Основные тригонометрические тождества конспект

Обновлено: 04.07.2024

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

\sin^\alpha + \cos^ \alpha = 1

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Содержание

1 Зависимость между синусом и косинусом
2 Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус
3 Зависимость между тангенсом и котангенсом
4 Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом
5 Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств
- 5.1 Пример 1
- 5.2 Пример 2
Зависимость между синусом и косинусом

\sin^ \alpha+\cos^ \alpha=1

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac=\frac , а отношение \frac=\frac — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества tg \alpha = \frac , ctg \alpha=\frac .

Например: tg \alpha = \frac является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac<\pi>+\pi z , а ctg \alpha=\frac — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac<\pi> z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac , а ctg \alpha=\frac . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac \cdot \frac=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

tg^ \alpha + 1=\frac <\cos^\alpha> — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1 , равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha , отличных от \frac<\pi>+ \pi z .

1+ctg^ \alpha=\frac<\sin^\alpha> — сумма 1 и квадрат котангенса угла \alpha , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha , отличного от \pi z .

Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств

Пример 1

Найдите \sin \alpha и tg \alpha , если \cos \alpha=-\frac12 и \frac<\pi> ;

Решение

Функции \sin \alpha и \cos \alpha связывает формула \sin^\alpha + \cos^ \alpha = 1 . Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12 , получим:

\sin^\alpha + \left (-\frac12 \right )^2 = 1

Это уравнение имеет 2 решения:

\sin \alpha = \pm \sqrt = \pm \frac

По условию \frac<\pi> . Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac .

Для того, чтобы найти tg \alpha , воспользуемся формулой tg \alpha = \frac . Соответствующие величины нам известны.

tg \alpha = \frac : \frac12 = \sqrt 3

Пример 2

Найдите \cos \alpha и ctg \alpha , если \sin \alpha=\frac и \frac<\pi> .

Решение

Подставив в формулу \sin^\alpha + \cos^ \alpha = 1 данное по условию число \sin \alpha=\frac , получаем \left (\frac\right )^ + \cos^ \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt=\pm\sqrt\frac14 .

По условию \frac<\pi> . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12 .

Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac . Соответствующие величины нам известны.

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

Основные тригонометрические тождества

\[ \sin^\alpha + \cos^ \alpha = 1 \]

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \]

Четность, нечетность тригонометрических функций

\[ \sin \left ( - \alpha \right ) = - \sin \left ( \alpha \right ) \]

\[ \cos \left ( - \alpha \right ) = \cos \left ( \alpha \right ) \]

\[ tg \left ( - \alpha \right ) = - tg \left ( \alpha \right ) \]

\[ ctg \left ( - \alpha \right ) = ctg \left ( \alpha \right ) \]

Зависимость между синусом и косинусом

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой \( \dfrac=\dfrac \) , а отношение \( \dfrac=\dfrac \) — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов \( \alpha \) , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества \( tg \alpha = \dfrac \) , \( ctg \alpha=\dfrac \) .

Например: \( tg \alpha = \dfrac \) является справедливой для углов \( \alpha \) , которые отличны от \( \dfrac<\pi>+\pi z \) , а \( ctg \alpha=\dfrac \) — для угла \( \alpha \) , отличного от \( \pi z \) , \( z \) — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 \]

Данное тождество справедливо только для таких углов \( \alpha \) , которые отличны от \( \dfrac<\pi> z \) . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что \( tg \alpha = \dfrac \) , а \( ctg \alpha=\dfrac \) . Отсюда следует, что \( tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac \cdot \dfrac=1 \) . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

\( tg^ \alpha + 1=\dfrac <\cos^\alpha> \) — сумма квадрата тангенса угла \( \alpha \) и \( \alpha \) , отличных от \( \dfrac<\pi>+ \pi z \) .

\( 1+ctg^ \alpha=\dfrac<\sin^\alpha> \) — сумма \( \alpha \) , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \( \alpha \) , отличного от \( \pi z \) .

Формулы приведения

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Формулы понижения степени

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
9 класс. Алгебра

Учитель: Бекшаева М. Н.

Тип урока: изучение нового материала

Методы: беседа, фронтальный опрос, работы индивидуальные и в группах; Цели: а) сформировать умения вычислять значения тригонометрических функций по известному значению одной из них; научить выражать одну тригонометрическую функцию через другую;

б) воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям, дисциплинированности;

в) развитие аналитического и синтезирующего мышления, умений применять знания на практике, аккуратности, точности выполнения действий, самостоятельности;

Организационный момент.

Постановка целей и задач урока. Актуализация знаний.

Решение теста (фронтальный опрос) на закрепление и повторение предыдущего материала. Вопросы теста:

Что изображено на рисунке?

Варианты ответа: а) система координат; б) единичная окружность; в) окружность с центром в начале координат и радиусом равным 1.

Какой четверти принадлежит угол α , если: α =590°. Варианты: а) I ; б) II ; в) III ; г) IV ;

Какой четверти принадлежит угол α , если: α = -410°. Варианты: а) I ; б) II ; в) III ; г) IV ;

Выразите в градусной мере:

Варианты: а) 150 °; б) -50°; в) -150°; г)50°.

- Целью нашей сегодняшней работы является научиться вычислять значения тригонометрических функций по известному значению одной из них; выражать одну тригонометрическую функцию через другую;

Изучение нового материала

Вывод формулы основного тригонометрического тождества.

Рассмотрим окружность радиуса R в прямоугольной системе координат, центр совпадает с началом координат, из центра проведен луч ОВ, точка В имеет координаты (х; у). Тогда:

- уравнение данной окружности

Так как точка В принадлежит данной окружности, то её координаты удовлетворяют уравнению окружности:

Вывод формулы, заполните пробелы и найдите ошибки:

- основное тригонометрическое тождество

Вывод:

Следовательно, зная, значение любой функции синуса или косинуса можно всегда найти значение другого.

Выразим синус и косинус из основного тригонометрического тождества:

ПРИМЕР 1. Найти sin α , если cos α = 0,6 и α – угол II четверти. Ответ: sin α = 0,8.

2. Нахождение значений тригонометрических функций по известному значению одной из них:

Рассмотреть формулу тангенса:

Вывод формулы котангенса учащиеся делают самостоятельно:

Выведите формулу, связывающую тангенс и котангенс:

ПРИМЕР2.Найти ctg α , если , и α – угол I четверти. Ответ: ctg α =2

Ответим на вопросы:

4. Тренировочные упражнения. Упражнения №755(а, в, д, е), 757(а, б, в)

( задания выполняются вместе с учителем на доске, на слайде выведены тригонометрические формулы )

(задания выполняются учащимися по рядам и трое на доске)

5. Д\з п. 31, №756, 759

Там, где заканчиваются границы привычной и давно знакомой алгебры, начинаются владения тригонометрии. Давайте вооружимся всеми необходимыми формулами, чтобы в полном обмундировании преодолеть любые тригонометрические испытания.

О чем эта статья:

9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Связь между sin и cos одного угла

Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.

Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.

Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.

Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.

В результате деления получаем:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1
- Синус угла (sin α) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинус угла (cos α) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Образовался прямоугольный треугольник OA₁B.

Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:

Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.

Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.

Тангенс и котангенс через синус и косинус
- Синус угла — это ордината y.
- Косинус угла — это абсцисса x.
- Тангенс угла — это отношение ординаты к абсциссе.
- Котангенс угла — это отношение абсциссы к ординате.
Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

Исходя из определений:

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества

задаются sin и cos углов.

Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.

применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.
- Тождество записывается в следующем виде:
  tg α * ctg α = 1.
Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.

Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
1. Для этого нужно поделить обе части тождества на cos 2 α, где косинус не равен нулю.
2. В результате деления получаем формулу tg 2 α + 1 =
3. Если обе части основного тригонометрического тождества sin 2 α + cos 2 α = 1 разделить на sin 2 α, где синус не равен нулю, то получим тождество:
  1 + ctg 2 α = .
4. Отсюда можно сделать вывод, что тригонометрическое тождество tg 2 α + 1 = применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число.
5. А тригонометрическое тождество 1 + ctg 2 α = применимо для любого угла, не равного π * z, где z — это любое целое число.
Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.

Основные тригонометрические тождества

sin 2 α + cos 2 α = 1

tg 2 α + 1 =

1 + ctg 2 α =

Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

Примеры решения задач

Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.
Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:
Подставляем значения sin α:

Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

Методы: беседа, фронтальный опрос, работы индивидуальные и в группах; Цели: а) сформировать умения вычислять значения тригонометрических функций по известному значению одной из них; научить выражать одну тригонометрическую функцию через другую;

б) воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям, дисциплинированности;

в) развитие аналитического и синтезирующего мышления, умений применять знания на практике, аккуратности, точности выполнения действий, самостоятельности;
1. Организационный момент.
2. Постановка целей и задач урока. Актуализация знаний.
Решение теста (фронтальный опрос) на закрепление и повторение предыдущего материала. Вопросы теста:

Варианты ответа: а) система координат; б) единичная окружность; в) окружность с центром в начале координат и радиусом равным 1.
1. Какой четверти принадлежит угол α, если: α=590°. Варианты: а) I; б) II; в) III; г) IV;
2. Какой четверти принадлежит угол α, если: α= -410°. Варианты: а) I; б) II; в) III; г) IV;
3. Выразите в градусной мере:
Варианты: а) 150 °; б) -50°; в) -150°; г)50°.

- Целью нашей сегодняшней работы является научиться вычислять значения тригонометрических функций по известному значению одной из них; выражать одну тригонометрическую функцию через другую;
1. Изучение нового материала
1. Вывод формулы основного тригонометрического тождества.
Рассмотрим окружность радиуса R в прямоугольной системе координат, центр совпадает с началом координат, из центра проведен луч ОВ, точка В имеет координаты (х; у). Тогда:

Так как точка В принадлежит данной окружности, то её координаты удовлетворяют уравнению окружности:

Вывод формулы, заполните пробелы и найдите ошибки:

Следовательно, зная, значение любой функции синуса или косинуса можно всегда найти значение другого.

Выразим синус и косинус из основного тригонометрического тождества:

ПРИМЕР 1. Найти sin α, если cos α = 0,6 и α – угол II четверти. Ответ: sin α = 0,8.

2. Нахождение значений тригонометрических функций по известному значению одной из них:

Рассмотреть формулу тангенса:

Вывод формулы котангенса учащиеся делают самостоятельно:

Выведите формулу, связывающую тангенс и котангенс:

ПРИМЕР2.Найти ctg α, если , и α – угол I четверти. Ответ: ctg α=2

Ответим на вопросы:

4. Тренировочные упражнения. Упражнения №755(а, в, д, е), 757(а, б, в)

( задания выполняются вместе с учителем на доске, на слайде выведены тригонометрические формулы )

(задания выполняются учащимися по рядам и трое на доске)

5. Д\з п. 31, №756, 759

В каждой карточке 2 задания:

1) Найти значение тригонометрической функции;

2) Упростить выражение
1. Найти значение tg α, если sin α=0,6 и cos α=0,2. Ответ: tg α =3.
2. Упростите выражение
1. Найти cos α, если sin α=0,8 и α – угол II четверти. Ответ: cos α= -0,6.
2. Упростите выражение
1. Найти cos α, если sin α=0,8 и α – угол II четверти.
-Сегодня на уроке, мы изучили и вспомнили основные и самые важные формулы преобразования тригонометрических выражений. Это формула, связывающая функции синус и косинус и формула, связывающая функции тангенс и котангенс .

Читайте также: