Сочетания и их свойства 11 класс алимов конспект урока

Обновлено: 02.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

II . Проверка домашнего задания.

(самостоятельная работа по парам, на карточках)

Определить вид комбинаторной задачи и дать определение.

1 пара : Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

(Р n = n ! 3!=6. Перестановки)

2 пара: . У нас имеется 5 книг, у нас всего одна полка, на ней вмещается лишь 3 книги . Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?

(А 3 ₅ =5!/(5-3)!=5!/2!=3*4*5=60. Размещение)

3 пара: Вычислить: №1.58 (г,д) Размещение.

г) 840, д) 2520

III . Изложение новой темы:

ЗАДАЧА: Сколько различных букетов из трёх цветков можно составить из пяти георгинов разного цвета? (2 слайд)

Составляем букет. С розовым (6), с белым (3), с голубым (1). ИТОГО: 6 букетов.

Мы с вами составляли сочетания цветов. Такой вид задач называется СОЧЕТАНИЕМ. (3 слайд) Определение.

Так же справедливы формулы: Свойства сочетания (слайд 4). (Вывод формул рассмотреть самостоятельно)

(Слайд 5) Ответ: 120.

(Слайд 6) Ответ: 495

(Слайд 7) Ответ: 210

IV . Самостоятельная работа:

(Слайд 8) Решает каждый. Проверка на слайде. оценивание по 1 баллу.

V . Решение задач из ЕГЭ с взаимопроверкой

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1) 30 2) 100 3) 120 4) 5

1) 128 2) 495 3) 36 4) 48

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

1) 10 2) 60 3) 20 4) 30

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1) 100 2) 30 3) 5 4) 120

2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

1) 3 2) 6 3) 2 4) 1

3. Сколькими способами из 8 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 4 различных уроков.

1) 10000 2) 1680 3) 32 4) 1600

1. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?

1) 24 2) 4 3) 16 4) 20

2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

1) 30 2) 21 3) 14 4) 7

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

1) 22 2) 11 3) 150 4) 110

1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

1) 5 2) 120 3) 25 4) 100

2. Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх для участия в праздничном концерте?

1) 455 2) 45 3) 475 4) 18

3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

1) 600 2) 100 3) 300 4)720

Проверили. Оценили друг друга.

Я хочу предложить вам памятки. (слайд 9)

Перестановки

Порядок имеет значение

Порядок не имеет значения

2) Проблемный вопрос:

Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни?
Решение комбинаторных задач развивает творческие способности, помогает при решении олимпиадных задач, задач из ГИА, ЕГЭ.

Области применения комбинаторики: (слайд 10)

-учебные заведения ( составление расписаний)
-сфера общественного питания (составление меню)
-лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)
-спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)
-агротехника (размещение посевов на нескольких полях)
-география (раскраска карт)
-биология (расшифровка кода ДНК)
-химия (анализ возможных связей между химическими элементами)
-экономика (анализ вариантов купли-продажи акций) азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)
-криптография (разработка методов шифрования)
-доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)
-военное дело (расположение подразделений)

Необыкновенно популярной головоломкой стал кубик Рубика, изобретенный в 1975 году преподавателем архитектуры из Будапешта Эрне Рубиком для развития пространственного воображения у студентов.
Лучшее время, показанное на чемпионате мира 1982 г. по скоростной сборке кубика Рубика, составило всего 22,95 секунды.
Кубик Рубика служит не только развлечением, но и прекрасным наглядным пособием по комбинаторике.

Комбинаторика повсюду.
Комбинаторика везде.
Комбинаторика вокруг нас.

Спасибо за урок!

3 пара: Вычислить: №1.58 (г,д)

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1) 30 2) 100 3) 120 4) 5

1) 128 2) 495 3) 36 4) 48

1) 10 2) 60 3) 20 4) 30

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1) 100 2) 30 3) 5 4) 120

1) 3 2) 6 3) 2 4) 1

3. Сколькими способами из 8 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 4 различных уроков.

1) 10000 2) 1680 3) 32 4) 1600

1. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?

1) 24 2) 4 3) 16 4) 20

2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

1) 30 2) 21 3) 14 4) 7

1) 22 2) 11 3) 150 4) 110

1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

1) 5 2) 120 3) 25 4) 100

2. Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх для участия в праздничном концерте?

1) 455 2) 45 3) 475 4) 18

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА

Алгебра и начала математического анализа

Составила учитель математики

Яковлева Наталия Никитична

Тема урока: Сочетания

Цели и задачи урока:

Цель: сформировать представление о сочетаниях и их свойствах, формуле подсчета числа сочетаний без повторений;

Задачи: - познакомиться с понятием сочетания; - рассмотреть правила подсчета числа сочетаний из n-элементов по m без повторений;

Узнаем, научимся, сможем

на уроке мы узнаем : что такое сочетание; мы научимся : решать комбинаторные задачи, сводящиеся к подсчету числа сочетаний из n по m э лементов;

Задание на мотивацию:

Задача: Необходимо составить различные пары из трёх разных видов геометрических фигур (треугольника, квадрата и круга). Будет ли различаться их количество при условии учета порядка размещения и без него?

Даны три геометрических фигуры : треугольник, квадрат и круг.

Вопрос 1: Сколько различных пар можно составить из этих фигур с учетом их порядка?

Вопрос 2: Сколько различных пар можно составить из этих фигур без учета их порядка?

Изучение нового материала

Конспект урока

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие сочетания без повторения и их свойства;

2) правила подсчета числа сочетаний из n-элементов по m без повторений;

Глоссарий по теме:

Сочетаниями из n элементов по m в каждом (m ≤ n) называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из данных n различных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

Число всевозможных сочетаний из n различных элементов по m элементов обозначают

Формула для подсчёта числа сочетаний:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сочетаниями из n элементов по m в каждом ( m ≤ n ) называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из данных n различных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

Иногда такие сочетания называют сочетаниями без повторений.

Число всевозможных сочетаний из из n элементов по m элементов обозначают

Формула для подсчёта числа сочетаний:

Используя данную формулу можно отметить основные свойства сочетаний.

Простейшие свойства сочетаний:

Доказательства свойства сочетаний

В вазе лежат двенадцать конфет, четыре из которых шоколадные, а остальные карамель. Вы хотите угоститься, выбрав две шоколадные и три карамельные конфеты. Сколькими способами вы можете это сделать?

Решение : Мы имеем два события. Это выбор шоколадных и выбор карамельных конфет. Порядок конфет не важен. Поэтому мы можем использовать формулу сочетания для каждого из событий. Так, как шоколадных конфет всего четыре, а выбрать мы хотим две, то это можно сделать способами .

Теперь посчитаем количество выбора карамельных конфет. Их общее количество в вазе 12-4=8, а выбрать мы хотим три. Рассчитаем сочетание из восьми по три.

События выбора разных видов конфет между собой независимы, поэтому по правилу умножения получаем

Собрание из 25 человек выбирает председателя, секретаря и трех членов комиссии. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Пусть событие А – выбор председателя и секретаря. Председателемможет быть любой из участников собрания – 25.

Если председатель выбран, секретарем может стать любой из оставшихся 24 человек.

По правилу умножения получаем, что выбор председателя и секретаря осуществлялся 25•24=600 способами.

Необходимо запомнить. ВАЖНО!

Сочетаниями из n элементов по m в каждом (m≤n) называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из данных n различных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

Иногда такие сочетания называют сочетаниями без повторений .

Число всевозможных сочетаний из n различных элементов по m элементов обозначают

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, ответим на несколько вопросов. Затем вспомним, какие соединения называют размещениями из m элементов по n элементов.

Рассмотрим задачу, при решении которой будут рассматриваться соединения, называемые сочетаниями.

Выведем формулу для подсчёта числа сочетаний из m различных элементов по n элементов в каждом, которой будем пользоваться при решении практических задач.

Затем рассмотрим два основных свойства сочетаний, которые в ряде случаев упрощают вычисления при решении задач. Одно из свойств называется рекуррентным. Приведём доказательство каждого свойства.

Попробуем выполнить несколько заданий, который помогут вам закрепить полученные знания на практике. Решение этих задач позволит не только запомнить формулу для нахождения числа сочетаний, но и научит применять данную формулу. Знание свойств сочетаний, с которыми вы познакомились выше, позволит упростить решение некоторых задач.

В завешение будут подведены итоги занятия. Итак, на этом уроке мы вспомнили, какие соединения называют размещениями. Выяснили, какие соединения называют сочетаниями. Вывели формулу для подсчёта числа сочетаний. Познакомились с основными свойствами сочетаний.

Число всевозможных сочетаний из n различных элементов по m элементов обозначают

Формула для подсчёта числа сочетаний:

Бином Ньютона – формула разложения произвольной натуральной степени двучлена в многочлен.

Числа являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сочетаниями из n элементов по m в каждом (m ≤ n ) называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из данных n различных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

Иногда такие сочетания называют сочетаниями без повторений.

Число всевозможных сочетаний из из n элементов по m элементов обозначают

Формула для подсчёта числа сочетаний:

Используя данную формулу можно отметить основные свойства сочетаний.

Простейшие свойства сочетаний:

Доказательства свойства сочетаний

При возведении суммы или разности двух чисел во вторую или третью степень мы пользовались формулами сокращенного умножения, которые являются частным случаем бинома Ньютона.

Бином Ньютона – формула разложения произвольной натуральной степени двучлена в многочлен.

Числа являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:

Для более простого подсчета коэффициентов Бинома Ньютона для невысоких степеней удобно пользоваться треугольником Паскаля:

По бокам в каждой строчки имеется коэффициент, равный единице. Все средние коэффициенты считаются, как сумма верхних, которые находятся над ними.

Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.

Не трудно заметить, что строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Это еще одно замечательное свойство треугольника Паскаля

Историческая справка

А при чем же здесь бином Ньютона и биномиальные коэффициенты? Формула

была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени произвольное рациональное число (возможно, отрицательное).

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Мы имеем два события. Это выбор шоколадных и выбор карамельных конфет. Порядок конфет не важен. Поэтому мы можем использовать формулу сочетания для каждого из событий. Так, как шоколадных конфет всего четыре, а выбрать мы хотим две, то это можно сделать способами .

События выбора разных видов конфет между собой независимы, поэтому по правилу умножения получаем

Представить разложение двучлена в n степени в виде многочлена, где n=0, 1, 2, …,5

Первые четыре разложения мы хорошо умеем делать, используя формулы квадрата и куба разности.

А для представления бинома четвертой и пятой степени воспользуемся треугольником Паскаля.

Читайте также: