Составить опорный конспект по теме корни степени
Обновлено: 04.07.2024
Конспект урока на тему "Корни и степени" подготовлен для студентов 1 курса со среднеспециальным образованием.
Содержимое разработки
Методическая разработка учебного занятия
Тема учебного занятия: Корни натуральной степени из числа и их свойства.
Методическая цель: реализация технологии кооперативного обучения в контексте компетентностно-ориентированного урока.
Образовательные цели: обеспечить в ходе занятия усвоение нового материала – понятия корня натуральной степени и его свойств, применение этих свойств при выполнении заданий.
Развивающие цели: содействовать совершенствованию мыслительных операций (вывод, анализ, обобщение), развитию познавательной активности, памяти, внимания, логического мышления, математически грамотной речи; формированию навыков самостоятельной работы, навыков работы в команде.
Воспитательные цели: содействовать воспитанию положительного отношения к знаниям и процессу обучения, уверенности в своих силах.
Формируемые компетенции:
1) учебно-познавательные компетенции:
- умение логически мыслить;
- умение планировать учебную деятельность с целью достижения прогнозируемого результата;
- осуществление анализа собственной деятельности, способность к самооценке и рефлексии;
- выдвижение гипотез при решении учебно-познавательных проблем;
2) коммуникативные компетенции:
- владение различными видами речевой деятельности (монолог, диалог);
- умения и навыки использования в речи терминологической лексики;
3) информационные компетенции:
- владение навыками работы с различными источниками информации;
- умение ориентироваться в информационных потоках, уметь выделять в них главное, необходимое.
Тип учебного занятия: урок усвоения новых знаний.
Вид учебного занятия: комбинированное.
Технологии обучения: технология кооперативного обучения, информационно-коммуникационные технологии, технологии критического мышления .
Методы и приемы обучения: частично-поисковый, объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, работа в парах.
Оборудование: интерактивная доска, компьютер, мультимедийный проектор, опорные конспекты, оценочные листы.
Структура учебного занятия:
1. Организационный этап. 2 мин.
Постановка цели урока.
Мотивация учебной деятельности.
2. Актуализация опорных знаний и способов действий. Выполнение устных упражнений с применением интерактивной доски. 6 мин.
3. Организация усвоения новых знаний и способов действий. 20 мин.
Студенты совместно с преподавателем формулируют и доказывают свойства корня натуральной степени. Два студента доказывают свойства корня n -й степени, а остальные оформляют доказательство в опорных конспектах.
4. Первичная проверка понимания, осмысления и закрепления нового материала. 12 мин.
Студенты работают в парах, выполняя тренировочные задания, а затем по-очереди выходят к доске с решением и объяснением выполненного задания.
5. Закрепление изученного материала. 40 мин
Фронтальная и самостоятельная работа студентов в группах по выполнению специально подобранных заданий.
6. Подведение итогов. Рефлексия. 7 мин.
Студенты зачитывают синквейны, а затем по листу самоконтроля выставляют себе отметки.
7. Домашнее задание. Инструктирование по выполнению домашнего задания. Постановка творческой задачи. 3 мин.
1. Организационный этап. 2 мин
Вступительное слово преподавателя.
Так давайте же мы постараемся наши новые знания, полученные сегодня, переварить.
Для учета своей деятельности на занятии у вас есть листы самоконтроля, в которых вы должны будете отмечать свои правильные ответы – один балл за каждый правильный ответ. Затем в конце занятия согласно критериям вы выставите себе отметку. В журнал будут выставляться только хорошие отметки.
2. Актуализация опорных знаний и способов действий. 6 мин
Итак, давайте повторим ранее пройденный материал, который нам поможет при изучении нового. Для этого выполним устные упражнения. Сидя в парах, вы можете обсуждать решение. Затем один человек говорит ответ и формулирует словами используемое свойство или правило.
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .
2. Найдите корни уравнения:
а) ; б) ; в) ; г); д) .
- Последнее уравнение мы не можем решить с такой же лёгкостью, как и предыдущие. Какой еще существует способ решения алгебраических уравнений?
- Рассмотрим уравнение . Для его решения в одной системе координат мы строим график функции и прямую . В скольких точках они пересекаются? И корнями данного уравнения являются …
(Их нельзя точно назвать).
- Да по чертежу мы можем только установить, что один корень располагается левее точки -1, а второй – правее точки 1.
(Выслушиваются предложения студентов).
- Они ввели в рассмотрение новый символ , назвали его корнем четвертой степени и с помощью этого символа корни уравнения записали так: , .
- Решая графически уравнение , находим один корень ; решая уравнение , устанавливаем, что уравнение имеет один корень , располагающийся правее точки 1 . И для числа также введено обозначение .
В целом для любого натурального числа n мы можем рассматривать корень соответствующей натуральной степени.
3. Организация усвоения новых знаний и способов действий. 20 мин
- Итак, как вы думаете чему будет посвящено наше сегодняшнее занятие? Давайте сформулируем его тему и цель.
(Студенты формулируют тему занятия и его цель, преподаватель корректирует).
- Давайте вспомним определение корня квадратного.
(Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число в, квадрат которого равен а, т.е. равенство означает, что и .)
- Аналогично дадим определение корня n -й степени из неотрицательного числа.
Корнем n -й степени из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a .
В ОК запишем это определение на языке формул.
- Число a называют подкоренным выражением, n – показателем корня.
- Операцию извлечения корня определяют и для отрицательного подкоренного числа, но только как вы думаете для какого показателя корня.
(Показатель корня должен быть нечетным).
- Корень из такого числа будет являться отрицательным. Запишем определение корня нечетной степени n из отрицательного числа а на языке формул.
Вывод: корень четной степени имеет смысл только для неотрицательного подкоренного выражения; корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного выражения.
Опорный конспект по теме " Корни n - ой степени и их свойства" для самостоятельного изучения темы.
Корни натуральной степени из числа и их свойства.
Определение. Корнем n-ной степени из числа a называется такое число, n-я степень которого равна a, то есть = b, т.к. = a
Если n - нечетное число, то существует единственный корень n-й степени из любого числа (положительного или отрицательного).
Например, = – 2,
Если n - четное число, то существует два корня n-й степени из любого положительного числа. Например, корень четвертой степени из числа 625 - это числа – 5 и 5. Так как ,
Корень четной степени из отрицательного числа не существует. Например,
Определение. Арифметическим корнем n-ной степени из числа а называют неотрицательное число, n-я степень которого равна a.
Решение уравнения х n = a
n – нечетное
При любых значениях a уравнение имеет один корень
n – четное
Если a 0, то уравнение имеет два корня
= ; =
Если a 0 , то уравнение имеет один корень x = 0
Если a 0 , то уравнение не имеет корней
Основные свойства арифметических корней n-ной степени
Для любого натурального n, целого k и любых неотрицательных чисел a и b выполнены равенства:
6 . Для любых чисел a и b , таких, что , выполняется неравенство
Примеры с решениями:
1. Решите уравнения
2. Найдите значения числового выражения
Решите самостоятельно:
2) Решите уравнения
3) Найдите значение числового выражения
4) Найдите значение выражения
Воспользуйтесь формулой сокращенного умножения:
(a−b)·(a + b) = a 2 − b 2
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Тема: Корни и степени. Корни натуральной степени из числа их свойства.
Цель урока: повторить и систематизировать знания учащихся о квадратном корне; сформировать у учащихся понятие корня степени n . Формировать умение учащихся работать с корнями четной и нечетной степеней.
Определим понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).
1. По определению: .
2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:
3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: .
Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя раз:
Степень с целым показателем
Если показателем степени является целое положительное число:
, n > 0
Возведение в нулевую степень :
, a ≠ 0
Если показателем степени является целое отрицательное число:
, a ≠ 0
Примечание: выражение не определено, в случае n ≤ 0 . Если n > 0 , то
Степень с рациональным показателем
§ n — натуральное число;
§ m — целое число;
Свойства степеней
Возведение степени в степень
Примеры для решения у доски:
С понятием квадратного корня из числа а вы уже знакомы: это такое число, квадрат которого равен а.
Аналогично определяется корень -й степени из числа а, где– произвольное натуральное число.
А теперь давайте решим такое уравнение:
Итак, это уравнение мы можем переписать в таком виде: . Или .
Тогда наше уравнение равносильно совокупности уравнений: .
Понятно, что уравнение не имеет решения на множестве действительных чисел. Значит, остаётся решить уравнение
Итак, наше уравнение имеет два действительных корня 5 и –5. Их называют корнями четвёртой степени из числа 625. В свою очередь, положительный корень (число 5) называют арифметическим корнем четвёртой степени из числа 625. Обозначают его так: . Таким образом, .
Арифметическим корнем натуральной степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, -я степень которого равна а.
Вам хорошо известен такой частный случай арифметического корня -й степени, как корень второй степени, или квадратный корень из числа, то есть когда
В этом случае показатель корня не пишут, а пишут просто.
Ещё одним частным случаем является мы привыкли называть его корнем кубическим.
Действие, посредством которого отыскивается корень -й степени, называется извлечением корня -й степени. Это действие является обратным действию возведения в -й степень.
Равенство при верно, когда выполняются два условия:; второе —.
Видим, что оба условия выполняются. Значит верно.
Из определения арифметического корня следует, что если, то.
А теперь давайте решим следующие уравнения: и . Итак, первое уравнение
Перепишем это уравнение в виде: .
Преобразуем наше уравнение, применяя формулу разности кубов. Имеем:
Перейдём к уравнению 2:
Перепишем это уравнение в виде: .
Преобразуем наше уравнение, применяя формулу разности кубов. Имеем:.
Так как , то число –4 является корнем из числа –64. Однако это число не является арифметическим корнем по определению. Число называют корнем кубическим из числа и обозначают так:
Вообще, для любого нечётного натурального числа, уравнение, при имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень обозначается, как и арифметический корень, символом.
И называют его корнем нечётной степени из отрицательного числа.
Запомните! При нечётном существует, и притом только один. Для корней нечётной степени справедливо равенство
Корень нечётной степени из отрицательного числа а связан с арифметическим корнем из числа следующим равенством:
Арифметический корень -й степени обладает несколькими свойствами. Перечислим их. Итак, при условии, что, , а, и – натуральные числа, причём, , справедливы равенства:
1. Корень n-степени (n=2,3,4,5, …) из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней n-степени из этих чисел:
2. Чтобы извлечь корень из дроби, нужно извлечь корень из числителя и знаменателя отдельно и первый результат разделить на второй
3. Если a≥0, n=2,3,4,5,… и m – любое натуральное число, то справедливо равенство:
4. Если a≥0, n и k - натуральные числа, большие 1, то справедливо равенство: .
5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то значение корня не изменится: .
Обратите внимание, что в первом свойстве число может также быть равным ; в третьем свойстве число может быть любым целым, если .
Докажем справедливость этих свойств. Итак, первое свойство.
По определению арифметического корня – это такое неотрицательное число, -я степень которого равна произведению .
Конспект для обучающихся 10-11 классов. Соотвествует ФГОС.
Конспект урока
Тема: Корень n-ой степени и его свойства.
Время урока: 45 минут
Тип урока:
Комбинированный (систематизация и обобщение, усвоение новых знаний, проверка и оценка знаний).
Цель урока:
Рассмотреть понятие корня n-oй степени, понятие арифметического корня n-й степени из числа a, фoрмирование навыков сознательного и рационального использования свoйств арифметического корня -й степени при решении задач.
Задачи урока:
1. Образовательные: актуализировать необходимые знания и умения. Рассмотреть понятие кoрня n-ой степени, понятие арифметического корня n-й степени из числа a и свойства арифметического корня -й степени.
2. Развивающие: развивать самостоятельность учащихся при доказательстве свойств арифметического корня n-ной степени, опираясь на свойства степеней с натуральным показателем и определение корня -ной степени. Стимулировать вып0лнение практических упражнений, оценивая труд учащихся.
3. Воспитательные: фoрмирoвание активной жизненной пoзиции, честности и порядочности, воспитание у учащихся умения работать в коллективе.
Оборудование:
Формы организации учебной деятельности:
Индивидуальная, диалог, работа с текстом слайда, работа с учебником.
Методы:
Наглядный, словесный, условно-символический.
План урока
Актуализация знаний: систематизация и обобщение, усвоение новых знаний (15 мин.).
Применение изученного материала при решении задач: установление правильности и осознанности усвоения нового учебного материала; выявление пробелов и неверных представлений и их коррекция (20 мин.).
Подведение итогов: Дать анализ и оценку успешности достижения цели и наметить перспективу последующей работы (5 мин.).
Домашнее задание: Обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего задания (2 мин.).
Ход урока
Организационно-мотивационный:
Актуализация знаний:
Повторение опорных знаний (систематизация и обобщение):
Класс делится на три группы.
Деятельность учителя: задает вопросы:
Определение арифметического квадратного корня.
Свойства арифметического квадратного корня.
Свойства степени с натуральным показателем.
Примеры с заданиями даются на слайде:
Деятельность учащихся в группах:
-отвечают на вопросы,
- записывают свойства на листе,
- проверяют правильность по слайду,
Усвоение новых знаний:
Деятельность учителя: Вводятся новые понятия:
1.Определение. Корнем n-ной степени из числа a называется такое число, n-я степень которого равна a, то есть
Если n - нечетное число, то существует единственный корень n-й степени из любого числа (положительного или отрицательного). Например, =-2,
Если n - четное число, то существует два корня n-й степени из любого положительного числа. Например, корень четвертой степени из числа 625- это числа -5 и 5. Так как ,
Корень четной степени из отрицательного числа не существует. Например,
2.Определение. Арифметическим корнем n-ной степени из числа а называют неотрицательное число, n-я степень которого равна a.
Например, = 9 т.к.
т.к.
т.к.
= - 3 т.к.
т.к.
3.Основные свойства арифметических корней n-ной степени.
Для любого натурального , целого и любых неотрицательных чисел и выполнены равенства:
1. =
2. = (
3. =
4. =
5. = (если
6. Для любых чисел , таких, что , выполняется неравенство
4.Примеры с заданиями даются на слайде:
1. Решите уравнения
а)
Читайте также: