Производная и дифференциал функции конспект

Обновлено: 03.07.2024

Дифференциальное исчисление – это раздел математики, который исследует свойства функций, которые заданы на интервалах (сплошных множествах), с помощью определения предела функций.

Свойство непрерывности свидетельствует о том, что точке х₀ при малом отклонении аргумента Δx от х₀ функция отклоняется мало. В связи с этим, непрерывную функцию в окрестности точки х₀, приближенно можно заменить константой, значением в х₀. В таком случае, при Δx?0 к нулю стремится абсолютная ошибка приближения. Однако данная аппроксимация не отражает изменения функции при переходе переменной х в точке 0 – убывая или возрастая, медленно или быстро. Для того, чтобы это выяснить и введены производная и дифференциал, которые и дают более точную аппроксимацию функции в окрестности х₀ линейной функцией, а не константой. Производная и дифференциал отражает величину и тенденцию изменения в точке х₀ функции.

Производная и дифференциал на наглядном примере выглядит так. Возьмем функцию y = f ( x), которая имеет действительные значения и задана на оси R. Внутреннюю точку x₀ ε I фиксируем и берем еще любую точку xεI . Приращением независимой переменной в точке х₀ является разность Δx = x - x₀. Предел разностного отношения, при котором х стремится к х0 называется производной функции f (x) в точке х₀.

Функция, для которой возможно разложение, называется дифференцируемой в точке х₀. Дифференциалом функции f в точке х₀ называется слагаемое f’ (х₀)(х-х₀). Таким образом, наличие в точке производной эквивалентно и дифференцируемости в этой же точке.

Дифференциал также имеет и специальное обозначение:

Создано дифференциальное исчисление одновременно, а также независимо друг от друга Готфиридом Вильгельмом Лейбницем и Исааком Ньютоном.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

План лекции Определение производной Геометрический и физический смысл произвлдной Схема нахождения производной Правила дифференцирования Производная сложной функции Таблица производных Дифференциал Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Проблема для лаборантов

Проблема для зубных техников

(С·u)’=C·(u)’ Числовой множитель выносится за знак производной (5х)’= (3х5)’= 5·(х)’= 5·1 = 5 3·(х5)’= 3·5·x5-1= 15x4 (4·x-2)’= 4·(x-2)’= 4·(-2)·x-2-1= =-8·x-3= ( )’= ( )’= -8· =

(u+v)’=(u)’+(v)’ Производная суммы равна сумме производных (х+5)’= (х2-3х)’= (х)’+(5)’= 1+0 = 1 (х2)’-(3х)’= 2·x2-1-3·(х)’= =2·x1-3·1= 2x-3 (5х3-3х2+4х-2)’= (5х3)’-(3х2)’+(4х)’- -(2)’= 5·(х3)’-3·(х2)’+4·(х)’-0= =5·3·х3-1-3·2·х2-1+4·1= =15х2-6х+4

НАЙТИ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ

Применение дифференциала к приближенным вычислениям 1. Вычисление приближенного числового значения функции

Решение проблемы лаборантов

. Решение проблемы зубных техников

Краткое описание документа:

Лекция предназначена для студентов Комсомольского-на-Амуре филиала краевого государственного бюджетного профессионального образовательного учреждения "Хабаровский государственный медицинский колледж" по специальности "Лечебное дело".

2.Геометрический и физический смысл произвлдной

3.Схема нахождения производной

5.Производная сложной функции

8.Применение дифференциала к приближенным вычислениям

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 933 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

Курс добавлен 31.01.2022
Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 608 451 материал в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

17.02.2018 3324
PPTX 1.7 мбайт
50 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Еремеева Елена Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование

Время чтения: 1 минута

Новые курсы: функциональная грамотность, ФГОС НОО, инклюзивное обучение и другие

Время чтения: 15 минут

В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик

Время чтения: 2 минуты

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Пусть материальная точка движется по прямой, и пусть $S=S(t)$ — путь, пройденный точкой за время $t$ от начала движения. За промежуток времени от $t$ до $t+\Delta t$ точка пройдет путь $S(t+\Delta t)-S(t)$, поэтому средняя скорость за этот промежуток времени равна $v_=\displaystyle \frac$. Если рассматриваемое движение не является равномерным, то $v_$ при фиксированном $t$ будет меняться при изменении $\Delta t$, и чем меньше $\Delta t$, тем лучше $v_$ будет характеризовать движение точки в момент $t$.

Скоростью точки в момент $t$ (мгновенной скоростью) называют предел, к которому стремится средняя скорость, когда $\Delta t\rightarrow 0$, то есть скорость $v$ в момент $t$ определяется равенством
$$
v=\lim_\frac.\nonumber
$$
Таким образом, скорость движения в момент $t$ — предел отношения приращения пути $\Delta S=S(t+\Delta t)-S(t)$ за промежуток времени от $t$ до $t+\Delta t$ к приращению времени $\Delta t$, когда $\Delta t\rightarrow 0$.

Например, если материальная точка движется по закону $S=gt^/2$ (закон свободного падения), то
$$
v_=\frac=\frac((t+\Delta t)^2-t^2),\nonumber
$$
или
$$
v_=gt+\frac\Delta t,\nonumber
$$
откуда $\displaystyle \lim_v_=gt$, то есть $v=gt$.

Задача о касательной.

Пусть функция $f$ определена $\delta$-окрестности точки $x_0$ и непрерывна при $x=x_0$. Рассмотрим вопрос о касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $M_0(x_0,y_0)$, где $y_0=f(x_)$. Если $\Delta x$ — приращение аргумента такое, что \(0

Определение производной.

Пусть функция $y=f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$, и пусть существует конечный предел отношения $\displaystyle \frac$ при $\Delta x_0\rightarrow 0$. Тогда этот предел называется производной функции $f$ в точке $x_0$ и обозначается $f'(x_0),\ f_x'(x_0)$ или $y'(x_)$, то есть
$$
f'(x_0)=\lim_\frac.\label
$$

Согласно определению производная функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ есть предел отношения приращения функции $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta$ при условии, что $\Delta x\rightarrow 0$, то есть
$$
f'(x_0)=\lim_\frac.\label
$$
Из равенства \eqref следует, что
$$
\frac-f'(x_0)=\varepsilon(\Delta x),\nonumber
$$
где $\varepsilon(\Delta x)\rightarrow 0$ при $\Delta x\rightarrow 0$ откуда получаем
$$
\Delta y=f'(x_)\Delta x+\Delta x\varepsilon(\Delta x).\label
$$
Если $\Delta x\rightarrow 0$, то $\Delta y\rightarrow 0$, и поэтому из существования $f'(x_)$ следует непрерывность функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Операция вычисления производной называется дифференцированием.

Доказать, что функции $y=C$, $y=x^\ (n\in\mathbb)$, $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=a^x$ имеют производные в каждой точке $x\in\mathbb$, и найти эти производные.

Согласно формуле \eqref производная показательной функции с основанием $e$ совпадает с самой функцией. Этим и объясняется тот факт, что в математическом анализе и его приложениях в качестве основания степени и основания логарифмов обычно используется число $e$.

Найти производные функций

Если $y=\log_a(x)$, то
$$
\Delta y=\log_(x+\Delta x)-\log_x=\log_(1+\frac),\quad \frac=\displaystyle\frac<\log_\left(1+\displaystyle\frac\right)><\displaystyle\frac>\frac,\nonumber
$$
откуда $\displaystyle \lim_\frac=\frac$, так как $\displaystyle \frac<\log_a(1+t)>\rightarrow\frac<\ln a>$ при $t\rightarrow 0$ (см.пример здесь). Итак, если $a>0,\ a\neq 1,\ x>0$, то
$$
(\log_x)’=\frac.\label
$$
Из формулы \eqref при $a=e$ получаем
$$
(\ln x)’=\frac.\label
$$
При $a=n$, где $n\in\mathbb$, производная функции $x^\alpha$ вычисляется по формуле \eqref. Покажем, что для любого $\alpha\in\mathbb$ и при $x>0$ справедлива формула
$$
(x^\alpha)’=\alpha x^.\label
$$
Действительно, если $y=x^\alpha$, то
$$
\Delta y=(x+\Delta x)^-x^\alpha=x^\alpha\left(\left(1+\displaystyle \frac\right)^-1\right),\nonumber
$$
откуда
$$
\frac=x^\frac<\displaystyle\left(1+\frac\right)^-1><\displaystyle\frac>.\nonumber
$$
Так как $\displaystyle \frac<(1+t)^-1>\rightarrow\alpha$ при $t\rightarrow 0$ (см.пример здесь), то $\displaystyle \frac\rightarrow\alpha x^$ при $\Delta x\rightarrow 0$, то есть имеет место равенство \eqref. $\blacktriangle$

Функция $f(x)$ имеет производную в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки $x_0$ эта функция представима в виде
$$
f(x)=f(x_)+f_(x)(x-x_),\label
$$
где $f_1(x)$ — функция, непрерывная в точке $x_0$ и такая, что
$$
f_(x_)=f'(x_).\label
$$

$\circ$ Рассмотрим функцию
$$
f_1(x)=\frac>.\label
$$
Она определена в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$. Если существует $f'(x)$, то существует $\lim_f_1(x_0)=f'(x_)$. Полагая $f_1(x_0)=f'(x_0)$, доопределим функцию $f_1(x)$ по непрерывности в точке $x_0$. Функция $f_1(x)$, определяемая формулой \eqref и условием \eqref, непрерывна в точке $x_0$, а из равенства \eqref следует формула \eqref.

Обратно: из \eqref следует \eqref, а из непрерывности функции $f_1(x)$ в точке $x_0$ следует, что существует $\displaystyle \lim_f_1(x)=f_1(x_0)$, то есть существует $\displaystyle \lim_>\frac>=f'(x_)$ и справедливо равенство \eqref. $\bullet$

Геометрический смысл производной.

Если функция $y=f(x)$ имеет производную в точке $x_0$, то есть существует конечный предел
$$
\lim_\frac=f'(x_),\nonumber
$$
то существует предельное положение секущей $l$ (см. рис. 14.1), заданной уравнением \eqref. Это означает, что в точке $M_(x_,f(x_))$ существует касательная $l_0$ (см рис. 14.1) к графику функции $y=f(x)$, причем согласно формуле \eqref $k_=f'(x_)$, где $k_$ — угловой коэффициент прямой $l_$. Так как $k_0=\operatorname\alpha_0$, где $\alpha_0$ — угол, образуемый касательной с положительным направлением оси абсцисс, то
$$
f'(x_0)=\operatorname\alpha_0.\label
$$
Таким образом, геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке $M_(x_,f(x_))$.

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $M_(x_,f(x_))$, получаемое из уравнения \eqref заменой $\displaystyle \frac$ на $f'(x_0)$, имеет вид
$$
y=f(x_)+f'(x_)(x-x_).\label
$$

Записать уравнение касательной к графику функции $y=e^x$ параллельной прямой $y=x-1$.

Так как угловой коэффициент касательной по условию равен угловому коэффициенту прямой $y=x-1$, то есть равен единице, то из уравнения $f'(x)=e^=1$ получаем $x_0=0$, а по формуле \eqref(16) при $x_0=0,\ x_0=1,\ f'(x_0)=1$ находим уравнение касательной
$$
y=x+1.\quad \blacktriangle\nonumber
$$

Под каким углом график функции $y=\sin x$ пересекает ось $Ox$?

$\triangle$ Синусоида пересекает ось абсцисс в точке $x_=k\pi\ (k\in\mathbb)$. Пусть $\alpha_$ — угол между осью $Ox$ и графиком функции в точке с абсциссой $x_$. По формуле \eqref, где $f(x)=\sin x$ находим
$$
f'(x_)=\cos k\pi=(-1)^=\operatorname\alpha_.\nonumber
$$
Следовательно, в точках $x’_k=2k\pi\ (k\in\mathbb)$ синусоида пересекает ось $Ox$ под углом $\displaystyle \frac<\pi>$, a в точках $\widetilde_k=(2k+1)\pi$ — под углом $\displaystyle \frac<3\pi>$ (рис. 14.2).

Заметим, что касательная к графику функции $y=\sin x$ в точке $O$ лежит при $x>0$ выше графика функции $y=\sin x$, а при \(x Рис. 14.3

Если $A,C,B$ — точки пересечения с осью $Ox$ соответственно касательной $l_$, нормали $m_0$ и прямой, проходящей через $M_0$ параллельно оси $Oy$, то отрезок $AB$ называют подкасательной а отрезок $BC$ — поднормалью.

Односторонние и бесконечные производные.

По аналогии с односторонними пределами вводятся понятия левой и правой производных.

Если функция $y-f(x)$ непрерывна слева в точке $x_0$ и существует предел
$$
\lim_\frac,\quad где\;\Delta y=f(x_+\Delta x)-f(x_),\nonumber
$$
то этот предел называется левой производной функции $f$ в точке $x_0$ и обозначают $f_'(x_0)$.

Аналогично, если функция $y=f(x)$ непрерывна справа в точке $x_$, то предел $\displaystyle \lim_\frac$ называют правой производной функции $f$ в точке $x_0$ и обозначают $f_'(x_)$.

Прямые, проходящие через точку $M_(x_,f(x_))$, с угловыми коэффициентами $f_'(x_)$ и $f_'(x_)$, называют соответственно левой и правой касательными к графику функции $y=f(x)$ в точке $M_$.

Из существования производной $f'(x_)$ следует существование $f_'(x_)$ и $f_'(x_)$ и равенство
$$
f_'(x_)=f_'(x_0)=f'(x_).\label
$$
В этом случае левая и правая касательные к графику функции $y=f(x)$ в точке $M_$ совпадают с касательной в точке $M_0$.

Обратно. если существуют левая и правая производные функции $f$ в точке $x_0$ и выполняется условие $f_'(x_0)=f_'(x_)$, то существует $f'(x_0)$ и справедливо равенство \eqref.

Найти левую и правую производные функции $f(x)=|x|$ в точке $x_0=0$.

Прямые $y=-x$ и $y=x$ являются соответственно левой и правой касательными к графику функции $y=|x|$ в точке $O$ (рис 14.4). $\blacktriangle$

Так как $f_'(x_0)\neq f_'(x_0)$ для функции $f(x)=|x|$, то непрерывная в точке $x_0$ функция $|x|$ не имеет производной в этой точке. Этот пример показывает, что из непрерывности функции $f$ в точке $x_0$ не следует существование ее производной в данной точке.

Обратимся теперь к понятию бесконечной производной. Пусть функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, и пусть
$$
\lim_\frac=\lim_\frac=\infty.\label
$$

Тогда прямую $x=x_$ называют касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $M_(x_,f(x_))$. Эту прямую можно рассматривать как предельное положение (при $\Delta x\rightarrow 0)$ секущей $l$, если уравнение \eqref записать в виде
$$
x-x_=\frac(y-y_)\nonumber
$$
и воспользоваться тем, что $\frac\rightarrow 0$ при $\displaystyle \Delta x\rightarrow 0$ в силу условия \eqref.

Если $\displaystyle \lim_\frac=+\infty$, то говорят, что функция имеет в точке $x_$ производную, равную $+\infty$, и пишут $f'(x_0)=+\infty$. В этом случае односторонние пределы $\displaystyle \lim_\frac$ и $\displaystyle \lim_\frac$ называют соответственно левой и правой производной функции $y=f(x)$ в точке $x_$ и обозначают $f_'(x_)$ и $f_'(x_)$. Таким образом, если $f'(x_)=+\infty$, то $f_'(x_)=+\infty$ и $f_'(x_)=+\infty$.

В точке $(0,0)$ касательной к графику функции $y=\sqrt[3]$ является прямая $x=0$ (рис. 14.5).

Аналогично, если $\displaystyle \lim_\frac=-\infty$, то говорят, что функция $y=f(x)$> имеет в точке $x_0$ производную, равную $-\infty$, и пишут $f'(x_0)=-\infty$.

В случае когда $f'(x_0)=+\infty$ или $f'(x_0)=-\infty$, говорят, что функция $y=f(x)$ имеет в точке $x_$ бесконечную производную (иногда добавляют: определенного знака).

Обратимся теперь к случаю, когда $\displaystyle \lim_\frac=\infty$ но не выполняется ни одного из условий $f'(x_0)=+\infty$ или $f'(x_0)=-\infty$. В этом случае говорят, что $\displaystyle \lim_\frac$ не является бесконечностью определенного знака. Например, эта ситуация имеет место, если $\displaystyle \lim_\frac=+\infty$, а $\displaystyle \lim_\frac=-\infty$. Этим свойством обладает функция $y=\sqrt<|x|>$ (рис 14.6) в точке $x_0=0$, так как $f_'(0)=\displaystyle \lim_\frac<\sqrt<|\Delta x|>>=+\infty$, а $f_'(0)=\lim_\frac<\sqrt<|\Delta x|>>=-\infty$.

Дифференциал функции.

Если функция $y=f(x)$ определена в $\delta$-окрестности точки $x_0$, а приращение $\Delta y$ функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ представимо в виде
$$
\Delta y=A\Delta x+\Delta x\varepsilon(\Delta x),\label
$$
где $A=A(x_0)$ не зависит от $\Delta x$, a $\varepsilon(\Delta x)\rightarrow 0$ при $\Delta x\rightarrow 0$, то функция $f$ называется дифференцируемой в точке $x_0$, а произведение $A\Delta x$ называется ее дифференциалом в точке $x_0$ и обозначается $df(x_0)$ или $dy$.

Таким образом,
$$
\Delta y=dy+o(\Delta x)\ при\ \Delta x\rightarrow 0,\label
$$
где
$$
dy=A\Delta x.\label
$$
Отметим, что приращение $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ можно рассматривать только для таких $\Delta x$, при которых точка $x_0+\Delta x$ принадлежит области определения функции $f$, в то время как дифференциал $dy$ определен при любых $\Delta x$.

Для того чтобы функция $y=f(x)$ была дифференцируемой в точке $x_0$, необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела производную в точке $x_0$. При этом дифференциал и производная связаны равенством
$$
dy=f'(x_)\Delta x.\label
$$

$\circ$ Если функция $y=f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то выполняется условие \eqref, и поэтому $\displaystyle \frac=A+\varepsilon(\Delta x)$, где $\varepsilon(\Delta x)\rightarrow 0$ при $\Delta x\rightarrow 0(\Delta x\neq 0)$, откуда следует, что существует $\displaystyle \lim_\frac=A$, то есть существует $f'(x_0)=A$.

Обратно: если существует $f'(x_)$, то справедливо равенство \eqref, и поэтому выполняется условие \eqref. Это означает, что функция $f$ дифференцируема в точке $x=x_0$, причем коэффициент $A$ в формулах \eqref и \eqref равен $f'(x_)$, и поэтому дифференциал записывается в виде \eqref. $\bullet$

Таким образом, существование производной функции в данной точке равносильно дифференцируемости функции в этой точке. Функцию, имеющую производную в каждой точке интервала $(a,b)$, называют дифференцируемой на интервале $(a,b)$.

Если функция $f$ дифференцируема на интервале $(a,b)$ и, кроме того, существуют $f_'(a)$ и $f_'(b)$, то функцию $f$ называют дифференцируемой на отрезке $[a,b]$.

Если $f'(x_0)\neq 0$, то из равенств \eqref и \eqref следует, что $dy\neq 0$ при $\Delta x\neq 0$ и
$$
\Delta y\sim dy\ при\ \Delta x\rightarrow 0.\nonumber
$$
В этом случае говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращения функции, так как дифференциал есть линейная функция от $\Delta x$ и отличается от $\Delta y$ на бесконечно малую более высокого порядка, чем $\Delta x$.

Приращение $\Delta x$ часто обозначают символом $dx$ и называют дифференциалом независимого переменного. Поэтому формулу \eqref записывают в виде
$$
dy=f'(x_)dx.\label
$$
По формуле \eqref можно найти дифференциал функции, зная ее производную. Например, $d\sin x=\cos x dx,\;de^=e^dx$. Из формулы \eqref получаем
$$
f'(x_)=\frac.\label
$$
Согласно формуле \eqref производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Отбрасывая в формуле \eqref член $o(\Delta x)$, то есть заменяя приращение функции ее дифференциалом, получаем приближенное равенство $\Delta y\approx f'(x_0)\Delta x$, или
$$
f(x_+\Delta x)\approx f(x_)+f'(x_)\Delta x.\label
$$
Формулу \eqref можно использовать для вычисления приближенного значения $f(x_+\Delta x)$ при малых $\Delta x$, если известны значения $f(x_)$ и $f'(x_0)$.

Найти с помощью формулы \eqref приближенное значение функции $y=\sqrt[4]$ при $x=90$.

$\triangle$ Полагая в формуле \eqref $f(x)=\sqrt[4]$, $x_0=81,\ \Delta x=9$ и учитывая, что $f(x_)=\sqrt[4]=3$, $f'(x)=\displaystyle \fracx^$, $f'(x_)=\displaystyle \frac$, получаем $\sqrt[4]\approx 3+\displaystyle \frac$, то есть $\sqrt[4]\approx 3,083.\ \blacktriangle$

Геометрический и физический смысл дифференциала.

Выясним геометрический и физический смысл дифференциала.

Если функция $y=f(x)$ дифференцируема при $x=x_0$, то существует касательная $l_$ (рис 14.7) к графику этой функции в $M_0(x_0,f(x_))$, задаваемая уравнением \eqref. Пусть $M(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))$ — точка графика функции $f$ с абсциссой $x_0+\Delta x$, $E$ и $F$ — точки пересечения прямой $x=x_0+\Delta x$ с касательной $l_0$ и прямой $y=y_0=f(x_0)$ соответственно.

Тогда $F(x_+\Delta x,y_)$, $E(x_0+\Delta x,y_0+f'(x_0)\Delta x)$, так как ордината точки $E$ равна значению $y$ в уравнении \eqref при $x=x_0+\Delta x$. Разность ординат точек $E$ и $F$ равна $f'(x_0)\Delta x$, то есть равна дифференциалу $dy$ функции $f$ при $x=x_0$.

Таким образом, дифференциал функции $y=f(x)$ при $x=x_0$ равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в точке с абсциссой $x_0$ при изменении аргумента от $x_0$ до $x+\Delta x$. Так как $MF=\Delta y,\;EF=dy$, то согласно формуле \eqref $ME=o(\Delta x$ при $\Delta x\rightarrow 0$.

Вернемся к задаче о к скорости. Пусть $S(t)$ — путь, пройденный материальной точкой за время $t$ от начала движения. Тогда $S'(t)=\displaystyle \lim_ \frac$ — мгновенная скорость $v$ точки в момент времени $t$, то есть $v=S'(t)$. По определению дифференциала $dS=v\Delta t$. Поэтому дифференциал функции $S(t)$ равен расстоянию, которое прошла бы точка за промежуток времени от $t$ до $t+\Delta t$, если бы она двигалась со скоростью, равной мгновенной скорости точки в момент времени $t$.

Дифференциал также имеет и специальное обозначение:

Читайте также: