Строгие и нестрогие неравенства 8 класс конспект урока

Обновлено: 04.07.2024

Ключевые слова: определение неравенства, строгие и нестрогие неравенства, свойства неравенств, примеры решения задач на неравенства. Раздел ОГЭ по математике: 3.2.1 Числовые неравенства и их свойства.

Этому определению можно дать геометрическую иллюстрацию: из двух чисел a и b большим является то, которому на координатной прямой соответствует точка, расположенная правее, и меньшим то, которому соответствует точка, расположенная левее.

Свойство (4) читается так: обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив знак неравенства без изменения; обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, поменяв знак неравенства на противоположный. В частности, если поменять знаки обеих частей неравенства на противоположные (т. е. умножить обе части неравенства на –1), то надо заменить на противоположный и знак неравенства. Например, поменяв знаки обеих частей неравенства –10 –2. Полезно также уметь работать с двойными неравенствами: при изменении знаков всех трёх частей двойного неравенства оба знака неравенства заменяются на противоположные. Так, заменив знаки в двойном неравенстве а ≥ b –с, или в более привычной записи –с ,

Примеры решения задач на неравенства

Пример 1. На координатной прямой отмечены числа a и

b. Выберите из следующих утверждений верное.

Пример 2. Известно, что х > 10, y > 20. Какие из следующих неравенств верны при любых значениях х и у, удовлетворяющих этому условию: I. ху > 200; II. ху > 100; III. ху > 400 ?

1) I и II 2) I и III 3) II и III 4) I, II и III

Все члены двух данных неравенств – положительные числа. Перемножим почленно эти неравенства, получим ху > 200. Итак, неравенство I является верным. Неравенство II следует из неравенства I на основании свойства транзитивности: ху > 200, 200 > 100, значит, ху > 100. Неравенство III при некоторых значениях х и у, удовлетворяющих заданному условию, выполняется, a при некоторых нет, например, оно не выполняется при х = 11 и y = 21.

Пример 3. Оценим разность а – b, если известны границы a и b: 10 –b > –5, или –5

Пример 4. Докажем, что если a и b – положительные числа, то а 2 > b 2 в том и только в том случае, когда а > b.

Оба множителя в правой части равенства положительны: а – b > 0, так как a > b; a + b > 0, так как a и b – положительные числа. Значит, а 2 – b 2 > 0, отсюда следует, что а 2 > b 2 . Теперь докажем обратное утверждение: если а > 0, b > 0 и а 2 > b 2 , то а > b:

Из того что а 2 > b 2 , следует, что а 2 – b 2 > 0, значит, произведение в правой части положительно. Так как a + b > 0, то второй множитель а – b также положителен, т. е. а – b > 0. Следовательно, а > b.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Урок алгебры в 8 классе с углубленным изучением математики Автор разработки: учитель математики МБОУ СШ №10 г.Павлово Леонтьева Светлана Ивановна Ни одна наука так не укрепляет веру в силу человеческого разума, как математика. Гуго Штейнгауз

Приветствую вас на уроке алгебры в 8 классе Уроки №16-17 23.09.16г.

Девиз урока Успешного усвоения учебного материала Математика тем полезна, что она трудна. А.Д. Александров

Отчёт по выполнению ДР в группе

Проверка ДЗ Практика: *** №№69,71,72

Проверка ДЗ Практика: ***№69 а а b b x y z k x,y,z,k - расстояния от точки М до вершин прямоугольника По теореме о сумме длин двух сторон треугольника:

Проверка ДЗ Практика: ***№69 х+y>а, х+z>b, z+k>a, k+y>b В результате сложения этих неравенств получаем: 2(х+у+z+k)>a+b+a+b, По теореме о сумме длин двух сторон треугольника:

Проверка ДЗ Практика: ***№71

Проверка ДЗ Практика: ***№72

КР 23.09.16 Глава1, §6,7 Неравенства с одним неизвестным. Решение неравенств.

Цели урока: -Рассмотреть неравенства с одним неизвестным. -Ввести понятие решения неравенства. - Учиться решать неравенства. -Продолжить формирование культуры устной и письменной математической речи и культуры общения.

Стр.20-21, §5 Прочитайте определение строгого и нестрогого неравенств Работаем с учебником. Выполните устно задания: №№75,76

Работаем с учебником. Стр.21, № 77 Что нужно сначала сделать, чтобы запись задания соответствовала записи задания №75,76

Работаем с учебником. Стр.21, № 77

Работаем с учебником. Стр.21, № 77 × 6

Работаем с учебником. Стр.21, № 77 × 6 Решите самостоятельно 2)

Работаем с учебником. Стр.21, № 77 × 6 ×4

Стр.24, №84 Прочитайте задание и выполните его Работаем с учебником. Проверка

Стр.24, №84 Работаем с учебником. Ответы: 1) х+17 > 18 2) 13 – х 18 2) 13 – х 18 2) 13 – х 18 2) 13 – х 18 2) 13 – х b, ax 18 2) 13 – х

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 608 202 материала в базе

Материал подходит для УМК

§ 5. Строгие и нестрогие неравенства

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

15.04.2018 1825
PPTX 1.8 мбайт
47 скачиваний
Рейтинг: 5 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Леонтьева Светлана Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик

Время чтения: 2 минуты

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

Время чтения: 2 минуты

Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Данная работа используется мной и как "шпаргалка" при обобщении материала по теме "Строгие и нестрогие неравенства" ( с определениями последних) и "Свойства числовых неравенств" (с примерами к каждому свойству и проверочными заданиями); и как проверочный тест по этим же темам в он-лайн режиме с последующей самостоятельной работой на применение основных свойств числовых неравенств.

А. Нивен

в ( а в ) Такие неравенства называются строгими." width="640"

Определение

Действительное число а больше ( меньше ) действительного числа в , если их разность (а-в)- положительное ( отрицательное ) число.

Пишут: а в ( а в )

Такие неравенства называются строгими.

Строгие неравенства

Нестрогие неравенства

а ≥ в означает, что а больше в или равно в , т.е. а-в – неотрицательное число, или что а не меньше в; а-в ≥ 0
а ≤ в означает, что а меньше в или равно в , т.е. а-в – неположительное число, или что а не больше в; а-в ≤ 0

Свойства числовых неравенств

1) если а в, в с, то а с

2) если а в, то а+с в+с

3) если а в и m0 , то а m в m

4) если а в и m , то а m в m

5) если а в, то -а -в

5 · (-2) 3 · (-1), т.е. -10 -3

5) если 5 3, то -5 -3

в, с d , то а + с в + d 7) если а в 0 и с d 0, то ас в d 8) если а в≥0, n є N , то аⁿ вⁿ 9) если а в 0, то 1/а 1/в 6) если 5 3, 4 2, то 5 + 4 3 + 2, т.е. 7 5 7) если 5 3 0 и 4 2 0, то 5 · 4 3 · 2, т.е. 12 6 8) если 5 3≥0, 2є N , то 5 ² 3 ² , т.е. 25 9 9) если 5 3 0, то 1/5 1/3" width="640"

Свойства числовых неравенств

6) если а в, с d , то

а + с в + d

7) если а в 0 и с d 0,

то ас в d

8) если а в≥0, n є N ,

то аⁿ вⁿ

9) если а в 0, то

1/а 1/в

6) если 5 3, 4 2, то

5 + 4 3 + 2, т.е. 7 5

7) если 5 3 0 и 4 2 0,

то 5 · 4 3 · 2, т.е. 12 6

8) если 5 3≥0, 2є N ,

то 5 ² 3 ² , т.е. 25 9

9) если 5 3 0, то 1/5 1/3

-3 · в -3 · 3,8 -11,1 -3в - 11,4 - 11,4 -3в -11,1" width="640"

Известно, что 2,1 а 2,2 и 3,7 в 3,8. Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в) а+в г) а-в д) а ² е) в ³ ж) 1/а

Решение: а) 2а ?

2,1 а 2,2

2 · 2,1 2 а 2

4,2 2а 4,4

Решение: б) -3в ?

3,7 в 3,8

-3 · 3,7 -3 · в -3 · 3,8

-11,1 -3в - 11,4

- 11,4 -3в -11,1

-1 · в -1 · 3,8 -3,7 - в - 3,8 - 3,8 - в -3,7 Сложим почленно неравенства одинакового смысла 2,1 а 2,2 - 3,8 - в -3,7 - 1,7 а - в - 1,5 Решение: в) а+в ? Сложим почленно неравенства одинакового смысла 2,1 3,7 5,8 а+в 6,0" width="640"

Известно, что 2,1 а 2,2 и 3,7 в 3,8. Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в)а+в г) а-в д) а ² е) в ³ ж) 1/а

Решение: г) а-в ?

3,7 в 3,8. -1 · 3,7 -1 · в -1 · 3,8

-3,7 - в - 3,8

- 3,8 - в -3,7

Сложим почленно неравенства одинакового смысла

2,1 а 2,2

- 3,8 - в -3,7

- 1,7 а - в - 1,5

Решение: в) а+в ?

5,8 а+в 6,0

Известно, что 2,1 а 2,2 и 3,7 в 3,8. Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в)а+в г) а-в д) а ² е) в ³ ж) 1/а

Решение: д) а ²

Обе части двойного

неравенства 2,1 а 2,2

положительны, значит

(2,1) ² ( а ) ² (2,2) ²

4,41 а ² 4,84

Решение: е) в ³

Возведем все части неравенства

3,7 в 3,8 в куб

(3,7) ³ (в) ³ (3,8) ³

50,653 (в) ³ 54,872

0; в о и а в, то 1/а 1/в Значит, если 2,1 а 2,2, то 1 : 2,1 1 : а 1 : 2,2 10/21 1 : а 5/11 Т.к. 110/231 1 : а 105/231 105/231 1/а 110/231 5/11 1/а 10/21" width="640"

Известно, что 2,1 а 2,2 и 3,7 в 3,8. Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в)а+в г) а-в д) а ² е) в ³ ж) 1/а

3. Предварительная подготовка учащихся : повторение материалов учебника.

4. Предварительная подготовка учителя : изучение материала урока, написание конспекта, разработка мет. пособий и дидактического материала.

Дидактические основания урока:

· тип урока: обобщающий урок;
· формы учебной работы учащихся: фронтальная работа, работа в группах, индивидуальная работа учащихся.

6. Средства обучения:

Орг. момент.
Повторение опорных знаний.
Работа в группах.
Решение задач с использованием свойств числовых неравенств.
Итог урока.
Домашнее задание.

Содержателъно-деятельностный компонент (ход урока ).

I. Организационный момент урока.

II. Устная работа на уроке.

Трое учеников у доски выполняют индивидуальные задания по карточкам.

Учитель. Незнайка решал неравенства и вот что у него получилось.

(Вывешивается плакат с неравенствами и ответами)

Учащиеся исправляют ошибки, при этом формулируют правила решения неравенства и свойства числовых неравенств, которыми пользуются.

Ответы учащихся у доски.

При ответе ученик должен изложить решение с формулировкой свойства; правило, которое использовал.

Те, кто не работает в группах, индивидуально выполняют самостоятельную работу на карточкам на листочках.

На игру и подведение итогов отводится 10 мин.

IV. Самостоятельная работа для отдельных учащихся.

Изобразить числовой промежуток на координатной прямой и записать соответствующее неравенство.

1) ( -1; 4]; 2) ( - ; 6); 3) [ 8; + ).

Записать промежуток изображенный на координатной прямой и составить соответствующее неравенство.

Изобразить на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству и записать числовой промежуток.

Изобразить числовой промежуток на координатной прямой и записать соответствующее неравенство.

1) ( -1; 4]; 2) ( - ; 6); 3) [ 8; + ).

1) 4 + 12 х > 7 + 13 х;

2) - (2 – 3 х ) + 4 (6 + х ) 1;

√ 3 – 2х ; √ 3 – 2х + √ 1 – х .

Подведение итогов урока.

1 . x Є (-3;5] целые решения:

2. x Є (-∞;-2) x max = □ целое

3. x Є [11;+∞) x min = □ целое

Учитель отмечает учащихся, которые активно работали на уроке. Оценки за урок выставляются после проверки теста.

Читайте также: