Вращательное движение конспект физика

Обновлено: 04.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Основное уравнение динамики вращательного движения .

Абсолютно твердое тело – тело, расстояние между двумя любыми точками которого остается неизменным при любых движениях и деформациях.

Следовательно, форма и размеры абсолютно твердого тела не изменяются при действии на него любых сил.

Абсолютно твердое тело – физическая модель (в природе не существует). Тело можно считать абсолютно твердым, если деформации малы.

Вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси – движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, перпендикулярной плоскостям этих окружностей. Сама эта прямая есть ось вращения ( OO ’).

Примеры вращательного движения: вращение валов двигателей, колес, турбин, пропеллеров самолетов, вращение Земли вокруг совей оси.

Динамика вращательного движения абсолютно твердого тела изучает причины появления углового ускорения у тела, которое может вращаться вокруг оси и позволяет вычислить его величину.

При вращательном движении твердого тела вокруг закрепленной оси масса уже не является мерой его инертности, а сила недостаточна для характеристики внешнего воздействия. Таким образом, для описания вращательного движения твердого тела необходимо ввести новые характеристики:

1) При вращательном движении силовое воздействие характеризуется не силой, а

Момент силы (М) – векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля силы на ее плечо.

Плечо силы ( d ) – длина перпендикуляра, опущенного из оси вращения на линию действия силы.

1Н∙м - момент силы в 1Н, линия действия которой отстоит от оси вращения на 1м.

Если линия действия силы проходит через ось вращения, то момент силы относительно этой оси равен нулю. Эта сила не вызывает вращения.

Вектор момента силы направлен вдоль оси вращения. Направление момента силы определяется по правилу правой руки . Для этого необходимо изобразить вектор силы и радиус вектор точки приложения этой силы исходящими из одной точки. За направление вращения выберем направление поворота от к . Расположим правую руку таким образом, чтобы направление кончиков четырех согнутых пальцев показывало направление поворота от к , тогда направление отогнутого большого пальца укажет направление момента силы.

2) Мерой инерции при вращательном движении является

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения – физическая величина, равная , где - кратчайшее расстояние от оси вращения до точки.

1 кг∙м 2 – момент инерции тела, при котором под действием момента силы в 1Н∙м тело приобретает угловое ускорение в .

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции отдельных его частей:

где - масса элемента абсолютно твердого тела; – кратчайшее расстояние от элемента тела до оси вращения.

Если масса тела является инвариантной величиной (одинаковой в различных системах отсчета) и не зависит от того, как тело движется, то момент инерции абсолютно твердого тела зависит :

1) От массы тела;

2) От формы и размеров тела;

3) От распределения массы относительно оси вращения (при переносе оси вращения, изменении ее направления, а также переносе отдельных частей тела его момент инерции изменяется) .

У твердых тел момент инерции относительно данной оси – постоянная величина. Момент инерции тел относительно оси вращения, проходящей через центр масс у многих тел известен:

Ось вращения проходит

Момент инерции

через центр обруча, перпендикулярно его плоскости

через центр цилиндра, перпендикулярно плоскости его основания

через центр диска вдоль его диаметра

через центр шара

Стержень длиной l

через середину тонкого стержня, перпендикулярно ему

При переносе оси вращения или отдельных частей тела относительно этой оси его момент инерции изменяется. Соотношение между моментами инерции тела относительно некоторой оси вращения, проходящей через центр масс, относительно произвольной параллельной ей оси устанавливается с помощью теоремы Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции этого тела, взятого относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Проведем некоторую ось вращения О, проходящую через центр масс абсолютно твердого тела. Выберем другую произвольную ось О’, параллельную оси О и отстоящую от нее на расстоянии d . Пусть момент инерции относительно центра масс известен и равен I_o . Тогда, согласно Тереме Штейнера момент инерции относительно оси O ’ равен:

Выведем основное уравнение динамики вращательного движения. Рассмотрим частицу массы m , вращающуюся вокруг оси по окружности радиуса R , под действием результирующей силы , лежащей в плоскости оси вращения. В инерциальной системе отсчета справедлив II закон Ньютона. Запишем его применительно к произвольному моменту времени: .

Разложим силу на две составляющие: нормальную и тангенциальную . Нормальная составляющая силы не способна вызвать вращение частицы с угловым ускорением, поэтому рассмотрим только действие ее тангенциальной составляющей. В проекции на тангенциальное направление II закон Ньютона примет вид: .

– основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки.

Этому уравнению можно придать векторный характер, учитывая, что наличие момента сил вызывает появление параллельного ему вектора углового ускорения, направленного вдоль оси вращения:

- произведение момента инерции материальной точки на угловое ускорение равно результирующему моменту сил, действующих на материальную точку.

Для вывода основного уравнения динамики абсолютно твердого тела необходимо разделить это тело на достаточно малые элементы m_i , каждый из которых можно считать материальной точкой. Записать для каждой материальной точки основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки и все эти уравнения почленно сложить:

- основное уравнение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела.

Произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение тела равно сумме моментов (относительно той же оси)всех внешних сил, приложенных к телу.

Основное уравнение динамики вращательного движения тела устанавливает зависимость углового ускорения от момента силы и момента инерции.

Ускорение при вращательном движении зависит :

1) Не только от массы, но и от ее распределения относительно оси вращения;

2) Не только от силы, но и от точки ее приложения и направления действия.

1. Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между любыми двумя точками которого остается постоянным при его движении.

2. Поступательным называется такое движение абсолютно твердого тела, при котором любой отрезок, соединяющий любые две точки тела, остается параллельным самому себе. Одинаковыми остаются при поступательном движении перемещение, траектория, путь, скорость, ускорение.

3. Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой перпендикулярной плоскостям этих окружностей. Сама эта прямая есть ось вращения.

4. Угол поворота – угол, на который поворачивается радиус-вектор, соединяющий центр окружности с точкой вращающегося тела.

5. Угловая скорость - отношение угла поворота φ к промежутку времени, в течение которого совершен этот поворот при равномерном движении.

6. Линейная скорость – отношение длины дуги окружности пройденной точкой тела к промежутку времени, в течение которого этот поворот совершен.

7. Период - промежуток времени, за который тело делает один полный оборот.

8. Частота обращения тела – число оборотов за единицу времени

Основная и дополнительная литература по теме урока:

Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н.. Физика.10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2016. – С. 57-61

Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11 класс.-М.:Дрофа,2009.-С.20-22

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Вы знаете, что в физике для упрощения исследования реальных ситуаций часто используются модели. Одной из механических моделей, используемых при описании движения и взаимодействия тел, является абсолютно твёрдое тело- тело, расстояние между любыми двумя точками которого остаётся постоянным при его движении.

2. Поступательным называется такое движение абсолютно твёрдого тела, при котором любой отрезок, соединяющий любые две точки тела, остаётся параллельным самому себе. Примером поступательного движения может служить свободное падение тел, движение лифта, поезда на прямолинейном участке дороги. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории, совершают одинаковые перемещения, проходят одинаковые пути, в каждый момент времени имеют равные скорости и ускорения.

Для описания поступательного движения абсолютно твёрдого тела достаточно написать уравнение движения одной из его точек.

3. Вращательным движением абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, называемой осью вращения. При этом плоскости, которым принадлежат эти окружности, перпендикулярны оси вращения.

Вращательное движение позволяет осуществить непрерывный процесс работы с использованием больших скоростей. Вращающиеся механизмы более компактны и более экономичны, так как потери энергии на преодоление сил трения качения меньше, чем на преодоление сил трения скольжения. Поэтому в современной технике вращательное движение рабочих частей машин всё более вытесняет возвратно-поступательное. Например, вместо ножовочной пилы в технике используют вращающуюся дисковую пилу, поршневые насосы в большинстве случаев вытесняются центробежными.

4. Угловой скоростью тела при равномерном вращении называется величина, равная отношению угла поворота тела ∆φ к промежутку времени ∆t, за которое этот поворот произошёл.

Будем обозначать угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению запишем формулу угловой скорости;

При равномерном вращательном движении угловая скорость у всех точек вращающегося тела одинаковая. Поэтому угловая скорость, так же как и угол поворота, является характеристикой движения всего вращающегося тела, а не только отдельных его частей.

Примером вращательного движения, близкого к равномерному, может служить вращение Земли вокруг своей оси.

Угловая скорость в СИ выражается в радианах в секунду (рад/с).

Один радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Угловая скорость положительна, если угол между радиусом вектором, определяющим положение одной из точек твердого тела, и осью ОХ увеличивается, и отрицательным, когда он уменьшается

5.Число полных оборотов за единицу времени называют частотой обращения.

Время, за которое тело совершает один полный оборот, называют периодом обращения и обозначают буквой Т.

7. Связь между линейной и угловой скоростями:

8. Связь между ускорением и угловой скоростью:

Итак, мы рассмотрели два простейших движения абсолютно твердого тела – поступательное и вращательное. В жизни мы чаще встречаем сложное движение абсолютно твердого тела, однако, в этом случае любое сложное движение можно представить как сумму двух независимых движений: поступательного и вращательного.

Примеры и разбор типового тренировочного задания

Ротор мощной паровой турбины делает 100 оборотов за 2 с. Определите угловую скорость.

2. Два шкива, соединенные друг с другом ремнем, вращаются вокруг неподвижных осей (см.рис). Больший шкив радиусом 20см делает 50 оборотов за 10 секунд, а частота вращения меньшего шкива 2400 оборотов в минуту. Чему равен радиус меньшего шкива? Шкивы вращаются без проскальзывания.

Найти -

Из условия задачи ученик видит что, шкивы соединены ремнем, следовательно, линейные скорости их равны:

но частота вращения разная.

Сокращает на 2π обе части.

и так, как в условии известно , то можем записать:

Отсюда находим радиус второго шкива:

Вторая неизвестная величина

Опорный конспект поможет в подготовке домашнего задания и контроля знаний.

Вложение	Размер
opornyy_konspekt_po_teme_vrashchatelnoe_dvizhenie.doc	324 КБ

Предварительный просмотр:

Каждая точка вращающегося вокруг оси тела, проходящей через точку О , движется по окружности, и различные точки проходят за время Δt разные пути. Значит АА 1 > ВВ 1 , и поэтому модуль скорости точки А больше, чем у точки В. Радиусы окружностей поворачиваются за время Δt на один и тот же угол Δϕ .

Угол ϕ - угол между осью ОХ и радиус-вектором.

Быстрота вращения тела зависит от угла поворота радиус-вектора. Она характеризуется угловой скоростью.

Угловая скорость тела при равномерном вращении - это величина, равная отношению угла поворота тела к промежутку времени, за который произошел поворот. Угловая скорость обозначается буквой

Угловую скорость можно выразить через частоту вращения. Если тело совершает ν оборотов за 1 с , то время одного оборота равно 1/ν секунд. Это время называется периодом вращения. Обозначается буквой Т .

Угол Δϕ=2π соответствует полному обороту тела:

Если при равномерном вращении угловая скорость известна и в начальный момент времени t 0= 0 угол поворота ϕ 0= 0 ,то угол поворота тела за время t равен:

Угловая скорость принимает положительные значения, если угол между радиус-вектором и осью ОХ увеличивается, отрицательные - когда он уменьшается.

Скорость точки, движущейся по окружности , называют линейной скоростью. При вращении твердого тела разные его точки имеют неодинаковые линейные скорости , но угловая скорость для всех точек одинакова .

Между линейной скорость любой точки вращающегося тела с его угловой скоростью существует связь. Точка, лежащая на окружности радиусом R , за один оборот пройдет путь 2πR . Время одного оборота тела равно Т , то модуль линейной скорости равен:

Т.к . ω=2πν , то v=ωR,

Модуль ускорения точки тела, движущейся равномерно по окружности, можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности :

Чем дальше расположена точка твердого тела от оси вращения, тем большее по модулю ускорение она имеет.

Вращательное движение твердого тела – движение, при котором все точки объекта описывают траекторию в виде окружности.

Распространенный случай в физике – вокруг покоящейся оси (рис. 1).

Рис. 1 Вращение твердого тела вокруг оси

Линия, соединяющая неподвижные точки, читается осью вращения. Кинематика перемещения в целом аналогична поступательной. Только путь измеряется не в метрах, а в радианах или градусах.

Последние связаны между собой следующей формулой:

ϕ – угол в радианах (рад);

γ – угол в градусах (°).

Закон и уравнение вращательного движения твердого тела

Законы движения также схожи. Для равноускоренного движения:

ϕ₀ – начальный угол (рад);

ω₀ – начальная угловая скорость (рад/с);

ε – угловое ускорение (рад/с 2 ).

Под положительным понимают перемещение против часовой стрелки.

Угловая скорость

В обычной жизни вращение оценивается в оборотах за единицу времени. За минуту чаще всего. Для расчетов такие характеристики неудобны. Поэтому определяется так:

Скорость в оборотах ν легко связать с угловой:

ν – скорость в оборотах (1/с).

Используется еще одна важная величина – период вращения T. За это время предмет совершает полный поворот:

Угловое ускорение

В уравнении движения был показан частный случай равноускоренного перемещения. Но это не всегда так. Также ε может принимать отрицательные значения в случае замедления.

Линейные величины

При малых величинах пройденный путь (см. рис. 2) будет равен:

где r – расстояние до центра вращения (м).

Рис. 2 Перемещение

Откуда следует линейная скорость:

Вектор, перпендикулярный отрезку, r. То есть расположенный на касательной к окружности вращения.

И, соответственно, ускорение:

Кроме того, передвижение по кривой линии невозможно без центростремительного ускорения:

Возвратно-вращательное движение

Общий случай раскачивания маятника. Анализ подобных противоположных телодвижений пары объектов порождает некоторые парадоксы.

Приверженцы таких рассуждений существуют и доводы имеют право на жизнь. Не все общепринятые взгляды безупречны. Евклидова геометрия тому пример. Теория довольно запутана, и здесь мы ее рассматривать не будем.

С учетом масс

Представив себе, что тело состоит из незначительных масс m_i, получим любопытные результаты. Кинетическая энергия выразится так:

Джоуль (Дж) – единица энергии и работы в системе СИ.

Моментом инерции относительно выбранной оси называется:

или в соответствующей интегральной форме.

Тогда энергия выразится следующим образом:

То есть имеется некий аналог массы. Но последняя является неизменной присущей объекту величиной. Момент же инерции зависит от местонахождения оси.

В реальных условиях распространен случай вращения вокруг оси, включающей центр масс. Найдем его для системы, указанной на рис. 3.

Рис. 3 Определение центра масс.

Определится по формулам:

Вектор, направленный из начала координат в центр масс, в общем случае выразится следующим образом:

Можно перевести в интегральную форму. В присутствии гравитации – заодно и центр тяжести.

Можно сказать, что общее движение предмета включает поступательное и вращательное. Пример – качение чего-то округлого (рис. 4). При этом все перемещение точек можно исчерпывающе изобразить на рисунке. В таком варианте движение называется плоским.

Полная кинетическая энергия равна:

m – масса объекта;

I_C – момент инерции относительно оси, включающей центр масс.

Рис. 4 Качение колеса

Частные случаи вращательного движения

1. Равномерное (рис. 5), с постоянной скоростью, с нулевым ускорением.

Выражается уравнением: φ = φ₀ + ωt

Рис. 5 При ε = 0.

2. Равноускоренное. Рассмотрено ранее. Но все же уместны некоторые пояснения (рис. 6).

Рис. 6 ε = const.

3. Вокруг неподвижной оси. Наиболее распространенный в рассмотрении вариант. Как для реальных нужд, так и в теории.

4. Возвратно-вращательное. В математическом выражении напоминает колебания. При подробном рассмотрении вызывает неудобные вопросы.

Заключение

Для разработчиков оборудования тема отнюдь не праздная. Рассматриваются задачи по передаче силового момента (в частности в ременных механизмах). Разбирается механика работы подшипников, гироскопов.

В артиллерии снаряды стабилизируются вращением. Да и расчеты их на прочность связаны со сложным напряженным состоянием в связи с раскручиванием в стволе.

Орбиты планет имеют отношение к рассматриваемой кинематике.

На самом деле все сферы использования данной темы невозможно перечислить, это действительно нужный раздел.

Сегодня мы изучим два основных вида движения: поступательное и вращательное. Также мы убедимся, что любое движение может быть представлено, как сумма поступательного и вращательного движения.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Поступательное и вращательное движение"

Ещё в самом начале курса мы упомянули, что полное описание движения тела является достаточно сложной задачей, если не пользоваться идеализированными моделями такого движения. Одна из таких моделей —поступательное движение — это такое движение, при котором каждая точка тела двигается одинаково.

В этом случае, тело должно быть абсолютно твердым. Например, движение камня или ядра можно назвать поступательным. Движение мяча же, нельзя назвать поступательным, поскольку он немного деформируется в процессе движения.

Поступательное движение тела является самым простым, поскольку, чтобы описать движение тела, достаточно описать движение одной из его точек. Как правило, описывают движение центра тяжести тела.

Строго говоря, если движение тела не является поступательным, то нельзя говорить о скорости или об ускорении тела, поскольку каждая из точек этого тела имеет разную скорость и разное ускорение. Однако, во многих случаях, эти скорости и ускорения настолько мало отличаются друг от друга, что этим можно пренебречь.

Например, поступательным движением можно считать движение поезда на прямых участках, движение колеса обозрения или движение различных поршней.

Примеры поступательного движения

Другой тип движения — это вращательное движение, с которым мы частично познакомились, на прошлом уроке.

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела двигаются по окружности. При этом, центры этих окружностей лежат на одной прямой, которая называется осью вращения.

Пожалуй, один из самых очевидных примеров такого движения — это вращение Земли вокруг своей оси. Точки Земли двигаются по окружности, причем, вокруг определенной оси. Вместе с этим, движение Земли, строго говоря, нельзя назвать поступательным, поскольку очевидно, что магма внутри Земли двигается совсем не так, как земная кора, например. Но, опять же, в космических масштабах, этим обстоятельством можно пренебречь.

С характеристиками вращательного движения мы уже познакомились: это угловая скорость, период и частота.

Любое движение абсолютно твердого тела можно представить, как сумму поступательного и вращательного движения. Например, если мы примем стальной шар за абсолютно твердое тело и покатим его, то его движение любой его точки можно представить, как сумму поступательного и вращательного движения. Таким образом, точки шара будут двигаться по спирали.

В качестве ещё одного примера можно снова привести движение Земли. Как вы знаете, Земля вращается вокруг Солнца. Но само Солнце двигается по направлению к звезде Вега.

В итоге, Земля совершает витки по спирали. Таким образом, движение земли в космическом пространстве можно представить, как сумму движения Земли вокруг Солнца и движения Солнца к Веге.

Необходимо отметить, что в данном примере, мы упростили движение Солнца, поскольку в действительности оно, конечно, двигается не по прямой, а по определенной орбите.

Примеры решения задач.

Задача 1. Находясь на колесе обозрения, вы заметили, что совершили пол-оборота за 3 минуты. Другой человек, находящийся на этом же колесе обозрения, заметил, что он прошёл расстояние, равное 90 м. Найдите радиус, угловую и линейную скорость колеса обозрения.

В первую очередь, обратим внимание на то, что мы можем считать поступательным движение колеса. А, значит, то, что заметили вы, применимо и к другому человеку, находящемся на этом колесе. И наоборот: его наблюдения тоже могут быть использованы вами. Ведь каждая точка колеса проходит одинаковое расстояние.

Задача 2. Металлический шест начинает двигаться по прямой с постоянным ускорением , при этом вращаясь вокруг своего центра. Длина шеста составляет 4 м, а скорость вращения равна 2 рад/с. Найдите модуль линейной скорости крайней точки после поворота на .

Читайте также: