще! Уравнение Шредингера (основное уравнение квантовой механики) имеет вид:

Данный вид уравнения – одномерное стационарное уравнение Шредингера – самый простой.

Здесь x - расстояние или координата частицы, m - масса частицы, E и U - соответственно ее полная и потенциальная энергии. Решение этого уравнения – волновая функция (пси)

Волновая функция – еще одно фундаментальное понятие в квантовой механике. Так, у любой квантовой системы, находящейся в каком-то состоянии, есть волновая функция, описывающая данное состояние.

Например, при решении одномерного стационарного уравнения Шредингера волновая функция описывает положение частицы в пространстве. Точнее говоря, вероятность нахождения частицы в определенной точке пространства. Иными словами, Шредингер показал, что вероятность может быть описана волновым уравнением! Согласитесь, до этого нужно было додуматься!

Принцип неопределенности Гейзенберга

Но почему? Почему мы должны иметь дело с этими непонятными вероятностями и волновыми функциями, когда, казалось бы, нет ничего проще, чем просто взять и измерить расстояние до частицы или ее скорость.

Все очень просто! Ведь в макромире это действительно так – мы с определенной точностью измеряем расстояние рулеткой, а погрешность измерения определяется характеристикой прибора. С другой стороны, мы можем практически безошибочно на глаз определить расстояние до предмета, например, до стола. Во всяком случае, мы точно дифференцируем его положение в комнате относительно нас и других предметов. В мире же частиц ситуация принципиально иная – у нас просто физически нет инструментов измерения, чтобы с точностью измерить искомые величины. Ведь инструмент измерения вступает в непосредственный контакт с измеряемым объектом, а в нашем случае и объект, и инструмент – это частицы. Именно это несовершенство, принципиальная невозможность учесть все факторы, действующие на частицу, а также сам факт изменения состояния системы под действием измерения и лежат в основе принципа неопределенности Гейзенберга.

Приведем самую простую его формулировку. Представим, что есть некоторая частица, и мы хотим узнать ее скорость и координату.

В данном контексте принцип неопределенности Гейзенберга гласит: невозможно одновременно точно измерить положение и скорость частицы. Математически это записывается так:

Принцип неопределенности Гейзенберга

Здесь дельта x - погрешность определения координаты, дельта v - погрешность определения скорости. Подчеркнем – данный принцип говорит о том, что чем точнее мы определим координату, тем менее точно будем знать скорость. А если определим скорость, не будем иметь ни малейшего понятия о том, где находится частица.

На тему принципа неопределенности существует множество шуток и анекдотов. Вот один из них:

Полицейский останавливает квантового физика.
- Сэр, Вы знаете, с какой скоростью двигались?
- Нет, зато я точно знаю, где я нахожусь

Надеемся, что эта статья помогла Вам немного размять мозги, вспомнить хорошо забытое старое, а может быть и узнать что-то новое. Здесь мы постарались рассказать о квантовой механике просто, понятно и по возможности интересно. Конечно, данная тема не может быть раскрыта в рамках одной статьи, поэтому о парадоксах, нерешенных задачах, черных дырах и котах Шредингера мы поговорим в самое ближайшее время. А пока, чтобы закрепить знания, предлагаем посмотреть тематическое видео. Возможно вас также заинтересуют правила оформления чертежей по ЕСКД.

И, конечно, напоминаем Вам! Если вдруг по какой-то причине решение уравнения Шредингера для частицы в потенциальной яме не дает Вам уснуть, обращайтесь к нашим авторам – профессионалам, которые были взращены с квантовой механикой на устах!

Всем известно, что классическая механика является предельным случаем квантовой с одной стороны и теории относительности – с другой. Последние две наиболее точно описывают реальность, в то время как первая считается лишь удобным частным случаем. Из квантовой физики можно получить классическую, но не наоборот.

Еще один важный момент заключается в том, что многими по умолчанию подразумевается полнота волновой функции и фундаментальность уравнения Шредингера.

Таким образом, основные физические законы, необходимые для математической теории значительной части физики и всей химии, полностью известны, и трудность заключается лишь в том, что точное применение этих законов приводит к уравнениям, которые слишком сложны, чтобы быть разрешимыми. Поэтому становится желательным разработать приближенные практические методы применения квантовой механики, которые могут привести к объяснению основных особенностей сложных атомных систем без слишком больших вычислений.
П. Дирак

Но догмы имеют обыденность рушиться: теоремы о запрете признаются несостоятельными, скрытые переменные (как локальные так и не очень) имеют место быть, энтропия замкнутой системы может уменьшаться, а убеждения касательно кривизны вселенной регулярно обламываются новыми измерениями.

С момента создания квантовой механики и до сих пор продолжаются дискуссии об онтологии теории и ее интерпретациях. Онтологическая проблема особенно ярко проявляется в вопросе об измерении. Поэтому понимание физического смысла волновой функции имеет первостепенное значение. А чтобы понять волновую функцию, нужно понять уравнения квантовой физики.

Знаменитое уравнение Шредингера математически близко к обычному уравнению диффузии. Главное отличие в том, что время становится мнимым, то есть происходит поворот Вика. Это означает, что классическое и квантовое частично связаны поворотом на 90 градусов в комплексной плоскости (умножением на мнимую единицу). Уравнение Шредингера задается:

(Сопутствующий философский бред можно найти в эмоциональной статье)

Ричард Фейнман в своих знаменитых лекциях писал:

Мы не хотим, чтобы вы думали, что мы вывели уравнение Шредингера, но хотим показать вам лишь способ рассуждения. Когда Шредингер впервые записал его, он дал своего рода вывод, основанный на некоторых эвристических аргументах и блестящих интуитивных догадках. Некоторые из аргументов, которые он использовал, были даже ложными, но это не имеет значения; важно только то, что конечное уравнение дает правильное описание природы. [Фейнман, Лекции по физике, II-14.1]

В литературе приводится множество эвристических способов обоснования уравнения, но в целом оно вводится как один из постулатов квантовой механики. Тем не менее недавняя статья из Nature, указывает на то, что последовательный аналитический вывод вполне осуществим.

Статья начинается с классической механики, где частицы при движении стараются минимизировать действие. С одной маленькой оговорочкой – они претерпевают марковскую диффузию. То есть вносится стохастика с сопутствующими случайными силами.

Затем, крайне непринужденно просуммировав пути (а ля фейнмановские интегралы по траекториям) и подняв теорию стохастического оптимального контроля, разумеется, с оглядкой на релятивистскую инвариантность, авторы получают уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана

При этом они постоянно заостряют внимание, что вместо того, чтобы постулировать правила подстановки операторов, вывод происходит полностью осмысленным образом.

На Хабре в комментах часто проскакивают очень умные мысли – нам хочется линейных дифуров. Тогда у нас будут плюшки типа суперпозиции, интерференции и линейной алгебры с разложением на собственные функции и спектральной теорией. Поэтому авторы подбирают коэффициент последнего слагаемого (сигма в квадрате) предвосхищая линейность.

Затем шаг за шагом осуществляется переход:

уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана -> уравнение Штекельберга -> телеграфные уравнения -> уравнения Клейна-Гордона, Дирака и нерелятивистское Шредингера.

И это восхитительно!

Во первых, мнимая природа различных переменных в квантовой механике автоматически выходит из структурой метрики Минковского. Причем авторы надеются в дальнейшем установить волновое уравнение в общем искривленном пространстве-времени. И такое обобщение метрики "возможно, было бы способом объединить общую теорию относительности и квантовую механику".

Во вторых, можно вспомнить, что происхождение правила Борна до сих пор выглядит неоднозначным. Хотя, в многомировой, клеточно-автоматной, волно-пилотной и еще в некоторых интерпретациях оно всплывает так или иначе как побочный продукт. Здесь же правило Борна естественным образом связано с реальной частью минимального ожидаемого действия. "Процесс пространственно-временной диффузии проходит по маршруту, который сводит к минимуму ожидаемое действие; в этом суть того, как вероятность (перехода) связана с минимизацией энергии."

В третьих, подход придерживается реалистической философии квантовой механики, где реальность существует независимо от наблюдателя. Что это значит для нас?

Вспомним двухщелевой эксперимент Юнга. Интерференция света или, что еще более умозрительно, интерференция волн на поверхности жидкости вполне спокойно понимается и принимается. Но когда одиночные частицы начинают постепенно вырисовывать полосатую картину на экране, наступает разрыв шаблона.

В прошлом веке, когда у европейского общества еще не прошла эйфория после свержения божественного фатализма, философская мысль продолжала укреплять образ человека как центра вселенной. Вкупе с достижениями в области исследований разума и нахлынувшим интересом к восточной культуре, в зарождающейся квантовой физике начало возобладать представление об особой роли наблюдателя. Всю информацию о любой системе можно поместить в волновую функцию, а она в свою очередь подчиняется уравнению Шредингера – фундаментальному закону, который на удивление точно согласовался с экспериментами. Разумеется, в рамках плотностей вероятности. А реальность уже возникает в глазах смотрящего (или в душе разумеющего).

Такой взгляд сильно импонирует человеческому эго и поэтому нашел обширное распространение. Но некоторых раздражал такого рода отупляющий солипсизм. В конечном счете, коллапс наведенный разумным наблюдателем был признан нефизичным, и на его место пришла декогеренция. Тем не менее новая Копенгагенская интерпретация советует избегать вопросов о реальности, прежде чем произойдет измерение-декогеренция.

Но с прагматических позиций реализм более предпочтителен. Именно поэтому, например, бомовская интерпретация набирает популярность: частицы реально существуют и у них есть траектории, что помогает в расчетах и легче для восприятия. Так что обсуждаемая статья ближе всего к таким траекторным представлениям.

Траектории частиц в двухщелевом эксперименте

(Методику построения траекторий см. в приложении)

В теории волны-пилота частицы подчиняются нелокальному действию квантового потенциала. А показанная выше модель предполагает, что исследуемая частица движется под действием внешней случайной силы пространства-времени. Здесь нет волн коллапсирующих в частицы. Частицы просто взаимодействуют с некоторыми скрытыми степенями свободы, по жизни двигаясь зигзагами. Волновые паттерны возникают из коллективного поведения миллионов частиц. А волновая функция лишь описывает эти паттерны.

Такое случайное движение частицы индуцирует распределение вероятностей перехода. Это означает, что квантовую механику можно понимать как статистическую теорию. О причинах случайной силы будут еще много спорить, но авторы предлагают перебиться пока парочкой вариантов (раз, два).

Можно было бы сделать предположение, что квантовая механика или квантовая теория поля – это всего лишь феноменологическая теория, и причина статистической природы лежит в стохастической природе самого пространства-времени. Если пространство-время и его метрика стохастичны в масштабах Планка, это может создать иллюзию случайного движения, которое может быть феноменологически смоделировано с помощью стохастических дифференциальных уравнений в пространстве-времени. В соответствии с общей теорией относительности это, по сути, может означать, что источники энергии в пространстве-времени имеют случайный характер, который может быть вызван различными возмущениями, такими как колебание вакуума или излучение нулевого поля.

Дальнейшее чтиво

Здесь можно посмотреть более популярный обзор обсуждаемой статьи.

Далее читаем рассуждения о верности уравнения Шредингера. В принципе, на него уже давно прицепляют всяческие довески: нелинейность, память, стохастичность, так что фундаментальность это больше вопрос веры.

Стохастическая квантовая механика выделена в отдельную интерпретацию. Вообще, эта тема была популярна в 60-х. Чего стоит зашкварная статья, где уравнение Шредингера вывели из ньютоновской механики (правда там тоже было броуновское движение). По ней до сих пор плодятся трибьюты (раз, два, три, четыре, пять). Следует также отметить, что недавно было показано, что знаменитые соотношения неопределенности Гейзенберга в целом присущи стохастическим системам, и, как видится, они не являются уникальными для квантово-механических систем.

Конечно, можно зайти и со стороны электродинамики. Вот из свеженького.

Герард `т Хоофт (продвигающий интерпретацию клеточных автоматов) пару месяцев назад выпустил препринт, где квантовая механика эмерджентно выходит из классической. Кто знает, может его быстрые переменные и будут играть роль случайных сил. И до кучи вспоминаем, что на гравитацию тоже начинают поглядывать с эмерджентных позиций.

Дальше, в предложенных статьях расшариваем список литературы и Cited by, чтобы окончательно убедиться, что по теме идут серьезные сподвижки. То ли классическая детерминистичная механика ушла на задний план в ожидании когда подтянется матаппарат статистики и клеточных автоматов, чтобы затем вновь вернуться на периферию философской мысли. То ли научное сообщество устало бороться с контринтуитивностью и готово принять любую модель подразумевающую комфортную математику и простоту в объяснениях. Ответ узнают наши потомки на лекциях по философии науки.

Читайте также: