Сфера вписанная в цилиндрическую поверхность конспект
Обновлено: 02.07.2024
Сфера, вписанная в цилиндр Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей). При.
Похожие презентации
Презентация на тему: " Сфера, вписанная в цилиндр Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей). При." — Транскрипт:
1 Сфера, вписанная в цилиндр Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом цилиндр называется описанным около сферы. В цилиндр можно вписать сферу, если высота цилиндра равна диаметру его основания. Ее центром будет точка O, являющаяся серединой отрезка, соединяющего центры оснований O 1 и O 2 цилиндра. Радиус сферы R будет равен радиусу окружности основания цилиндра.
2 Упражнение 1 В цилиндр высоты 2 вписана сфера. Найдите ее радиус. Ответ: 1.
3 Упражнение 2 В цилиндр вписана сфера радиуса 1. Найдите высоту цилиндра. Ответ: 2.
4 Упражнение 3 Радиус основания цилиндра равен 2. Какой должна быть высота цилиндра, чтобы в него можно было вписать сферу? Ответ: 4.
5 Упражнение 4 Высота цилиндра равна 2. Каким должен быть радиус основания цилиндра, чтобы в него можно было вписать сферу? Ответ: 1.
6 Упражнение 5 Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 1 и 2. Можно ли в этот цилиндр вписать сферу? Ответ: Нет.
7 Упражнение 6 Осевым сечением цилиндра является квадрат. Можно ли в этот цилиндр вписать сферу? Ответ: Да.
8 Упражнение 7 Можно ли вписать сферу в цилиндр, осевым сечением которого является ромб? Ответ: Нет.
9 Упражнение 8 Можно ли вписать сферу в наклонный цилиндр? Ответ: Нет.
10 Упражнение 9 Площадь осевого сечения цилиндра, в который вписана сфера, равна 4 см 2. Найдите диаметр сферы. Ответ: 2 см.
11 Упражнение 10 Периметр осевого сечения цилиндра, в который вписана сфера, равен 8 см. Найдите радиус сферы. Ответ: 1 см.
12 Упражнение 11 Какой наибольший радиус может быть у сферы, помещающейся в цилиндр, радиус основания которого равен 2, и высота 1. Ответ: 0,5 см.
13 Упражнение 12 Можно ли сферу радиуса 1 поместить в наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, а боковое ребро равно 2 и наклонено к плоскости основания под углом 60 о. Ответ: Нет.
14 Упражнение 13 Какой наибольший радиус может быть у сферы, помещающейся в наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, а боковое ребро равно 2 и наклонено к плоскости основания под углом 60 о. Ответ:
15 Сфера, описанная около цилиндра Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около цилиндра. Около любого цилиндра можно описать сферу. Ее центром будет точка O, являющаяся серединой отрезка, соединяющего центры оснований O 1 и O 2 цилиндра. Радиус сферы R вычисляется по формуле где h – высота цилиндра, r – радиус окружности основания.
16 Упражнение 1 Диагональ осевого сечения цилиндра равна 2. Найдите радиус сферы, описанной около этого цилиндра. Ответ: 1.
17 Упражнение 2 Около цилиндра высоты 2 и радиуса основания 1 описана сфера. Найдите ее радиус. Ответ:
18 Упражнение 3 Около цилиндра, радиус основания которого равен 1, описана сфера радиуса 2. Найдите высоту цилиндра. Ответ:
19 Упражнение 4 Около цилиндра, высота которого равна 1, описана сфера радиуса 1. Найдите радиус основания цилиндра. Ответ:
20 Упражнение 5 Найдите наименьший радиус сферы, в которую помещается наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, образующая равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 60 о. Ответ:
21 Цилиндр, вписанный в призму Цилиндр называется вписанным в призму, если его основания вписаны в основания цилиндра. При этом, призма называется описанной около цилиндра В призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда в ее основание можно вписать окружность. Радиус основания цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы. Высота цилиндра равна высоте призмы.
22 Упражнение 1 Можно ли вписать цилиндр в наклонную призму? Ответ: Да, наклонный цилиндр.
23 Упражнение 2 В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в эту призму. Ответ:
24 Упражнение 3 В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в эту призму. Ответ: 2.
25 Упражнение 4 Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в единичный куб. Ответ:
26 Упражнение 5 В правильную шестиугольную призму, со стороной основания 1, вписан цилиндр. Найдите радиус окружности основания этого цилиндра. Ответ:
27 Цилиндр, описанный около призмы Цилиндр называется описанным около призмы, если его основания описаны около оснований цилиндра. При этом, призма называется вписанной в цилиндр Около призмы можно описать цилиндр, если около ее оснований можно описать окружности. Высота цилиндра равна высоте призмы. радиусу окружности, описанной около основания призмы. Радиус основания цилиндра равен
28 Упражнение 1 Можно ли описать цилиндр около наклонной призмы? Ответ: Да, наклонный цилиндр.
29 Упражнение 2 В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы. Ответ:
30 Упражнение 3 В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы. Ответ: 5.
31 Упражнение 4 В основании прямой призмы квадрат со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы. Ответ:
32 Упражнение 5 Около правильной шестиугольной призмы, со стороной основания 1, описан цилиндр. Найдите радиус окружности основания этого цилиндра. Ответ: 1.
33 Упражнение 6 Около единичного тетраэдра описан цилиндр так, что вершины тетраэдра принадлежат окружностям оснований цилиндра. Найдите радиус основания и высоту цилиндра. Ответ:
34 Упражнение 7 Около единичного октаэдра описан цилиндр так, что две противоположные вершины октаэдра находятся в центрах оснований цилиндра, а остальные вершины принадлежат боковой поверхности цилиндра. Найдите радиус основания и высоту цилиндра. Ответ:
Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается оснований цилиндра и его боковой поверхности.
Сфера называется вписанной в конус, если она касается его основания и боковой поверхности.
Сфера называется вписанной в усеченный конус, если она касается оснований усеченного конуса и его боковой поверхности.
Прямая, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной прямой к сфере, а их общая точка – точкой касания.
Теорема (свойство касательной прямой):
Касательная прямая перпендикулярна радиусу сферы
проведенному к точке касания
Теорема (признак касательной прямой):
Если радиус сферы перпендикулярен к прямой, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта прямая является касательной к сфере.
Отрезки касательных к сфере, проведенных из одной точки, равны.
Цилиндром, вписанным в сферу, называют такой цилиндр, окружности оснований которого лежат на сфере.
Если цилиндр вписан в сферу, то сферу называют описанной около цилиндра.
Конусом, вписанным в сферу, называют такой конус, окружность оснований которого и вершина лежат на сфере.
Если конус вписан в сферу, то сферу называют описанной около конуса.
Усеченным конусом, вписанным в сферу, называют такой усеченный конус, окружности оснований которого лежат на сфере.
Если усеченный конус вписан в сферу, то сферу называют описанной около усеченного конуса
Равносторонним называется цилиндр, высота которого равна диаметру основания
Равносторонним называется конус, образующая которого равна диаметру основания
Основная литература:
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-147.
Дополнительная литература:
Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Определение
Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается оснований цилиндра и его боковой поверхности.
O и O1 - точки касания сферой оснований цилиндра
Окружность, проходящая через точки C, D и E - окружность, по которой сфера касается боковой поверхности цилиндра
Осевое сечение цилиндра с вписанной в него сферой - квадрат с вписанной в него окружностью
Определение
Сфера называется вписанной в конус, если она касается его основания и боковой поверхности.
O - точка касания сферой основания конуса
Окружность, проходящая через точки C, D и E - окружность, по которой сфера касается боковой поверхности конуса
Осевое сечение конуса с вписанной в него сферой - равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью
Определение
Сфера называется вписанной в усеченный конус, если она касается оснований усеченного конуса и его боковой поверхности.
O и O1 - точки касания сферой оснований усеченного конуса.
Окружность, проходящая через точки C, D и E - окружность, по которой сфера касается боковой поверхности усеченного конуса
Осевое сечение усеченного конуса с вписанной в него сферой - равнобедренная трапеция с вписанной в нее окружностью
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ СФЕРЫ И ПРЯМОЙ
dR, d=OH
Прямая является секущей.
MC - хорда, OHMC
dR, d=OH
Прямая не имеет со сферой общих точек
OH
Прямая касается сферы.
Определение
Прямая, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной прямой к сфере, а их общая точка – точкой касания.
Теорема (свойство касательной прямой):
Касательная прямая перпендикулярна радиусу сферы
проведенному к точке касания
Теорема (признак касательной прямой):
Если радиус сферы перпендикулярен к прямой, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта прямая является касательной к сфере.
Отрезки касательных к сфере, проведенных из одной точки, равны.
Определение
Цилиндром, вписанным в сферу, называют такой цилиндр, окружности оснований которого лежат на сфере.
Если цилиндр вписан в сферу, то сферу называют описанной около цилиндра.
Определение
Конусом, вписанным в сферу, называют такой конус, окружность оснований которого и вершина лежат на сфере Если конус вписан в сферу, то сферу называют описанной около конуса
Определение
Усеченным конусом, вписанным в сферу, называют такой усеченный конус, окружности оснований которого лежат на сфере.
Если усеченный конус вписан в сферу, то сферу называют описанной около усеченного конуса
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
1. Конус с углом 120 0 при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписан в сферу радиуса R. Найдите Sсф, если:
1) r=3
3) r=2
Сделаем чертеж: осевое сечение конуса с описанной сферой.
Ридиус сферы - это отрезок Осф А.
Так как АСВ=120°, то АСОсф=60°. ∆АСОсф равносторонний, поэтому Осф А=АС.
Из треугольника АСОкон найдем АС.
.
То есть R=.
Площадь сферы равна S=4πR 2 =
Теперь найдем значение площади сферы для каждого значения r.
S=
3) r=2
S=
2. Усеченный конус вписан в сферу. Найдите площадь шарового слоя, ограниченного основаниями конуса, если радиусы усеченного конуса равны 4 и 10, а образующая равна 10.
Сделаем чертеж: осевое сечение усеченного конуса, на котором обозначены радиусы описанной сферы.
Площадь шарового слоя равна S=2πRh, где h - его высота, R - радиус сферы.
Фактически для ответа на вопрос задачи требуется найти высоту трапеции и радиус описанной около трапеции окружности.
По условия задачи:
Найдем высоту трапеции из прямоугольного треугольника АВН.
Так как трапеция равнобедренная, то АН=6. Поэтому ВН=8.
Теперь нужно найти R. Радиус описанной около трапеции можно найти как радиус окружности, описанной около треугольника ABD.
Найдем радиус описанной окружности, используя формул площади треугольника:
.
Для того чтобы использовать эти формулы, нам нужно найти длину стороны BD.
Из треугольника BDH длина BD=2.
Тогда подставим все значения в равенство: .
.
Отсюда R= .
Теперь найдем искомую площадь:
S=2πRh= .
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Описание презентации по отдельным слайдам:
Сфера, вписанная в цилиндр
Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом цилиндр называется описанным около сферы.
В цилиндр можно вписать сферу, если высота цилиндра равна
диаметру его основания.
Ее центром будет точка O, являющаяся
серединой отрезка, соединяющего центры оснований O1 и O2 цилиндра.
Радиус сферы R будет равен
радиусу окружности основания цилиндра.
Упражнение 1
В цилиндр высоты 2 вписана сфера. Найдите ее радиус.
Ответ: 1.
Упражнение 2
В цилиндр вписана сфера радиуса 1. Найдите высоту цилиндра.
Ответ: 2.
Упражнение 3
Радиус основания цилиндра равен 2. Какой должна быть высота цилиндра, чтобы в него можно было вписать сферу?
Ответ: 4.
Упражнение 4
Высота цилиндра равна 2. Каким должен быть радиус основания цилиндра, чтобы в него можно было вписать сферу?
Ответ: 1.
Упражнение 5
Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 1 и 2. Можно ли в этот цилиндр вписать сферу?
Ответ: Нет.
Упражнение 6
Осевым сечением цилиндра является квадрат. Можно ли в этот цилиндр вписать сферу?
Ответ: Да.
Упражнение 7
Можно ли вписать сферу в цилиндр, осевым сечением которого является ромб?
Ответ: Нет.
Упражнение 8
Можно ли вписать сферу в наклонный цилиндр?
Ответ: Нет.
Упражнение 9
Площадь осевого сечения цилиндра, в который вписана сфера, равна 4 см2. Найдите диаметр сферы.
Ответ: 2 см.
Упражнение 10
Периметр осевого сечения цилиндра, в который вписана сфера, равен 8 см. Найдите радиус сферы.
Ответ: 1 см.
Упражнение 11
Какой наибольший радиус может быть у сферы, помещающейся в цилиндр, радиус основания которого равен 2, и высота 1.
Ответ: 0,5 см.
Упражнение 12
Можно ли сферу радиуса 1 поместить в наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, а боковое ребро равно 2 и наклонено к плоскости основания под углом 60о.
Ответ: Нет.
Упражнение 13
Какой наибольший радиус может быть у сферы, помещающейся в наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, а боковое ребро равно 2 и наклонено к плоскости основания под углом 60о.
Ответ:
Сфера, описанная около цилиндра
Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около цилиндра.
Около любого цилиндра можно описать сферу. Ее центром будет точка O, являющаяся серединой отрезка, соединяющего центры оснований O1 и O2 цилиндра.
Радиус сферы R вычисляется по формуле
где h – высота цилиндра, r – радиус окружности основания.
Упражнение 1
Диагональ осевого сечения цилиндра равна 2. Найдите радиус сферы, описанной около этого цилиндра.
Ответ: 1.
Упражнение 2
Около цилиндра высоты 2 и радиуса основания 1 описана сфера. Найдите ее радиус.
Ответ:
Упражнение 3
Около цилиндра, радиус основания которого равен 1, описана сфера радиуса 2. Найдите высоту цилиндра.
Ответ:
Упражнение 4
Около цилиндра, высота которого равна 1, описана сфера радиуса 1. Найдите радиус основания цилиндра.
Ответ:
Упражнение 5
Найдите наименьший радиус сферы, в которую помещается наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, образующая равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 60о.
Ответ:
Цилиндр, вписанный в призму
Цилиндр называется вписанным в призму, если его основания вписаны в основания цилиндра. При этом, призма называется описанной около цилиндра
В призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда
в ее основание можно вписать окружность.
Радиус основания цилиндра равен
радиусу окружности, вписанной в основание призмы.
Высота цилиндра равна
высоте призмы.
Упражнение 1
Можно ли вписать цилиндр в наклонную призму?
Ответ: Да, наклонный цилиндр.
Упражнение 2
В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в эту призму.
Ответ:
Упражнение 3
В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в эту призму.
Ответ: 2.
Упражнение 4
Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в единичный куб.
Ответ:
Упражнение 5
В правильную шестиугольную призму, со стороной основания 1, вписан цилиндр. Найдите радиус окружности основания этого цилиндра.
Ответ:
Цилиндр, описанный около призмы
Цилиндр называется описанным около призмы, если его основания описаны около оснований цилиндра. При этом, призма называется вписанной в цилиндр
Около призмы можно описать цилиндр, если около ее оснований можно описать окружности.
Высота цилиндра равна
высоте призмы.
радиусу окружности, описанной около основания призмы.
Радиус основания цилиндра равен
Упражнение 1
Можно ли описать цилиндр около наклонной призмы?
Ответ: Да, наклонный цилиндр.
Упражнение 2
В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.
Ответ:
Упражнение 3
В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.
Ответ: 5.
Упражнение 4
В основании прямой призмы квадрат со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.
Ответ:
Упражнение 5
Около правильной шестиугольной призмы, со стороной основания 1, описан цилиндр. Найдите радиус окружности основания этого цилиндра.
Ответ: 1.
Упражнение 6
Около единичного тетраэдра описан цилиндр так, что вершины тетраэдра принадлежат окружностям оснований цилиндра. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.
Ответ:
Упражнение 7
Около единичного октаэдра описан цилиндр так, что две противоположные вершины октаэдра находятся в центрах оснований цилиндра, а остальные вершины принадлежат боковой поверхности цилиндра. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.
Ответ:
- подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- по всем предметам 1-11 классов
Курс повышения квалификации
Охрана труда
- Сейчас обучается 132 человека из 45 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Охрана труда
Курс профессиональной переподготовки
Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе
- ЗП до 91 000 руб.
- Гибкий график
- Удаленная работа
Дистанционные курсы для педагогов
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 609 277 материалов в базе
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
- 23.08.2020 1302
- PPTX 975.5 кбайт
- 158 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Станиславчик Мария Альбертовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
40%
- Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- Для учеников 1-11 классов
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи
Время чтения: 1 минута
Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса
Время чтения: 1 минута
В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной
Время чтения: 0 минут
Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России
Время чтения: 1 минута
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере
Определение 1. Прямую называют касательной к сфере (прямой, касающейся сферы), если эта прямая имеет со сферой единственную общую точку. Общую точку касательной прямой и сферы называют точкой касания (рис. 1).
Прямая касается сферы тогда и только тогда, когда эта прямая проходит через точку касания и перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в точку касания.
Множество всех прямых, касающихся сферы в некоторой точке, образуют касательную плоскость к сфере в этой точке (рис.2).
Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем только одну.
Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем плоскость перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в эту точку.
Общую точку сферы и ее касательной плоскости называют точкой касания .
Сфера, вписанная в цилиндр
Определение 2. Сферой, вписанной в цилиндр, называют такую сферу, которая касается плоскостей обоих оснований цилиндра, а каждая образующая цилиндра является касательной к сфере (рис. 3).
Определение 3. Если сфера вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около сферы .
Из рисунка 3 видно, что справедливы следующие два утверждения.
Утверждение 1. Около любой сферы можно описать цилиндр.
Утверждение 2. В цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда высота цилиндра равна диаметру его основания.
Замечание. В том случае, когда в цилиндр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы равняется радиусу основания цилиндра.
Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
Задача. Найти отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар.
Читайте также: