Дифференциальные уравнения теория кратко

Обновлено: 02.07.2024

С этой темы мы рекомендуем начинать изучение теории дифференциальных уравнений. В одном разделе мы собрали все основные термины и определения, которые будут применяться при рассмотрении теоретической части. Для того, чтобы облегчить усвоение материала, мы приводим многочисленные примеры.

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.

Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения 1 -го, 2 -го и 5 -го порядков:

1 ) y ' + 1 = 0 ; 2 ) d 2 y d x 2 + y = x · sin x ; 3 ) y ( 5 ) + y ( 3 ) = a · y , α ∈ R

Уравнения в частных производных 2 -го порядка:

1 ) ∂ 2 u ∂ t 2 = v 2 · ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 , u = u ( x , y , z , t ) , v ∈ R ; 2 ) ∂ 2 u ∂ x 2 - ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 , u = u ( x , y )

С порядками ДУ разобрались. Далее мы будем в основном рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения n -ого порядка вида F ( x , y , y ' , y ' ' , . . . , y ( n ) ) = 0 или F x , y , d y d x , d 2 y d x 2 , . . . , d n y d x n = 0 , в которых Ф ( x , y ) = 0 - это заданная неявно функция. В тех случаях, когда это будет возможно, неявную функцию мы будем записывать в ее явном представлении y = f ( x ) .

Интегрирование дифференциального уравнения

Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.

Решением дифференциального уравнения является функция Ф ( x , y ) = 0 , которая задана неявно и которая обращает данное уравнение в тождество. В некоторых случаях нам нужно будет неявно заданную функцию у выражать через аргумент х явно.

Искать решение дифференциального уравнения мы всегда будем на интервале Х , который задается заранее.

В каких случаях мы будем учитывать интервал Х ? Обычно в условии задач он не упоминается. В этих случаях мы буде искать решение уравнения F ( x , y , y ' , y ' ' , . . . , y ( n ) ) для всех х , при которых искомая функция у и исходное уравнение будут иметь смысл.

Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.

Функции y = ∫ x d x или y = x 2 2 + 1 можно назвать решением дифференциального уравнения y ' = x .

У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.

Функция y = x 3 3 является решением ДУ y ' = x 2 . Если мы подставим полученную функцию в исходное выражение, то получим тождество y ' = x 3 3 = 1 3 · 3 x 2 = x 2 .

Вторым решением данного дифференциального уравнения является y = x 3 3 + 1 . Подстановка полученной функции в уравнение также превращает его в тождество.

Общее решение ДУ

Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.

Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.

Общее решение дифференциального уравнения y ' = x 2 имеет вид y = ∫ x 2 d x или y = x 3 3 + C , где C – произвольная постоянная. Из общего интеграла ДУ y = x 3 3 + C мы можем прийти к двум решениям, которые мы привели в прошлом примере. Для этого нам нужно подставить значения С = 0 и C = 1 .

Частное решение ДУ

Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.

Для ДУ y ' = x 2 частным решением, которое будет удовлетворять условию y ( 1 ) = 1 , будет y = x 3 3 + 2 3 . Действительно, y ' = x 3 3 + 2 3 ' = x 2 и y ( 1 ) = 1 3 3 + 2 3 = 1 .

К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:

задачи Коши;
задачи нахождения общего решения ДУ при заданном интервале Х ;
краевые задачи.

Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:

f ( x 0 ) = f 0 ; f ' ( x 0 ) = f 1 ; f ' ' ( x 0 ) = f 2 ; . . . ; f ( n - 1 ) ( x 0 ) = f n - 1

где f 0 ; f 1 ; f 2 ; . . . ; f n - 1 - это некоторые числа.

Особенностью краевых задач является наличие дополнительных условий в граничных точках x 0 и x 1 , которым должно удовлетворять решение ДУ второго порядка: f ( x 0 ) = f 0 , f ( x 1 ) = f 1 , где f 0 и f 1 - заданные числа. Такие задачи также часто называют граничными задачами.

Линейное обыкновенное ДУ n -ого порядка имеет вид:

f n ( x ) · y ( n ) + f n - 1 ( x ) · y ( n - 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ' + f 0 ( x ) · y = f ( x )

При этом коэффициенты f 0 ( x ) ; f 1 ( x ) ; f 2 ( x ) ; . . . ; f n ( x ) - это непрерывные функции аргумента х на интервале интегрирования.

Уравнение f n ( x ) · y ( n ) + f n - 1 ( x ) · y ( n - 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ' + f 0 ( x ) · y = f ( x ) будет называться линейным однородным дифференциальным уравнением в том случае, если f ( x ) ≡ 0 . Если нет, то мы будем иметь дело с линейным неоднородным ДУ.

В линейных однородных ДУ коэффициенты f 0 ( x ) = f 0 ; f 1 ( x ) = f 1 ; f 2 ( x ) = f 2 ; . . . ; f n ( x ) = f n могут быть постоянными функциями (некоторыми числами), то мы будем говорить о ЛОДУ с постоянными коэффициентами или ЛНДУ с постоянными коэффициентами. В ЛОДУ с постоянными коэффициентами f ( x ) ≡ 0 , в ЛНДУ с постоянными коэффициентами f ( x ) ненулевая.

Характеристическое уравнение ЛНДУ n -ой степени с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение ЛНДУ n -ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n -ой степени вида f n · k n + f n - 1 · k n - 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 .

Остальные определения мы будем разбирать в других темах по мере изучения теории.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = f (x) и ее производные различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Дифференциальное уравнение n-го порядка в общем виде записывается так:

F (x,y,y',y'', . y (n) ) = 0.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = φ (x),

обращающая это уравнение в тождество.

Решение F (x,y) = 0, заданное в неявном виде, называется интегралом дифференциального уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения n - го порядка называется функция

зависящая от х и n произвольных независимых постоянных С₁,С₂. ,С_n, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде

называется общим интегралом.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, которое получается из общего, если придать определенные значения произвольным постоянным, т.е. решение вида:

где С 0 ₁,С 0 ₂. ,С 0 _n - фиксированные числа.

Частным интегралом называется интеграл, полученный из общего путем

фиксирования произвольных постоянных:

где С 0 ₁,С 0 ₂. ,С 0 _n - фиксированные числа.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Краткая теория

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:

F (x,у,у') = 0. (12.1)

Если это уравнение разрешимо относительно у', то

у' = f(х,у) или dу = f(x,y)dx. (12.2)

Это уравнение можно записать так:

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. (12.3)

Общим решением уравнения (12.1) называется функция

y = φ(x,C) (12.4)

от х и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде

Ф (x,y,C ) = 0, (12.5)

называется общим интегралом.

Геометрически общее решение (и общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящих от одного параметра С.

Частным решением уравнения (12.1) называется решение, полученное из общего решения (12.4) при фиксированном значении С:

y = φ(x,C 0 ) (12.6)

где C 0 - фиксированное число.

Частным интегралом уравнения (1) называется интеграл, полученный из общего интеграла (5) при фиксированном значении С:

Ф (x,y,C 0 ) = 0. (12.7)

Задача Коши. Найти решение у = f (х) дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее заданным начальным условиям: у = y ₀ при х = х ₀.

Другими словами: найти интегральную кривую уравнения (1), проходящую через данную точку М₀ (х₀,y₀).

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Краткая теория

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

Х(x)Y(y)dx + X₁(x)Y₁(y)dy = 0, (12.8)

где X(x) , X₁(x) - функции только от х; Y(y), Y₁(y) – функции только от у.

Уравнение (12.8) делением на произведение Y(y) X₁(x) приводится к уравнению с разделенными переменными:

(12.9)

Общий интеграл уравнения (12.9)

(12.10)

Замечание. При делении на произведение Y(y) X₁(x) можно потерять те решения уравнения (12.8), которое обращают это произведение в нуль.

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция x = a, где а есть корень уравнения X₁(x) = 0 , т.е. X₁(a) = 0 , является решением уравнения (12.8). Функция y = b, где b корень уравнения Y₁(y) = 0 , т.е. Y₁ (b) = 0, также является решением уравнения (12.8). Решения x = a и x = b, если они имеются, геометрически представляют собой прямые линии, соответственно параллельные оси Oy и оси Ox.

1.Проинтегрировать дифференциальное уравнение

(1+x 2 ) dy - 2xy dx = 0.

Найти частное решение, удовлетворяющее условию: y = 1 при x = 0 .

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (коэффициент при dy - функция только от х , при dx – произведение функций, одна из которых зависит только от х , другая - только от у). Разделив обе части уравнения на произведение у (1+x 2 ), получим уравнение с разделенными переменными

Интегрируя это уравнение, находим

ln |y| - ln (1+x 2 ) = ln |C| или

откуда получаем общее решение: у = C (1+x 2 ).

Чтобы найти искомое частное решение, достаточно определить значение С по начальным условиям: 1 = C (1+0), C = 1.

Следовательно, частное решение имеет вид

Замечание.При делении на y(1 + x 2 ) предполагалось, что y(1+x 2 ) ≠ 0, т.е. y ≠ 0, 1+x 2 ≠ 0. Но у = 0 - решение уравнения, в чем можно непосредственно убедиться. Это решение получается из общего при С = 0.

2.Найти общий интеграл дифференциального уравнения

(xy 2 + x)dx + (y - x 2 y)dy = 0.

Вынося соответствующие множители за скобки, данное уравнение можно

записать так: x(y 2 +1)dx + y(1 - x 2 )dy = 0,

откуда видно, что это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части последнего уравнения на произведение (y 2 + 1)(1 - x 2 ) ≠ 0 , получим

Интегрируя это уравнение, находим

- ln |1- x 2 | + ln |1 + y 2 | = ln |C| или

откуда получаем общий интеграл: 1 + y 2 = C(1 - x 2 ).

Проинтегрировать дифференциальные уравнения, найти указанные частные решения и построить их:

12.1. при .

12.2. при .

12.3. при .

12.4. при .

12.5. при .

12.6. при .

Проинтегрировать дифференциальные уравнения с разделяющими переменными:

12.7. 12.8. .12.9. .

12.10. .12.11. . 12.12. .

Глава 12. Дифференциальные уравнения

12.1. Основные понятия

Краткая теория

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Дифференциальное уравнение n-го порядка в общем виде записывается так:

F (x,y,y',y'', . y (n) ) = 0.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = φ (x),

обращающая это уравнение в тождество.

Решение F (x,y) = 0, заданное в неявном виде, называется интегралом дифференциального уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения n - го порядка называется функция

зависящая от х и n произвольных независимых постоянных С₁,С₂. ,С_n, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде

называется общим интегралом.

где С 0 ₁,С 0 ₂. ,С 0 _n - фиксированные числа.

Частным интегралом называется интеграл, полученный из общего путем

фиксирования произвольных постоянных:

где С 0 ₁,С 0 ₂. ,С 0 _n - фиксированные числа.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Краткая теория

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:

F (x,у,у') = 0. (12.1)

Если это уравнение разрешимо относительно у', то

у' = f(х,у) или dу = f(x,y)dx. (12.2)

Это уравнение можно записать так:

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. (12.3)

Общим решением уравнения (12.1) называется функция

y = φ(x,C) (12.4)

от х и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде

Ф (x,y,C ) = 0, (12.5)

называется общим интегралом.

y = φ(x,C 0 ) (12.6)

где C 0 - фиксированное число.

Ф (x,y,C 0 ) = 0. (12.7)

Другими словами: найти интегральную кривую уравнения (1), проходящую через данную точку М₀ (х₀,y₀).

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Краткая теория

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

Х(x)Y(y)dx + X₁(x)Y₁(y)dy = 0, (12.8)

где X(x) , X₁(x) - функции только от х; Y(y), Y₁(y) – функции только от у.

Уравнение (12.8) делением на произведение Y(y) X₁(x) приводится к уравнению с разделенными переменными:

(12.9)

Общий интеграл уравнения (12.9)

(12.10)

1.Проинтегрировать дифференциальное уравнение

(1+x 2 ) dy - 2xy dx = 0.

Найти частное решение, удовлетворяющее условию: y = 1 при x = 0 .

Интегрируя это уравнение, находим

ln |y| - ln (1+x 2 ) = ln |C| или

откуда получаем общее решение: у = C (1+x 2 ).

Чтобы найти искомое частное решение, достаточно определить значение С по начальным условиям: 1 = C (1+0), C = 1.

Следовательно, частное решение имеет вид

2.Найти общий интеграл дифференциального уравнения

(xy 2 + x)dx + (y - x 2 y)dy = 0.

Вынося соответствующие множители за скобки, данное уравнение можно

записать так: x(y 2 +1)dx + y(1 - x 2 )dy = 0,

Интегрируя это уравнение, находим

- ln |1- x 2 | + ln |1 + y 2 | = ln |C| или

откуда получаем общий интеграл: 1 + y 2 = C(1 - x 2 ).

Проинтегрировать дифференциальные уравнения, найти указанные частные решения и построить их:

12.1. при .

12.2. при .

12.3. при .

12.4. при .

12.5. при .

12.6. при .

Проинтегрировать дифференциальные уравнения с разделяющими переменными:

12.7. 12.8. .12.9. .

12.10. .12.11. . 12.12. .

Читайте также: