Конспект урока построение графика квадратичной функции 9 класс макарычев
Обновлено: 03.07.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
ул. Школьная, 6а, с. Новоандреевка, Симферопольский район, РК, 297511
Конспект урока алгебры в 9 классе
по теме:
Построения графика квадратичной функции
Цель: вывести алгоритм построения графика квадратичной функции и формировать умение его применять.
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Функция какого вида называется квадратичной?
Что является графиком квадратичной функции?
От чего зависит направление ветвей параболы?
4. Укажите координаты вершины параболы и направление ее ветвей:
а) у = –2 х 2 + 3; в) у = – ( х – 1) 2 + 5;
б) у = ( х + 4) 2 ; г) у = 1,6 ( х + 3) 2 – 10.
5. Парабола, изображенная на рисунке, получена сдвигами вдоль оси координат параболы у = 2 х 2 . Назовите ее формулу:
III. Работа по карточкам.
Учащимся предлагается найти соответствие между графиками квадратичных функций и предложенными функциями. При этом учащимся поясняется, что данный вид задания присутствует на предстоящем ОГЭ.
Ответы: 1 – Б, 2 – Г, 3 – А, 4 – В.
Тематическая физминутка:
На доске записываются формулы: у=а(х+ m ) 2 + n и у= -а(х- m ) 2 - n и предлагается
выполнить движения головой, соответствующие перемещениям графика квадратичной функции вдоль осей координат: в начале вверх, а затем – вниз (несколько раз).
Руками указать направление ветвей параболы: потянуться вверх, затем вниз (несколько раз).
IV . Объяснение нового материала.
Объяснение целесообразно начать с постановки задачи: построить график функции у = х 2 + 2 х + 3. Учащиеся уже умеют строить график функции у = а ( х – т ) 2 + п , а также выделять квадрат двучлена из квадратного трехчлена. Поэтому одному из учащихся предлагается преобразовать формулу, задающую данную функцию, получив функцию у = ( х + 1) 2 +2.
Важно, чтобы учащиеся осознали, что таким образом можно преобразовать любую функцию и построить ее график. Учитель приводит доказательство данного утверждения на доске, обращая внимание учащихся на то, что в процессе доказательства появилась формула для нахождения координаты вершины параболы. Это дает возможность упростить построение графика квадратичной функции, не прибегая к выделению квадрата двучлена из квадратного трехчлена.
Далее учитель записывает на доске, учащиеся – в тетрадях алгоритм построения графика квадратичной функции.
Алгоритм построения графика функции у = ах 2 + bх + с
1. Найти координаты вершины параболы ( т ; п ), где т = , n =-( b 2 -4 ac )/4 a и отметить ее на координатной плоскости.
2. Определить направление ветвей параболы.
3. Изобразить ось симметрии параболы.
4. Построить несколько точек, принадлежащих одной из ветвей параболы (справа или слева от ее вершины).
5. Построить симметрично точки, принадлежащие другой ветви параболы.
6. Соединить отмеченные точки плавной линией.
Параллельно записи алгоритма учитель должен демонстрировать на конкретном примере использование каждого его пункта. Затем разобрать еще один пример (график строит учитель на доске, а учащиеся комментируют применение алгоритма с места) .
V. Формирование умений и навыков.
На первых порах требовать от учащихся проговаривания вслух всех шагов построения.
3. Определите, график какой функции изображен на рисунке:
а)
у = х 2 – 1;
у = х 2 – 2 х – 1;
у = х 2 – 4 х + 3;
у = – х 2 + 2 х – 1;
б)
у = – х 2 + 1;
у = х 2 – х + 1;
у = – х 2 + 2 х + 1;
у = – х 2 – 2 х.
V I . Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что является графиком квадратичной функции?
– Как найти координаты вершины параболы?
– От чего зависит направление ветвей параболы?
– Всякая ли парабола имеет ось симметрии?
– Опишите алгоритм построения графика квадратичной функции.
Домашнее задание: п.7 выучить алгоритм построения квадратичной функции, разобрать примеры построения графиков,
Задачи урока: Познакомить учащихся с построением графика квадратичной функции.
Цель:
· проверить знания и умения учащихся по предыдущей теме "Сдвиг графика y= ax 2 вдоль осей координат";
· сформулировать с учащимися алгоритм построения графика квадратичной функции;
· первичное закрепление умений и навыков учащихся по теме.
| Вложение | Размер |
|---|---|
| konspekt_uroka_po_algebre.docx | 25.32 КБ |
| prezentatsiya_k_uroku.pptx | 1.99 МБ |
Предварительный просмотр:
Хасанова Анфиса Абубакировна
Задачи урока : Познакомить учащихся с построением графика квадратичной функции.
- проверить знания и умения учащихся по предыдущей теме "Сдвиг графика y= ax 2 вдоль осей координат";
- сформулировать с учащимися алгоритм построения графика квадратичной функции;
- первичное закрепление умений и навыков учащихся по теме.
- продолжать формировать общие учебные умения и навыки;
- развивать навыки работы по алгоритму;
- навыки самостоятельной работы;
- логическое мышление;
- познавательный интерес к предмету.
- воспитывать внимательность, аккуратность, ответственность.
- мультимедийная доска;
- проектор;
- презентация;
Тип урока: комбинированный.
I.Организационный этап (приветствие, проверка готовности к уроку).
Учитель приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку, мотивирует учащихся, объявляет план урока.
II. Всесторонняя проверка знаний . Фронтальный опрос. (Слайды 2-4)
III. Подготовка учащихся к активному усвоению нового материала. (Слайды5 -11) IV. Изучение нового материала:
- тема урока сообщается после совместных выводов полученных при просмотре слайдов ( Слайд 12);
- озвучиваются цели и задачи изучения нового материала, мотивация учащихся к его освоению;
Дается определение квадратичной функции (Слайд13 ).
Определение: квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax² + bx+ c, где х – независимая переменная, a, b и с – некоторые числа (причем, а ≠ 0).
Приводятся примеры квадратичных функций.
- у = 5х² + 6х+ 3,
- у = – 7х²+8х – 2,
- у = 0,8х² + 5,
- у = х² – 8х,
- у = – 12х²
Дается определение графика квадратичной функции. (Слайд 14)
Определение : Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх (если а > 0) или вниз (если а
Приводятся примеры графиков квадратичной функции, акцентирующие внимание на разное направления ветвей.
- у = 2х² + 4х – 1 – графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. а = 2, а > 0).
- у= – 7х² – х + 3 – графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. а = -7, а
Алгоритм построения графика функции. (Слайд15 )
- Описать функцию:
- название функции, что является графиком функции
- направление ветвей параболы.
Пример: у = х²– 2х – 3 –графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. а = 1, а > 0). (Слайд15 )
- Найти координаты вершины параболы А(m;n) по формулам:
m = и n = у(m) (Слайд1 6) ,
т.е. подставить найденное значение абсциссы m в формулу, которой задана функция и вычислить значение.
Прямая x=m является осью симметрии параболы.
Пример: у = х² – 2х – 3, (а = 1; b = – 2; с = – 3)
Найдем координаты вершины параболы: А(1;-4) – вершина параболы.
Прямая х = 1 – ось симметрии параболы.
Прямая x=m является осью симметрии параболы, т.е. точки графика симметричны относительно этой прямой. В таблице расположить вершину в середине таблицы и взять соседние симметричные значения х, посчитать значение функции в выбранных значениях х.
Пример: у = х² – 2х – 3. Составим таблицу значений функции:
- Построить график функции: отметить в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице и соединить их плавной линией.
Построение графика функции подробно показывается на слайде 18.
Попробуйте построить в тетради график функции у = – 2х² + 8х – 3. Опираясь на алгоритм. (Слайд1 9)
- Описать функцию:
- что является графиком функции;
- куда направлены ветви параболы.
- Найти координаты вершины параболы А(m; n).
- Заполнить таблицу значений функции.
- Построить график функции:
- отметить в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице;
- соединить их плавной линией.
Самопроверка. (Слайд 20)
Ваше задание должно быть выполнено следующим образом:
у = – 2х² + 8х – 3 –графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. а = -2, а
Найдем координаты вершины параболы:
А (2; 5) – вершина параболы.
х = 5 – ось симметрии параболы.
Составим таблицу значений функции.
Если у вас получилось тоже самое – молодцы, примите поздравления.
Если вы допустили ошибку – не огорчайтесь! У вас все еще впереди!
Перед продолжением работы запишите домашнее задание.(ссылка на слайд 24)
V. Закрепление изученного материала (Слайд 23):
Выполните следующую работу в тетрадях по вариантам.
Постройте графики функции.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Повторим? Назовите координаты вершин парабол, ось симметрии.
Х У 1 1 4 9 2 3 -1 Х У 1 1 4 9 2 3 -1 2 Х 1 1 4 9 3 -1 У Установите соответствие между графиком функции формулой и координатами вершины параболы :
Х У 1 1 4 9 2 3 -1 Х У 1 1 4 9 2 3 -1 2 Х 1 1 4 9 3 -1 У Установите соответствие между графиком функции, формулой и координатами вершины параболы :
Опираясь на ранее изученный материал определить, по какому признаку можно объединить следующие рисунки
Падение баскетбольного мяча
Библиотека с крышей в форме параболы в Норвегии
Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии (США)
Вращающийся сосуд с жидкостью
Цели урока: Сформулировать алгоритм построения графика квадратичной функции, т. е. функции вида y = ax 2 +bx+c . Выработать умение строить график квадратичной функции по алгоритму. ТЕМА УРОКА: Построение графика квадратичной функции
Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax² + bx+c , где x - независимая переменная, a, b и с -некоторые числа (причём а≠0 ). Например : у = 5х ² +6х+3, у = -7х ² +8х-2, у = 0,8х ² +5, у = ¾ х ² -8х, у = -12х ²
Графиком квадратичной функции является парабола , ветви которой направлены вверх (если а >0 ) или вниз (если а 0 ). у= -7 х ² -х+3 – графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. а= -7 , а 0 )
Чтобы построить график функции надо 2. Найти координаты вершины параболы А( m ; n ) по формулам: m = - n = у( m ) т.е. подставить найденное з начение абсциссы m в формулу, которой задана функция и вычислить значение. Прямая x=m является осью симметрии параболы. Пример: y=x 2 -2x-3 (a=1, b=-2, c=-3) Найдём координаты вершины параболы: m =- =1; n =1 2 -2-3=-4 A (1;-4)- вершина параболы x =1-ось симметрии параблы
Чтобы построить график функции надо х m -2 m -1 m m +1 m +2 у n 3. Заполнить таблицу значений функции: прямая x=m ось симметрии в ершину параболы расположить в середине таблицы посчитать значение функции в выбранных значениях х Пример : у = х ² -2х-3 А(1;- 4) – вершина параболы х =1 – ось симметрии параболы. Составим таблицу значений функции: х - 1 0 1 2 3 у 0 - 3 - 4 - 3 0
Чтобы построить график функции надо: 4. Построить график функции: - отметить в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице; - соединить их плавной линией. У 4 у = х ² -2х-3 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 1 2 3 4 5 6 х -2 -3 -4 -5 х -1 0 1 2 3 у 0 -3 -4 -3 0
Постройте график функции у = -2х ² +8х-3 План построения : 1. Описать функцию: что является графиком функции; куда направлены ветви параболы 2. Найти координаты вершины параболы А( m ; n ) по формулам: m = - n = у( m ) 3. Заполнить таблицу значений функции. 4. Построить график функции: отметить в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице; соединить их плавной линией.
Данный урок – это урок решения частных задач с применением открытого способа, урок решения конкретно-практических заданий.
Цель урока – формирование навыка, отработка способа действий.
Предполагается достичь следующие результаты:
Предметные результаты:
- развитие основных навыков и умений построения графика квадратичной функции
- умение анализировать полученные результаты (график функции), решать с помощью графика неравенства вида f(x)?0, f(x)?0, уметь определять промежутки возрастания и убывания функции
- применять полученные знания для дифференцирования графиков различных функций.
Личностные результаты:
- Формирование умения самостоятельно оценивать и принимать решения
- формирование коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве;
- оценка правильности выполнения поставленной задачи.
Метапредметные результаты:
- умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками
- умение оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности её решения.
План – конспект урока по алгебре, 9 класс
Данный урок – это урок решения частных задач с применением открытого способа, урок решения конкретно-практических заданий.
Цель урока – формирование навыка, отработка способа действий.
Предполагается достичь следующие результаты:
Предметные результаты:
развитие основных навыков и умений построения графика квадратичной функции
умение анализировать полученные результаты (график функции), решать с помощью графика неравенства вида f(x)˂0, f(x)˃0, уметь определять промежутки возрастания и убывания функции
применять полученные знания для дифференцирования графиков различных функций.
Личностные результаты:
Формирование умения самостоятельно оценивать и принимать решения
формирование коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве;
оценка правильности выполнения поставленной задачи.
Метапредметные результаты:
умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками
умение оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности её решения.
I.Организационный момент -2 мин
I I. Актуализация знаний – 12 мин.
I I I.Решение частных задач- 26 мин
I V.Рефлексия – 3 мин.
V.Организационное окончание урока – 2 мин.
I.Организационный момент – 2 мин
II.1) Актуализация мыслительных процессов через организацию сопутствующего повторения - 9 мин.
Ученики получают карточки (задания одинаковые, см. приложение), класс работает самостоятельно, 1 ученик – у доски, на интерактивной доске выведено дополнительное задание для мотивированных учеников: Построить график функции (7 мин).
Во время выполнения задания учитель консультирует индивидуально.
2) устные ответы на вопросы: - 3 мин.
- какая функция называется квадратичной;
- что является графиком квадратичной функции;
- как по формуле функции определить направление ветвей параболы;
- алгоритм построения графика квадратичной функции (внимание – на ось симметрии).
III. Решение частных задач, применение полученных знаний на практике - 26 мин.
1)Построение графика квадратичной функции y= - 4x + 3 ( ученик у доски, пошагово объясняя свои действия, учитель при необходимости консультирует отдельных учеников). Решение на доске проверяет класс, при необходимости корректирует.
2) С помощью построенного графика необходимо ответить на следующие вопросы (фронтальная работа с классом):
а) решить неравенства f(x)˂0, f(x)˃0;
б) указать промежутки возрастания, убывания функции;
в) определить наибольшее, наименьшее значение функции.
4) Ответить на вопрос : При каких значениях m прямая y=m имеет с построенным графиком не более одной точки пересечения?
5) На интерактивной доске задания (сайт Ю. Гущина, вар.2487200) – 10 мин.
Задания выполняются самостоятельно, один ученик объявляет ответ, класс принимает его, в противном случае путем обсуждения приходят к правильному ответу, учитель контролирует. Ответы, принятые классом, проверяются на сайте.
IV. Рефлексия (проговор алгоритма построения графика квадратичной функции, особенности построения, как можно проверить себя, на что обратить внимание) – 3 мин.
V.Дом. задание, организационное окончание урока – 2 мин.
1)Вычислить (ответ записать в виде десятичной дроби) :
2) На координатной прямой отмечены точки x и y.
Какое из следующих неравенств верно?
1)
2)
3)
4)
3) Найдите корни уравнения В ответе укажите среднее арифметическое корней.
4) Упростите выражение , найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.
Дополнительное задание, график функции .
Работа представляет собой конспект урока закрепления ЗУН уч-ся по теме "Построение графика квадратичной функции".
Построение графика квадратичной функции.
Тип урока: урок закрепления ЗУН уч-ся по теме.
- повторение свойств и особенности графика квадратичной функции вида y = ax 2 ;
- закрепление навыков построения графиков квадратичной функции, умения указывать координаты вершины параболы, её оси симметрии, направление ветвей;
- отработка приёмов построения графика функции на конкретных примерах;
- обучение способам самоконтроля;
- развитие речи, пространственного абстрактного мышления, мелкой моторики;
- развитие культуры выполнения графических работ.
План и ход урока.
II. Проверка домашнего задания.
III. Актуализация опорных знаний.
1) - Что называют функцией?
- Что называется графиком функции?
- Что называется областью определения и областью значений функции?
- Какая функция называется квадратичной?
- Как из графика функции y = ax 2 получить график функции y = - ax 2 ? Показать на модели.
- Как изменится при этом область значений функции?
- Каким образом из графика функции y = ax 2 получить график функции ?
- Перечислите свойства квадратичной функции при a0, при a
2) a) Работа по карточкам (4 человека):
- На координатной плоскости, используя шаблон графика функции y = x 2 , построить графики:
Сформировать мотивацию к учебной деятельности как одно из средств развития и социализации личности обучающихся.
Тип урока: ОНЗ
Материалы к уроку.
Оборудование к уроку: проектор, компьютер, интерактивная доска с координатной плоскостью и таблицей для вписывания координат точек графика.
2. Алгоритм исследования функции, применяя свойства функции.
3.Алгоритм построения графика квадратичной функции (эталон).
4. Подробный образец для самопроверки.
Раздаточный материал:
1. Задание для актуализации знаний:
2. Пробное задание, задание для первичного закрепления;
3. Задания для этапа включения в систему знаний:
4. Задание для самостоятельной работы.
Мотивация к учебной деятельности..
-Скажите, что нового вы узнали на предыдущих уроках? (Мы научились строить график квадратичной функции у = ах², у = а(x -m)² + n и по графику определять свойства функции).
-Запишите на доске и в тетради полное уравнение квадратичной функции. (y=ax²+ bx + c).
-Сегодня мы продолжим работу с графиком квадратичной функции.
Актуализация знаний и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии.
На интерактивной доске появляется график функции у = x².
Дайте характеристику графику данной функции. (Графиком функции является парабола. Т.к. a = 0, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в начале координат, т.е. в точке (0;0). Ось y является осью симметрии параболы).
Назовите алгоритм построения данного графика. (.В таблицу занести координаты вершины параболы. Затем аргументу дать из области определения функции несколько (2 -3) положительных значений и найти соответствующие значения функции, затем аргументу дать значения, противоположные положительным (или значения, симметричные положительным относительно оси у) и найти соответствующие значения функции и записать в таблицу. В координатной плоскости отметить точки и соединить их плавной линией).
Какие свойства функции вы можете определить по данному графику? (По графику можно определить нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее или наибольшее значение функции).
Как по графику определить нули функции? (нулями функции будут абсциссы точек пересечения графика с осью х. В данном случае нуль функции равен 0).
Как по графику определить промежутки знакопостоянства? (Абсциссы, соответствующие положительным ординатам точек графика, будут определять числовой промежуток где f(х) 0. Абсциссы, соответствующие отрицательным ординатам точек графика будут определять числовой промежуток, где f(х) f(х) 0 на (- ∞; 0) и на (0; ∞). Отрицательных значений функция не имеет, т.к. график располагается только в верхней полуплоскости).
Как по графику определить наименьшее или наибольшее значение функции? (наименьшим или наибольшим значением функции будет являться ордината вершины параболы. В данном случае функция имеет наименьшее значение, равное 0. Наибольшего значения функция не имеет).
- Хорошо. Мы повторили построение графика квадратичной функции и свойства данной функции. А теперь, используя имеющиеся знания и умения, постройте график функции
у = 2x² - 5x + 2. Уравнение какую функцию задает? (Квадратичную).
Если у вас возникнут затруднения, запишите номер карточки, записанной на доске, на которой сформулировано ваше затруднение.
Я не могу построить график функции
Я не могу доказать, что построил график функции правильно.
Учитель предлагает нескольким ученикам озвучить возникшие затруднения.
Выявление причин затруднения.
- Какое задание вы должны были выполнить? (Используя ранее полученные знания и умения построить график квадратичной функции).
- Почему у вас возникли затруднения? (Не знаем способа построения графика квадратичной функции по общей формуле).
Построения проекта выхода из затруднения.
- Сформулируйте цель нашего урока. (Научиться строить график квадратичной функции)
- Сформулируйте тему урока. (Построение графика квадратичной функции).
Итак, у вас возникло затруднение при построении графика.
- В чем именно возникло затруднение? (Так как это график квадратичной функции, значит это парабола. Для начала построения необходимо знать координаты вершины параболы. Я применил для построения графика алгоритм построения графика у = ах², но не могу определить координаты вершины).
- Откройте учебник на странице 41 и в тексте найдите нужную вам формулу. (Ученики открывают учебник и в тексте находят формулы для нахождения абсциссы и ординаты вершины параболы. Определяют, что можно использовать формулу для нахождения абсциссы вершины, а значение ординаты можно определить через уравнение графика).
- Ваши действия дальше? (Составить новый алгоритм построения графика квадратичной функции и построить график данного уравнения).
Ребята составляют новый алгоритм, учитель пошагово открывает его на доске.
5.Реализация проекта выхода из затруднения.
-Вы строите график функции у =- x² + 2x + 8.
- Перечислите шаги, которые вы выполняете при построении графика.
1 ученик: записываем уравнение графика.
2 ученик: находим область определения функции: (-∞; ∞).
3 ученик: даем характеристику графика: парабола, а = -1
4 ученик: находим координаты вершины параболы:
Хв= = = 1. Ув = -1² - 2 ∙ (-1) – 8 = 9
(1; 9) – координаты вершины параболы.
Отмечаем точку с полученными координатами в координатной плоскости.
5 ученик: проводим ось симметрии х = 1. Она проходит через вершину параболы и параллельно оси у.
Читайте также: