Высказывания и операции над ними конспект

Обновлено: 01.07.2024

План учебного занятия по теме: Элементы алгебры логики. Высказывания. Логические операции.

сформировать у обучающихся представление об алгебре высказываний и логических операций с ними.

развивать логическое мышление, память, внимание;
формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли.

воспитывать интерес к предмету, настойчивость, целеустремленность;
воспитывать уважение к предмету;
способствовать воспитанию самоорганизации и самоконтроля.

Планируемые образовательные результаты:

предметные – представления о разделе математики алгебре логики, высказывании как её объекте;
метапредметные – навыки анализа логической структуры высказываний;
личностные – понимание роли фундаментальных знаний как основы современных информационных технологий, развитие логического мышления, внимательности.

Решаемые учебные задачи :

Тип урока: комбинированный урок (дискуссия, лекция (изучение нового материала), мультимедиа, практикум, самостоятельная работа).

Формируемые общие компетенции (ОК):

ОК1. Выбирать способы решения задач профессиональной деятельности, применительно к различным контекстам.

ОК2. Осуществлять поиск, анализ и интерпретацию информации, необходимой для выполнения задач профессиональной деятельности.

ОК3. Планировать и реализовывать собственное профессиональное и личностное развитие.

ОК9. Использовать информационные технологии в профессиональной деятельности.

Методы обучения: словесные (рассказ, объяснение, беседа), наглядные (иллюстрация), практические.

Форма организации: индивидуальная, фронтальная.

Оборудование: проектор, экран, компьютер, презентация.

Время на проведение занятия: 1 учебный час

Организация начала занятия – 2 минуты.
Подготовка к основному этапу занятия. Мотивация учебной деятельности –3 минуты.
Актуализация знаний обучающихся – 5 минут.
Изложение нового материала – 20 минут.
Закрепление учебного материала – 10 минут.
Задание на дом – 3 минуты.
Рефлексия – 2 минуты.

Организация начала занятия (2 минуты)

Здравствуйте ребята, садитесь. Запишите тему урока. - Элементы алгебры логики. Высказывания. Логические операции.

Актуализация знаний обучающихся (5 минут)

Как вы думаете, можно ли научить техническое устройство (в частности компьютер) логически мыслить? ( Только если запрограммировать варианты решений, само по себе техническое устройство принимать решения не может .- Будет хорошо, если мнения ребят разделятся)

Что по вашему является высказыванием? Что такое логика?

Изложение нового материала – (20минут)

Знание логики необходимо при разработке алгоритмов и программ, так как в большинстве языков программирования есть логические операции.

Алгебра логики имеет сходство с работой электрических переключательных схем. Электрический переключатель либо пропускает ток (истина), либо не пропускает (ложь).

Оперируя логическими переменными, которые могут быть равны только 0 или 1, алгебра логики позволяет свести обработку информации к операциям с двоичными данными. Именно аппарат алгебры логики положен в основу компьютерных устройств хранения и обработки данных.

Объектами алгебры логики являются высказывания.

Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними. (слайд 2)

Давайте задумаемся над смыслом слова высказывание. Что означает: человек высказывает свое мнение?

Высказывание — это повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. (слайд 2)

Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются.

В алгебре логики высказывания обозначают буквами и называют логическими переменными.

При этом если высказывание истинно, то значение соответствующей ему логической переменной обозначают единицей (А = 1), а если ложно — нулём ( В = 0).

Из простых высказываний с помощью логических операций строятся сложные (составные) высказывания.

Логическая операция — способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний. (слайд 3)

Основные логические операции:

1. Отрицание (инверсия, логическое НЕ) (слайд 4)

Смысл операции: результат меняется на противоположный (вместо истины — ложь, вместо лжи — истина).

воспитывать культуру общения в ходе групповой и фронтальной работы.

Организационный момент (5 минут)

Актуализация опорных знаний (15 минут).

Фронтальный опрос по вопросам:

Что изучает логика? Какие ученые внесли вклад в развитие логики?

Что изучает математическая логика?

Какие ученые внесли вклад в зарождение и развитие математической логики?

Какое значение принесла математическая логика в середине 20 века?

Где находит применение математическая логика?

Работа с презентацией: сопоставить этапы развития математической логики и фамилии ученых, работавших в это время.

Огастес де Морган – шотландский математик и логик. Основные труды: по математической логике и теории рядов; к своим идеям в алгебре логики пришёл независимо от Дж. Буля. С его именем связаны известные теоретико-множественные соотношения (законы де Моргана).

П.С. Порецкий, по специальности астроном, первым в России стал заниматься вопросами математической логики. Его труды стали значительным вкладом в развитие этой науки. Порецкий построил теорию качественных умозаключений (логика классов), получившую признание в мировой науке.

Работы Чарльза Пирса по логике занимают выдающееся место в философии 19 в. Наиболее важные результаты были получены в логике, где он высказал ряд новых идей, касающихся исчисления высказываний, теории следования, методов разрешения в логике предложений, логики отношений, логических парадоксов, логической семантики, многозначной логики и др. Пирс внес значительный вклад в теорию вероятностей.

Яблонский С.В. работал над проблемами, связанными с синтезом логических устройств. Среди результатов важное место занимают его работы о тестировании электрических схем.

Мотивация знаний (5 минут)

Вы сидите в вертолете, перед вами конь, сзади верблюд. Где Вы находитесь? ( в самолете)

Вы зашли в темную комнату. В ней есть газовая и бензиновая лампа. Что вы зажжете в первую очередь? (спичку)

Обычно месяц заканчивается 30 или 31 числом. В каком месяце есть 28 число? (в любом)

Когда человек бывает в комнате без головы? (когда он высунул голову в окно)

Все эти задачи являются логическими, то есть от нашего умения мыслить мы может прийти к правильному решению.

А как человек мыслит? Какие бывают формы мышления? Что в нашей речи является высказыванием, а что - нет?

Изучение нового материала (40 минут)

Обратите внимание - слово ЛОГИКА записано в сочетание со словом АЛГЕБРА.

Что же изучает алгебра?

Алгебра изучает числа, числовые величины, числовые выражения, а также правила выполнения действий над ними.

Что изучает логика?

Логика – (от древнегреч. logoz - слово, мысль, понятие, рассуждение) - наука о законах и формах мышления.

Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.

Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о реальных предметах, их свойствах и отношениях между ними

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких высказываний может быть получено новое суждение

И тогда, давайте попробуем понять, чем же занимается алгебра логики!? Алгебра логики изучает общие операции над высказываниями.

Алгебра высказываний (алгебра логики) – раздел математической логики, изучающий логические высказывания и способы установления их истинности или ложности с помощью алгебраических методов.

Основы данной алгебры были положены английским математиком Джорджем Булем в 19 веке, также называли булевой алгеброй.

Высказывание – это форма мышления, связное повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Высказывание может быть либо истинно, либо ложно.

Примеры (определите, какие предложения являются высказываниями и их истинность):

Дважды два равно четырем (истинное высказывание).

Река Волга впадает в Японское море (ложное высказывание).

Площадь отрезка меньше длины куба (связное повествовательное предложение, о котором нельзя сказать истина оно или ложь).

Является ли х=3 корнем уравнения х 2 -5х+6=0? (не повествовательное предложение).

Меньше один в является два при (несвязное предложение).

Слава российским студентам! (не повествовательное предложение).

35 (ложное высказывание).

Вещественное число х меньше 2 (Не высказывание, несмотря на свою повествовательность, связность и осмысленность. В нем содержится переменная и при разных значениях переменной возможно получение истинного или ложного высказывания. Объекты такого типа являются обобщением понятия высказывания и их мы будем изучать позже).

Высказывания могут быть простыми и составными.

Истинность простых высказываний определяется на основании здравого смысла. Истинность составных высказываний определяется с помощью алгебры высказываний.

В алгебре высказываний простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые латинскими буквами.

В дальнейшем нас будет интересовать не то, о чем идет речь в высказывании (его содержательная часть), а лишь какое значение истинности (истина или ложь) оно имеет.

Если высказывание истинно, то ему соответствует значение логической переменной 1, если ложно – 0.

Тогда: A = 0, B = 1

Над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания.

Логические операции над высказываниями

В русском языке (как и в любом другом) из простых связных повествовательных предложений с помощью некоторых стандартных связок (конструкций) можно образовать новые (составные) повествовательные предложения. В алгебре высказываний этим конструкциям соответствуют логические операции.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Высказывания в алгебре логики и логические операции над ними

Элементами логических рассуждений являются высказывания.

Простое высказывание – это повествовательное предложение, которое или истинно, или ложно.

Число 100 делится на 25 без остатка (истинно).

Рим – столица Франции (ложно).

Вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями. Простые высказывания обозначаются заглавными буквами латинского алфавита.

Действия логических операций задаются таблицами истинности.

Эти таблицы содержит все комбинации значений истинности простых высказываний, и для каждой такой комбинации указывается значение истинности сложного высказывания.

К основным логическим операциям над высказываниями относятся: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация, сложение по модулю 2, эквивалентность, стрелка Пирса, штрих Шеффера.

Когда высказывание А истинно, то ложно; когда А ложно, истинно.

Высказывание — утверждение, относительно которого можно сказать истинно (1, истина, true) оно или ложно (0, ложь, false).

Высказывания обозначаются заглавными латинскими буквами %%A, B, C, . %% или буквами с индексами %%A_1, B^2, C', . %%.

Примеры

Следующие предложения являются высказываниями:

Причем высказывания %%A_1, A_3%% — ложные, а %%A_2, A_4%% — истинные.

Следующие предложения не являются высказываниями:

Мы не можем сказать о любом из высказываний %%B_1, B_2, B_3%% истинно оно или ложно. Например, в предложении %%B_3%% буква %%x%% — переменная. Если поставить какое либо значение вместо нее, например 8, то получим истинное высказывание.

Операции над высказываниями

Сложные высказывания построены из более простых, используя следующие логические знаки $$ \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow, \overline<>, $$ которые имеют соответствующие названия: конъюнкция (логическое И), дизъюнкция (логическое ИЛИ), импликация (логические следование), эквиваленция (логическое равенство) и отрицание (логическое НЕ).

Пусть %%A%% и %%B%% — некоторые высказывания.

Конъюнкция

Конъюнкцией высказываний %%A%% и %%B%%

называется новое высказывание, обозначаемое %%A \land B%%, которое является истинным тогда и только тогда, когда высказывания %%A%% и %%B%% истины. Читается как %%A%% и %%B%%.

Рассмотрим произвольные высказывания %%A%% и %%B%% и полученное из них высказывание %%A \land B%%. Высказывания %%A, B%% могут быть как ложными, так и истинными. Возможны следующие варианты:

%%A%% ложно, %%B%% ложно;
%%A%% ложно, %%B%% истинно;
%%A%% истинно, %%B%% ложно;
%%A%% истинно, %%B%% истинно;

В каждом их этих случаев, вычислив значение конъюнкции высказываний %%A \land B%%, получим следующую таблицу, которая называется таблицей истинности.

%%A%%	%%B%%	%%A \land B%%
%%0%%	%%0%%	%%0%%
%%0%%	%%1%%	%%0%%
%%1%%	%%0%%	%%0%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%

Где %%1%% обозначает истинное высказывание, %%0%% — ложное высказывание.

Операцию конъюникции можно распространить и на несколько высказываний. Пусть %%A_1, A_2, . A_n%% — высказывания. Тогда высказывание %%A_1 \land A_2 \land . \land A_n%%, являющееся конъюнкцией высказываний %%A_1, A_2, . A_n%%, будет истинным тогда и только тогда, когда все высказывания будут истинными.

Дизъюнкция

Дизъюнкцией высказываний %%A%% и %%B%%

называется новое высказывание, обозначаемое %%A \lor B%%, которое является ложным тогда и только тогда, когда высказывания %%A%% и %%B%% ложны. Читается как %%A%% или %%B%%.

Таблица истинности для дизъюнкции выглядит следующим образом.

%%A%%	%%B%%	%%A \lor B%%
%%0%%	%%0%%	%%0%%
%%0%%	%%1%%	%%1%%
%%1%%	%%0%%	%%1%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%

Аналогично конъюнкции, операцию дизъюнкции можно распространить и на несколько высказываний. Пусть %%A_1, A_2, . A_n%% — высказывания. Тогда высказывание %%A_1 \lor A_2 \lor . \lor A_n%%, являющееся дизъюнкцией высказываний %%A_1, A_2, . A_n%%, будет ложным тогда и только тогда, когда все высказывания будут ложными.

Импликация

Импликацией высказываний %%A%% и %%B%% называется

Таблица истинности для импликации выглядит следующим образом.

%%A%%	%%B%%	%%A \rightarrow B%%
%%0%%	%%0%%	%%1%%
%%0%%	%%1%%	%%1%%
%%1%%	%%0%%	%%0%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%

Эквиваленция

Эквиваленцией высказываний %%A%% и %%B%%

Таблица истинности для эквиваленции выглядит следующим образом.

%%A%%	%%B%%	%%A \leftrightarrow B%%
%%0%%	%%0%%	%%1%%
%%0%%	%%1%%	%%0%%
%%1%%	%%0%%	%%0%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%

Также эквиваленцию можно выразить через импликацию и конъюнкцию, тогда

$$ A \leftrightarrow B = (A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A) $$

Покажем это, используя таблицы истинности.

%%A%%	%%B%%	%%A \leftrightarrow B%%	%%A \rightarrow B%%	%%B \rightarrow A%%	%%(A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)%%
%%0%%	%%0%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%
%%0%%	%%1%%	%%0%%	%%1%%	%%0%%	%%0%%
%%1%%	%%0%%	%%0%%	%%0%%	%%1%%	%%0%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%

Как видно из таблицы истинности столбцы %%A \leftrightarrow B%% и %%(A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)%% имеют одни и те же значения при одинаковых наборах значений %%A%% и %%B%%, что говорит о равенстве этих двух формул.

Отрицание

Отрицанием высказывания %%A%%

Читайте также: