Конспект урока синус и косинус тангенс и котангенс

Обновлено: 03.07.2024

Данный урок позволяет в доступной форме изучит материал, который традиционно считается трудным для обучающихся.

Вложение	Размер
attestatsiya_2.docx	306.73 КБ
nachala_trigonometrii.pptx	982.22 КБ

Предварительный просмотр:

Санкт-Петербургское государственное бюджетное образовательное учреждение среднего

Преподаватель Рытова И.В.

Алгебра и начала анализа 1 курс

Тема занятия: Начала тригонометрии.

Ввести понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла.
Научиться строить любые углы на единичной окружности и определять в какой координатной четверти они находятся.
Научиться определять знаки тригонометрических функций в координатных четвертях.
Ввести понятие радианной меры угла.
Научиться переводить градусную меру в радианную и наоборот.
Заполнить и выучить таблицу тригонометрических функций .

Развивать творческие способности студентов, формировать познавательный интерес, используя презентации и создание проблемных ситуаций.
Развивать способность объяснять, сравнивать, выделять главное.
Развивать память и речь.

Воспитывать добросовестное отношение к учебному процессу.
Воспитывать дисциплинированность.
Воспитывать эстетическое восприятие мира.

Тип занятия: Занятие-лекция с элементами самостоятельной работы.

Оборудование : компьютер, интерактивная доска, презентация.

Организационный момент.
Этап постановки целей и задач.
Подготовка к изучению нового материала. Создание проблемной ситуации.
Изучение нового материала.
Закрепление изученного.
Проверка степени усвоения нового материала.
Домашнее задание.
Подведение итогов занятия.

I .Организационный момент.

Преподаватель проверяет готовность группы к занятию.

II.Этап постановки целей и задач.

Преподаватель определяет тему занятия, а также цели занятия.

III.Подготовка к изучению нового материала.

Далее преподаватель предлагает студентам вспомнить определения синуса, косинуса и тангенса острых углов, известные им из геометрии.

Обозначается проблема: а существуют ли синус, косинус и тангенс углов, больших 90 ?

Если да, то как они определяются?

IV. Изучение нового материала.

1)Рассматривается единичная окружность. Каждой точке этой окружности ставится в соответствие угол, образованный положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором, проведенным в эту точку.

Обращается внимание студентов на то, как построить угол, градусная мера которого по модулю больше 360

2)Вводятся определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов, больших 90 .

Далее заполняется таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 0, 30,45, 60, 90,180, 270 и 360 градусов, используя определение и единичную окружность.

3) Используя определения записываются знаки тригонометрических функций в координатных четвертях.

4) Рассматривается четность и периодичность функций.

5) Вводится понятие радианной меры угла.

Преподаватель отмечает, что кроме градусной меры угол имеет и другое измерение.

Так если брать отношение длины дуги угла к радиусу, то получится радианное измерение угла.

Дается формула перехода от градусной меры к радианной и наоборот. Заполняется таблица соответствия градусных мер радианным.

V. Закрепление изученного.

Задание 1. В какой координатной четверти расположены углы:

Задание 2. Определить знак.

Задание 3. Вычислить

Задание 4. Перевести из радиан в градусы

Задание 5. Вычислить

Студенты решают данные задания самостоятельно в тетрадях с последующей проверкой на доске. Преподаватель отвечает на возникающие в процессе решения вопросы.

VI. Проверка степени усвоения нового материала.

Два варианта (задания второго варианта в скобках).

№ 1. В какой координатной четверти расположены углы :

№ 2. Определите знак

№ 1. I(I); II (III); II(I); I(III); I(IV)

Задания проверочной работы разбираются устно.

VII. Домашнее задание.

VIII. Подведение итогов занятия.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Тригономе́трия (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) — раздел математики , в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса ( Bartholomäus Pitiscus , 1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре .

Эти ученые внесли свой вклад в развитие тригонометрии Архимед Фалес Жозеф Луи Лагранж

Тригонометрия возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат, отвечающий практическим нуждам человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт. Общепринятые понятия тригонометрии, а также обозначения и определения тригонометрических функция сформировались в процессе долгого исторического развития. Тригонометрические сведения были известны древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции встречающиеся уже в III веке до н.э. в работах великих математиков– Евклида, Архимеда, Апполония Пергского . Древнегреческие астрономы успешно решали вопросы из тригонометрии, связанные с астрономией.

Тригонометрия – математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника. Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела, при измерении расстояний до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, при контроле системы навигации, в теории музыки, акустике, оптике, электронике, теории вероятностей, статистике, биологии, медицине (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтике, химии, сейсмологии, метеорологии, океанологии, картографии, архитектуре, экономике, электронной технике, машиностроении, компьютерной графике.

Вспомним: а в с Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.

В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось.

Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса и отложим от горизонтальной оси угол (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим Р. 1 Р

Синус угла определяется как ордината точки Косинус — абсцисса точки Тангенс – отношение ординаты к абсциссе точки Котангенс – отношение абсциссы к ординате точки

Проверим: - 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 - - - -

Знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса в координатных четвертях + + + + + + + + - - - - - - - -

Четность, нечетность синуса, косинуса, тангенса, котангенса Нечетные функции Четная функция

Периодичность тригонометрических функций При изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса не изменяются

Радианная мера угла R С центральный угол R – радиус С – длина дуги Если R = C , то центральный угол равен одному радиану Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности

Угол в градусах Угол в радианах Градусная и радианная меры углов

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

План-конспект урока алгебры и начал анализа в 10 кл. по теме: "Синус и косинус разности аргументов"

План-конспект урокатригонометрии в 10 классе по теме: "Синус и косинус разности аргументов". Цели: вывести формулы синуса и косинуса разности, вырабатывать умение и навыки применять их, выполня.

План – конспект урока алгебры и начала анализа в 11 классе по теме "Применения производной".

План -конспект урока алгебры в 11 классе.

Конспект урока на тему "Сталинградская битва - начало коренного перелома в Великой Отечественной войне"

Урок раскрывает сущность коренного перелома в ходе Великой Отечественной войны при изучении основных этапов Сталинградской битвы.

План-конспект урока алгебры и начал математического анализа в 10 классе по теме "Синус, косинус, тангенс углов а и -а".

Материал содержит методическую разработку плана-конспекта урока алгебры и начал математического анализа в 10 классе по теме "Синус, косинус, тангенс углов а и -а".

конспект урока по теме "Начало Великой Отечественной войны".

Конспект урока по теме "Начало Великой Отечественной войны" для 9 класса по учебнику А.А.Данилова с опорным конспектом для учащихся и презентацией.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тема урока: Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.

Тип урока: Комбинированный.

Образовательные : ввести понятие тригонометрических функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса, как координат точки единичной окружности; определить множество значении этих функций; рассмотреть перевод градусной меры измерения улов в радианную меру и наоборот; рассмотреть зависимости между косинусом, синусом, тангенсом и котангенсом одного и того же аргумента.

Развивающие: развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в различных ситуациях; развивать грамотную математическую речь учащихся, умение давать лаконичные формулировки.

Воспитательные : воспитывать у учащихся аккуратность, умение слушать, высказывать свое мнение; культуру поведения.

Продолжительность: 1 час 20 минут.

Структура урока

1. Организационный момент (1 мин)

2. Целеполагание. Постановка цели урока (2мин)

3. Повторение теоретического материала (3 мин.)

4. Выступление студентов (10мин)

5. Изучение нового материала (30 мин)

6.Решение задач (15мин).

7. Практическая работа (15 мин) .

8. Постановка домашнего задания (1 мин).

9. Рефлексия (3 мин).

1. Организационный момент (1 мин).

Здравствуйте ребята. Садитесь. Проверка готовности к уроку, отсутствующие. Сегодня у нас на уроке присутствуют гости, покажем себя эрудированными, активными, учениками.

2. Постановка цели урока (2мин)

Сегодня на уроке мы продолжим изучать тригонометрию, рассмотрим новые понятия такие как косинус, синус, тангенс и котангенс; и методы нахождения углов с помощью прямоугольного треугольника.

3. Повторение теоретического материала (3 мин.)

А теперь давайте вспомним что мы проходили на прошлом уроке:

Что такое прямой угол? (это угол в 90 градусов)

Что такое острый угол? (это угол от 0 до 90 градусов)

Что такое тупой угол? (это угол от 90 до 180 градусов)

Какой угол называется развернутым? (этот угол равен 180 градусов)

4. Выступление студентов (10мин)

5. Изучение нового материала (30 мин)

Острый угол в прямоугольном треугольнике

Из курса геометрии известны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Они даются как отношение сторон прямоугольного треугольника. Приведем их формулировки.

Определение.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Определение.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Определение.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Определение.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Там же вводятся обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса – sin, cos, tg и ctg соответственно.

В этом уроке мы покажем связь между синусом, косинусом угла и координатами соответствующих точек единичной полуокружности. Еще раз убедимся в справедливости формулы нахождения тангенса угла через отношение синуса и косинуса этого угла, а также аналогичной формулы для вычисления котангенса угла.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Синус, косинус, тангенс, котангенс"

В курсе геометрии 8 класса, мы с вами уже знакомились с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов прямоугольного треугольника. Давайте вспомним их.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

;

Еще мы с вами учили таблицу синусов, косинусов для углов в 30, 45 и 60 градусов. Давайте вспомним ее.

Сегодня на уроке мы познакомимся с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла из промежутка от 0 до 180º.

Построим в прямоугольной системе координат полуокружность радиус которой равен 1 так, чтобы центр этой полуокружности совпадал с началом координат.

Такую полуокружность мы назовем единичной полуокружностью. Из точки О давайте проведем произвольный луч h. Этот луч пересекает полуокружность с точке М (0;0). Угол между лучом h и положительным направлением оси Ox обозначим за α. Если луч h совпадает с положительным направлением оси Ox, то угол α равен 90º. Если луч h совпадает с осью Oy, то угол α= 90º. Если луч h совпадает с отрицательным направлением оси Ox, то угол α= 180º. Опустим из точки М перпендикуляр на ось Ox и рассмотрим прямоугольный треугольник ОМD.

Запишем элементы этого треугольника. Поскольку радиус полуокружности равен 1, значит, ОM=1. Так как координаты точки М равны x и y, то, очевидно, что МD=y, а ОD=x. Тогда , . Мы получили, что синус острого угла равен ординате точки М, а косинус угла α равен абсциссе точки М. По этим же формулам вычисляются синус и косинус для углов в 90º и 180º.

Для любого угла синусом угла называется ордината точки , а косинусом угла абсцисса точки

Поскольку речь у нас идет о единичной полуокружности, то ордината точки может изменятся от 0 до 1, значит, и синус угла α может принимать значения от 0 до 1. Абсцисса точки М может изменятся от -1 до 1, то есть и косинус угла α из промежутка от 0 до 180º может изменятся от -1 до 1.

Задача. Может ли:

а) абсцисса точки единичной полуокружности быть равна ?

б) ордината точки единичной полуокружности быть равна ?

а) Поскольку полуокружность единичная, значит абсцисса точки должны принадлежать промежутку от -1 до 1, то есть абсцисса точки может быть равна , но не может быть равна 4 и 5.

б) Поскольку полуокружность располагается выше оси Ox, то ординаты точек могут быть только из промежутка от 0 до 1, то есть ордината точки может быть равна но не может быть равна .

Дополним известную нам таблицу синусов косинусов:

Для определения sin 0º и cos 0º давайте рассмотрим луч ОА. На единичной полуокружности точка А имеет координаты (1;0), значит , а .

Найдем теперь значение sin90 º и cos 90º. Этот угол задается лучом ОB. Координаты точки B равны (0;1), значит, , .

Проводя аналогичные рассуждения, получим , .

Задача. Определить координаты точки , если:

а) ; б) ; в) .

а)

б)

в)

Ответ: ; ; .

Решим теперь обратную задачу.

Задача. Определить , , если:

а) ; б) ; в) .

а)

б)

в)

Тангенсом острого угла мы называли отношение
. Эта же формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако, если угол равен 90º, то его cos 90º=0, а значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить нельзя, поэтому для угла в 90º тангенс не существует. Таким образом, мы немного уточнили определение тангенса.

Тангенсом угла , называется .

Котангенсом острого угла мы называли отношение . Эта же формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако, если угол равен 0º или 180º, то sin равен 0, а значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить нельзя, поэтому
, – не существует. Таким образом, мы немного уточнили определение котангенса.

Котангенсом угла , называется .

Задача. Определить , , если:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

а)

б)

в)

г)

д)

Давайте занесем полученные данные в таблицу и составим таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º.

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы определили, что Для любого угла синусом угла называется ордината точки , а косинусом угла абсцисса точки

Тангенсом угла , называется .

Котангенсом угла , называется .

Также мы дополнили известную нам таблицу значений синуса, косинуса и тангенсов для некоторых углов.

Синус угла– ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол .

Обозначается

Косинус угла – абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол .

Обозначается

Тангенс угла – отношение синуса угла к его косинусу.

Обозначается tg

Котангенс угла отношение косинуса угла к его синусу.

Обозначается сtg

На единичной окружности касательная, проведенная к точке (1; 0) называется линией тангенсов.

Касательная, проведенная к точке (0; 1) - линия котангенсов.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Историческая справка

Несмотря на то, что тригонометрия зародилась в древние времена, сегодня она охватывает практически все естественные науки и технику.

Актуализация знаний

1.Найдите координаты точек А, В, С и D, лежащих на единичной окружности (рис. 1)

Рисунок 1 – единичная окружность

Поставьте в соответствие точке её координаты

Ответ: А(1; 0); В(0; 1); С(-1; 0); D(0; -1)

Сегодня на уроке мы узнаем, как по-другому называются абсцисса и ордината точки, лежащей на единичной окружности.

1.Рассмотрим окружность радиуса, равного 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют

единичной или тригонометрической.

Рисунок 2 – точка Р на единичной окружности

Точка Р (1; 0) при повороте вокруг начала координат на угол переместилась в точку Рₐ. Определим её координаты. (рис. 2).

Определения.

Синусом угла называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол.

Обозначается

Косинусом угланазывается абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол .

Обозначается

Угол может выражаться и в градусах и в радианах.

Точка А(1; 0) при повороте на угол 90 (рис. 1)

Ордината точки В равна 1, значит или

Абсцисса точки В равна 0, значит

Точка А(1; 0) при повороте на угол переместилась в точку ( рис. 1)

Найдите и

Ответ: = 0;

Точка А(1; 0) при повороте на угол переместилась в точку (рис. 1)

Найдите и

Ответ: =1= 0.

Рассмотрим ещё два понятия.

Определение. Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу.

Обозначается tg

tg,

Найти tg 0. Вычислим по формуле tg = = 0.

Определение. Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу.

Обозначается сtg

сtg

Найти сtg .

Вычислим по формуле сtg =

2. Меру угла(в радианах) можно рассматривать как действительное число, поэтому и – это числовые выражения. А так как каждая точка единичной окружности имеет координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1 ≤ х ≤ 1; -1 ≤ у ≤ 1,то синус и косинус не могут превышать значения, больше .

Чтобы решить уравнения = а, нужно считать х неизвестным, число а – заданным.

Найдем точку с ординатой 1 и запишем, каким числам х она соответствует. На окружности мы видим эту точку: В (0; 1). Она соответствуют числу и всем числам вида

Решением уравнения = 1 являются х =.

3. Полезно знать синусы, косинусы, тангенсы некоторых углов. Для этого рассмотрим дугу единичной окружности в I четверти координатной плоскости (рис. 3).

Рисунок 3 – 1 четверть единичной окружности

Точки А (1; 0) и В (0; 1) нам знакомы. Рассмотрим ещё несколько точек на окружности и найдем их координаты. Точка С является серединой дуги АВ, значит угол АОС равен половине прямого угла, 45 или . Ордината точки С равна её абсциссе. Их значения нетрудно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ОСF, оно равно А значит,

tg 45

Дуга АМ составляет третью часть прямого угла, . Ордината точки М равна , значит

, tg30.

Дуга АNсоставляет прямого угла, . Абсцисса точки N равна , поэтому

, tg 60.

Чтобы легче запомнить эти значения, придумали мнемоническое правило- правило на ладони (рис. 4).

Рисунок 4 - мнемоническое правило- правило на ладони

Расположим ладонь так, как на рисунке, пусть мизинцу соответствует угол 0, следующим пальцам– 30, 45, 60 и 90. Так же присвоим им номера: мизинец №0, следующие №1, №2, №3, №4. Чтобы найти синус, используем формулу: =. А для косинуса нумерацию будем вести от большого пальца, выполняя вычисления по той же формуле. =.

Например, =, = = .

А тангенс можно вычислить по формуле: tg = .

Тангенсы и котангенсы, также как и синусы, косинусы, можно определить по единичной окружности. Для этого познакомимся с ещё одним понятием.

На единичной окружности касательная, проведенная к точке (1; 0) называется линией тангенсов. Касательная, проведенная к точке (0; 1) - линия котангенсов (рис. 5).

Рисунок 5 – линия тангенсов и линия котангенсов

Например, чтобы найти tg, находим пересечение радиус-вектора под углом с линией тангеса. Это число , или .

Чтобы найти ctg , радиус-вектор под углом должен пересечь линию котангенсов.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Синусом угла является ордината точки, поэтому значения синусов находим по оси Оу.

Найдем точки А (1; 0) и С (-1; 0) с ординатой 0 и запишем, каким числам х они соответствуют. Они соответствуют числам 0 (точка А), (точка С), 2

Решением уравнения = 0 являются х =.

Z- множество целых чисел.

Решить уравнение=1.

Найдем точки с абсциссой 1 и запишем, каким числам х они соответствуют. На рис.3 мы видим эту точку: А (1; 0) Она соответствуют числу и всем числам вида

Читайте также: