Маятник математический маятник конспект

Обновлено: 05.07.2024

Маятник — твердое тело, которое совершает под действием приложенных сил механические колебания около неподвижной точки или оси.

Простейший маятник состоит из небольшого груза массой m, подвешенного на невесомой нити или тонком стержне длиной l и совершающего колебания под воздействием земного притяжения. Если нить считать нерастяжимой, размер груза незначительным по сравнению с длиной нити, а массу нити незначительной по сравнению с массой груза, то груз можно считать материальной точкой массой m, находящейся на постоянном расстоянии l от точки подвеса. Такой маятник называют математическим.

Определение модели системы

Математические модели динамических систем часто используют для анализа самых разных технических, социально-экономических, естественнонаучных систем, в которых происходят циклические процессы.
Существуют различные классификации динамических процессов. Одна из них изображена на схеме:
φ , тогда время t, за которое плоскость колебаний маятника совершает полный оборот, окажется равно

Отсюда следует, что если бы Земля не вращалась, данного эффекта просто не существовало бы. Это обстоятельство указывает на то, что причиной неинерциальности земной системы отсчета является вращение планеты.

Центробежное ускорение на экваторе равно 0 , 034 м / с 2 . По сравнению с экваториальным ускорением свободного падения g = 9 , 78 м / с 2 это величина малая, но она заметно влияет на изменение веса тела на экваторе по сравнению с его весом на полюсе. Если, например, взвешивать на пружинных весах тело массой 10 кг, то уменьшение веса на экваторе за счет действия центробежной силы составит около 35 г.

Период колебаний математического маятника

Период колебаний — время, за которое происходит одно полное колебание. В СИ измеряется в секундах.

Чему равен, от чего зависит частота

Если за время t совершается N колебаний, то период, обозначаемый буквой T, равен

где v — частота колебаний. Она обратно пропорциональна периоду.
Колебания можно изобразить в виде графика:

g — ускорение свободного падения. Не зависит от амплитуды колебаний и массы груза.

Циклическая частота — число колебаний, которые система совершает за 2 π секунды. Также циклическую частоту называют угловой, круговой или радиальной. Кратко ее записывают греческой буквой ω . Она позволяет упростить расчеты с использованием радианов, так как при ее введении сокращаются множители 2 π .

В случае математического маятника она определяется длиной подвеса и ускорением свободного падения:

Для физического маятника в уравнение добавляются инерция и масса подвеса:

Для пружинного маятника частоту определяет жесткость пружины k:

Уравнения движения и их решение, формулы с примерами

Математический маятник — это материальная точка, имеющая массу m и подвешенная на нити с неизменяемой длиной l. Покидая положение равновесия, подвес совершает колебательные движения по дуге.

M = - m g × l sin α .

Угол отклонения мал, поэтому мы учитываем только то, что он отрицателен. Синус угла α считаем приблизительно равным α . Тогда:

m l 2 × α ' ' = - m g l α ;

Это дает нам дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Из уравнения следует, что при малых углах отклонения от положения равновесия маятник будет колебаться с периодом

T = 2 π ω = 2 π l g .

Все кинематические характеристики движения меняются по гармоническим законам, т. е. по закону синуса или косинуса. Рассмотрим, от чего зависят константы амплитуды А и начальной фазы движения φ 0 .
Амплитуда колебаний определяется энергией, переданной маятнику при отклонении от положения равновесия. В случае пружинного маятника в крайнем положении скорость груза и кинетическая энергия равны нулю, полная энергия состоит только из потенциальной энергии:

E п о л н а я = k A 2 2 .

Из этого следует, что

А = 2 E п о л н а я k .

Начальная фаза зависит от того, как маятник вывели из положения равновесия. Рассмотрим ситуацию, в которой маятник отклонили от положения равновесия на расстояние А и отпустили без начальной скорости. Запишем уравнение движения колеблющегося тела с учетом того факта, что в начальный момент координата тела будет равна А:

x = A × cos ω t + φ 0 ;

x ( 0 ) = A × cos ω × 0 + φ 0 = A × cos φ 0 = А ⇒ cos φ 0 = 1 ⇒ φ 0 = 1 .

Уравнение движения маятника:

Если маятник толкнули, когда он находился в положении равновесия, начальная координата колеблющейся точки будет равна нулю:

x ( 0 ) = A × cos ω × 0 + φ 0 = A × cos φ 0 = 0 ⇒ cos φ 0 = 0 ⇒ φ 0 = ± π 2 .

Уравнение движения маятника:

x ( 0 ) = A × cos ω t ± π 2 = ± A × sin ω t .

Рассмотрим задачи, для которых требуется составлять и решать уравнения движения.

Необходимо определить амплитуду и частоту колебаний точки, если известно, что при смещении точки от положения равновесия на 5 см ее скорость равна 6 см/с, а при смещении на 3 см — 10 см/с.

x = A × cos ω t + φ 0 v x = x ' = - A ω × sin ω t + φ 0

Исключаем время из системы:

x = A × cos ω t + φ 0 v x = x ' = - A ω × sin ω t + φ 0 ⇒ x = A × cos ω t + φ 0 v x ω = - A × sin ω t + φ 0 ⇒ x 2 = A 2 × cos 2 ω t + φ 0 v 2 ω 2 = A 2 × sin 2 ω t + φ 0

x 2 + v 2 ω 2 = А 2 .

x 2 А 2 + v 2 v 2 m a x = 1 .

x 1 2 + v 1 2 ω 2 = А 2 x 2 2 + v 2 2 ω 2 = А 2

Преобразовав выражения и подставив значения, данные в условиях задачи, получаем:

ω = v 2 2 - v 1 2 x 1 2 - x 2 2 = 2 c - 1 ;

A = x 1 2 v 2 2 - x 2 2 v 1 2 v 1 2 - v 2 2 ≈ 5 , 57 с м ;

v = ω 2 π ≈ 0 , 32 Г ц .

Необходимо вычислить циклическую частоту колебаний точки, если известно, что при скорости 13 см/с ускорение равнялось 6 с м / с 2 , а при уменьшении скорости до 12 см/с произошло увеличение ускорения до 10 с м / с 2 .

Решение:
Координата точки меняется по закону

Запишем уравнения скорости и ускорения точки:

v x = - A × ω × sin ω t a x = - A × ω 2 × cos ω t ⇒ v x A ω = - sin ω t a x A ω 2 = - cos ω t ⇒ v 2 ω 2 + a 2 ω 4 = A 2 .

Преобразуем уравнение, исключив из него А, и подставим значения, данные в условиях задачи:

ω = a 2 2 - a 1 2 v 1 2 - v 2 2 = 1 , 6 c - 1 .

Практическое применение математического маятника

С помощью математического моделирования динамических систем можно обнаружить схожесть динамических процессов в реальных физических, технических, биологических, химических и социально-экономических системах. Разработка моделей, позволяющих предсказывать время и другие характеристики периодических процессов в этих системах, является эффективным способом анализировать, например, сельскохозяйственные или производственно-экономические процессы.

Математическим маятником называют материальную точку (тело небольших размеров), подвешенную на тонкой невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне.

Рис. \(1\). Силы, действующие на материальную точку в положении равновесия и при отклонении от положения равновесия

В положении равновесия сила тяжести и сила упругости нити уравновешивают друг друга, и материальная точка находится в покое.

При отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол α на тело будет действовать возвращающая сила \(F\), которая является тангенциальной составляющей силы тяжести:

Эта сила сообщает материальной точке тангенциальное ускорение, направленное по касательной к траектории, и материальная точка начинает двигаться к положению равновесия с возрастающей скоростью. По мере приближения к положению равновесия возвращающая сила, а следовательно, и тангенциальное ускорение точки уменьшаются. В момент прохождения положения равновесия угол отклонения α \(=0\), тангенциальное ускорение также равно нулю, а скорость материальной точки максимальна.

Далее материальная точка проходит по инерции положение равновесия и, двигаясь далее, сбавляет скорость. В крайнем положении материальная точка останавливается и затем начинает двигаться в обратном направлении.

Период малых собственных колебаний математического маятника длины \(l\), неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения \(g\), равен

Наиболее известным практическим использованием маятника является применение его в часах для измерения времени. Впервые это сделал голландский физик X. Гюйгенс.

Поскольку период колебаний маятника зависит от ускорения свободного падения \(g\), то часы, которые идут верно в Москве, будут идти вперёд в Санкт-Петербурге. Чтобы эти часы шли верно в Санкт-Петербурге, приведённую длину их маятника нужно увеличить.

В геологии маятник применяют для опытного определения числового значения ускорения свободного падения \(g\) в разных точках земной поверхности. Для этого по достаточно большому числу колебаний маятника в том месте, где измеряют \(g\), находят период его колебаний, а затем вычисляют ускорение свободного падения, выразив его из формулы периода маятника.

Заметное отклонение величины \(g\) от нормы для какой-либо местности называют гравитационной аномалией.

Опыт показывает, что качающийся маятник сохраняет плоскость, в которой происходят его колебания. Это означает, что если привести в движение маятник, установленный на диске центробежной машины, а диск заставить вращаться, то плоскость качания маятника относительно комнаты изменяться не будет. Это позволяет с помощью опыта обнаружить вращение Земли вокруг своей оси.

В \(1850\) г. Ж. Фуко подвесил маятник под куполом высокого здания так, что острие маятника при качании оставляло след на песке, насыпанном на полу. Оказалось, что при каждом качании острие оставляет на песке новый след. Таким образом, опыт Фуко показал, что Земля вращается вокруг своей оси. В условиях вращения Земли при достаточно большой нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, медленно поворачивается относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли.

При исследовании гармонических колебаний твердого тела, которое не моделируют в виде материальной точки, рассматривают физический маятник .

Рис. 1. Силы, действующие на материальную точку в положении равновесия и при отклонении от положения равновесия. . © ЯКласс.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тема: Механические колебания, их характеристики.

Математический маятник.

Тип урока: комбинированный урок.

Цели урока: познакомить учащихся с одним из наиболее распространённых движений в природе и технике – колебательным движением на примере математического маятника; ввести понятия характеристик колебательного движения; выяснить условия существования свободных колебаний; формировать у учащихся умения наблюдать и анализировать физические явления; способствовать развитию умений вести диалог и занимать активную позицию на уроке.

Оборудование: метроном, штатив с муфтой и кольцом, шарик с отверстием, нить, груз, скреплённый с пружиной, мячик.

Вступительно-мотивационный этап урока.

Приветствие учащихся и контроль отсутствующих на уроке. План урока.

II. Ревокация. Постановка учебной проблемы.

Учитель. Прежде чем я оглашу тему урока, хочу обратить ваше внимание к таким демонстрациям: катится по столу мяч и движется стрелка метронома. В чём различия этих движений?

Учащиеся. Движение стрелки метронома – движение повторяющееся периодически.

Учитель. Да. Колеблются ветки деревьев под действием ветра, бьётся сердце человека, колеблется маятник часов, качели, на которых качался каждый из нас, струны музыкальных инструментов, движение наших голосовых связок. Колебательное движение происходит и в жизни нашей планеты: землетрясения, приливы и отливы. Это всё примеры колебательного движения или механических колебаний. Я думаю, что такой широкий спектр проявления колебательных движений вас действительно заинтересовал. С этим движением мы сегодня и познакомимся.

Оглашение темы урока и формирование целей урока совместно с учениками:

дать определение механическим колебаниям и их характеристикам;

ввести понятие свободных и вынужденных колебаний;

выяснить, что такое математический маятник и каковы его особенности.

Запись в тетради числа и темы урока.

II . Изучение нового материала.

Учитель. Ребята, перед вами скелет опорного конспекта урока. В него вы будете вписывать определения, которые нами будут изучены.

Колебания – один из самых распространённых видов движения в природе и технике. Сначала давайте запишем определение механических колебаний. Механические колебания – это физические процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые интервалы времени.

Демонстрация колебаний тела на пружине и шарика, подвязанного к нити.

Учитель. Перед вами два ярких примера механических колебаний. Скажите, пожалуйста, в чём их особенность?

Учащиеся. 1. Во время колебаний тело периодически отклоняется от положения равновесия.

2. Для того, что бы получить колебательное движение, на тело воздействуют извне силой.

Учитель. Вторая особенность, на которую вы указали, даёт возможность разделить колебательное движение на два вида: свободные и вынужденные.

Свободные колебания – это колебания, происходящие в механической системе под действием внутренних сил системы после кратковременного воздействия внешней силы.

Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешних сил.

Приведите, пожалуйста, примеры этих видов колебаний.

Учащиеся. К свободным мы отнесём колебания тел на пружине и на нити, чашки весов. А к вынужденным, например, качели, которые мы периодически подталкиваем, струны гитары.

Учитель. А теперь вернёмся к выше перечисленным вами особенностям. Первая, замеченная вами, особенность связана с одной из характеристик колебательного движения. Максимальное смещение тела от положения равновесия называют амплитудой и обозначают x . Единицы измерения амплитуды – метры.

Какие же ещё величины характеризуют колебательное движение? Что ещё можно измерить относительно этого движения?

Учащиеся. Время одного полного колебания и количество колебаний.

Учитель. Время одного полного колебания называют периодом колебаний. Т.е. это промежуток времени, через который движение полностью повторяется.

Число полных колебаний, совершённых телом за 1с, называют частотой колебаний.

Механические колебания груза на пружине и шарика на нити – это движение, при котором смещение зависит от времени по закону синуса или косинуса. А такие колебания называют гармоническими.

Давайте, ребята, вспомним из математики, чему равен период функции косинус?

Учащиеся. Период функции косинус равен 2.

Учитель. Правильно. Число полных колебаний, совершённых за 2 секунд, называют циклической частотой.

Колебательное движение, так же как и движение равномерное и равноускоренное, имеет своё уравнение движения. Запишем его для периодического изменения координаты

x = Xcos t

Теперь ещё раз обратимся к модели тела, подвешенного к нити. Её можно назвать математическим маятником. Математический маятник – это система, состоящая из материальной точки, подвешенной на тонкой нерастяжимой нити. Почему в нашем случае тело – шарик – мы считаем материальной точкой?

Учащиеся. Диаметр шара на много меньше длины нити.

Учитель. Какая физическая величина заставляет маятник совершать движения?

Учащиеся. Сила.

Учитель. Давайте с вами вспомним, какие силы действуют на тело, подвешенное к нити, при выведении его из положения равновесия? Воспользуемся рисунком.

Учащиеся. На шарик действует сила упругости или сила натяжения нити, направленная вдоль нити вверх, и сила тяжести, направленная перпендикулярно вниз. А приводит в движение систему их равнодействующая, которая направлена в сторону возвращения тела в положение равновесия.

Учитель. Формула периода математического маятника

На последующих уроках нами будет получено вывод этой формулы.

Мы видим, что период математического маятника зависит от длины нити маятника и от величины g . Что же это за величина?

Учащиеся. Это ускорение свободного падения, которое равно 9,8 м/с.

Учитель. Итак, в процессе беседы мы с вами познакомились с новым видом движения – механические колебания. Вы не забыли, ребята, отразить результат нашей с вами работы на полученных вами ладонях? На последующих уроках вы больше расширите знания по этой теме, а сегодня мы должны с вами закрепить те знания, которые вы получили.

IV . Закрепление нового материала.

Задача №1. Математический маятник длиной 99,5 см за одну минуту совершил 30 полных колебаний. Определите период колебаний маятника и ускорение свободного падения в том месте, где находится маятник.

Дано СИ Решение

l = 99,5см 0,995м Т=

t = 1мин 60 сек T = 2 c ек

N =30 Т = 2 Т= 4 g = , или

Ответ: 2с; 9,81 м/с.

Задача №2. Из приведённых ниже примеров выберите примеры свободных колебаний и вынужденных: движение пилы при распиливании дров; колебание игрушки-неваляшки; движение гитарной струны; движение ветки под действием ветра; движение иголки в швейной машинке.

Учитель. А теперь давайте послушаем выводы, к которым пришла наша исследовательская группа после поиска ответа на вопрос: как период колебаний зависит от амплитуды?

V . Рефлексия. Домашнее задание.

Механические колебания –

это физические процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые интервалы времени

это колебания происходящие

Амплитуда (Хm) -

это максимальное смещение тела от положения равновесия

Период (Т) –

это время одного полного колебания

Частота (ν) –

это число колебаний в единицу времени

Циклическая частота (ω) –

это число полных колебаний за время равное 2π

Гармонические колебания – это движение при котором смещение зависит от времени по закону синуса или косинуса

Х = Х m cos ω t

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная к тонкой нерастяжимой нити Т = 2π √ l / g

Учитель: Швайко Лариса Анатольевна,

образовательная:

- ввести понятия колебательного движения и колебательной системы;

- объяснить, что такое свободные колебания и условия существования свободных колебаний;

- рассмотреть величины, характеризующие механические колебания: амплитуда, период, частота;

- выяснить от каких величин зависит период нитяного и пружинного маятников;

- выяснить, какую роль в жизни человека играют механические колебания.

развивающая:

- развивать логическое мышление, познавательный интерес, умение обобщать, сравнивать, сопоставлять, исследовать, анализировать;

- совершенствовать навыки решения задач.

воспитывающая:

-продолжить воспитание аккуратности при работе с приборами, умение работать в группах, формировать коммуникативную компетентность.

Оборудование: проектор, компьютер, презентация, пружинный и математический маятники, линейка, секундомер, динамометр.

Тип урока: комбинированный

I. Организационный момент.

Взаимное приветствие. Проверка готовности учащихся к уроку. Создание в классе атмосферы сотрудничества.

Колеблется синий на нитке паук.

Прозрачен и чист,

В сияющих звёздах колеблется лист.

Итак, о каком виде движения идёт речь в стихотворении? Подумайте и назовите, где встречаются колебания в природе, в жизни, в технике.

Учащиеся называют разные примеры колебаний.

Учитель: Что же общего между всеми этими движениями?

Учащиеся: Эти движения повторяются.

Учитель: Как вы думаете, какова тема урока? Сформулируйте цели урока.

Запишите тему урока: Механические колебания. Математический маятник.

III. Актуализация знаний и изучение нового материала.

Учитель: предлагаю совместно сформулировать задачи урока.

Задачи урока:

Выяснить, что такое колебание.

Сформулировать условия возникновения колебаний.

Рассмотреть виды колебаний и их характеристики.

Научиться применять формулы при решении задач.

Учитель: Посмотрите на колебания математического и пружинного маятников (демонстрируются колебания). Абсолютно ли точно повторяются колебания?

Учащиеся: Нет.

Учитель: Почему? Выясняется, что мешает сила трения. Так что же такое колебание?

Учащиеся: Колебания - это движения, которые точно или приблизительно повторяются с течением времени. (Определение записывается в тетрадь.)

Учитель: Почему так долго продолжаются колебания? (На пружинном и математическом маятниках объясняется при помощи совместной работы учащихся и учителя превращение энергии при колебаниях.)

Учитель: Выясним условия возникновения колебаний. Что нужно, чтобы начались колебания?

Учащиеся: Нужно толкнуть тело, приложить к нему силу. Чтобы колебания длились долго, нужно уменьшить силу трения, условия записываются в тетрадь.

Учитель: Колебаний встречается очень много. Классифицируем их. Демонстрируются вынужденные колебания на примере модели двигателя внутреннего сгорания; на пружинном и математическом маятниках - свободные колебания. Учащиеся записывают в тетрадь виды колебаний.

Учитель: Если внешняя сила постоянная, то колебания называются автоматическими. Учащиеся в тетрадь записывают определения свободных, вынужденных, автоматических колебаний.

Учитель: Ещё колебания бывают затухающие и незатухающие. Затухающие колебания - это колебания, которые, под действием сил трения или сопротивления, со временем уменьшаются.

Незатухающие колебания - это колебания, которые со временем не изменяются (силы трения, сопротивления отсутствуют). Для поддержания незатухающих колебаний необходим источник энергии.

Выполнить задание:

Даны примеры колебаний.

колебания листьев на деревьях во время ветра;

колебание груза на пружине;

перестановка ног при ходьбе;

колебание струны после того, как её выведут из положения равновесия;

колебания поршня в цилиндре;

колебание шарика на нити;

колебание травы в поле на ветру;

колебание голосовых связок;

колебания щёток стеклоочистителя (дворники в машине);

колебания метлы дворника;

колебания иглы швейной машины;

колебания корабля на волнах;

размахивание руками при ходьбе;

колебания мембраны телефона.

1 вариант выписывает примеры затухающих колебаний.

2 вариант выписывает примеры незатухающих колебаний.

Учащиеся среди приведённых колебаний выписывают по вариантам примеры затухающих и незатухающих колебаний, затем проводят взаимопроверку ( работают в парах ).

Учитель: А теперь введём понятие амплитуды колебания. Максимальное смещение тела от положения равновесия называют амплитудой и обозначают x. Единицы измерения амплитуды – метры.

Какие же ещё величины характеризуют колебательное движение?

Учащиеся. Время одного полного колебания и количество колебаний.

Учитель. Время одного полного колебания называют периодом колебаний. Т.е. это промежуток времени, через который движение полностью повторяется.

T =

Число полных колебаний, совершённых телом за 1с, называют частотой колебаний.

[] = 1 Гц (Герц)

Давайте, ребята, вспомним из математики, чему равен период функции косинус?

Учащиеся. Период функции косинус равен 2.

Учитель. Правильно. Число полных колебаний, совершённых за 2 секунд, называют циклической частотой.

[] = 1 рад/с

x=Xcos t

Учащиеся: Диаметр шара намного меньше длины нити.

Учитель: Какая физическая величина заставляет маятник совершать движения?

Учащиеся: Сила.

Учитель: Давайте с вами вспомним, какие силы действуют на тело, подвешенное к нити, при выведении его из положения равновесия? Воспользуемся рисунком.

Учащиеся: На шарик действует сила упругости или сила натяжения нити, направленная вдоль нити вверх, и сила тяжести, направленная перпендикулярно вниз. А приводит в движение систему - их равнодействующая, которая направлена в сторону возвращения тела в положение равновесия.

Учитель: Формула периода математического маятника

Т = 2

Мы видим, что период математического маятника зависит от длины нити маятника и от ускорения свободного падения.

Работа в группах.

Экспериментальное задание: Исследование зависимости периода колебаний маятника от длины нити.

1. Измерить время t, за которое маятник совершает 10 колебаний и вычислить период колебаний Т маятника.

Читайте также: