Многогранный угол конспект 10 класс

Обновлено: 02.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Цели: - ввести определение трехгранного и многогранного углов;

-изучить свойства многогранных углов

1) вспомнить понятие угла, двухгранного угла;

2) Как находится двухгранный угол;

3) Научиться вычислять многогранные углы

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

III. Изучение нового материала

IV. Закрепление изученного материала

V. Подведение итогов

I. Приветствие присутствующих. Проверка готовности к урока. Отметка отсутствующих на уроке.

II. Проверка домашнего задания.

III. В планиметрии одним из объектов изучения является угол.

Что мы называем углом?(угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки – вершины угла и двух лучей, исходящих из этой точки).

Слайд №2: Вспомним понятие двухгранного угла

Что называется двугранным углом? (двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости – это грани двугранного угла. Прямая а – это ребро двугранного угла.

Крыша дома наглядно демонстрирует двугранный угол.

Посмотрим на рисунок 2, мы видим фигуру образованную из шести плоских углов с общей вершиной, углы берутся в определённом порядке и каждая пара соседних углов, включая первый и последний, имеет общую сторону.

В геометрии фигура, составленная из углов

А₁ОА₂, А₂ОА₃ и так далее А_nОА₁ и их внутренних областей так, что смежные не лежат в одной плоскости, а не смежные углы (с их внутренними областями) не имеют общих точек называется многогранный угол ОА₁А₂ А₃…А_n.

А углы из которых составлен этот угол называются плоскими углами. Стороны плоских углов называются ребрами многогранного угла. Точка О называется вершиной угла.

рисунок 2 . Многогранный угол

Примеры многогранных углов можно найти в любом многограннике. Грани тетраэдра DBA, ABC, DBC образуют многогранный угол ВА D С . Чаще он называется трёхгранным углом.

В параллелепипеде грани АА ₁ D₁D, АВС D, AA₁B₁B образую т трехгранный угол AA₁DB.

Ну а рисунок 2 выполнен в форме шестигранного угла. Он состоит из шести плоских углов.

Для многогранного угла справедлив ряд свойств. Сформулируем их и докажем. Здесь говорится, что утверждение

Во–первых, для любого выпуклого многогранного угла существует плоскость, пересекающая все его рёбра.

Рассмотри для доказательства многогранный угол ОА₁А₂ А₃…А _n .

По условию он выпуклый. Угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждого из своих плоских углов.

Так как по условию этот угол выпуклый, то точки О, А₁, А₂ ,А₃, . А _n лежат по одну сторону от плоскости ОА₁А₂

Проведем среднюю линию KM треугольника ОА₁А₂ и выберем из ребер ОА₃, ОА₄, ОА _n , то ребро которое образует с плоскостью ОКМ, наименьший двугранный угол. Пусть это будет ребро ОА j .

Рассмотрим полуплоскость α с границей КМ, делящую двугранный угол ОКМА j на два двухгранных угла. Все вершины от А до А _n лежат по одну сторону от плоскости α , а точка О по другую сторону. Следовательно, плоскость α пересекает все ребра многогранного угла. Утверждение доказано.

Выпуклые многогранные углы обладают ещё одним важным свойством.

Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

Рассмотрим выпуклый многогранный угол с вершиной в точке О. В силу доказанного утверждения существует плоскость, которая пересекает все его ребра.

Проведем такую плоскость α , пусть она пересекает рёбра угла в точках А₁, А₂, А₃ и так далее А _n .

Плоскость α от внешней области плоского угла будет отсекать треугольник. Сумма углов которого 180°. Получим, что сумма всех плоских углов от А₁ОА₂ до А _n ОА₁ равна A₁OA₂+A₂OA₃+…+A_nOA₁

Преобразуем это выражение, перегруппируем слагаемые, получим

В выражении 180º×n-(OA₁A_n+OA₁A₂)-(OA₂A₁+OA₂A₃)-….-(OA_nA_n-1+OA_nA₁) суммы, указанные в скобках, являются суммами плоских углов трехгранного угла, а как известно, они больше третьего плоского угла.

Неравенство OA₁A_n+OA₁A₂>A_nA₁A₂ . можно записать для всех трёхгранных углов, образующих данный многогранный угол.

Следовательно, получим следующее продолжение равенства 180º×n -( A_nA₁A₂ + A ₁ A ₂ A ₃ +. + A_n-1A_nA₁ )= 180º×n - 180º× ( n -2)= 180º×n - 180º×n +360º

Полученный ответ доказывает, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов.

Задания на слайдах.

V. Домашнее задание

Повторить тему правильные многогранники и их виды. Так же их определения.

Теорема: Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.

Дополнительная литература:

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим три луча с общим началом в точке O — OA, OB и OC, которые не лежат в одной плоскости (рис. 1). Каждая пара лучей образует плоский угол. Три угла АОВ, ВОС, СОА образуют трехгранный угол ОАВС. Каждый из углов АОВ, ВОС, АОС является плоским углом этого трехгранного угла. Каждый плоский угол трехгранного угла меньше сумму двух других плоских углов.

Рассмотрим фигуру, составленную из углов А₁ОА₂, А₂ОА₃, и так далее до А_пОА₁ и их внутренних областей так, что смежные углы не лежат в одной плоскости, а несмежные углы не имеют общих точек (рис. 2). Такая фигура называется многогранным углом. Такой угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждого из своих плоских углов.

Теорема.

Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов.

Доказательство.

Рассмотрим выпуклый многогранный угол с вершиной О и проведем плоскость, пересекающую все его ребра в некоторых точках А₁, А₂, . А_n. Многоугольник А₁А₂. А_n — выпуклый (рис. 2).

Найдем сумму плоских углов. Каждый плоский угол можно выразить через сумму углов треугольника, который образуется парой ребер и плоскостью, пересекающей все ребра многогранного угла. Далее вынесем из под скобок 180 градусов и перегруппируем в скобках углы так, чтобы в скобках была сумма плоских углов трехгранного угла, образованного тремя соседними лучами.

Сумма плоских углов трехгранного угла больше третьего плоского угла, поэтому каждая сумма углов в скобках не больше, чем соответствующий им третий плоский угол. Поэтому искомая сумма не превышает 360 градусов.

Что и требовалось доказать.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Дан тетраэдр ABCD (рис. 3). В этом тетраэдре углы DAB, DAC и ACB прямые. Ребра AC и CB равны 10 сантиметрам, отрезок DB равен 10 сантиметров. Необходимо найти двугранный угол ABCD.

Решение

По условию прямая DA перпендикулярно прямым AB и AC. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая DA перпендикулярна ABC.

Тогда прямая DA – перпендикуляр к плоскости ABC. Прямая DC – наклонная, а AC – проекция. По условию прямая AC перпендикулярна прямой BC. Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная DC перпендикулярна прямой BC. Это означает, что угол ACD является линейным углом искомого двугранного угла. Из прямоугольного треугольника DCB найдем DC по теореме Пифагора.

Из прямоугольного треугольника ACD теперь можно выразить косинус угла ACD.

Ответ: 60 градусов.

В трехгранном угле два плоских угла равны 115.8º и 97º. Если величина третьего плоского угла задается целым числом градусов, то ее наибольшее значение равно?

Обозначим величину третьего плоского угла за X. Воспользуемся теоремой о сумме плоских углов многогранного угла: сумма плоских углов многогранного угла меньше 360º. Следовательно, можно записать неравенство:

Двугранный угол — это часть пространства, заключённая между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

Если в пространстве пересекаются две плоскости, получаются четыре двугранных угла (аналогично как при пересечении двух прямых получаются четыре угла). Рассмотрим один из них.

Выберем на ребре \(a\) двугранного угла произвольную точку \(C\) и проведём две пересекающиеся прямые AC ⊥ a и BC ⊥ a , а через эти прямые — плоскость γ перпендикулярно ребру \(a\).

Линии пересечения \(AC\) и \(BC\) полуплоскостей α и β с плоскостью γ образуют некоторый угол ∡ ACB . Этот угол называется линейным углом двугранного угла. Величина линейного угла не зависит от выбора точки \(C\) на ребре \(a\).

В данном файле представлена разработка урока по геометрии.

Содержимое разработки

Двугранный угол. Решение задач.

Точки А и В лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°.

Отрезки АС и ВD проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла.

Найдите отрезок СD, если АВ = АС = ВD = а.

Дано: ∠САВD= 120°,

Здесь дан тупой двугранный угол, ∠САВD= 120°.

АВ – ребро двугранного угла, точка С лежит в одной полуплоскости, точка D лежит в другой полуплоскости. В одной полуплоскости проведена прямая АС, перпендикулярная АВ. В другой полуплоскости проведена прямая ВD, перпендикулярная АВ.

Проведем АК перпендикулярно АВ и DК параллельно АВ (рис. 2). Тогда угол САК – линейный угол двугранного угла, а значит, ∠САК = 120°.

Так как прямые АК и ВDперпендикулярны одной и той же прямой АВ, то прямые АК и ВD – параллельны. В четырехугольнике АКDВ противоположные стороны параллельны (AK∥BD, AB∥ DK), значит, АКВD– параллелограмм. Значит, АК=BD = а.

Рассмотрим треугольник АКС. Найдем с помощью теоремы косинусов:

Прямая АВ перпендикулярна плоскости линейного угла (по свойству 1), значит, и параллельная ей прямая DКперпендикулярна плоскости линейного угла. А значит, прямая DК перпендикулярна прямой СК, лежащей в плоскости линейного угла, то есть угол СКD прямой.

Из прямоугольного треугольника СКD по теореме Пифагора находим гипотенузу СD.

Найдите двугранный угол АВСD тетраэдра АВСD, если углы DАВ, DАС и АСВ прямые, АС = СВ = 5 DВ = .

Дано: АВСD – тетраэдр.

∠DАВ = ∠DАС = ∠АСВ = 90°.

АС = СВ = 5, DВ = .

Найти: ∠ (АВСD)

Прямая DA перпендикулярна пересекающимся прямым АВ и АС из плоскости АВС. Значит, прямая DA перпендикулярна плоскости АВС.

Тогда АС - это проекция DС на плоскость АВС. Проекция АС перпендикулярна прямой ВС из плоскости по условию, значит, и наклонная DС перпендикулярна прямой ВС (по теореме о трех перпендиулярах). Получаем, что угол АСD – линейный угол искомого двугранного угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DСВ. Найдем DС по теореме Пифагора.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСD. Выразим косинус угла АСD.

Тогда

Ответ: .

№ 171 Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости , а катет наклонён к этой плоскости под углом 30 0 . Найти угол между плоскостью и плоскостью треугольника.

Дано: треугольник ABC, ∠C=90 0 ,

CB=CA, AB C , ∠(CB, ) = 30 0 .

С Найти: ∠(α; АВС)

Построим линейный угол двугранного угла (α; АВС).

Т.К. треугольник АВС – равнобедренный, то высота СЕ является медианой. СЕ – наклонная, СЕ⊥АВ, точка D- проекция точки С, СD⊥α по теореме о трёх перпендикулярах DЕ⊥АВ, т.е. ∠СЕD –линейный угол двугранного угла.

Из треугольника СВЕ (∠СЕB=90 0 ) sin∠СBE= CЕ=ВС ∙ sin45 0 , СЕ=а∙.

Из треугольника СDВ (∠СDВ=90 0 , т.к. СD⊥α, то СD⊥DB, DB C ) CD – катет, лежащий против угла 30 0 , значит, СD=.

Из треугольника СDE (∠СDE=90 0 ) sin∠CED = , sin∠CED =: = = , т.е. ∠CED=45 0 .

А т.к. градусная мера двугранного угла равна градусной мере соответствующего ему линейного угла, то ∠(α; АВС) =45 0 .

-75%

Читайте также: