Властивості функції нулі функції проміжки знакосталості конспект уроку

Обновлено: 03.07.2024

Определение : Точка х₀ называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство: f(x₀)>f(x) .

Определение : Точка х₀ называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство: f(x₀) .
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f′(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.

Пример №1 : Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x 3 –3x 2 .
Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3x 2 –6x.
Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x 2 –6x=0; 3x(x-2)=0 ;x = 0, x = 2

Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

x	(-∞, 0)	0	(0, 2)	2	(2, +∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	возрастает	max	убывает	min	возрастает

f(0) = 0 3 – 3*0 2 = 0
f(2) = 2 3 – 3*2 2 = -4
Ответ: Функция возрастает при x∈(-∞ ; 0)∪(2; +∞); функция убывает при x∈(0;2);
точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).

Найти производную f′(x) .
Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f′(x)=0 .
Найти вторую производную f″(x) .
Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
Вычислить значения функции в точках экстремума.

Все вычисления можно проделать в онлайн режиме.

Пример №2 . Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: f(x) = x 2 – 2x - 3.
Решение: Находим производную: f′(x) = 2x - 2.
Решая уравнение f′(x) = 0, получим стационарную точку х =1. Найдем теперь вторую производную: f″(x) = 2.
Так как вторая производная в стационарной точке положительна, f″(1) = 2 > 0, то при x = 1 функция имеет минимум: f_min = f(1) = -4.
Ответ: Точка минимума имеет координаты (1; -4).

Развивающие : развитие умения определять промежутки знакопостоянства функции, определять возрастание и убывание функции, заданной графически ; способствовать развитию математической речи; развитию умения читать и анализировать графики;

Воспитательные : учить правильно использовать терминологию; прививать интерес к предмету через компьютер.

Материально-техническое обеспечение : компьютер, интерактивная доска

Компетентности: математическая грамотность, информационно-цифровая компетентность

Сквозные умения: решение проблемы, сотрудничаю, эффективно общаюсь, исследую, рефлексирую

Тип урока : усвоение знаний, формирование умений

Ход урока:

I . Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку, настрой их на урок.

ІІ. Проверка домашнего задания

2. Определите нули функции (слайд 2)

II І . Формулирование цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся (слайд 3)

Как заметил Г.Галилей, книга природы написана на математическом языке и её буквы - математические знаки и геометрические фигуры - невозможно понять её слова. И именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе.

Учащиеся задают друг другу вопросы по ранее изученному материалу. По заданным вопросам и ответам я определю, как вы готовы сегодня к уроку.

1. Что такое функция?

Это зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению х соответствует единственное значение у.

2. Как обозначается функция ? у = f (х)

3. Что называют аргументом функции?

4. Как по-другому называют функцию у ?

5. Приведите примеры функций.

у=2х-8 ; у= х 2 ; у= ; у= 5х; у= .

5. Что называют областью определения функции? Обозначение.

6. Что называют областью значений функции? Обозначение.

7. Какие способы задания функции вы знаете?

8. Какое значение аргумента называют нулём функции?

V . Усвоение знаний (слайд 4)

Итак, рассмотрим график изменения температуры воздуха с течением времени.

В о п р о с ы:

1) В течение, какого промежутка времени шло наблюдение ?

2) В каких пределах изменялась за это время температура ?

3) В какое время температура воздуха была равна 0?

4) В какие промежутки времени температура была выше нуля? ниже нуля?

5) В какие промежутки температура повышалась? понижалась?

Отвечая на эти вопросы, мы, по сути, перечислили с вами основные свойства функции.

Продолжаем с вами знакомиться со свойствами функции.

( слайд 5)

1 . Промежутки знакопостоянства

Промежутки, к которых функция сохраняет свой знак, называют промежутками знакопостоянства.

( слайды 6, 7) – найти промежутки знакопостоянства

( слайды 8 и 9)

2. Возрастающая и убывающая функция

- Решение заданий (слайды 10 и 11)

VI . Историческая пауза

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Её содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс. лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r .

VII . Формирование умений

( слайд 12)

Схема для исследования любой функции: 1) Найти область определения функции, D ( у ). 2) Найти область значений функции, Е ( у ). 3) Найти нули функции. 4) Найти промежутки знакопостоянства функции. 5) Найти промежутки возрастания и убывания функции. 1. Решение упражнений ( слайды 13, 14)

( слайд 15)

C амостоятельная работа

Учащиеся самостоятельно выполняют работу в тетрадях, после этого проводят взаимопроверку по готовым ответам и оценивают работу соседа.

( слайд 16)

1 вариант

2 вариант

3) f(x) = 0, х = – 2,5; х = 1

4) f(x) > 0 при х (– 3;- 2,5]; (1;3)

f(х) [– 2,5; 1)

5) f(x) ↑ при х [–0,5; 2]

f(x) ↓ при х [– 3; –0,5]и [2; 3]

3) f(x) = 0, х = – 3,5; х = 1; х = 3

4) f(x) > 0при х [– 3,5;1) и (3; 4]

f(х) (– 5;- 3,5) и (1;3)

5) f(x) ↑ при х [-5; -1] и [2;4]

f(x) ↓ при х [– 1; 2]

VIII. Итоги урока

( слайд 17)

Сегодня на уроке мы познакомились со схемой исследования функции. Расскажите, как провести исследование функции. Скажите, пожалуйста, какие из выполненных заданий вызвали у вас наибольшее затруднение?

Свойства функции

Если для функции y = f ( x ) выполняется условие f (х ₀ ) = 0 (х ₀ D ( f )), то х ₀ — ноль функции.

На рисунке х ₁ , х ₂ , х ₃ — нули функции

Промежутки (-∞; x ₁ ), ( x ₁ ; x ₂ ), (х ₂ ; х ₃ ), (х ₃ ; +∞) — интервалы постоянства знака функции y = f ( x ).

Если х _{1 >} х ₂ и у ₁ _> у ₂ , то функция –возрастающая.

Если х _{1 >} х ₂ и у ₁ у ₂ , то функция – убывающая.

IX . Рефлексия

1. На уроке я работал активно/ пассивно

2. Своей работой я доволен/ не доволен

3. За урок я устал/ не устал

4. Моё настроение стало лучше/ хуже

5. Материал урока для меня был понятным/ непонятным

X . Домашнее задание: § 8, № 8, 28, 29 - комментирование д/з.

На этом уроке происходит знакомство с такими свойствами как нули функции, промежутки знакопостоянства и промежутки монотонности функции. Вводятся понятия возрастающей и убывающей функций. Рассматриваются примеры описания свойств функций.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Свойства функций"

На прошлом уроке мы с вами изучили понятие функция. Изучили её график и научились находить область определения и область значений функции.

Свойства функций:

· промежутки знакопостоянства функции;

· промежутки монотонности функции.

Нули функции

Нулями функции называют такие значения аргумента, при которых функция равна нулю.

В данном случае функция задана графически и мы определили нули функции по графику. Так же нули функции можно находить по формуле, с помощью которой задана функция.

Решив уравнение, мы найдём те значения х, при которых функция равна нулю.

Стоит обратить внимание на то, что не каждая функция имеет нули.

График не пересекает ось икс ни в одной точке.

Промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции - это такие промежутки из области определения, на которых данная функция принимает значения только одного знака, либо положительные, либо отрицательные.