Сечение куба призмы пирамиды конспект

Обновлено: 03.07.2024

Если плоскость пересекает три ребра куба, выходящих из одной вершины, то в сечении получается треугольник. При этом если отсекаемые плоскостью отрезки ребер равны, то в сечении получается равносторонний треугольник, если равны два отрезка из трех, то получается равнобедренный треугольник, наконец, если все три отрезка различны, то в сечении получается разносторонний треугольник.

В сечении куба плоскостью не могут получаться прямоугольный или тупоугольный треугольники.

Выясним, какие четырехугольники могут получаться в сечении куба плоскостью.

Ясно, что если плоскость параллельна одной из граней куба, то в сечении получается квадрат. Если плоскость параллельна одному из ребер куба, то в сечении получается прямоугольник (рис. 48 справа). Если плоскость пересекает четыре параллельных ребра куба, то в сечении получается параллелограмм (рис. 49 слева).

На рисуете посередине показано сечение куба плоскостью в форме пятиугольника ABCDE. Прямые AB и DE, CD и AE параллельны, как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.

На рисунке справа показано сечение куба плоскостью в форме шестиугольника ABCDEF. Прямые AB и DE, BC и EF, CD и AF параллельны, как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.

Поскольку у куба имеется только шесть граней, то в сечении куба плоскостью не может получиться многоугольник с числом сторон, большим шести.

Построение сечений многогранников

Пример 1.Пусть прямая k проходит через точки A, B и известны параллельные проекции A ’, B ’ этих точек на плоскость π. Требуется найти точку пересечения прямой AB с плоскостью π.

Решение: через точки A ’, B ’ проведем прямую k ’. Тогда пересечение прямой k с прямой k ’ и будет искомым пересечением прямой k с плоскостью π.

Пример 2. Даны точки A, B, C и их параллельные проекции A ’, B ’, C ’ на плоскость π. Требуется построить линию пересечения плоскости ABC и плоскости π.

Решение: используя решение предыдущей задачи, построим точки X и Y пересечения прямых AB и AC с плоскостью π. Прямая XY будет искомой линией пересечения плоскости ABC и плоскости π (см. рис. 51).

Пример 3. Через данную точку C (C ’) провести прямую, параллельную данной прямой AB (A ’ B ’), и найти ее точку пересечения с плоскостью π.

Решение: через точку C проводим прямую, параллельную AB. Через точку C ’ проводим прямую, параллельную A ’ B ’. Точка X пересечения этих прямых и будет искомой.

Используя метод, рассмотренный в примере 1, решим задачи на построение сечений куба, пирамиды и призмы

Пример 4.

Построить сечение куба плоскостью проходящей через три точки A , B , C , принадлежащие попарно скрещивающимся ребрам этого куба (см. рис. 53).

Решение: найдем пересечение прямой AB, лежащей в плоскости сечения, с плоскостью основания куба. Для этого построим параллельные проекцииA ’, B ’ точек A , B на основание куба в направлении бокового ребра куба.

Пересечение прямых AB и A ’ B ’ будет искомой точкой P. Она принадлежит плоскости сечения и плоскости основания куба. Следовательно, плоскость сечения пересекает основание куба по прямой CP. Точка пересечения этой прямой с ребром основания куба даст еще одну точку D сечения куба. Соединим точки C и D, B и D отрезками. Через точку A проведем прямую, параллельную BD, и точку ее пересечения с ребром куба обозначим E. Соединим точки E и C отрезком. Через точку A проведем прямую, параллельную CD, и точку ее пересечения с ребром куба обозначим F. Соединим точки A и F, B и F отрезками. Многоугольник AECDBF и будет искомым изображением сечения куба плоскостью.

Задания для самостоятельного решения:

1) Какой фигурой является сечение куба A. D₁ плоскостью, проходящей через вершины B₁, D и середину ребра CC₁?

2) Какой фигурой является сечение куба A. D₁ плоскостью, проходящей через середины ребер AB, BC и DD₁?

3) Через середину ребра куба, перпендикулярно скрещивающейся с этим ребром диагонали, проведено сечение. Определите его вид.

4) Какой фигурой является сечение куба плоскостью, которая проходит через две противоположные вершины нижнего основания и середину одного из ребер верхнего основания? Найдите его периметр, если длина ребра куба равна 1.

5) Через вершины A, C, D₁ куба A…D₁ проведено сечение. В каком отношении оно делит диагональ DB₁, и какой образует угол с этой диагональю?

6) Каким является сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через середины ребер AB, BC и CD?

7) Какой фигурой является сечение правильного тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через вершину B и точки M, N – середины соответственно ребер AD, CD?

8) Постройте сечение куба A . D₁ плоскостью, проходящей через вершины B₁, D и точку H, принадлежащую ребру CC₁.

9) Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки, указанные на рисунке.

10) Постройте сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки, указанные на рисунке.

Контрольные вопросы:

1. Может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) трапеция; б) равнобедренная трапеция; в) неравнобедренная трапеция; г) прямоугольная трапеция; д) тупоугольная трапеция?

2. Какие многоугольники можно получить в сечении четырехугольной пирамиды плоскостью?

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Сечение многогранников Секущая плоскость многогранника – любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Сечение многогранника – многоугольник, лежащий в секущей плоскости и ограниченный линией пересечения.

Сечение тетраэдра Тетраэдр имеет четыре грани. Его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники.

Сечение параллелепипеда Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

Теоремы, используемые при построении сечений Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Поэтому секущая плоскость пересекает плоскости параллельных граней по параллельным прямым.

Теоремы, используемые при построении сечений Теорема 2. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Теоремы, используемые при построении сечений Теорема 3. Если прямая l параллельна какой либо прямой m, проведённой в плоскости α , то она параллельна и самой плоскости α .

Теоремы, используемые при построении сечений Теорема 4. Если прямая, лежащая в плоскости сечения, не параллельна плоскости некоторой грани, то она пересекается со своей проекцией на эту грань.

Алгоритм построения сечения Если две точки секущей плоскости лежат в плоскости одной грани, то проводим через них прямую. Часть прямой, лежащая в плоскости грани – сторона сечения. Если прямая a является общей прямой секущей плоскости и плоскости какой-либо грани, то находим точки пересечения прямой a с прямыми, содержащими ребра этой грани. Полученные точки – новые точки секущей плоскости, лежащие в плоскостях граней. Если никакие две из данных точек не лежат в плоскости одной грани, то строим вспомогательное сечение, содержащее любые две данные точки, а затем выполняем шаги 1, 2.

Контроль правильности построенного сечения Все вершины сечения лежат на ребрах многогранника. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника. В каждой грани многогранника лежит не более одной стороны сечения.

Пример 1 Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: A1; M ∈ B1C1; N ∈ AD. Решение:

Пример 2 Построить сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через точки: M ∈ SA; N ∈ SC; K ∈ BC Решение:

Пример 3 Построить сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки: M ∈ A1B1; N ∈ BB1 и K ∈ AC. Решение:

Задания для самостоятельного решения Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ C1D1; B1 и N ∈ AD. Построить сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AC; N ∈ CC1; K ∈ BB1. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ грани A1B1C1D1; N ∈ DD1 и K ∈ AD.

Этот видеоурок мы посвятим построению сечений многогранников. Вспомним три основных метода построения сечений. Поговорим о каждом из них.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Сечения куба, призмы, пирамиды"

Для решения большинства задач из раздела стереометрии необходимы знания и навыки в построении сечения объёмных тел. Именно об этом мы сейчас с вами и поговорим.

Итак, секущей плоскостью называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данной фигуры.

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам.

Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника.

Теперь давайте вспомним, что нам необходимо знать для построения плоскости.

Итак, построить плоскость можно: с помощью трёх точек, не лежащих на одной прямой;

с помощью двух пересекающихся прямых;

с помощью прямой и точки, которая не лежит на прямой;

а также с помощью двух параллельных прямых.

Метод следов включает три важных пункта: сначала нужно построить линию пересечения (след) секущей плоскости с плоскостью основания многогранника; затем найти точки пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника, а после этого построить и заштриховать сечение.

В основе построения сечения методом следов лежат две теоремы:

1) если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости;

2) если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и эти плоскости пересекаются, то линия их пересечения параллельна первой прямой.

Метод вспомогательных сечений применяется при построении сечений в тех случаях, когда неудобно находить след секущей плоскости. Например, след получается очень далеко от заданной фигуры.

Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с методом следов или методом вспомогательных сечений.

Обратите внимание: тетраэдр имеет четыре грани, поэтому его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники. А вот параллелепипед имеет шесть граней, поэтому его сечениями могут быть треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и шестиугольники.

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача первая. В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с основаниями, равными см и см, и боковой стороной, равной см. Боковое ребро призмы равно см. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через большую сторону основания и середину противоположного бокового ребра призмы.

Задача вторая. На ребре правильного тетраэдра с длиной ребра взята точка такая, что . Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, содержащей точку и перпендикулярной ребру .

Задача третья. В основании четырёхугольной пирамиды лежит квадрат , а две боковые грани и представляют собой прямоугольные треугольники с прямым . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, содержащей точку пересечения диагоналей основания и параллельной грани , если .

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб.для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Дополнительная литература:

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные ресурс:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.

Определение: две прямые параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если через две прямые нельзя провести одну плоскость, то такие прямые скрещиваются.

Теорема о параллельности трех прямых: если a∥b, b∥c, то и a∥c. Определение: прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Признак параллельности прямой и плоскости: прямая, не лежащая в плоскости, параллельна этой плоскости, если она параллельна некоторой прямой из этой плоскости.

Определение: две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Если две плоскости пересекаются, то их линия пересечения — прямая.

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то их линии пересечения параллельны (см. рис.)

Если плоскости α и β пересекаются по прямой a, а плоскости β и γ пересекаются по прямой b, причем a∥b, то плоскости α и γ пересекутся по прямой c∥a∥b.

Следом называется прямая, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой из граней многогранника.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1 SABCD – четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат ABCD, а две боковые грани SAB и SAD представляют собой прямоугольные треугольники с прямым углом ∠A. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если SA=AB=a.

сначала построим сечение по условию задачи.

1)Пусть AC∩BD=O. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Заметим, что т.к. ∠SAB=∠SAD=90∘⇒SA⊥(ABC). Проведем в плоскости SAC прямую OK∥SC. Т.к. O – середина AC, то по теореме Фалеса K – середина SA. Через точку K в плоскости SAB проведем KM∥SB (следовательно, M – середина AB). Таким образом, плоскость, проходящая через прямые OK и KM, и будет искомой плоскостью. Необходимо найти сечение пирамиды этой плоскостью. Соединив точки O и M, получим прямую MN. Т.к. α∥(SBC),то α пересечет плоскость SCD по прямой NP∥SC (если NP∩SC≠∅, то α∩(SBC)≠∅, что невозможно ввиду их параллельности). Таким образом, KMNP – искомое сечение, причем KP∥AD∥MN⇒ это трапеция.

2)Т.к. все точки K,M,N,P – середины отрезков SA,AB,CD,SD соответственно, то: а) MN=AD=a б) KP=1/2AD=a/2 в) KM=1/2SB=a 2/2 Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах SB⊥BC⇒KM⊥MN. Таким образом, KMNP – прямоугольная трапеция. S_KMNP=(KP+MN)* KM/ 2 =3 a 2 /8

Ответ:3 a 2 /8

боковая грань прямой призмы является прямоугольником.

Площадь каждой боковой грани равна произведению высоты призмы на сторону основания.

То есть большая боковая грань содержит большую сторону основания.

Получим, что длина стороны АС=7см.

Зная большую сторону основания и площадь наибольшей боковой грани призмы, длину высоты призмы вычислить нетрудно.

Получим, что длина высоты призмы равна .

Найдем площадь основания, а оно равно площади сечения, по формуле .

Мы воспользуемся второй формулой. Получим, что площадь основания равна .

Ответ: 15 /4 см 2

№3 На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ:QB=1:2. Точка P — середина ребра AS.

Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.

пусть сторона основания пирамиды равна 3а, а высота пирамиды равна h. Тогда площадь сечения DSB равна

S=BD*SO/2= 3 =6

Площадь сечения DPQ равна

Дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S. Через середину ребра AC и точки пересечения медиан граней ASB и CSB проведена плоскость. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если AB=21,AS=12 .

пусть LK∩SO=H. Тогда по теореме о трех перпендикулярах HK⊥AC как наклонная (HO⊥(ABC),OK⊥AC как проекция). Следовательно, и LK⊥AC.

Тогда S_ALC=AC⋅LK/2 Рассмотрим △SKB: BK=AB⋅ /2=21 /2⇒cosB=7 /12 .

Тогда по теореме косинусов для △KLB: KL 2 =729/4⇒KL=27/2

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. На ребре AA₁ отмечена точка K так, что AK : KA₁ = 1 : 2. Плоскость α проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD₁ в точке M, АВ=4, АА₁=6. Найдите площадь сечения.

По теореме о трех перпендикулярах прямые BM и AC перпендикулярны, а значит, прямые BM и KL перпендикулярны. Площадь четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей. Найдем их: KL=AC=4 как диагональ квадрата, лежащего в основании призмы, тогда

по теореме Пифагора.

Ответ: 8

Сечением многогранника называется многоугольник, сторонами которого являются отрезки, принадлежащие граням многогранника, с концами на ребрах многогранника, полученный в результате пересечения многогранника произвольной секущей плоскостью.

Сечения куба: трех-, шести- угольники. Сечения тетраэдра: треугольники, четырехугольники. Сечения четырехугольной пирамиды и треугольной призмы: трех-, пяти- угольники.

1. Метод следовзаключается в построении следов секущей плоскости на плоскость каждой грани многогранника. Построение сечения многогранника методом следов обычно начинают с построения так называемого основного следа секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости на плоскости основания многогранника.

2. Метод вспомогательных сечений построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь ввиду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются “скученными”. Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

Метод следов и метод вспомогательных сечений являются разновидностями аксиоматического методапостроения сечений многогранников плоскостью.

3. Суть комбинированного методапостроения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

Представление о правильных многогранниках

(тетраэдр, куб, додекаэдр и икосаэдр)

Тетраэдр– четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многоугольников.

Куб или правильный гексаэдр – правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами.

Октаэдр-восьмигранник– тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников.

Додекаэдр – двенадцатигранник–тело, ограниченное двенадцатью многоугольниками; правильный пятиугольник; один из пяти правильных многогранников.

Икосаэдр – двадцатигранник– тело, ограниченное двадцатью многоугольниками; правильный икосаэдр ограничен двадцатью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников.

Правильный

многогранник

Число

Тема 13.10. Тела вращения. Площадь поверхностей

Цилиндр и конус. Усеченный конус.

Представление о правильных многогранниках

(тетраэдр, куб, додекаэдр и икосаэдр)

Читайте также: