Доказательство теоремы чебышева кратко

Обновлено: 05.07.2024

На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач по теории вероятностей, в которых применяются неравенство Маркова, неравенство Чебышева, теорема Чебышева и их следствия (закон больших чисел, ЗБЧ).

Краткая теория. Закон больших чисел

Неравенство Маркова дает вероятностную оценку того, что значение неотрицательной случайной величины превзойдет некоторую константу через известное математическое ожидание. Когда никаких других данных о распределении нет, неравенство дает некоторую информацию, хотя зачастую оценка груба или тривиальна.

Пусть $X$ - случайная величина, принимающая неотрицательные значения, $M(X)$ - ее конечное математическое ожидание, то для любых $a \gt 0$ выполняется

Альтернативная форма записи (когда нужно оценить вероятность того, что СВ меньше некоторой константы):

Когда известны не только математическое ожидание (первый момент), но и дисперсия (второй центральный момент) для случайной величины (и они конечны), можно применять следствие неравенства Маркова — неравенство Чебышева, которое дает оценку вида:

$$ P(|X-M(X)| \ge a) \le \frac, \quad a \gt 0. $$

Также его можно записать в другой форме:

$$ P(|X-M(X)| \lt a) \gt 1- \frac, \quad a \gt 0. $$

Неравенство Чёбышева показывает, что случайная величина принимает значения близкие к среднему (математическому ожиданию) и дает оценку вероятности больших отклонений. Положим $a=k\sigma$, где $\sigma$ - стандартное отклонение, тогда получим оценку вероятности того, что СВ отклонится по модулю от среднего больше чем на $k\sigma$:

Для значения $k=2$ вероятность отклонения меньше 25%, для $k=3$ - уже 11,12%.

Для случайной величины $X$, распределенной по биномиальному закону с параметрами $n, p$, неравенство Чебышева принимает вид:

Для частоты $k/n$ появления события в $n$ независимых испытаниях, в каждом из которых оно происходит с вероятностью $M(k/n)=p$ (дисперсия этой величины $D(k/n)=pq/n$) получаем:

$$ P\left(\left|\frac-p \right| \lt a\right) \gt 1- \frac. $$

Последнее неравенство также известно как неравенство из теоремы Бернулли. Из него также есть следствие, которое позволяет оценить отклонение числа $m$ появлений события в $n$ испытаниях от ожидаемого значения $np$:

$$ P\left(\left|m-np \right| \lt a\right) \gt 1- \frac. $$

Приведем также теорему Чебышева, которая имеет большое практические значение.

Если дисперсии $n$ независимых случайных величин $X_1, X_2, . X_n$ ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа $n$ средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий $a_1, a_2. a_n$, т.е.

Следствие: Если независимые случайные величины $X_1, X_2, . X_n$ имеют одинаковые математические ожидания, равные $a$, а их дисперсии ограничены одной и то же постоянной $C$, то:

Это означает, что при большом числе случайных величин практически достоверно, что их средняя арифметическая (случайная величина) как угодно мало отличается от неслучайной величины $a$ (среднего значения).

Примеры решенных задач

Неравенство Маркова: примеры решений

Задача 1. Среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в течение часа, равно 300. Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вызовов на коммутатор: а) превысит 400; б) будет не более 500.

Задача 2. Количество потребляемой за сутки электроэнергии предприятием является случайной величиной с математическим ожиданием 6 мегаватт при среднем квадратическом отклонении 1,5 мегаватта. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки потребление электроэнергии окажется более 12 мегаватт.

Задача 3. Средняя температура воздуха в июле в данной местности 20?С. Оценить вероятность того, что в июле следующего года средняя температура воздуха будет:
а) не более $15^С$;
б) более $20^С$.

Неравенство Чебышева: примеры решений

Задача 4. В 1600 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,3. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов будет меньше 50.

Задача 5. . Генератор обеспечивает выходное напряжение, которое может отклоняться от номинального на значение, не превышающее 1 В, с вероятностью 0,95. Какие значения дисперсии выходного напряжения можно ожидать?

Задача 6. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время Т окажется меньше двух.

Теорема Чебышева и ЗБЧ: примеры решений

Задача 7. Дана последовательность независимых случайных величин $X_1, X_2, . X_n, . $ Случайная величина $X_k$ может принимать значения: $-n \alpha, 0, n \alpha$ ($\alpha \gt 0$) с вероятностями, соответственно равными: $1/2n^2, 1-1/n^2, 1/2n^2$. Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?

Задача 8. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превышает 0,5, равна 0,8. Дисперсия каждой независимой случайной величины не превышает 7. Найти число таких случайных величин.

Задача 9. Дисперсия каждой из 2500 независимых СВ не превышает 5. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превысит 0,4.

Задача 10. Случайная величина $X_N$ принимает значения $exp(N \ln 0,5)$ и $exp(N \ln 1,2)$ с одинаковыми вероятностями. Можно ли к последовательности $X_N$ применить закон больших чисел?

Теорема Чебышева. Если дисперсии попарно независимых случайНых величин не превосходят данного положительного числа С, тО Вероятность того, что абсолютное отклонение средней арифметической таких величин от средней арифметической их математических ожиданий меньше какого-нибудь данного числа, с возрастанием количества случайных величин становится сколь угодно близкой к единице.

Для доказательства теоремы преобразуем левую часть неравенства Чебышева, приняв , где П — Количество независимых величин X, Y, Z, . а E — произвольное положительное число. Это позволит заменить условие

А поэтому неравенство Чебышева примет вид

Так как по условию теоремы , то

D(X)+D(Y)+. +D(V) £ NC.

Соответствующая замена правой части усиливает неравенство и дает

Этим доказана теорема Чебышева, так как с возрастанием числа N разность становится сколь угодно близкой к единице, т. е. .

Следствие. Полученный в доказанной теореме результат не нарушится, если вместо случайных величин X, Y, . U, V перейти к случайным величинам , Имеющим равные математические ожидания а и одинаково ограниченные дисперсии. Такие случайные величины могут, например, выражать независимые результаты по сериям измерений одной и той же величины.

Соответствующая запись

Непосредственно следует из теоремы Чебышева.

Возвращаясь в правой части этого неравенства от C к D(X), будем иметь

Пользуясь этим следствием из Теореглы Чебышева, можно доказать теорему Бернулли.

Пусть случайная величина Х представляет число появлений события А в каждом из независимых испытаний, т. е. принимает ЗНачения 1 или 0. Тогда сумма выразится числом Т Появлений события А при П испытаниях, средняя арифметическая такой случайной величины — частостью , ее математическое ожидание — вероятностью Р появления события A в отдельном испытании и дисперсия — произведением Pq (см. выше, п. 3.3., пример 8). Поэтому математическая запись следствия из теоремы Чебышева в применении к случайной величине числа появлений события А в П независимых повторных испытаниях принимает следующий вид:

При достаточно большом числе П.

Переходя к пределу при , получаем

Этим доказана как частный случай теоремы Чебышева теорЕМа Бернулли: С вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при неограниченном возрастании Чисш П неЗАвисимых испытаний частость появления наблюдаемого события как угодно мало отличается от его вероятности в отдельном испытании.

Переход к использованию частичного1) содержания закона больших чисел для решения соответствующих задач требует некоторого предварительного общего разъяснения.

Практика требует, чтобы по интересующим нас событИЯм мы располагали надежными данными о достоверности или невозможности их наступления. Опыт показывает, что при вероятности, близкой к единице, данное событие почти обязательно наступает, а при очень малой вероятности оно практически не имеет места, и всякие расчеты, построенные на возможном его появлении, лишены реального смысла. Но эти соображения не могут найти своего практического приложения, пока они не обоснованы необходимыми цифровыми расчетами. Только тогда высказанный здесь принцип практической уверенности будет полезен в применении к решению практических задач, когда он подкреплен данными надежной оценки. На этом фоне выявляется особая практическая важность закона больших чисел, раскрывающего те условия, при которых вероятность появления события становятся сколь угодно близкой к единице (или к нулю).

Доказанные теоремы и связанные с ними неравенства дают ответы на ряд интересных в этом смысле вопросов: начиная с какого числа испытаний заданная вероятность отклонения будет находиться в требуемых границах; какова граница возможного отклонения при заданных значениях П и Р; при каком соотношении между объемами выборки и всей совокупности будет обеспечена заданная вероятность допустимого отклонения выборочной средней от общей средней и т. Д.

Эти соображения должны дать учащемуся направление в практически полезном применении предлагаемых здесь примеров и упражнений.

Пример 4. При каком числе независимых испытаний вероятность выполнения неравенства превысит 0.96, если вероятность появления события в отдельном испытании ?

Решение. Условие Р > 0,96 равносильно неравенству

Отсюда .

Подстановка значений , и дает

Таким образом, требуемое задачей неравенство выполняется при числе независимых испытаний, начиная со 132.

Пример 5. При штамповке пластинок из пластмассы по данным ОТК брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при просмотре партии в 1000 пластинок выявится отклонение от установленНОго процента брака меньше чем на 1%.

Решение. Здесь следует определить при , и .

По теореме Бернули искомая вероятность ,

Где .

Таким образом, искомая вероятность Р ³ 0,709.

Пример 6. Партия деталей для оборудования завода распределена по ящикам, имеющим одинаковый вес (нетто). Из каждого ящика на выборку берется по одной детали и определяется ее вес. Известно, что дисперсия по каждому из ящиков не превышает 4. Установить (применяя теорему Чебышева), при каком числе ящиков отклонение среднего выборочного веса дЕТали от общего среднего веса ее менее чем на 0,2 Кг определится вероятностью, ПРевышающей 0,95.

Решение. По условию имеем: , причем здесь С = 4, E = 0,2.

Поэтому число ящиков определится из урАВнЕНия

Которое дает 100:N=0,05. Таким образом, П= 2000.

Применяя теорему Бернулли, решить задачи 1, 2.

1. Вероятность положительного исхода отдельного испытания P=0,8. ОЦЕнить вероятность того, что при 1000 независимых повторных испытаний отклонение частости положительных исходов от вероятности при отдельном испытании по своей абсолютной величине будет меньше 0,05.

Отв.

2. Вероятность наличия зазубрин на металлических брусках, заготовленных для обточки, равна 0,2. Оценить вероятность того, что в партии из 1000 брусков отклонение числа пригодных брусков от 800 не превышает 5%.

Отв.

Применяя Тeopeму Чебышева, решить задачи 3, 4.

3. Для каждой из 1500 независимых случайных величин дисперсия не превышает 3. Оценить вероятность того, что отклонение средней арифметической этих СЛучайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превысит (по своей абсолютной веЛИчине) числа 0,4.

Отв. Р > 0,9875.

4. Известно, что дисперсия каждой из данных независимых случайных величин не превышает 4. Найти то число этих величин, при котором вероятность отклонения их средней арифметической от средней арифметической их математических ожиданий не более чем на 0.25 превысит 0.99.

Для доказательства теоремы Чебышева (да и других теорем, в том числе) воспользуемся одноимённым неравенством. Неравенство Чебышева (как впрочем и теорема) справедливо как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Мы ограничимся, например, доказательством неравенства для непрерывной случайной величины.

НЕРАВЕНСТВО Чебышева[12]: Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию , от её математического ожидания по абсолютной величине на меньше любого положительного числа , ограничена сверху величиной , то есть, справедливо неравенство:

Доказательство: По определению дисперсии для непрерывной случайной величины можем записать

Выделим на числовой оси Ох -окрестность точки (см. рис.). Заменим теперь интегрирование по всей оси интегралом по переменной х на множестве . Так как под знаком интеграла стоит неотрицательная функция[13], то результат интегрирования в результате может только уменьшиться, то есть

Интеграл в правой части полученного неравенства – это вероятность того, что случайная величина Х будет принимать значения вне интервала . Значит

Замечание. Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, поскольку часто даёт грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку. Например, если и, следовательно, ; таким образом, в этом случае неравенство Чебышева указывает лишь на то, что вероятность отклонения находится в пределах от нуля до единицы, а это и без того очевидно, так как любая вероятность удовлетворяет этому условию.

Теоретическое же значение неравенства Чебышева весьма велико. Оценка, полученная Чебышевым, является универсальной, она справедлива для любых случайных величин, имеющих и .

ПРИМЕР.Найти вероятность выхода случайной величины Х, имеющей математическое ожидание и дисперсию , за трёхсигмовые границы.

Решение. Воспользуемся неравенством Чебышева:

Сравним полученный результат с тем, который следует из правила трёх сигм для нормального закона распределения:

Нетрудно сделать ВЫВОД: случайные величины, встречающиеся на практике, чаще всего имеют значительно меньшую вероятность выхода за трёхсигмовые границы, чем 1/9. Для них область является областью практически возможных значений случайной величины.

ТЕОРЕМА Чебышева (частный случай): Пусть Х₁ , Х₂ , …, Х_n – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание М(Х),и пусть дисперсии этих величин равномерно ограничены (то есть не превышают некоторого постоянного числа С). Тогда, при достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к их математическому ожиданию, то есть имеет место равенство:

Доказательство. Применим к случайной величине неравенство Чебышева:

Заметим (по условиям теоремы), что для дисперсии справедливы соотношения:

Тогда, согласно неравенству Чебышева

Переходя к пределу при получаем

А так как вероятность не может быть больше единицы, то отсюда и следует утверждение теоремы.

Теорема Чебышева была обобщена на более общий случай, доказательство которой проводится аналогично доказательству, предложенному выше.

ТЕОРЕМА Чебышева (общий случай): Пусть Х₁ , Х₂ , …, Х_n – попарно независимые случайные величины, и пусть дисперсии этих величин равномерно ограничены (то есть не превышают некоторого постоянного числа С). Тогда, при достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, то есть имеет место равенство:

Доказательство: По определению дисперсии для непрерывной случайной величины можем записать

Решение. Воспользуемся неравенством Чебышева:

Доказательство. Применим к случайной величине неравенство Чебышева:

Заметим (по условиям теоремы), что для дисперсии справедливы соотношения:

Тогда, согласно неравенству Чебышева

Переходя к пределу при получаем

А так как вероятность не может быть больше единицы, то отсюда и следует утверждение теоремы.

Теорема. Если дисперсии n независимых случайных величин ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий , т.е.

☺ По условию , , где С - постоянное число.

Получим неравенство Чебышева в форме для средней арифметической случайных величин, т.е. для .

Найдем математическое ожидание М(Х) и оценку дисперсии D(Х):

(Здесь использованы свойства математического ожидания и дисперсии и, в частности, то, что случайные величины независимы, а следовательно, дисперсия их суммы равна сумме дисперсий.)

Запишем неравенство для случайной величины :

Т.к. по доказанному , то ,

в пределе при n → ∞ величина стремится к нулю, и получим доказываемую формулу. ☻

Подчеркнем смысл теоремы Чебышева. При большом числе n случайных величин практически достоверно, что их средняя величина случайная, как угодно мало отличается от неслучайной величины, т.е. практически перестает быть случайной.

Следствие. Если независимые случайные величины имеют одинаковые математические ожидания, равные а, а их дисперсии ограничены одной и той же постоянной, то:

Теорема Чебышева и ее следствие имеют большое практическое значение. Например, страховой компании необходимо установить размер страхового взноса, который должен уплачивать страхователь; при этом страховая компания обязуется выплатить при наступлении страхового случая определенную страховую сумму. Рассматривая частоту/убытки страхователя при наступлении страхового случая как величину случайную и обладая известной статистикой таких случаев, можно определить среднее число/средние убытки при наступлении страховых случаев, которое на основании теоремы Чебышева с большой степенью уверенности можно считать величиной почти не случайной. Тогда на основании этих данных и предполагаемой страховой суммы определяется размер страхового взноса. Без учета действия закона больших чисел (теоремы Чебышева) возможны существенные убытки страховой компании (при занижении размера страхового взноса), либо потеря привлекательности страховых услуг (при завышении размера взноса).

Читайте также: